গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৬৮
১৩৪১. a + b = 7 & a² + b² = 25 হলে নিচের কোনটি ab এর মান হবে? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- ক12
- খ10
- গ6
- ঘকোনটিই নয়
সঠিক উত্তর: ক. 12
যোগফল আর বর্গের যোগফল দেওয়া থাকলে গুণফল বের করার সূত্র: a যোগ b এর বর্গ সমান a এর বর্গ যোগ b এর বর্গ যোগ দুই ab।
a যোগ b সমান ৭, তাই বাম দিক ৪৯। ডান দিকে a এর বর্গ যোগ b এর বর্গ ২৫। অর্থাৎ ৪৯ সমান ২৫ যোগ দুই ab, তাই দুই ab সমান ২৪, আর ab সমান ১২।
যাচাই: ৩ আর ৪ এর যোগফল ৭, বর্গের যোগফল ৯ যোগ ১৬ সমান ২৫, আর গুণফল ১২। মিলে গেছে।
৪৯ থেকে ২৫ বিয়োগ করে ২৪ পাওয়ার পর ২ দিয়ে ভাগ করতে ভুলবেন না; ভুলে গেলে মনে হবে উত্তর অপশনে নেই।
মনে রাখুন: ab = [(a + b)² − (a² + b²)] ÷ ২ = (৪৯ − ২৫) ÷ ২ = ১২।
১৩৪২. একটি মিনারের পাদদেশ হতে ২০ মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 30° হলে মিনারটির উচ্চতা কত? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- ক20√7 মিটার
- খ20/√3 মিটার
- গ20 মিটার
- ঘ10√3 মিটার
সঠিক উত্তর: খ. 20/√3 মিটার
উন্নতি কোণের প্রশ্নে মিনার, ভূমি আর দৃষ্টিরেখা মিলে একটা সমকোণী ত্রিভুজ হয়। মিনারের উচ্চতা হলো লম্ব, আর পাদদেশ থেকে দূরত্ব হলো ভূমি।
লম্ব আর ভূমির সম্পর্ক দেয় ট্যানজেন্ট: ট্যান কোণ সমান লম্ব ভাগ ভূমি। ট্যান ত্রিশ ডিগ্রি সমান ১ ভাগ ৩ এর বর্গমূল।
তাই উচ্চতা সমান ২০ গুণ ট্যান ত্রিশ ডিগ্রি, মানে ২০ ভাগ ৩ এর বর্গমূল মিটার, যা প্রায় ১১ দশমিক ৫৫ মিটার।
ট্যানের বদলে কোসাইন নিলে ১০ গুণ ৩ এর বর্গমূল আসে; এটা ভুল অনুপাত। আর কোণ পঁয়তাল্লিশ ডিগ্রি হলে উচ্চতা হতো ২০, কিন্তু এখানে কোণ ত্রিশ ডিগ্রি।
মনে রাখুন: ৩০°-এ উচ্চতা = ভূমি ÷ √৩, ৬০°-এ উচ্চতা = ভূমি × √৩।
১৩৪৩. ১৩(৩/৪)% এর সমান- (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- ক১১/৮০
- খ১১/২০
- গ১/৯
- ঘ১/৮
সঠিক উত্তর: ক. ১১/৮০
শতাংশকে ভগ্নাংশে নিতে শতাংশের সংখ্যাটাকে ১০০ দিয়ে ভাগ করতে হয়। মিশ্র ভগ্নাংশ থাকলে আগে তাকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রূপ দিতে হয়।
১৩ পূর্ণ ৩ ভাগ ৪ মানে ১৩ গুণ ৪ যোগ ৩, মানে ৫৫ ভাগ ৪। এখন ১০০ দিয়ে ভাগ করলে হয় ৫৫ ভাগ ৪০০।
