গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৬৬

⚡ এই বিষয়ে কুইক টেস্ট

পাতা ৬৬/৬৯ · প্রশ্ন ১৩০১–১৩২০সব উত্তর দেখান

১৩০১. রকীব সাহেব ৩,৭৩,৮৩৩ টাকা ব্যাংকে রাখলেন। ৭(১/২) বছর পর তিনি আসল টাকার ১(১/৪) অংশ সুদ পেলেন। ব্যাংকের সুদের হার কত? (৩৩তম বিসিএস, ২০১২)
1. ক১২(১/২)%
2. খ১৬(২/৩)%
3. গ৮(১/৩)%
4. ঘ১১(১/৯)%
সঠিক উত্তর: খ. ১৬(২/৩)%
সরল সুদে সুদ সমান আসল গুণ হার গুণ সময়। তাই হার বের করতে সুদকে আসল ও সময় দিয়ে ভাগ করতে হয়। এখানে আসলের অঙ্কটা অপ্রয়োজনীয়, কারণ সুদ আসলের অংশ হিসেবে দেওয়া আছে।
সাড়ে সাত বছরে সুদ এসেছে আসলের এক পূর্ণ এক চতুর্থাংশ, মানে আসলের ১২৫ শতাংশ।
তাহলে প্রতি বছরে সুদ ১২৫ ভাগ সাড়ে সাত, মানে ১৬ পূর্ণ দুই তৃতীয়াংশ শতাংশ। এটাই বার্ষিক সুদের হার।
বড় অঙ্কের আসল দেখে ঘাবড়ে যাবেন না; অনুপাতের প্রশ্নে আসল কেটে যায়। আর পুরো ১২৫ শতাংশকে হার ভাবা ভুল, ওটা সাড়ে সাত বছরের মোট।
মনে রাখুন: হার = (সুদ/আসল) ÷ সময় × ১০০ = (৫/৪) ÷ (১৫/২) × ১০০ = ১৬⅔%।
পুরো পাতা ›
১৩০২. ৫ জন তাঁত-শ্রমিক ৫ দিনে ৫টি কাপড় বুনতে পারে। একই ধরনের ৭টি কাপড় বুনতে ৭ জন শ্রমিকের কত দিন লাগবে? (৩৩তম বিসিএস, ২০১২)
1. ক৫ দিন
2. খ২৫/৪৯ দিন
3. গ৪৯/২৫ দিন
4. ঘ৭ দিন
সঠিক উত্তর: ক. ৫ দিন
কাজের প্রশ্নে আগে এক জনের এক দিনের কাজ বের করুন। লোক বাড়লে কাজ বাড়ে, দিন বাড়লেও কাজ বাড়ে; দুটোই কাজের সাথে সরল অনুপাতে।
৫ জন ৫ দিনে ৫টি কাপড় বোনে, মানে প্রত্যেকে ৫ দিনে ১টি কাপড় বোনে।
তাহলে ৭ জন একসাথে কাজ করলে প্রত্যেকে ৫ দিনে ১টি করে বুনবে, মোট ৭টি। তাই ৭টি কাপড়েও ৫ দিনই লাগবে।
ফাঁদ হলো ৭ দিন বলা, যেন কাপড় বাড়ার সাথে দিনও বাড়বে। কিন্তু লোকও সমান হারে বেড়েছে, তাই দিন একই থাকে।
মনে রাখুন: লোক ও কাপড় একই অনুপাতে বাড়লে দিন বদলায় না: ৫ × (৭/৫) × (৫/৭) = ৫।
পুরো পাতা ›
১৩০৩. (x – y, 3) = (0, x + 2y) হলে (x,y) = কত? (৩৩তম বিসিএস, ২০১২)
1. ক(1,1)
2. খ(1,3)
3. গ(-1,-1)
4. ঘ(-3,1)
সঠিক উত্তর: ক. (1,1)
দুটি ক্রমজোড় সমান হয় তখনই, যখন প্রথম উপাদান প্রথম উপাদানের সমান এবং দ্বিতীয় উপাদান দ্বিতীয় উপাদানের সমান। এখান থেকে দুটি সমীকরণ পাওয়া যায়।
প্রথম উপাদান থেকে x বিয়োগ y সমান শূন্য, মানে x আর y সমান। দ্বিতীয় উপাদান থেকে তিন সমান x যোগ দুই y।
x এর জায়গায় y বসালে তিন y সমান তিন, তাই y এক, আর x ও এক।
