গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৯
১৬১. The average of five consecutive integers is X. If the next two numbers are added, how shall the average vary? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২৪)
- কIt shall increase by 1
- খIt shall increase by 1.4
- গIt shall increase by 2
- ঘIt shall remain the same
সঠিক উত্তর: ক. It shall increase by 1
পরপর পূর্ণসংখ্যার গড় সবসময় মাঝের সংখ্যাটি। পাঁচটি পরপর সংখ্যার গড় X মানে মাঝের, অর্থাৎ তৃতীয় সংখ্যাটি X; সংখ্যাগুলো X বিয়োগ ২ থেকে X যোগ ২।
পরের দুটি সংখ্যা X যোগ ৩ আর X যোগ ৪ যোগ করলে মোট সাতটি পরপর সংখ্যা হয়, X বিয়োগ ২ থেকে X যোগ ৪ পর্যন্ত।
সাতটির মাঝের সংখ্যা হলো চতুর্থটি, যা X যোগ ১। তাই নতুন গড় X যোগ ১, মানে গড় ১ বাড়বে।
অনেকে ভাবেন দুটি সংখ্যা যোগ হলো, তাই গড় ২ বাড়বে। কিন্তু নতুন সংখ্যাগুলো সাতজনের মধ্যে ভাগ হয়, তাই মাঝের সংখ্যা মাত্র এক ঘর সরে।
মনে রাখুন: পরপর সংখ্যার সাথে আরও k টি পরের সংখ্যা যোগ করলে গড় বাড়ে k ভাগ ২; এখানে ২ ভাগ ২ = ১।
১৬২. A school has only the classes having 20, 30 and 40 students respectively. The percentages of students passed are 30%, 50% and 60% respectively. The percentage of passed students in the entire school is- (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২৪)
- ক35
- খ40
- গ45
- ঘ50
সঠিক উত্তর: ঘ. 50
ভিন্ন আকারের শ্রেণির পাসের হার থেকে পুরো স্কুলের হার বের করতে শতাংশগুলোর সরল গড় নেওয়া যায় না; আগে প্রতিটি শ্রেণিতে কতজন পাস করেছে তা গুনতে হয়।
২০ জনের ৩০ শতাংশ মানে ৬ জন, ৩০ জনের ৫০ শতাংশ মানে ১৫ জন, আর ৪০ জনের ৬০ শতাংশ মানে ২৪ জন। মোট পাস ৪৫ জন।
মোট ছাত্র ২০ যোগ ৩০ যোগ ৪০, মানে ৯০ জন। তাই পাসের হার ৪৫ ভাগ ৯০ গুণ ১০০, মানে ৫০ শতাংশ।
ফাঁদ হলো তিনটি শতাংশের সরল গড়: ৩০, ৫০, ৬০ যোগ করে ৩ দিয়ে ভাগ করলে প্রায় ৪৬ দশমিক ৬৭ আসে, যা ৪৫-এর কাছাকাছি। কিন্তু বড় শ্রেণির ওজন বেশি, তাই ভারযুক্ত গড়ই সঠিক।
মনে রাখুন: পাস ঠিক মোটের অর্ধেক (৪৫ ÷ ৯০), তাই সোজা ৫০%।
১৬৩. A plane traveling at 600 miles per hour is heading for Chittagong airport. At 3.58 pm it was 30 miles from the airport. At what time will it arrive at the airport? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২৪)
- ক4.01 pm
- খ4.02 pm
- গ4.18 pm
- ঘ4.20 pm
সঠিক উত্তর: ক. 4.01 pm
প্রশ্নে বেগ ঘণ্টায় ৬০০ মাইল, আর বাকি দূরত্ব ৩০ মাইল। সময় সমান দূরত্ব ভাগ বেগ, তাই সময় লাগবে ৩০ ভাগ ৬০০ ঘণ্টা, মানে ২০ ভাগের ১ ঘণ্টা।