৫৫ আর ৪০০ দুটোকেই ৫ দিয়ে ভাগ করলে পাই ১১ ভাগ ৮০। যাচাই: ১১ ভাগ ৮০ সমান শূন্য দশমিক ১৩৭৫, মানে ১৩ দশমিক ৭৫ শতাংশ।
৪ দিয়ে ভাগ করতে ভুলে গেলে ৫৫ ভাগ ১০০, মানে ১১ ভাগ ২০ আসে; এটাই দ্বিতীয় অপশনের ফাঁদ। ১ ভাগ ৮ হলো সাড়ে ১২ শতাংশ, আর ১ ভাগ ৯ প্রায় ১১ দশমিক ১১ শতাংশ।
মনে রাখুন: অপশনকে শতাংশে নিন: ১১/৮০ × ১০০ = ১৩.৭৫%।
১৩৪৪. 3x³ + 2x² – 21x – 20 রাশিটির একটি উৎপাদক হচ্ছে- (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- কx + 2
- খx – 2
- গx + 1
- ঘx – 1
সঠিক উত্তর: গ. x + 1
উৎপাদক উপপাদ্য বলে: x এর জায়গায় a বসালে রাশির মান শূন্য হলে, x বিয়োগ a রাশিটির একটি উৎপাদক। তাই x যোগ ১ উৎপাদক কিনা দেখতে x সমান মাইনাস ১ বসাতে হয়।
x সমান মাইনাস ১ বসালে প্রথম পদ মাইনাস ৩, দ্বিতীয় পদ ২, তৃতীয় পদ ২১, আর শেষে মাইনাস ২০। যোগফল মাইনাস ৩ যোগ ২ যোগ ২১ বিয়োগ ২০, মানে শূন্য।
অন্যগুলো যাচাই করলে x সমান মাইনাস ২ এ মান ৬, x সমান ২ এ মাইনাস ৩০, আর x সমান ১ এ মাইনাস ৩৬; কোনোটিই শূন্য নয়।
চিহ্নের ফাঁদ মনে রাখুন: x যোগ ১ যাচাই করতে বসাতে হয় মাইনাস ১, আর x বিয়োগ ১ যাচাই করতে বসাতে হয় ১। দ্রুত কৌশল: জোড় ঘাতের সহগের যোগফল বিজোড় ঘাতের সহগের যোগফলের সমান হলে x যোগ ১ উৎপাদক।
মনে রাখুন: জোড় ঘাতের সহগ (২ − ২০ = −১৮) = বিজোড় ঘাতের সহগ (৩ − ২১ = −১৮), তাই (x + ১) উৎপাদক।
১৩৪৫. ১০ থেকে ৬০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৯ তাদের সমষ্টি কত? (২৯তম বিসিএস, ২০০৯)
- ক১৪৬
- খ৯৯
- গ১০৫
- ঘ১০৭
সঠিক উত্তর: ঘ. ১০৭
প্রশ্নে দুটি শর্ত: সংখ্যাটা মৌলিক হবে, আর এককের ঘরে ৯ থাকবে। আগে শেষে ৯ আছে এমন সংখ্যার তালিকা করি, তারপর মৌলিক কিনা ছাঁকি।
১০ থেকে ৬০ এর মধ্যে ৯ দিয়ে শেষ হয় ১৯, ২৯, ৩৯, ৪৯ আর ৫৯। এর মধ্যে ৩৯ হলো ৩ গুণ ১৩, আর ৪৯ হলো ৭ গুণ ৭; তাই এ দুটি মৌলিক নয়।
বাকি থাকে ১৯, ২৯ আর ৫৯। এদের যোগফল ১০৭।
৩৯ আর ৪৯ দেখতে মৌলিকের মতো লাগে, এটাই ফাঁদ। ৩৯ কে মৌলিক ধরে যোগ করলে ১৪৬ আসে, যা প্রথম অপশন।
মনে রাখুন: অঙ্কের যোগফল ৩ দিয়ে বিভাজ্য হলে (৩৯: ৩ + ৯ = ১২) সংখ্যাটা মৌলিক নয়; আর ৪৯ পূর্ণবর্গ।
১৩৪৬. ৪০ সংখ্যাটি a হতে ১১ কম। গাণিতিক আকারে প্রকাশ করলে কি হবে? (২৯তম বিসিএস, ২০০৯)
- কa + ১১ = ৪০
- খa + ৪০ = ১১