ক্রমজোড়ে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ; প্রথমের সাথে প্রথম, দ্বিতীয়ের সাথে দ্বিতীয় মেলাতে হবে। অপশন বসালে কেবল এক, এক দুটো শর্তই মেটায়।
মনে রাখুন: অপশন বসান: (১, ১) দিলে x − y = ০ এবং x + ২y = ৩।
পুরো পাতা ›
১৩০৪. একটি আয়তাকার ঘরের প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের ২/৩ অংশ। ঘরটির পরিসীমা ৪০ মিটার হলে তার ক্ষেত্রফল কত? (৩৩তম বিসিএস, ২০১২)
1. ক৬০ বর্গমিটার
2. খ৯৬ বর্গমিটার
3. গ৭২ বর্গমিটার
4. ঘ৬৪ বর্গমিটার
সঠিক উত্তর: খ. ৯৬ বর্গমিটার
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা দুই গুণ দৈর্ঘ্য যোগ প্রস্থ। তাই পরিসীমা ৪০ হলে দৈর্ঘ্য যোগ প্রস্থ ২০ মিটার।
প্রস্থ দৈর্ঘ্যের দুই তৃতীয়াংশ, মানে দৈর্ঘ্য ৩ ভাগ হলে প্রস্থ ২ ভাগ। মোট ৫ ভাগ সমান ২০ মিটার, তাই এক ভাগ ৪ মিটার।
দৈর্ঘ্য ৩ ভাগ, মানে ১২ মিটার; প্রস্থ ২ ভাগ, মানে ৮ মিটার। ক্ষেত্রফল ১২ গুণ ৮, অর্থাৎ ৯৬ বর্গমিটার।
ফাঁদ হলো পুরো ৪০ মিটারকে দৈর্ঘ্য যোগ প্রস্থ ধরা। পরিসীমায় প্রতিটি বাহু দুবার থাকে, তাই আগে অর্ধেক করতে হয়।
মনে রাখুন: অর্ধপরিসীমা ২০ কে ৩ : ২ এ ভাগ: ১২ ও ৮, গুণফল ৯৬।
পুরো পাতা ›
১৩০৫. রহিম, করিম এবং গাজী তিন জনে একটি কাজ করতে পারে যথাক্রমে 15, 6 এবং 10 দিনে। তাহারা একত্রে তিন জনে কাজটি কত দিনে শেষ করতে পারবে? (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
1. ক3 দিন
2. খ18 দিন
3. গ7 দিন
4. ঘ15 দিন
সঠিক উত্তর: ক. 3 দিন
একসঙ্গে কাজের প্রশ্নে প্রত্যেকের এক দিনের কাজ যোগ করতে হয়, দিন নয়। সহজ করতে মোট কাজকে ১৫, ৬ আর ১০ এর লসাগু, মানে ৩০ ভাগ ধরি।
রহিম ১৫ দিনে ৩০ ভাগ করে, তাই প্রতিদিন ২ ভাগ। করিম ৬ দিনে করে, তাই প্রতিদিন ৫ ভাগ। গাজী ১০ দিনে করে, তাই প্রতিদিন ৩ ভাগ।
তিনজনে মিলে প্রতিদিন ২ যোগ ৫ যোগ ৩, মানে ১০ ভাগ করে। ৩০ ভাগ শেষ করতে লাগবে ৩০ ভাগ ১০, অর্থাৎ ৩ দিন।
একটা জরুরি যাচাই: একসঙ্গে কাজ করলে সময় সবচেয়ে দ্রুত জনের একার সময়ের চেয়েও কম হবে। করিম একাই ৬ দিনে পারে, তাই ৭, ১৫ বা ১৮ দিন কোনোভাবেই উত্তর হতে পারে না।
মনে রাখুন: মোট কাজ লসাগু (৩০) ধরে প্রতিদিনের ভাগ যোগ: ২ + ৫ + ৩ = ১০, সময় ৩০ ÷ ১০ = ৩ দিন।
পুরো পাতা ›
১৩০৬. কোনো সংখ্যার 40% এর সাথে 42 যোগ করলে ফলাফল হবে ঐ সংখ্যাটি। উহা কত? (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
1. ক70
2. খ80
3. গ90
4. ঘ75
সঠিক উত্তর: ক. 70
