গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৬৩
১২৪১. দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ হলে একটিকে অপরটির কি বলে? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- কসন্নিহিত কোণ
- খসরলকোণ
- গপূরককোণ
- ঘসম্পূরক কোণ
সঠিক উত্তর: ঘ. সম্পূরক কোণ
প্রশ্নটা কোণের নাম চেনা যাচাই করছে। এক সমকোণ মানে ৯০ ডিগ্রি, তাই দুই সমকোণ মানে ১৮০ ডিগ্রি।
দুটি কোণের যোগফল ১৮০ ডিগ্রি হলে একটি অপরটির সম্পূরক কোণ। আর যোগফল ৯০ ডিগ্রি হলে একটি অপরটির পূরক কোণ।
সন্নিহিত কোণ বলে পাশাপাশি দুটি কোণকে, যাদের শীর্ষ একই আর একটি বাহু সাধারণ; এটা অবস্থানের বর্ণনা, যোগফলের নয়। সরলকোণ হলো একটিমাত্র কোণ যার মান ১৮০ ডিগ্রি, দুটি কোণের সম্পর্কের নাম নয়।
পূরক আর সম্পূরক গুলিয়ে ফেলাই এখানে মূল ফাঁদ। মনে রাখার উপায়: সম্পূরক শব্দে অক্ষর বেশি, যোগফলও বেশি, ১৮০ ডিগ্রি।
মনে রাখুন: ৯০ = পূরক, ১৮০ = সম্পূরক।
১২৪২. বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যাকে কি বলা হয়? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- কব্যাস
- খব্যাসার্ধ
- গবৃত্তচাপ
- ঘপরিধি
সঠিক উত্তর: ক. ব্যাস
জ্যা হলো বৃত্তের পরিধির যেকোনো দুটি বিন্দু যোগ করা সরলরেখাংশ। জ্যা কেন্দ্রের যত কাছ দিয়ে যায়, তত লম্বা হয়।
যে জ্যা ঠিক কেন্দ্র দিয়ে যায়, তাকে বলে ব্যাস। এটা বৃত্তের সবচেয়ে বড় জ্যা, আর এর দৈর্ঘ্য ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ।
ব্যাসার্ধ কেন্দ্র থেকে পরিধি পর্যন্ত যায়, তাই এর একটা প্রান্ত কেন্দ্রে; এটা জ্যা নয়। বৃত্তচাপ আর পরিধি বাঁকা অংশ, সরলরেখা নয়, তাই এগুলোও জ্যা হতে পারে না।
ব্যাসার্ধ শব্দটা ব্যাসের কাছাকাছি শোনায় বলে অনেকে গুলিয়ে ফেলেন; মনে রাখুন ব্যাস পুরো বৃত্ত পার হয়, ব্যাসার্ধ তার অর্ধেক।
মনে রাখুন: কেন্দ্রগামী জ্যা = ব্যাস = ২ × ব্যাসার্ধ।
১২৪৩. দুটি ত্রিভুজ পরস্পর সর্বসম হওয়ার জন্য নিচের কোন শর্তটি যথেষ্ট নয়? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- কএকটির তিন বাহু অপরটির তিন বাহুর সমান
- খএকটির তিন কোণ অপরটির তিন কোণের সমান
- গএকটির দুই কোণ ও এক বাহু অপরটির দুই কোণ ও অনুরূপ বাহুর সমান