- গa = ৪০ + ১১
- ঘa = ৪০ + ১
সঠিক উত্তর: গ. a = ৪০ + ১১
এটা কথাকে সমীকরণে রূপ দেওয়ার প্রশ্ন। ৪০ সংখ্যাটি a থেকে ১১ কম মানে a থেকে ১১ বাদ দিলে ৪০ পাওয়া যায়।
তাই সমীকরণ a বিয়োগ ১১ সমান ৪০। দুই পাশে ১১ যোগ করলে a সমান ৪০ যোগ ১১, অর্থাৎ a হলো ৫১।
যাচাই: ৫১ থেকে ১১ কম হলো ৪০, ঠিক প্রশ্নের কথা। মনে রাখুন, যে সংখ্যা কম সে ছোট, তাই বড় সংখ্যা a পেতে ছোটটার সঙ্গে পার্থক্য যোগ করতে হয়।
a যোগ ১১ সমান ৪০ লিখলে উল্টো অর্থ দাঁড়ায়: তখন a হয় ৪০ থেকে ১১ কম, মানে ২৯। কম আর বেশির দিক গুলিয়ে ফেলাই এখানে ফাঁদ।
মনে রাখুন: অপশনে a বসিয়ে যাচাই করুন: a = ৫১ হলে ৫১ − ১১ = ৪০।
১৩৪৭. পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর কত? (২৯তম বিসিএস, ২০০৯)
- ক৯
- খ১০
- গ১
- ঘ-১
সঠিক উত্তর: গ. ১
এই প্রশ্ন সংখ্যার অঙ্ক-সংখ্যা চেনা যাচাই করে। পাঁচ অঙ্কের সবচেয়ে ছোট সংখ্যা হলো ১ এর পরে চারটি শূন্য, মানে দশ হাজার।
চার অঙ্কের সবচেয়ে বড় সংখ্যা হলো চারটি ৯, মানে নয় হাজার নয়শো নিরানব্বই। এটা দশ হাজারের ঠিক আগের সংখ্যা।
তাই অন্তর দশ হাজার বিয়োগ নয় হাজার নয়শো নিরানব্বই, অর্থাৎ ১। সাধারণভাবে, n অঙ্কের ক্ষুদ্রতম আর তার এক অঙ্ক কমের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর সবসময় ১।
অন্তর বলতে বড় থেকে ছোট বিয়োগ বোঝায়, তাই মাইনাস ১ নয়। আর ৯ বা ১০ হতে হলে দুই সংখ্যার মাঝে আরও সংখ্যা থাকতে হতো, অথচ নয় হাজার নয়শো নিরানব্বইয়ের ঠিক পরেই দশ হাজার।
মনে রাখুন: n অঙ্কের ক্ষুদ্রতম − (n − ১) অঙ্কের বৃহত্তম = সবসময় ১।
১৩৪৮. ১.১, .০১, ও .০০১১ -এর সমষ্টি কত? (২৯তম বিসিএস, ২০০৯)
- ক০.০১১১১
- খ১.১১১১
- গ১১.১১০১
- ঘ১.১০১১১
সঠিক উত্তর: খ. ১.১১১১
দশমিক সংখ্যা যোগের মূল নিয়ম: দশমিক বিন্দুগুলো একই সারিতে রেখে ঘর মিলিয়ে যোগ করা। ঘর সমান করতে শেষে শূন্য বসালে মান বদলায় না।
তিনটি সংখ্যাকে দশমিকের পরে চার ঘর করে লিখি: ১ দশমিক ১০০০, শূন্য দশমিক ০১০০, আর শূন্য দশমিক ০০১১।
এবার ঘর ধরে যোগ করলে এককের ঘরে ১, আর দশমিকের পরে প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় ও চতুর্থ প্রতিটি ঘরে একটি করে ১ পড়ে। ফল ১ দশমিক ১১১১।