এটা শতকরার উল্টো হিসাব: একটা অংশের মান জানা আছে, পুরো সংখ্যাটা বের করতে হবে। কৌশল হলো সংখ্যাটাকে একশো ভাগ ধরে দেখা, কোন অংশটা ৪২ এর সমান।
সংখ্যার ৪০ শতাংশের সাথে ৪২ যোগ করলে পুরো সংখ্যা, মানে একশো শতাংশ হয়। তাহলে ৪২ হলো বাকি ৬০ শতাংশ।
৬০ শতাংশ যদি ৪২ হয়, তবে ১০ শতাংশ হয় ৭, আর একশো শতাংশ হয় ৭০। যাচাই: ৭০ এর ৪০ শতাংশ ২৮, তার সাথে ৪২ যোগ করলে ঠিক ৭০।
ভুল হয় যখন কেউ ৪২ কে ৪০ শতাংশের সাথে মিলিয়ে ফেলেন। মনে রাখুন, ৪২ যোগ করে পূরণ করা হয়েছে বাকি অংশ, তাই ৪২ হলো ৬০ শতাংশ।
মনে রাখুন: x − ০.৪x = ৪২ → ০.৬x = ৪২ → x = ৭০। অপশন বসিয়েও দ্রুত মেলানো যায়।
পুরো পাতা ›
১৩০৭. কোন সংখ্যার 60% থেকে 60 বিয়োগ করলে ফলাফল হবে 60। তবে সংখ্যাটি কত? (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
1. ক250
2. খ100
3. গ200
4. ঘ300
সঠিক উত্তর: গ. 200
এখানেও শতকরার উল্টো হিসাব। সংখ্যার ৬০ শতাংশ থেকে ৬০ বিয়োগ করলে ৬০ থাকে, মানে বিয়োগের আগে ৬০ শতাংশের মান ছিল ৬০ যোগ ৬০, অর্থাৎ ১২০।
এখন ৬০ শতাংশ সমান ১২০ হলে ১০ শতাংশ হয় ২০, আর পুরো একশো শতাংশ হয় ২০০।
যাচাই: ২০০ এর ৬০ শতাংশ ১২০, তা থেকে ৬০ বাদ দিলে থাকে ৬০। প্রশ্নের শর্ত মিলে গেছে।
ফাঁদ হলো ১০০ বেছে নেওয়া, কারণ ৬০ শতাংশ আর ৬০ সংখ্যাটা একরকম দেখায়। কিন্তু ১০০ এর ৬০ শতাংশ থেকে ৬০ বাদ দিলে থাকে শূন্য, ৬০ নয়।
মনে রাখুন: (৬০ + ৬০) ÷ ০.৬ = ২০০।
পুরো পাতা ›
১৩০৮. একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 4cm এবং 6cm হয় তবে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত? (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
1. ক6
2. খ8
3. গ12
4. ঘ24
সঠিক উত্তর: গ. 12
রম্বসের চারটি বাহু সমান, আর এর কর্ণ দুটি একে অপরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাই রম্বসের ক্ষেত্রফল হলো কর্ণ দুটির গুণফলের অর্ধেক।
কেন অর্ধেক? কর্ণ দুটিকে দৈর্ঘ্য আর প্রস্থ ধরে একটা আয়তক্ষেত্র আঁকলে রম্বসটা ঠিক তার অর্ধেক জায়গা নেয়; বাকি অর্ধেক কোণের চারটি ত্রিভুজ।
এখানে কর্ণ ৪ ও ৬ সেন্টিমিটার। ৪ গুণ ৬ হলো ২৪, তার অর্ধেক ১২ বর্গসেন্টিমিটার।
সাধারণ ভুল হলো অর্ধেক না করে ২৪ লিখে দেওয়া; ২৪ হলো চারপাশের আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, রম্বসের নয়।
মনে রাখুন: কর্ণ দুটির গুণফলের অর্ধেক: ৪ × ৬ ÷ ২ = ১২।
পুরো পাতা ›
১৩০৯. 3x − 7y + 10 = 0 এবং y − 2x − 3 = 0 এর সমাধান- (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