- ঘএকটির দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণ অপরটির দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণের সমান
সঠিক উত্তর: খ. একটির তিন কোণ অপরটির তিন কোণের সমান
দুটি ত্রিভুজ সর্বসম মানে আকার ও মাপ দুটোই হুবহু এক; একটা আরেকটার উপর রাখলে পুরো মিলে যায়। এর জন্য কিছু নির্দিষ্ট শর্তই যথেষ্ট।
তিন বাহু সমান হলে, দুই বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ সমান হলে, অথবা দুই কোণ ও একটি অনুরূপ বাহু সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম। এই প্রতিটি শর্তে অন্তত একটা বাহুর মাপ জানা থাকে।
কিন্তু শুধু তিন কোণ সমান হলে কোনো বাহুর মাপ জানা যায় না। ছোট আর বড় দুটি সমবাহু ত্রিভুজের কথা ভাবুন: দুটিরই সব কোণ ৬০ ডিগ্রি, অথচ মাপ আলাদা। এরা সদৃশ, সর্বসম নয়।
তাই তিন কোণ সমান হওয়া সর্বসমতার জন্য যথেষ্ট নয়। কোণ শুধু আকৃতি ঠিক করে, মাপ ঠিক করে বাহু।
মনে রাখুন: অন্তত একটি বাহু সমান না থাকলে সর্বসমতা প্রমাণ হয় না।
১২৪৪. কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত নিচের কোনটি হলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব হবে? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- ক৬ : ৫ : ৪
- খ৩ : ৪ : ৫
- গ১২ : ৮ : ৪
- ঘ৬ : ৪ : ৩
সঠিক উত্তর: খ. ৩ : ৪ : ৫
সমকোণী ত্রিভুজ চেনার উপায় পিথাগোরাসের উপপাদ্য: ছোট দুই বাহুর বর্গের যোগফল সবচেয়ে বড় বাহুর বর্গের সমান হতে হবে।
৩, ৪, ৫ এ দেখি: ৩ এর বর্গ ৯ আর ৪ এর বর্গ ১৬, যোগফল ২৫; আর ৫ এর বর্গও ২৫। মিলে গেছে, তাই এই অনুপাতে সমকোণী ত্রিভুজ হয়।
৬, ৫, ৪ এ ছোট দুইয়ের বর্গের যোগফল ৪১, বড়টার বর্গ ৩৬; মেলে না। ৬, ৪, ৩ এ যোগফল ২৫, বড়টার বর্গ ৩৬; এটাও মেলে না।
১২, ৮, ৪ সবচেয়ে বড় ফাঁদ: ৪ যোগ ৮ ঠিক ১২, তাই এই বাহুগুলো দিয়ে কোনো ত্রিভুজই হয় না, কারণ ত্রিভুজে যেকোনো দুই বাহুর যোগফল তৃতীয়টির চেয়ে বড় হতে হয়।
মনে রাখুন: পিথাগোরীয় ত্রয়ী মনে রাখুন: ৩-৪-৫, ৫-১২-১৩, ৮-১৫-১৭ এবং এদের গুণিতক।
১২৪৫. ৩, ৯, ও ৪ এর চতুর্থ সমানুপাতিক কত? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- ক৪
- খ১৪
- গ১৬
- ঘ১২
সঠিক উত্তর: ঘ. ১২
চারটি সংখ্যা সমানুপাতে থাকে যদি প্রথম অনুপাত দ্বিতীয় সমান তৃতীয় অনুপাত চতুর্থ হয়। এখানে চতুর্থ সংখ্যাটিকেই চতুর্থ সমানুপাতিক বলে।