আন্দাজ দিয়েও যাচাই করা যায়: ১ দশমিক ১ এর সঙ্গে শূন্য দশমিক শূন্য ১ যোগ করলেই ১ দশমিক ১১, তাই যোগফল ১ দশমিক ১১ এর একটু বেশি হবে; অপশনে এমন একটাই আছে। চতুর্থ অপশন ১ দশমিক ১০১১১ তার চেয়ে ছোট, প্রথমটি ১ এর চেয়েও ছোট, আর তৃতীয়টি প্রায় দশ গুণ বড়।
মনে রাখুন: আন্দাজ: ১.১ + ০.০১ = ১.১১, তার সঙ্গে আরও সামান্য যোগ; অপশনে ১.১১-এর একটু বেশি শুধু ১.১১১১।
১৩৪৯. পরপর তিনটি সংখ্যার গুণফল ১২০ হলে তাদের যোগফল হবে- (২৯তম বিসিএস, ২০০৯)
- ক৯
- খ১২
- গ১৪
- ঘ১৫
সঠিক উত্তর: ঘ. ১৫
পরপর তিনটি সংখ্যার গুণফল দেওয়া থাকলে সংখ্যাগুলো খোঁজার দ্রুত উপায় হলো ঘনমূল আন্দাজ করা। তিনটি কাছাকাছি সংখ্যার গুণফল মাঝের সংখ্যার ঘনের কাছাকাছি হয়।
১২০ এর ঘনমূল ৫ এর কাছাকাছি, কারণ ৫ এর ঘন ১২৫। তাই মাঝের সংখ্যা ৫ ধরে যাচাই করি: ৪ গুণ ৫ গুণ ৬ সমান ১২০। মিলে গেছে।
সংখ্যা তিনটি ৪, ৫ ও ৬, আর তাদের যোগফল ১৫। লক্ষ্য করুন, পরপর তিনটি সংখ্যার যোগফল সবসময় মাঝের সংখ্যার তিনগুণ।
এই নিয়ম থেকেই বোঝা যায় ১৪ কখনো উত্তর হতে পারে না, কারণ ১৪ তিন দিয়ে বিভাজ্য নয়। ৯ হলো ২, ৩, ৪ এর যোগফল যাদের গুণফল ২৪; আর ১২ হলো ৩, ৪, ৫ এর যোগফল যাদের গুণফল ৬০।
মনে রাখুন: পরপর তিনটি সংখ্যার যোগফল = ৩ × মাঝের সংখ্যা; ৩-এর গুণিতক নয় এমন অপশন সরাসরি বাদ।
১৩৫০. Which of the following integers has the most divisors? (২৯তম বিসিএস, ২০০৯)
- ক88
- খ91
- গ95
- ঘ99
সঠিক উত্তর: ক. 88
কোনো সংখ্যার ভাজক বা উৎপাদকের সংখ্যা গুনতে তাকে মৌলিক উৎপাদকে ভাঙতে হয়। প্রতিটি মৌলিকের ঘাতের সঙ্গে ১ যোগ করে সেগুলো গুণ করলেই মোট ভাজকের সংখ্যা।
৮৮ হলো ২ এর ঘন গুণ ১১। ঘাত ৩ আর ১, তাই ভাজক ৪ গুণ ২, মানে ৮টি।
৯১ হলো ৭ গুণ ১৩, আর ৯৫ হলো ৫ গুণ ১৯; দুটিরই ভাজক ২ গুণ ২, মানে ৪টি। ৯৯ হলো ৩ এর বর্গ গুণ ১১, তাই ভাজক ৩ গুণ ২, মানে ৬টি।
তাই সবচেয়ে বেশি ভাজক ৮৮ এর। বড় সংখ্যার বেশি ভাজক থাকবে ভাবা ভুল; ছোট মৌলিক বারবার থাকলে ভাজক বেশি হয়।
মনে রাখুন: ভাজকের সংখ্যা = প্রতিটি মৌলিকের (ঘাত + ১)-এর গুণফল।
১৩৫১. Successive discount of 20% and 15% are equal to a single discount of- (২৯তম বিসিএস, ২০০৯)
- ক30%
- খ32%
- গ34%
- ঘ35%
সঠিক উত্তর: খ. 32%
পরপর দুটি ছাড় কখনো সরাসরি যোগ হয় না, কারণ দ্বিতীয় ছাড়টা হয় প্রথম ছাড়ের পরের কমে যাওয়া দামের উপর।