1. কx = 1, y = -1
2. খx =1, y = 1
3. গx =-1, y= -1
4. ঘx = -1, y = 1
সঠিক উত্তর: ঘ. x = -1, y = 1
দুই চলকের সরল সহসমীকরণ সমাধানের সহজ পথ প্রতিস্থাপন: একটা সমীকরণ থেকে একটা চলককে অন্যটির মাধ্যমে লিখে অন্য সমীকরণে বসানো।
দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে y সমান দুই x যোগ তিন। এটা প্রথম সমীকরণে বসালে দাঁড়ায় তিন x বিয়োগ চোদ্দো x বিয়োগ একুশ যোগ দশ সমান শূন্য, অর্থাৎ মাইনাস এগারো x সমান এগারো। তাই x সমান মাইনাস এক।
এবার y সমান দুই গুণ মাইনাস এক যোগ তিন, মানে এক। সুতরাং x মাইনাস এক, y এক।
পরীক্ষায় দ্রুততম উপায় অপশন বসানো: যে জোড়া দুটি সমীকরণকেই শূন্য করে, সেটাই উত্তর। শুধু একটায় মিললে চলবে না।
মনে রাখুন: অপশন বসান: x = −১, y = ১ দিলে ৩(−১) − ৭ + ১০ = ০ এবং ১ + ২ − ৩ = ০।
পুরো পাতা ›
১৩১০. যদি a + b = 2, ab =1 হয় তবে a এবং b এর মান যথাক্রমে- (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
1. ক0, 2
2. খ1, 1
3. গ-1, 3
4. ঘ-3, -4
সঠিক উত্তর: খ. 1, 1
যোগফল আর গুণফল দেওয়া থাকলে সংখ্যা দুটির পার্থক্য বের করা যায় একটা সূত্রে: পার্থক্যের বর্গ সমান যোগফলের বর্গ বিয়োগ চার গুণ গুণফল।
এখানে যোগফল ২, গুণফল ১। তাই a বিয়োগ b এর বর্গ সমান চার বিয়োগ চার, মানে শূন্য। পার্থক্য শূন্য, অর্থাৎ দুটি সংখ্যা সমান।
সমান দুটি সংখ্যার যোগফল ২ হলে প্রত্যেকটি ১। যাচাই: এক যোগ এক দুই, এক গুণ এক এক।
ফাঁদ হলো শুধু যোগফল মিলিয়ে উত্তর বেছে নেওয়া। শূন্য আর দুই, বা মাইনাস এক আর তিন, এদের যোগফলও দুই, কিন্তু গুণফল মেলে না।
মনে রাখুন: অপশনে দুটো শর্তই যাচাই করুন: যোগফল ২ আর গুণফল ১ একসাথে শুধু (১, ১)-এ মেলে।
পুরো পাতা ›
১৩১১. দুটি সংখ্যার যোগফল 48 এবং তাদের গুণফল 432। তবে বড় সংখ্যাটি কত? (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
1. ক36
2. খ37
3. গ38
4. ঘ40
সঠিক উত্তর: ক. 36
দুটি সংখ্যার যোগফল আর গুণফল জানা থাকলে সংখ্যা দুটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল। আবার আগের সূত্রটাও চলে: পার্থক্যের বর্গ সমান যোগফলের বর্গ বিয়োগ চার গুণ গুণফল।
যোগফল ৪৮ এর বর্গ ২৩০৪, আর চার গুণ ৪৩২ হলো ১৭২৮। বিয়োগ করলে ৫৭৬, যার বর্গমূল ২৪। তাই সংখ্যা দুটির পার্থক্য ২৪।
যোগফল ৪৮ আর পার্থক্য ২৪ হলে বড় সংখ্যা হলো ৪৮ যোগ ২৪ এর অর্ধেক, মানে ৩৬; ছোটটি ১২। যাচাই: ৩৬ গুণ ১২ সমান ৪৩২।