তাই ৩ অনুপাত ৯ সমান ৪ অনুপাত x। আড়াআড়ি গুণ করলে ৩ গুণ x সমান ৯ গুণ ৪, মানে ৩৬; সুতরাং x সমান ১২।
সহজভাবে দেখলে, ৯ হলো ৩ এর তিনগুণ, তাই চতুর্থ সংখ্যাটাও ৪ এর তিনগুণ, মানে ১২।
ক্রম গুরুত্বপূর্ণ: চতুর্থ সমানুপাতিক সবসময় দ্বিতীয় গুণ তৃতীয়, ভাগ প্রথম। ক্রম উল্টালে অন্য মান আসে, যেমন ৩ গুণ ৪ ভাগ ৯ নিলে আসে ৪ ভাগ ৩।
মনে রাখুন: চতুর্থ সমানুপাতিক = (২য় × ৩য়) ÷ ১ম = ৯ × ৪ ÷ ৩ = ১২।
১২৪৬. f(x) = x³ + kx² – 6x – 9; k এর মান কত হলে f(3) = 0 হবে? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- ক1
- খ-1
- গ2
- ঘ0
সঠিক উত্তর: ঘ. 0
f(৩) মানে ফাংশনে x এর জায়গায় ৩ বসানো। f(৩) শূন্য হওয়ার শর্ত দিয়ে অজানা k বের করতে হবে।
x সমান ৩ বসালে x এর ঘন হয় ২৭, k গুণ x এর বর্গ হয় ৯k, মাইনাস ৬x হয় মাইনাস ১৮, আর শেষে মাইনাস ৯। ২৭ বিয়োগ ১৮ বিয়োগ ৯ নিজেই শূন্য, তাই থাকে শুধু ৯k।
৯k সমান শূন্য হলে k অবশ্যই শূন্য।
এর অর্থ হলো তখন x বিয়োগ ৩ রাশিটির একটি উৎপাদক; এটাই উৎপাদক উপপাদ্য। অন্য মান বসালে f(৩) শূন্য হয় না: k সমান ১ এ ৯, মাইনাস ১ এ মাইনাস ৯, আর ২ এ ১৮।
মনে রাখুন: ধ্রুব অংশগুলো (২৭ − ১৮ − ৯) আগেই শূন্য, তাই k-যুক্ত পদটাকেও শূন্য হতে হবে।
১২৪৭. x > y এবং z < 0 হলে নিচের কোনটি সঠিক? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- কxz > yz
- খx/z > y/z
- গz/x < z/y
- ঘxz < yz
সঠিক উত্তর: ঘ. xz < yz
অসমতার মূল নিয়ম: দুই পাশে ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে চিহ্ন একই থাকে, কিন্তু ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে চিহ্ন উল্টে যায়।
এখানে x বড় y এর চেয়ে, আর z শূন্যের চেয়ে ছোট, মানে ঋণাত্মক। দুই পাশে z দিয়ে গুণ করলে চিহ্ন ঘুরে যায়, তাই xz ছোট yz এর চেয়ে।
একটা উদাহরণে যাচাই করি: x সমান ৩, y সমান ২, z সমান মাইনাস ১। তখন xz মাইনাস ৩ আর yz মাইনাস ২; মাইনাস ৩ সত্যিই মাইনাস ২ এর চেয়ে ছোট।
চিহ্ন উল্টাতে ভুলে গেলে xz বড় yz এর চেয়ে মনে হয়, এটাই মূল ফাঁদ। z দিয়ে ভাগ করলেও একই নিয়ম খাটে, তাই x ভাগ z বড় y ভাগ z, এটাও ভুল।
মনে রাখুন: একটা সংখ্যা বসিয়ে দেখুন: x = ৩, y = ২, z = −১।
১২৪৮. logₐ(m/n) = ? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- কlogₐm × logₐn