দাম ১০০ ধরি। ২০ শতাংশ ছাড়ে দাম হয় ৮০। এবার ৮০ এর ১৫ শতাংশ, মানে ১২ ছাড় দিলে দাম হয় ৬৮।
১০০ থেকে ৬৮, মোট ৩২ কমেছে, অর্থাৎ একক ছাড় ৩২ শতাংশ। সূত্রে: a যোগ b বিয়োগ a গুণ b ভাগ ১০০, মানে ২০ যোগ ১৫ বিয়োগ ৩, সমান ৩২।
ফাঁদ হলো ২০ আর ১৫ যোগ করে ৩৫ শতাংশ বলা। দ্বিতীয় ছাড় ছোট ভিত্তির উপর হয় বলে মোট ছাড় সবসময় দুই হারের যোগফলের চেয়ে কম।
মনে রাখুন: a + b − ab/১০০ = ২০ + ১৫ − ৩ = ৩২%।
১৩৫২. City B is 5 miles east of city A. City C is 10 miles southeast of city B. Which of the following is the closest to the distance from city A to City C? (২৯তম বিসিএস, ২০০৯)
- ক11 miles
- খ12 miles
- গ13 miles
- ঘ14 miles
সঠিক উত্তর: ঘ. 14 miles
দিক ও দূরত্বের প্রশ্নে প্রতিটি সরণকে পূর্ব-পশ্চিম আর উত্তর-দক্ষিণ এই দুই অংশে ভাঙতে হয়। দক্ষিণ-পূর্ব মানে পূর্ব আর দক্ষিণের ঠিক মাঝখানের দিক, পঁয়তাল্লিশ ডিগ্রি কোণে।
B থেকে দক্ষিণ-পূর্বে ১০ মাইল গেলে পূর্বে যায় প্রায় ৭ দশমিক ০৭ মাইল আর দক্ষিণেও প্রায় ৭ দশমিক ০৭ মাইল, কারণ ১০ কে ২ এর বর্গমূল দিয়ে ভাগ করলে এটাই হয়।
A থেকে হিসাব করলে C আছে পূর্বে ৫ যোগ ৭ দশমিক ০৭, মানে প্রায় ১২ দশমিক ০৭ মাইল, আর দক্ষিণে ৭ দশমিক ০৭ মাইল। পিথাগোরাসে দূরত্বের বর্গ প্রায় ১৪৫ দশমিক ৭ যোগ ৫০, মানে ১৯৫ দশমিক ৭; এর বর্গমূল প্রায় ১৩ দশমিক ৯৯, অর্থাৎ প্রায় ১৪ মাইল।
দক্ষিণ-পূর্বকে সরাসরি দক্ষিণ ধরলে দূরত্ব হতো ১২৫ এর বর্গমূল, প্রায় ১১; এটাই প্রথম অপশনের ফাঁদ। আবার ১২ হলো শুধু পূর্ব দিকের সরণ, দক্ষিণের অংশ বাদ দিলে আসে।
মনে রাখুন: কোসাইন সূত্রে (B-তে কোণ ১৩৫°): AC² = ৫² + ১০² + ২ × ৫ × ১০ × cos৪৫° ≈ ১৯৫.৭, AC ≈ ১৪।
১৩৫৩. ৪ টি ১ টাকার নোট ও ৮ টি ২ টাকার নোট একত্রে ৮টি ৫ টাকার নোটের কত অংশ? (২৯তম বিসিএস, ২০০৯)
- ক১/৪
- খ১/২
- গ১/৮
- ঘ১/১৬
সঠিক উত্তর: খ. ১/২
এখানে নোটের সংখ্যা নয়, টাকার মূল্য তুলনা করতে হবে। কত অংশ জানতে ছোট মূল্যকে বড় মূল্য দিয়ে ভাগ করতে হয়।
৪টি ১ টাকার নোট মানে ৪ টাকা, আর ৮টি ২ টাকার নোট মানে ১৬ টাকা; একত্রে ২০ টাকা। ৮টি ৫ টাকার নোট মানে ৪০ টাকা।
২০ টাকা হলো ৪০ টাকার অর্ধেক, তাই উত্তর ২ ভাগের ১।
নোট গুনে তুলনা করলে ১২টি নোট বনাম ৮টি নোট দাঁড়ায়, যা কোনো অপশনের সঙ্গেই মেলে না; তাই সবসময় টাকার অঙ্কে রূপান্তর করুন।