পরীক্ষায় সহজ পথ হলো প্রতিটি অপশনকে ৪৮ থেকে বিয়োগ করে গুণফল মেলানো; শুধু ৩৬ আর ১২ এর গুণফলই ৪৩২।
মনে রাখুন: অপশন থেকে: ৩৬ + ১২ = ৪৮ এবং ৩৬ × ১২ = ৪৩২।
পুরো পাতা ›
১৩১২. 0, 1, 2 এবং 3 দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল- (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
1. ক3147
2. খ2287
3. গ2987
4. ঘ2187
সঠিক উত্তর: ঘ. 2187
অঙ্ক দিয়ে বৃহত্তম সংখ্যা বানাতে বড় অঙ্কগুলো বাঁ দিকে বসাতে হয়, আর ক্ষুদ্রতম বানাতে ছোট অঙ্ক বাঁ দিকে। তবে একটা শর্ত আছে: চার অঙ্কের সংখ্যার শুরুতে শূন্য বসানো যায় না।
০, ১, ২, ৩ দিয়ে বৃহত্তম সংখ্যা ৩২১০। ক্ষুদ্রতম বানাতে শুরুতে শূন্য দিলে সংখ্যাটা তিন অঙ্কের হয়ে যায়, তাই শুরুতে বসবে ১, তারপর ০, ২, ৩। ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১০২৩।
বিয়োগফল ৩২১০ বিয়োগ ১০২৩, মানে ২১৮৭।
প্রধান ফাঁদ হলো শুরুতে শূন্য বসিয়ে শূন্য এক দুই তিন ধরা। ওটা আসলে ১২৩, চার অঙ্কের সংখ্যা নয়।
মনে রাখুন: ক্ষুদ্রতম সংখ্যায় দ্বিতীয় ছোট অঙ্কটি আগে, তারপর ০, তারপর বাকিগুলো ছোট থেকে বড়।
পুরো পাতা ›
১৩১৩. 1²+2²+3²+…..+x² – এর মান কত? (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
1. কx(x+1)/2
2. খx
3. গ²
4. ঘx(x+1)(2x+1)/6
সঠিক উত্তর: ঘ. x(x+1)(2x+1)/6
প্রশ্নটা প্রথম x টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের যোগফলের সূত্র জানতে চেয়েছে। তিনটি সূত্র একসাথে মনে রাখা ভালো: শুধু সংখ্যার যোগফল, বর্গের যোগফল, আর ঘনের যোগফল।
শুধু সংখ্যার যোগফল x গুণ x যোগ এক, ভাগ দুই। বর্গের যোগফল x গুণ x যোগ এক গুণ দুই x যোগ এক, ভাগ ছয়। ঘনের যোগফল হলো সংখ্যার যোগফলের বর্গ।
যাচাই করা সহজ: x সমান দুই ধরলে এক যোগ চার সমান পাঁচ। সূত্রে দুই গুণ তিন গুণ পাঁচ ভাগ ছয়, তাও পাঁচ। তাই শেষ অপশনটি সঠিক।
ফাঁদ হলো প্রথম অপশন, যেটা শুধু এক যোগ দুই যোগ তিন এভাবে সংখ্যার যোগফল, বর্গের নয়।
মনে রাখুন: সন্দেহ হলে x = ২ বসান: আসল যোগফল ৫ যে সূত্রে মেলে, সেটাই উত্তর।
পুরো পাতা ›
১৩১৪. যদি 64^(2/3) + 625^(1/2) = 3k হয় তবে k এর মান- (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
1. ক12(⅖)
2. খ13(⅔)
3. গ11(⅓)
4. ঘ9(⅔)
সঠিক উত্তর: খ. 13(⅔)
প্রশ্নটা ভগ্নাংশ সূচকের মান বের করা পরীক্ষা করছে। ভগ্নাংশ সূচকের হর বলে কোন মূল নিতে হবে, আর লব বলে কত ঘাত তুলতে হবে।