ঘণ্টাকে মিনিটে নিতে ৬০ দিয়ে গুণ করি: ৬০ ভাগ ২০ সমান ৩ মিনিট। আরও সহজে, ঘণ্টায় ৬০০ মাইল মানে মিনিটে ১০ মাইল; তাই ৩০ মাইল যেতে ৩ মিনিট।
বিকেল ৩টা ৫৮ মিনিটের সাথে ৩ মিনিট যোগ করলে হয় ৪টা ১ মিনিট।
৪টা ১৮ বেছে নেওয়া মানে ২০ মিনিট যোগ করা, যা আসে ভুল করে ৬০০ কে ৩০ দিয়ে ভাগ করে ২০ পেলে। ৪টা ২০ মানে ২২ মিনিট, যার কোনো ভিত্তি নেই। সময় সবসময় দূরত্ব ভাগ বেগ, উল্টো নয়।
মনে রাখুন: ঘণ্টার বেগকে ৬০ দিয়ে ভাগ করে মিনিটের বেগ করুন: ৬০০ ÷ ৬০ = ১০ মাইল প্রতি মিনিট।
১৬৪. The daily rate for a hotel room that sleeps 4 people is Tk. 390 for one person and X taka for each additional person. If 3 people take the room for one day and each pays Tk 210 for the room, then what is the value of X? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২৪)
- ক60
- খ120
- গ80
- ঘ240
সঠিক উত্তর: খ. 120
হোটেল রুমের ভাড়া এভাবে: প্রথম একজনের জন্য ৩৯০ টাকা, আর প্রতিটি অতিরিক্ত মানুষের জন্য X টাকা। তিনজন থাকলে একজন মূল, আর দুজন অতিরিক্ত।
তিনজনের প্রত্যেকে ২১০ টাকা দিলে মোট ভাড়া ৩ গুণ ২১০, মানে ৬৩০ টাকা।
তাই ৩৯০ যোগ ২X সমান ৬৩০। ২X সমান ২৪০, অর্থাৎ X সমান ১২০ টাকা।
২৪০ অপশনটি ফাঁদ; এটি দুই অতিরিক্ত মানুষের মোট ভাড়া। প্রশ্ন চেয়েছে প্রতি অতিরিক্ত মানুষের ভাড়া।
মনে রাখুন: (৩ × ২১০ − ৩৯০) ÷ ২ = ২৪০ ÷ ২ = ১২০।
১৬৫. The value of a machine is Tk.6250. Its value decreases by 10% during the first year, 20% during the second year and 30% during the third year. What will be the value of the machine after 3 years? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২৪)
- ক2650
- খ3050
- গ3150
- ঘ3750
সঠিক উত্তর: গ. 3150
প্রতি বছরের অবচয় আগের বছর শেষের মূল্যের উপর হয়, শুরুর মূল্যের উপর নয়। তাই শতাংশগুলো যোগ করা যায় না, পরপর গুণ করতে হয়।
প্রথম বছরে ১০ শতাংশ কমলে থাকে ৯০ শতাংশ: ৬২৫০ থেকে ৫৬২৫ টাকা। দ্বিতীয় বছরে ২০ শতাংশ কমলে থাকে ৮০ শতাংশ: ৫৬২৫ থেকে ৪৫০০ টাকা।
তৃতীয় বছরে ৩০ শতাংশ কমলে থাকে ৭০ শতাংশ: ৪৫০০ থেকে ৩১৫০ টাকা। তাই ৩ বছর পর মেশিনের মূল্য ৩১৫০ টাকা।
ফাঁদ হলো ১০, ২০, ৩০ যোগ করে মোট ৬০ শতাংশ কমানো; তাতে আসে ২৫০০ টাকা, যা ভুল। কারণ প্রতি বছর কমে যাওয়া মূল্যের উপর হিসাব হয়।
মনে রাখুন: ৬২৫০ × ০.৯ × ০.৮ × ০.৭ = ৩১৫০; গুণকগুলো একসাথে ০.৫০৪।
১৬৬. If the radius of a circle is increased by 100%, by what % is the area of the circle increased? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২৪)