মনে রাখুন: নোটকে টাকায় বদলে ভাগ: ২০/৪০ = ১/২।
১৩৫৪. 1.16 এর সাধারণ ভগ্নাংশ কোনটি? (২৯তম বিসিএস, ২০০৯)
- ক1(1/6)
- খ1(8/45)
- গ1(16/99)
- ঘ1(4/25)
সঠিক উত্তর: ঘ. 1(4/25)
দশমিক সংখ্যাকে সাধারণ ভগ্নাংশে নিতে দশমিকের পরে যত অঙ্ক, হরে ১ এর পরে তত শূন্য বসাতে হয়। তারপর লব ও হরকে লঘিষ্ঠ আকারে আনতে হয়।
১ দশমিক ১৬ মানে ১ পূর্ণ আর ১৬ ভাগ ১০০। ১৬ আর ১০০ দুটোকেই ৪ দিয়ে ভাগ করলে পাই ৪ ভাগ ২৫। তাই উত্তর ১ পূর্ণ ৪ ভাগ ২৫।
পৌনঃপুনিক দশমিক হলে উত্তর বদলে যায়। শুধু ৬ পৌনঃপুনিক হলে মান ১ পূর্ণ ১ ভাগ ৬, আর ১৬ দুটোই পৌনঃপুনিক হলে ১ পূর্ণ ১৬ ভাগ ৯৯। প্রশ্নে কোনো পৌনঃপুনিক চিহ্ন নেই, তাই সাধারণ দশমিক ধরেই উত্তর।
অপশনগুলো এমনভাবে সাজানো যাতে পৌনঃপুনিক আর সাধারণ দশমিক গুলিয়ে যায়; তাই প্রশ্নে চিহ্ন আছে কিনা আগে ভালো করে দেখুন।
মনে রাখুন: যাচাই: ৪/২৫ = ১৬/১০০ = ০.১৬।
১৩৫৫. 30% of 10 is 10% of which? (২৮তম বিসিএস, ২০০৮)
- ক30
- খ60
- গ40
- ঘ600
সঠিক উত্তর: ক. 30
কোনো সংখ্যার নির্দিষ্ট শতাংশ মানে সংখ্যাটাকে হার দিয়ে গুণ করে ১০০ দিয়ে ভাগ। এখানে আগে বাম দিকের মানটা বের করে, তারপর অজানা সংখ্যাটা খুঁজতে হবে।
১০ এর ৩০ শতাংশ হলো ৩। এবার প্রশ্ন দাঁড়াল, ৩ কোন সংখ্যার ১০ শতাংশ।
১০ শতাংশ মানে দশ ভাগের এক ভাগ, তাই পুরো সংখ্যাটা ৩ এর দশ গুণ, মানে ৩০। একটা সুন্দর নিয়মও আছে: a এর b শতাংশ আর b এর a শতাংশ সবসময় সমান, তাই ১০ এর ৩০ শতাংশ আর ৩০ এর ১০ শতাংশ একই।
যাচাই করলেই বাকি অপশন বাদ পড়ে: ৬০ এর ১০ শতাংশ ৬, ৪০ এর ১০ শতাংশ ৪, আর ৬০০ এর ১০ শতাংশ ৬০; কোনোটিই ৩ নয়।
মনে রাখুন: a-এর b% = b-এর a%: ১০-এর ৩০% = ৩০-এর ১০%, তাই উত্তর ৩০।
১৩৫৬. If a man swims 4 meters upstream at 1 mph and back downstream to the same point at 4 mph, what is his average speed? (২৮তম বিসিএস, ২০০৮)
- ক0.8 mph
- খ1.6 mph
- গ2.4 mph
- ঘ3.2 mph
সঠিক উত্তর: খ. 1.6 mph
সমান দূরত্ব দুটি ভিন্ন গতিতে গেলে গড় গতি দুই গতির সাধারণ গড় হয় না। গড় গতি সবসময় মোট দূরত্ব ভাগ মোট সময়।