- খlogₐm – logₐn
- গlogₐm + logₐn
- ঘকোনটিই নয়
সঠিক উত্তর: খ. logₐm – logₐn
লগারিদমের সূত্রগুলো আসে সূচকের নিয়ম থেকে। লগ মানে আসলে ঘাত: a এর ঘাত x করলে m হলে, a ভিত্তিক লগ m সমান x।
ধরা যাক m সমান a এর ঘাত x, আর n সমান a এর ঘাত y। তাহলে m ভাগ n সমান a এর ঘাত x বিয়োগ y, কারণ একই ভিত্তির ভাগে ঘাত বিয়োগ হয়।
তাই m ভাগ n এর লগ সমান x বিয়োগ y, অর্থাৎ m এর লগ বিয়োগ n এর লগ। একইভাবে গুণফলের লগ হয় লগের যোগফল।
সবচেয়ে সাধারণ ভুল ভাগের লগকে লগের ভাগ বা লগের গুণ ভাবা। মনে রাখুন, লগ গুণকে যোগে আর ভাগকে বিয়োগে নামিয়ে আনে।
মনে রাখুন: গুণ → যোগ, ভাগ → বিয়োগ, ঘাত → গুণ।
১২৪৯. নিচের কোনটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- ক০.৩
- খ√০.৩
- গ১/৩
- ঘ২/৫
সঠিক উত্তর: ক. ০.৩
ভিন্ন আকারের সংখ্যা তুলনা করার সহজ উপায় হলো সবগুলোকে দশমিকে নেওয়া। তারপর বড়-ছোট দেখা সহজ।
২ ভাগ ৫ সমান শূন্য দশমিক ৪। ১ ভাগ ৩ সমান শূন্য দশমিক ৩৩৩, যা চলতেই থাকে। আর শূন্য দশমিক ৩ এর বর্গমূল প্রায় শূন্য দশমিক ৫৪৮।
এদের মধ্যে শূন্য দশমিক ৩ সবচেয়ে ছোট; ১ ভাগ ৩ তার চেয়ে সামান্য বড়।
ফাঁদ হলো বর্গমূলকে ছোট ভাবা। ১ এর চেয়ে ছোট ধনাত্মক সংখ্যার বর্গমূল সংখ্যাটির চেয়ে বড় হয়, যেমন শূন্য দশমিক ২৫ এর বর্গমূল শূন্য দশমিক ৫।
মনে রাখুন: ০ থেকে ১-এর মধ্যে বর্গমূল বড় হয়, বর্গ ছোট হয়।
১২৫০. নিচের কোনটি বৃত্তের সমীকরণ? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- কax² + bx + c = 0
- খy² = ax
- গx² + y² = 16
- ঘy² = 2x + 7
সঠিক উত্তর: গ. x² + y² = 16
মূলবিন্দুকে কেন্দ্র করে r ব্যাসার্ধের বৃত্তের সমীকরণ হলো x এর বর্গ যোগ y এর বর্গ সমান r এর বর্গ। এটা আসে পিথাগোরাস থেকে, কারণ বৃত্তের প্রতিটি বিন্দু কেন্দ্র থেকে সমান দূরত্বে।
x এর বর্গ যোগ y এর বর্গ সমান ১৬ ঠিক এই আকারের, যেখানে r এর বর্গ ১৬, অর্থাৎ ব্যাসার্ধ ৪। তাই এটাই বৃত্তের সমীকরণ।
বৃত্ত চেনার লক্ষণ: x এর বর্গ আর y এর বর্গ দুটোই থাকবে, তাদের সহগ সমান হবে, আর xy পদ থাকবে না।
y এর বর্গ সমান ax বা y এর বর্গ সমান ২x যোগ ৭ এ শুধু y এর বর্গ আছে, x এর বর্গ নেই, তাই এগুলো পরাবৃত্ত। আর প্রথম অপশনটি এক চলকের দ্বিঘাত সমীকরণ, কোনো বক্ররেখা নয়।