- ক100%
- খ200%
- গ300%
- ঘ400%
সঠিক উত্তর: গ. 300%
বৃত্তের ক্ষেত্রফল পাই গুণ ব্যাসার্ধের বর্গ। তাই ব্যাসার্ধ যত গুণ হয়, ক্ষেত্রফল হয় তার বর্গ গুণ।
ব্যাসার্ধ ১০০ শতাংশ বাড়া মানে দ্বিগুণ হওয়া। তাহলে ক্ষেত্রফল হবে ২-এর বর্গ, মানে ৪ গুণ।
আগের ক্ষেত্রফল ১ ভাগ ধরলে নতুন ক্ষেত্রফল ৪ ভাগ, বৃদ্ধি ৩ ভাগ। ৩ ভাগ বৃদ্ধি মানে আগের তুলনায় ৩০০ শতাংশ বৃদ্ধি।
ফাঁদ হলো ৪০০ শতাংশ; নতুন ক্ষেত্রফল আগের ৪০০ শতাংশের সমান, কিন্তু বৃদ্ধি ৩০০ শতাংশ। সমান হওয়া আর বাড়ার পার্থক্যটা খেয়াল করুন।
মনে রাখুন: শতকরা বৃদ্ধি = (১ + x/১০০)² − ১; এখানে (২)² − ১ = ৩ = ৩০০%।
১৬৭. What is the name of a shape with nine sides? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২৪)
- কHeptagon
- খNonagon
- গOctagon
- ঘNone of the Above
সঠিক উত্তর: খ. Nonagon
বহুভুজের নাম আসে বাহুর সংখ্যা থেকে, গ্রিক বা লাতিন সংখ্যাবাচক অংশ জুড়ে। নয়টি বাহু থাকলে তাকে বলে nonagon; লাতিন nonus মানে নবম। গ্রিক থেকে একে enneagon-ও বলা হয়।
পাশের নামগুলো মনে রাখুন: pentagon পাঁচ বাহু, hexagon ছয়, heptagon সাত, octagon আট, nonagon নয়, decagon দশ।
সঙ্গে একটি সূত্রও কাজে লাগে: n বাহুর বহুভুজের অন্তঃকোণের সমষ্টি n বিয়োগ ২ গুণ ১৮০ ডিগ্রি। নয় বাহুতে এটি ৭ গুণ ১৮০, মানে ১২৬০ ডিগ্রি।
Octagon আর nonagon গুলিয়ে ফেলা সাধারণ ভুল। মনে রাখুন octo মানে আট, যেমন octopus-এর আটটি বাহু; nona মানে নয়।
মনে রাখুন: সংখ্যার মূল চিনুন: hexa ৬, hepta ৭, octa ৮, nona ৯, deca ১০।
১৬৮. In how many ways can a group of 5 men and 2 women be made out of a total of 7 men and 3 women? (সমন্বিত ১০ ব্যাংক ও আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৪)
- ক45
- খ90
- গ63
- ঘ126
সঠিক উত্তর: গ. 63
এখানে দল গঠনে কারা আছে সেটাই গুরুত্বপূর্ণ, কে আগে বসে তা নয়, তাই এটা সমাবেশ বা combination-এর প্রশ্ন।
৭ জন পুরুষ থেকে ৫ জন বাছাই করা যায় ৭ সি ৫ উপায়ে। ৭ থেকে ৫ জন নেওয়া মানে ২ জন বাদ দেওয়া, তাই এটা ৭ সি ২-এর সমান, অর্থাৎ ৭ গুণ ৬ ভাগ ২, মানে ২১।
৩ জন নারী থেকে ২ জন বাছাই ৩ সি ২, মানে ৩ উপায়। পুরুষ ও নারী বাছাই দুটো স্বাধীন কাজ, তাই উপায় দুটো গুণ হবে: ২১ গুণ ৩ সমান ৬৩।
সাধারণ ভুল হলো দুই সংখ্যা যোগ করা বা ১০ জন থেকে সরাসরি ৭ জন বাছাই করা, যাতে আসে ১২০; নারী-পুরুষের শর্ত মানলে গুণই করতে হয়।
মনে রাখুন: ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ: ৭ থেকে ৫ নেওয়া আর ২ বাদ দেওয়া একই, তাই হিসাব ছোট হয়।