প্রশ্নে দূরত্ব মিটারে আর গতি মাইল প্রতি ঘণ্টায় দেওয়া, তবে গড় গতি দূরত্বের উপর নির্ভর করে না। হিসাব সহজ করতে একমুখী দূরত্ব ৪ মাইল ধরি। উজানে ঘণ্টায় ১ মাইল বেগে ৪ মাইল যেতে লাগে ৪ ঘণ্টা, আর ভাটিতে ঘণ্টায় ৪ মাইল বেগে ফিরতে লাগে ১ ঘণ্টা। মোট পথ ৮ মাইল, মোট সময় ৫ ঘণ্টা।
তাহলে গড় গতি ৮ ভাগ ৫, মানে ঘণ্টায় ১ দশমিক ৬ মাইল। সূত্র আকারে, সমান দূরত্বে গড় গতি সমান দুই গুণ x গুণ y ভাগ x যোগ y; এখানে ২ গুণ ১ গুণ ৪ ভাগ ৫।
সাধারণ গড় ২ দশমিক ৫ ধরা মূল ভুল; ধীর গতিতে বেশি সময় কাটে বলে গড় ধীর গতির দিকে ঝুঁকে থাকে।
মনে রাখুন: সমান দূরত্বে গড় গতি = ২xy/(x + y) = ২ × ১ × ৪/৫ = ১.৬।
১৩৫৭. ৪ টাকায় ৫টি করে কিনে ৫ টাকায় ৪টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে? (২৭তম বিসিএস, ২০০৫)
- ক৪৫%
- খ৪৮.৫০%
- গ৫২.৭৫%
- ঘ৫৬.২৫%
সঠিক উত্তর: ঘ. ৫৬.২৫%
প্রশ্নটা লাভের শতকরা হার জানতে চেয়েছে। লাভের হার সবসময় কেনা দামের উপর হিসাব হয়: লাভকে কেনা দাম দিয়ে ভাগ করে ১০০ দিয়ে গুণ।
আগে একটি জিনিসের দাম বের করি। ৪ টাকায় ৫টি কিনলে একটির কেনা দাম ৪ ভাগ ৫, মানে ৮০ পয়সা। ৫ টাকায় ৪টি বেচলে একটির বেচা দাম ৫ ভাগ ৪, মানে ১ টাকা ২৫ পয়সা। তাহলে প্রতিটিতে লাভ ৪৫ পয়সা।
এখন দেখি ৪৫ পয়সা ৮০ পয়সার কত শতাংশ: ৪৫ কে ৮০ দিয়ে ভাগ করে ১০০ দিয়ে গুণ করলে হয় ৫৬ দশমিক ২৫ শতাংশ।
অনেকে ৪৫ পয়সা লাভ দেখে সরাসরি ৪৫ শতাংশ ধরে নেন। কিন্তু ৪৫ পয়সা ১ টাকার উপর লাভ নয়, ৮০ পয়সার উপর; তাই হার আরও বেশি।
মনে রাখুন: (৫ × ৫ − ৪ × ৪) ÷ (৪ × ৪) × ১০০ = ৯/১৬ × ১০০ = ৫৬.২৫%। “a টাকায় b টি কিনে b টাকায় a টি বেচা” ধরনের সব প্রশ্নে চলে।
১৩৫৮. এক ব্যবসায়ী একটি পণ্যের মূল্য ২৫% বাড়ালো, অতঃপর বর্ধিত মূল্য থেকে ২৫% কমালো। সর্বশেষ মূল্য সর্বপ্রথম মূল্যের তুলনায়- (২৭তম বিসিএস, ২০০৫)
- ক৪৫% কমানো হয়েছে
- খ৬.২৫% কমানো হয়েছে
- গ৫% বাড়ানো হয়েছে
- ঘ৬.২৫% বাড়ানো হয়েছে
সঠিক উত্তর: খ. ৬.২৫% কমানো হয়েছে
প্রশ্নটা পরপর দুটি শতকরা পরিবর্তনের মোট প্রভাব জানতে চেয়েছে। মূল কথা হলো, দ্বিতীয় পরিবর্তনটা হয় নতুন দামের উপর, শুরুর দামের উপর নয়।
দাম ১০০ টাকা ধরি। ২৫ শতাংশ বাড়ালে হয় ১২৫ টাকা। এবার ১২৫ টাকার ২৫ শতাংশ, মানে ৩১ দশমিক ২৫ টাকা কমালে থাকে ৯৩ দশমিক ৭৫ টাকা।