মনে রাখুন: x² ও y² দুটোই আছে, একই সহগে, xy পদ নেই: বৃত্ত।
১২৫১. a – 1/a = 3 হলে, a³ + 1/a³ এর মান কত? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- ক9
- খ18
- গ27
- ঘ36
সঠিক উত্তর: ঘ. 36
এই ধরনের প্রশ্নে ঘনের সূত্র কাজে লাগে: a বিয়োগ b এর ঘন সমান a এর ঘন বিয়োগ b এর ঘন বিয়োগ তিন ab গুণ a বিয়োগ b। এখানে b হলো ১ ভাগ a, তাই ab সমান ১।
তাহলে a এর ঘন বিয়োগ ১ ভাগ a এর ঘন সমান a বিয়োগ ১ ভাগ a এর ঘন যোগ তিন গুণ a বিয়োগ ১ ভাগ a। মান বসালে ৩ এর ঘন ২৭, যোগ ৩ গুণ ৩ মানে ৯; মোট ৩৬।
লক্ষ্য করুন, প্রশ্নে যোগ চিহ্ন ছাপা হয়েছে, কিন্তু a বিয়োগ ১ ভাগ a দেওয়া থাকলে সরাসরি পাওয়া যায় বিয়োগের রূপটাই। যোগের রূপ হিসাব করলে a ধনাত্মক হলে উত্তর আসে ১০ গুণ ১৩ এর বর্গমূল, প্রায় ৩৬ দশমিক শূন্য ছয়, আর a ঋণাত্মক হলে তার ঋণাত্মক মান; কোনোটিই অপশনে নেই। তাই প্রদত্ত উত্তর ৩৬।
সাধারণ ভুল হলো শুধু ঘন করে ২৭ লেখা, অথবা শুধু তিন গুণের অংশ নিয়ে ৯ লেখা; সূত্রের দুটো অংশই যোগ করতে হয়।
মনে রাখুন: x − ১/x = p হলে x³ − ১/x³ = p³ + ৩p = ২৭ + ৯ = ৩৬।
১২৫২. a + b = 7 & a² + b² = 25 হলে নিচের কোনটি ab এর মান হবে? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- ক12
- খ10
- গ6
- ঘকোনটিই নয়
সঠিক উত্তর: ক. 12
যোগফল আর বর্গের যোগফল দেওয়া থাকলে গুণফল বের করার সূত্র: a যোগ b এর বর্গ সমান a এর বর্গ যোগ b এর বর্গ যোগ দুই ab।
a যোগ b সমান ৭, তাই বাম দিক ৪৯। ডান দিকে a এর বর্গ যোগ b এর বর্গ ২৫। অর্থাৎ ৪৯ সমান ২৫ যোগ দুই ab, তাই দুই ab সমান ২৪, আর ab সমান ১২।
যাচাই: ৩ আর ৪ এর যোগফল ৭, বর্গের যোগফল ৯ যোগ ১৬ সমান ২৫, আর গুণফল ১২। মিলে গেছে।
৪৯ থেকে ২৫ বিয়োগ করে ২৪ পাওয়ার পর ২ দিয়ে ভাগ করতে ভুলবেন না; ভুলে গেলে মনে হবে উত্তর অপশনে নেই।
মনে রাখুন: ab = [(a + b)² − (a² + b²)] ÷ ২ = (৪৯ − ২৫) ÷ ২ = ১২।
১২৫৩. একটি মিনারের পাদদেশ হতে ২০ মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 30° হলে মিনারটির উচ্চতা কত? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- ক20√7 মিটার
- খ20/√3 মিটার
- গ20 মিটার
- ঘ10√3 মিটার
সঠিক উত্তর: খ. 20/√3 মিটার