১৬৯. In a box, there are 8 red, 7 blue and 6 green balls. One ball is picked up randomly. What is the probability that it is neither blue nor green? (সমন্বিত ১০ ব্যাংক ও আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৪)
- ক2/3
- খ3/4
- গ7/19
- ঘ8/21
সঠিক উত্তর: ঘ. 8/21
নীলও নয় সবুজও নয় মানে বাকি থাকে শুধু লাল বল। তাই প্রশ্নটা আসলে জানতে চাইছে একটি লাল বল ওঠার সম্ভাবনা।
মোট বল ৮ যোগ ৭ যোগ ৬ সমান ২১টি। এর মধ্যে লাল ৮টি।
সম্ভাবনা মানে অনুকূল ঘটনা ভাগ মোট ঘটনা: ৮ ভাগ ২১।
অনেকে নীল ও সবুজ মিলিয়ে ১৩ বের করে উল্টো ১৩ ভাগ ২১ লিখে ফেলেন, বা ভুলে মোট ১৯ ধরেন; সাবধানে মোট বল গুনুন।
মনে রাখুন: না-এটা-না-ওটা প্রশ্নে বাকি রঙটাই উত্তর: সরাসরি সেই রঙের সংখ্যা ÷ মোট।
১৭০. The area of a square is three-fifths the area of a rectangle. The length of the rectangle is 25 cm and its breadth is 10 cm less than its length. What is the perimeter of the square? (সমন্বিত ১০ ব্যাংক ও আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৪)
- ক60cm
- খ44cm
- গ80cm
- ঘcannot be determined
সঠিক উত্তর: ক. 60cm
প্রথমে আয়তের মাপ পুরোপুরি বের করি। দৈর্ঘ্য ২৫ সেন্টিমিটার, প্রস্থ তার চেয়ে ১০ কম, মানে ১৫ সেন্টিমিটার।
আয়তের ক্ষেত্রফল দৈর্ঘ্য গুণ প্রস্থ, ২৫ গুণ ১৫ সমান ৩৭৫ বর্গসেন্টিমিটার। বর্গের ক্ষেত্রফল এর ৫ ভাগের ৩ ভাগ, মানে ২২৫ বর্গসেন্টিমিটার।
বর্গের ক্ষেত্রফল বাহুর বর্গ, তাই বাহু ২২৫-এর বর্গমূল, মানে ১৫ সেন্টিমিটার। পরিসীমা ৪ গুণ ১৫ সমান ৬০ সেন্টিমিটার।
অনেকে প্রস্থ ১০ ধরে ফেলেন, অথচ বলা আছে দৈর্ঘ্যের চেয়ে ১০ কম। সব তথ্যই দেওয়া আছে, তাই cannot be determined বিকল্পটা ফাঁদ।
মনে রাখুন: বর্গের ক্ষেত্রফল জানলে পরিসীমা = ৪√ক্ষেত্রফল।
১৭১. In every 30 minutes the time of a watch increases by 3 minutes. After showing the correct time at 5 a.m. What time will the watch show after 6 hours? (সমন্বিত ১০ ব্যাংক ও আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৪)
- ক10:54 am
- খ11:30 am
- গ11:36am
- ঘ11:42am
সঠিক উত্তর: গ. 11:36am
ঘড়িটা দ্রুত চলে: প্রতি ৩০ মিনিটে ৩ মিনিট এগিয়ে যায়। ৬ ঘণ্টায় কতটা এগোবে সেটা বের করে সঠিক সময়ের সাথে যোগ করলেই উত্তর।
৬ ঘণ্টা মানে ৩৬০ মিনিট, তাতে ৩০ মিনিটের অংশ আছে ১২টি। প্রতিটিতে ৩ মিনিট করে মোট ৩৬ মিনিট এগোবে।
সকাল ৫টা থেকে ৬ ঘণ্টা পরে প্রকৃত সময় সকাল ১১টা। ঘড়ি ৩৬ মিনিট এগিয়ে থাকায় দেখাবে ১১টা ৩৬ মিনিট।