চৌষট্টির দুই তৃতীয়াংশ ঘাত মানে আগে ঘনমূল, তারপর বর্গ। চৌষট্টির ঘনমূল ৪, তার বর্গ ১৬। আর ছয়শো পঁচিশের অর্ধেক ঘাত মানে বর্গমূল, যা ২৫।
যোগফল ১৬ যোগ ২৫, মানে ৪১। তাই তিন k সমান ৪১, আর k সমান ৪১ ভাগ ৩, অর্থাৎ ১৩ পূর্ণ দুই তৃতীয়াংশ।
ফাঁদ হলো ঘনমূল নিয়ে বর্গ করতে ভুলে যাওয়া। তখন ৪ যোগ ২৫ সমান ২৯ পাওয়া যায়, আর k আসে ৯ পূর্ণ দুই তৃতীয়াংশ।
মনে রাখুন: a^(m/n) মানে n-তম মূল নিয়ে m ঘাত: আগে মূল নিলে সংখ্যা ছোট থাকে, হিসাব সহজ।
পুরো পাতা ›
১৩১৫. কোনটি সবচেয়ে ছোট? (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
1. ক2/11
2. খ3/11
3. গ2/13
4. ঘ4/15
সঠিক উত্তর: গ. 2/13
ভগ্নাংশ তুলনার দুটি সহজ নিয়ম আছে। লব সমান হলে যার হর বড়, সেই ভগ্নাংশ ছোট। হর সমান হলে যার লব ছোট, সেই ভগ্নাংশ ছোট।
এগারো ভাগের দুই আর তেরো ভাগের দুই, দুটোরই লব দুই; তেরো বড় হর, তাই তেরো ভাগের দুই ছোট। আবার এগারো ভাগের তিন আর এগারো ভাগের দুই, হর সমান; এগারো ভাগের দুই ছোট। তাই এই তিনটির মধ্যে তেরো ভাগের দুই সবচেয়ে ছোট।
বাকি থাকে পনেরো ভাগের চার, যা প্রায় শূন্য দশমিক দুই সাত; আর তেরো ভাগের দুই প্রায় শূন্য দশমিক এক পাঁচ। তাই সব মিলিয়ে তেরো ভাগের দুই সবচেয়ে ছোট।
আড়াআড়ি গুণ করেও দুটি ভগ্নাংশ তুলনা করা যায়: যে দিকের গুণফল ছোট, সেই ভগ্নাংশ ছোট।
মনে রাখুন: লব সমান হলে বড় হরের ভগ্নাংশ ছোট; এক নজরে ২/১৩ < ২/১১।
পুরো পাতা ›
১৩১৬. যদি Q/P = 1/4 হয় তবে (P+Q)/(P-Q) এর মান- (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
1. ক5/3
2. খ2/3
3. গ3/5
4. ঘ5/7
সঠিক উত্তর: ক. 5/3
অনুপাত দেওয়া থাকলে একটা রাশিকে অন্যটার মাধ্যমে লিখে ফেললেই হিসাব সহজ হয়। Q ভাগ P সমান এক চতুর্থাংশ মানে P হলো Q এর চার গুণ।
এখন P যোগ Q হয় পাঁচ Q, আর P বিয়োগ Q হয় তিন Q। ভাগ করলে Q কেটে যায়, থাকে পাঁচ ভাগ তিন।
সহজ উপায়: P সমান ৪, Q সমান ১ ধরে নিন। তখন পাঁচ ভাগ তিন সরাসরি আসে।
ফাঁদ হলো ভগ্নাংশ উল্টে তিন ভাগ পাঁচ লেখা, মানে বিয়োগফলকে লবে বসানো।
মনে রাখুন: যোজন-বিয়োজন: P/Q = ৪/১ হলে (P + Q)/(P − Q) = (৪ + ১)/(৪ − ১) = ৫/৩।
পুরো পাতা ›
১৩১৭. log₂(1/32) এর মান- (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
1. ক125
2. খ– 5
3. গ15
4. ঘ– 15
সঠিক উত্তর: খ. – 5
লগারিদমের মানে হলো ঘাত। দুই ভিত্তিক লগ অমুক সংখ্যা মানে জিজ্ঞেস করা: দুই এর কত ঘাত সেই সংখ্যার সমান?