উন্নতি কোণের প্রশ্নে মিনার, ভূমি আর দৃষ্টিরেখা মিলে একটা সমকোণী ত্রিভুজ হয়। মিনারের উচ্চতা হলো লম্ব, আর পাদদেশ থেকে দূরত্ব হলো ভূমি।
লম্ব আর ভূমির সম্পর্ক দেয় ট্যানজেন্ট: ট্যান কোণ সমান লম্ব ভাগ ভূমি। ট্যান ত্রিশ ডিগ্রি সমান ১ ভাগ ৩ এর বর্গমূল।
তাই উচ্চতা সমান ২০ গুণ ট্যান ত্রিশ ডিগ্রি, মানে ২০ ভাগ ৩ এর বর্গমূল মিটার, যা প্রায় ১১ দশমিক ৫৫ মিটার।
ট্যানের বদলে কোসাইন নিলে ১০ গুণ ৩ এর বর্গমূল আসে; এটা ভুল অনুপাত। আর কোণ পঁয়তাল্লিশ ডিগ্রি হলে উচ্চতা হতো ২০, কিন্তু এখানে কোণ ত্রিশ ডিগ্রি।
মনে রাখুন: ৩০°-এ উচ্চতা = ভূমি ÷ √৩, ৬০°-এ উচ্চতা = ভূমি × √৩।
১২৫৪. ১৩(৩/৪)% এর সমান- (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- ক১১/৮০
- খ১১/২০
- গ১/৯
- ঘ১/৮
সঠিক উত্তর: ক. ১১/৮০
শতাংশকে ভগ্নাংশে নিতে শতাংশের সংখ্যাটাকে ১০০ দিয়ে ভাগ করতে হয়। মিশ্র ভগ্নাংশ থাকলে আগে তাকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রূপ দিতে হয়।
১৩ পূর্ণ ৩ ভাগ ৪ মানে ১৩ গুণ ৪ যোগ ৩, মানে ৫৫ ভাগ ৪। এখন ১০০ দিয়ে ভাগ করলে হয় ৫৫ ভাগ ৪০০।
৫৫ আর ৪০০ দুটোকেই ৫ দিয়ে ভাগ করলে পাই ১১ ভাগ ৮০। যাচাই: ১১ ভাগ ৮০ সমান শূন্য দশমিক ১৩৭৫, মানে ১৩ দশমিক ৭৫ শতাংশ।
৪ দিয়ে ভাগ করতে ভুলে গেলে ৫৫ ভাগ ১০০, মানে ১১ ভাগ ২০ আসে; এটাই দ্বিতীয় অপশনের ফাঁদ। ১ ভাগ ৮ হলো সাড়ে ১২ শতাংশ, আর ১ ভাগ ৯ প্রায় ১১ দশমিক ১১ শতাংশ।
মনে রাখুন: অপশনকে শতাংশে নিন: ১১/৮০ × ১০০ = ১৩.৭৫%।
১২৫৫. 3x³ + 2x² – 21x – 20 রাশিটির একটি উৎপাদক হচ্ছে- (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- কx + 2
- খx – 2
- গx + 1
- ঘx – 1
সঠিক উত্তর: গ. x + 1
উৎপাদক উপপাদ্য বলে: x এর জায়গায় a বসালে রাশির মান শূন্য হলে, x বিয়োগ a রাশিটির একটি উৎপাদক। তাই x যোগ ১ উৎপাদক কিনা দেখতে x সমান মাইনাস ১ বসাতে হয়।
x সমান মাইনাস ১ বসালে প্রথম পদ মাইনাস ৩, দ্বিতীয় পদ ২, তৃতীয় পদ ২১, আর শেষে মাইনাস ২০। যোগফল মাইনাস ৩ যোগ ২ যোগ ২১ বিয়োগ ২০, মানে শূন্য।
অন্যগুলো যাচাই করলে x সমান মাইনাস ২ এ মান ৬, x সমান ২ এ মাইনাস ৩০, আর x সমান ১ এ মাইনাস ৩৬; কোনোটিই শূন্য নয়।
চিহ্নের ফাঁদ মনে রাখুন: x যোগ ১ যাচাই করতে বসাতে হয় মাইনাস ১, আর x বিয়োগ ১ যাচাই করতে বসাতে হয় ১। দ্রুত কৌশল: জোড় ঘাতের সহগের যোগফল বিজোড় ঘাতের সহগের যোগফলের সমান হলে x যোগ ১ উৎপাদক।