শুরুর ১০০ টাকার তুলনায় শেষে ৬ দশমিক ২৫ টাকা কম, অর্থাৎ দাম ৬ দশমিক ২৫ শতাংশ কমেছে। সাধারণ নিয়ম: একই হারে বাড়িয়ে তারপর কমালে সবসময় দাম কমে, আর কমার হার হলো হারের বর্গকে ১০০ দিয়ে ভাগ; এখানে ২৫ গুণ ২৫ ভাগ ১০০।
অনেকে ভাবেন ২৫ বাড়ল আর ২৫ কমল, তাই দাম একই থাকবে বা বাড়বে। কিন্তু কমানোটা বড় ভিত্তির উপর হয়েছে বলে কমার পরিমাণ বেশি; তাই দাম কমেছে, বাড়েনি।
মনে রাখুন: একই হার r% বাড়িয়ে কমালে মোট r²/১০০ % কমে: ২৫²/১০০ = ৬.২৫%।
১৩৫৯. যদি একটি কাজ ৯ জন লোক ১২ দিনে করতে পারে, অতিরিক্ত ৩ জন লোক নিয়োগ করলে কাজটি কতদিনে শেষ হবে? (২৭তম বিসিএস, ২০০৫)
- ক৭
- খ৯
- গ১০
- ঘ১২
সঠিক উত্তর: খ. ৯
এটা জন-দিনের প্রশ্ন। একটা কাজে মোট যত শ্রম লাগে তা স্থির থাকে; লোক বাড়লে দিন কমে, মানে লোক আর দিন ব্যস্ত অনুপাতে চলে।
৯ জন ১২ দিনে কাজটা করে, তাই মোট কাজ ৯ গুণ ১২, মানে ১০৮ জন-দিন। অতিরিক্ত ৩ জন যোগ হলে লোক হয় ১২ জন।
১২ জনে ১০৮ জন-দিনের কাজ শেষ করতে লাগবে ১০৮ ভাগ ১২, অর্থাৎ ৯ দিন।
ফাঁদ হলো ১২ দিনই রেখে দেওয়া। লোক বেশি মানে সময় কম, তাই উত্তর অবশ্যই ১২-এর কম হবে।
মনে রাখুন: লোক₁ × দিন₁ = লোক₂ × দিন₂: ৯ × ১২ = ১২ × দিন, দিন = ৯।
১৩৬০. শিক্ষা সফরে যাওয়ার জন্য ২৪০০ টাকায় বাস ভাড়া করা হলো এবং প্রত্যেক ছাত্র/ছাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে ঠিক হলো। অতিরিক্ত ১০ জন ছাত্র/ছাত্রী যাওয়ায় প্রতি জনের ভাড়া ৮ টাকা কমে গেল। বাসে কতজন ছাত্র/ছাত্রী গিয়েছিল? (২৭তম বিসিএস, ২০০৫)
- ক৪০
- খ৪৮
- গ৫০
- ঘ৬০
সঠিক উত্তর: ঘ. ৬০
প্রশ্নটা মোট খরচ স্থির রেখে মাথাপিছু ভাগের পরিবর্তন নিয়ে। মোট ভাড়া ২৪০০ টাকা বদলায় না; লোক বাড়লে মাথাপিছু ভাড়া কমে।
শুরুতে x জন ধরি। তখন মাথাপিছু ভাড়া ২৪০০ ভাগ x, আর ১০ জন বাড়লে ২৪০০ ভাগ x যোগ ১০। এই দুইয়ের পার্থক্য ৮ টাকা। সমীকরণটা সাজালে দাঁড়ায় x গুণ x যোগ ১০ সমান ৩০০০।
যে দুটি সংখ্যার পার্থক্য ১০ আর গুণফল ৩০০০, সেগুলো ৫০ আর ৬০। তাই শুরুতে ছিল ৫০ জন, আর বাসে গেছে ৬০ জন। যাচাই: ২৪০০ ভাগ ৫০ হলো ৪৮, ২৪০০ ভাগ ৬০ হলো ৪০; পার্থক্য ঠিক ৮।
বড় ফাঁদ হলো ৫০ লিখে দেওয়া। ৫০ হলো শুরুর পরিকল্পনার সংখ্যা; প্রশ্ন জানতে চেয়েছে আসলে কতজন গিয়েছিল, অর্থাৎ অতিরিক্ত ১০ জনসহ।
মনে রাখুন: অপশন থেকে যাচাই: ২৪০০/৬০ = ৪০ আর ২৪০০/৫০ = ৪৮, পার্থক্য ৮; তাই ৬০ জন।