বত্রিশ হলো দুই এর পাঁচ ঘাত। আর এক ভাগ বত্রিশ হলো দুই এর মাইনাস পাঁচ ঘাত, কারণ ঋণাত্মক ঘাত মানে উল্টো ভগ্নাংশ।
তাই দুই ভিত্তিক লগ এক ভাগ বত্রিশ সমান মাইনাস পাঁচ।
একটা দ্রুত যাচাই: সংখ্যাটা এক এর চেয়ে ছোট হলে লগ ঋণাত্মক হয়। তাই ধনাত্মক অপশনগুলো আগেই বাদ।
মনে রাখুন: ১ এর চেয়ে ছোট সংখ্যার লগ (ভিত্তি ১ এর বেশি হলে) সবসময় ঋণাত্মক।
পুরো পাতা ›
১৩১৮. (4x² − 16) এবং 6x² + 24x + 24 এর গসাগু- (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
1. কx + 2
2. খx + 4
3. গx + 2
4. ঘ2(x + 2)
সঠিক উত্তর: ঘ. 2(x + 2)
বীজগাণিতিক রাশির গসাগু বের করতে প্রথমে প্রতিটি রাশিকে উৎপাদকে ভাঙতে হয়, তারপর সাধারণ উৎপাদকগুলো নিতে হয়। সংখ্যাসহগগুলোর গসাগুও এর সাথে গুণ হয়।
চার x বর্গ বিয়োগ ষোলো হলো চার গুণ x যোগ দুই গুণ x বিয়োগ দুই। ছয় x বর্গ যোগ চব্বিশ x যোগ চব্বিশ হলো ছয় গুণ x যোগ দুই এর বর্গ।
দুটিতেই আছে x যোগ দুই। আর সংখ্যা চার ও ছয় এর গসাগু দুই। তাই গসাগু হলো দুই গুণ x যোগ দুই।
ফাঁদ হলো শুধু x যোগ দুই লেখা। সেটা সাধারণ উৎপাদক ঠিকই, কিন্তু সংখ্যার সাধারণ উৎপাদক দুই বাদ পড়ায় গরিষ্ঠ হয় না।
মনে রাখুন: সহগগুলোর গসাগু আলাদা করে নিন, তারপর সাধারণ বীজগাণিতিক উৎপাদক যোগ করুন।
পুরো পাতা ›
১৩১৯. x³ − x² কে x − 2 দ্বারা ভাগ করলে অবশেষে থাকবে- (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
1. ক2
2. খ4
3. গ-6
4. ঘ-8
সঠিক উত্তর: খ. 4
ভাগশেষ উপপাদ্য বলে, কোনো বহুপদী রাশিকে x বিয়োগ a দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ হয় রাশিতে x এর জায়গায় a বসালে যা পাওয়া যায়। পুরো ভাগ করার দরকার নেই।
এখানে ভাজক x বিয়োগ দুই, তাই x এর জায়গায় দুই বসাই। দুই এর ঘন আট, দুই এর বর্গ চার; আট বিয়োগ চার সমান চার।
তাই ভাগশেষ চার। লম্বা ভাগ করলেও ভাগফল আসে x বর্গ যোগ x যোগ দুই, আর ভাগশেষ চার।
ফাঁদ হলো দুই কে উত্তর ভাবা; দুই হলো বসানোর মান, ভাগশেষ নয়। আবার x বিয়োগ দুই দেখে মাইনাস দুই বসালেও ভুল হয়।
মনে রাখুন: x − a দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ = f(a)।
পুরো পাতা ›
১৩২০. যদি a² + 1/a² = 51 হয় তবে a − 1/a এর মান কত? (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
1. ক±9
2. খ±7
3. গ±5
4. ঘ±3
সঠিক উত্তর: খ. ±7
এটা বীজগণিতের একটা চেনা অভেদ: a বিয়োগ এক ভাগ a এর বর্গ সমান a বর্গ যোগ এক ভাগ a বর্গ বিয়োগ দুই। কারণ মাঝের পদ দুই গুণ a গুণ এক ভাগ a, যা শুধু দুই।
এখানে a বর্গ যোগ এক ভাগ a বর্গ সমান ৫১। তাই a বিয়োগ এক ভাগ a এর বর্গ সমান ৫১ বিয়োগ ২, মানে ৪৯।
৪৯ এর বর্গমূল ৭, আর বর্গ থেকে ফিরে আসায় চিহ্ন ধনাত্মক বা ঋণাত্মক দুটোই হতে পারে। তাই উত্তর প্লাস মাইনাস সাত।
সতর্কতা: যোগ চিহ্নের অভেদে দুই যোগ হয়, বিয়োগ চিহ্নে দুই বিয়োগ হয়। এখানে দুই যোগ করলে ৫৩ আসত, যা পূর্ণবর্গ নয়।
মনে রাখুন: a − ১/a চাইলে ২ বিয়োগ, a + ১/a চাইলে ২ যোগ করে বর্গমূল নিন।
পুরো পাতা ›

পরের পাতা: প্রশ্ন ১৩২১–১৩৪০ ›