মনে রাখুন: জোড় ঘাতের সহগ (২ − ২০ = −১৮) = বিজোড় ঘাতের সহগ (৩ − ২১ = −১৮), তাই (x + ১) উৎপাদক।
১২৫৬. ১০ থেকে ৬০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৯ তাদের সমষ্টি কত? (২৯তম বিসিএস, ২০০৯)
- ক১৪৬
- খ৯৯
- গ১০৫
- ঘ১০৭
সঠিক উত্তর: ঘ. ১০৭
প্রশ্নে দুটি শর্ত: সংখ্যাটা মৌলিক হবে, আর এককের ঘরে ৯ থাকবে। আগে শেষে ৯ আছে এমন সংখ্যার তালিকা করি, তারপর মৌলিক কিনা ছাঁকি।
১০ থেকে ৬০ এর মধ্যে ৯ দিয়ে শেষ হয় ১৯, ২৯, ৩৯, ৪৯ আর ৫৯। এর মধ্যে ৩৯ হলো ৩ গুণ ১৩, আর ৪৯ হলো ৭ গুণ ৭; তাই এ দুটি মৌলিক নয়।
বাকি থাকে ১৯, ২৯ আর ৫৯। এদের যোগফল ১০৭।
৩৯ আর ৪৯ দেখতে মৌলিকের মতো লাগে, এটাই ফাঁদ। ৩৯ কে মৌলিক ধরে যোগ করলে ১৪৬ আসে, যা প্রথম অপশন।
মনে রাখুন: অঙ্কের যোগফল ৩ দিয়ে বিভাজ্য হলে (৩৯: ৩ + ৯ = ১২) সংখ্যাটা মৌলিক নয়; আর ৪৯ পূর্ণবর্গ।
১২৫৭. ৪০ সংখ্যাটি a হতে ১১ কম। গাণিতিক আকারে প্রকাশ করলে কি হবে? (২৯তম বিসিএস, ২০০৯)
- কa + ১১ = ৪০
- খa + ৪০ = ১১
- গa = ৪০ + ১১
- ঘa = ৪০ + ১
সঠিক উত্তর: গ. a = ৪০ + ১১
এটা কথাকে সমীকরণে রূপ দেওয়ার প্রশ্ন। ৪০ সংখ্যাটি a থেকে ১১ কম মানে a থেকে ১১ বাদ দিলে ৪০ পাওয়া যায়।
তাই সমীকরণ a বিয়োগ ১১ সমান ৪০। দুই পাশে ১১ যোগ করলে a সমান ৪০ যোগ ১১, অর্থাৎ a হলো ৫১।
যাচাই: ৫১ থেকে ১১ কম হলো ৪০, ঠিক প্রশ্নের কথা। মনে রাখুন, যে সংখ্যা কম সে ছোট, তাই বড় সংখ্যা a পেতে ছোটটার সঙ্গে পার্থক্য যোগ করতে হয়।
a যোগ ১১ সমান ৪০ লিখলে উল্টো অর্থ দাঁড়ায়: তখন a হয় ৪০ থেকে ১১ কম, মানে ২৯। কম আর বেশির দিক গুলিয়ে ফেলাই এখানে ফাঁদ।
মনে রাখুন: অপশনে a বসিয়ে যাচাই করুন: a = ৫১ হলে ৫১ − ১১ = ৪০।
১২৫৮. পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর কত? (২৯তম বিসিএস, ২০০৯)
- ক৯
- খ১০
- গ১
- ঘ-১
সঠিক উত্তর: গ. ১
এই প্রশ্ন সংখ্যার অঙ্ক-সংখ্যা চেনা যাচাই করে। পাঁচ অঙ্কের সবচেয়ে ছোট সংখ্যা হলো ১ এর পরে চারটি শূন্য, মানে দশ হাজার।
চার অঙ্কের সবচেয়ে বড় সংখ্যা হলো চারটি ৯, মানে নয় হাজার নয়শো নিরানব্বই। এটা দশ হাজারের ঠিক আগের সংখ্যা।
তাই অন্তর দশ হাজার বিয়োগ নয় হাজার নয়শো নিরানব্বই, অর্থাৎ ১। সাধারণভাবে, n অঙ্কের ক্ষুদ্রতম আর তার এক অঙ্ক কমের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর সবসময় ১।
অন্তর বলতে বড় থেকে ছোট বিয়োগ বোঝায়, তাই মাইনাস ১ নয়। আর ৯ বা ১০ হতে হলে দুই সংখ্যার মাঝে আরও সংখ্যা থাকতে হতো, অথচ নয় হাজার নয়শো নিরানব্বইয়ের ঠিক পরেই দশ হাজার।
মনে রাখুন: n অঙ্কের ক্ষুদ্রতম − (n − ১) অঙ্কের বৃহত্তম = সবসময় ১।
১২৫৯. ১.১, .০১, ও .০০১১ -এর সমষ্টি কত? (২৯তম বিসিএস, ২০০৯)
- ক০.০১১১১
- খ১.১১১১
- গ১১.১১০১
- ঘ১.১০১১১
সঠিক উত্তর: খ. ১.১১১১
দশমিক সংখ্যা যোগের মূল নিয়ম: দশমিক বিন্দুগুলো একই সারিতে রেখে ঘর মিলিয়ে যোগ করা। ঘর সমান করতে শেষে শূন্য বসালে মান বদলায় না।
তিনটি সংখ্যাকে দশমিকের পরে চার ঘর করে লিখি: ১ দশমিক ১০০০, শূন্য দশমিক ০১০০, আর শূন্য দশমিক ০০১১।
এবার ঘর ধরে যোগ করলে এককের ঘরে ১, আর দশমিকের পরে প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় ও চতুর্থ প্রতিটি ঘরে একটি করে ১ পড়ে। ফল ১ দশমিক ১১১১।
আন্দাজ দিয়েও যাচাই করা যায়: ১ দশমিক ১ এর সঙ্গে শূন্য দশমিক শূন্য ১ যোগ করলেই ১ দশমিক ১১, তাই যোগফল ১ দশমিক ১১ এর একটু বেশি হবে; অপশনে এমন একটাই আছে। চতুর্থ অপশন ১ দশমিক ১০১১১ তার চেয়ে ছোট, প্রথমটি ১ এর চেয়েও ছোট, আর তৃতীয়টি প্রায় দশ গুণ বড়।
মনে রাখুন: আন্দাজ: ১.১ + ০.০১ = ১.১১, তার সঙ্গে আরও সামান্য যোগ; অপশনে ১.১১-এর একটু বেশি শুধু ১.১১১১।
১২৬০. পরপর তিনটি সংখ্যার গুণফল ১২০ হলে তাদের যোগফল হবে- (২৯তম বিসিএস, ২০০৯)
- ক৯
- খ১২
- গ১৪
- ঘ১৫
সঠিক উত্তর: ঘ. ১৫
পরপর তিনটি সংখ্যার গুণফল দেওয়া থাকলে সংখ্যাগুলো খোঁজার দ্রুত উপায় হলো ঘনমূল আন্দাজ করা। তিনটি কাছাকাছি সংখ্যার গুণফল মাঝের সংখ্যার ঘনের কাছাকাছি হয়।
১২০ এর ঘনমূল ৫ এর কাছাকাছি, কারণ ৫ এর ঘন ১২৫। তাই মাঝের সংখ্যা ৫ ধরে যাচাই করি: ৪ গুণ ৫ গুণ ৬ সমান ১২০। মিলে গেছে।
সংখ্যা তিনটি ৪, ৫ ও ৬, আর তাদের যোগফল ১৫। লক্ষ্য করুন, পরপর তিনটি সংখ্যার যোগফল সবসময় মাঝের সংখ্যার তিনগুণ।
এই নিয়ম থেকেই বোঝা যায় ১৪ কখনো উত্তর হতে পারে না, কারণ ১৪ তিন দিয়ে বিভাজ্য নয়। ৯ হলো ২, ৩, ৪ এর যোগফল যাদের গুণফল ২৪; আর ১২ হলো ৩, ৪, ৫ এর যোগফল যাদের গুণফল ৬০।
মনে রাখুন: পরপর তিনটি সংখ্যার যোগফল = ৩ × মাঝের সংখ্যা; ৩-এর গুণিতক নয় এমন অপশন সরাসরি বাদ।