ফাঁদ হলো ঘণ্টায় ৩ মিনিট ধরা, তখন ১৮ মিনিট যোগ হয়; আবার কেউ বাড়তি সময় বিয়োগ করে ১০:৫৪ বলেন। ঘড়ি বাড়ছে, তাই যোগ।
মনে রাখুন: মোট ভুল = (মোট সময় ÷ প্রতি ধাপের সময়) × প্রতি ধাপের ভুল; দ্রুত ঘড়িতে যোগ, ধীর ঘড়িতে বিয়োগ।
১৭২. If x > 2 and x < 3 then which of the following is positive? (1) (x - 2)(x - 3) (II) (2 - x)(x - 3) (III) (2 - x)(3 - x) (সমন্বিত ১০ ব্যাংক ও আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৪)
- কI only
- খIII only
- গI and II only
- ঘII only
সঠিক উত্তর: ঘ. II only
এ ধরনের প্রশ্নে মান বসিয়ে হিসাব নয়, শুধু প্রতিটা উৎপাদকের চিহ্ন দেখাই যথেষ্ট। x যেহেতু ২ ও ৩-এর মাঝে, তাই x বিয়োগ ২ ধনাত্মক আর x বিয়োগ ৩ ঋণাত্মক।
উল্টো করে লিখলে চিহ্নও উল্টো হয়: ২ বিয়োগ x ঋণাত্মক, ৩ বিয়োগ x ধনাত্মক।
প্রথমটিতে ধনাত্মক গুণ ঋণাত্মক, ফল ঋণাত্মক। দ্বিতীয়টিতে ঋণাত্মক গুণ ঋণাত্মক, ফল ধনাত্মক। তৃতীয়টিতে ঋণাত্মক গুণ ধনাত্মক, ফল ঋণাত্মক। তাই শুধু দ্বিতীয়টি ধনাত্মক।
চাইলে x সমান ২ দশমিক ৫ বসিয়ে যাচাই করা যায়: দ্বিতীয়টি হয় শূন্য দশমিক ২৫, বাকি দুটো ঋণাত্মক শূন্য দশমিক ২৫।
মনে রাখুন: মাঝের একটা সংখ্যা (x = ২.৫) বসিয়ে তিনটিই ১০ সেকেন্ডে যাচাই করা যায়।
১৭৩. A boy read 3/8 -th of a book on one day and 4/5 th of the remainder on another day. If there were 30 pages unread, how many pages did the book contain? (সমন্বিত ১০ ব্যাংক ও আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৪)
- ক240
- খ300
- গ600
- ঘ800
সঠিক উত্তর: ক. 240
প্রশ্নের চাবি হলো দ্বিতীয় দিনের ৪ ভাগের ৫ অংশ পুরো বইয়ের নয়, বাকি অংশের। তাই ধাপে ধাপে বাকিটা বের করতে হয়।
প্রথম দিনে ৮ ভাগের ৩ ভাগ পড়ায় বাকি থাকে ৮ ভাগের ৫ ভাগ। দ্বিতীয় দিনে এর ৫ ভাগের ৪ ভাগ পড়লে বাকি থাকে এর ৫ ভাগের ১ ভাগ।
৮ ভাগের ৫ ভাগের ৫ ভাগের ১ ভাগ হলো ৮ ভাগের ১ ভাগ। এই ৮ ভাগের ১ ভাগ সমান ৩০ পৃষ্ঠা, তাই পুরো বই ৩০ গুণ ৮ সমান ২৪০ পৃষ্ঠা।
ভুল হয় যদি ৪ ভাগের ৫ অংশকে পুরো বইয়ের ধরা হয়; তখন ৩ ভাগ ৮ আর ৪ ভাগ ৫ যোগ করে ১-এর বেশি হয়ে যায়, যা অসম্ভব।
মনে রাখুন: অপঠিত অংশ = (১ − ৩/৮)(১ − ৪/৫) = ৫/৮ × ১/৫ = ১/৮; মোট = ৩০ ÷ ১/৮ = ২৪০।
১৭৪. The number 3 divides 'a' with a result of 'b' and a remainder of 2. The number 3 divides 'b' with a result of 2 and 'a' remainder of 1. What is the value of 'a'? (সমন্বিত ১০ ব্যাংক ও আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৪)
- ক13
- খ17
- গ23
- ঘ21
সঠিক উত্তর: গ. 23
ভাগের মূল সম্পর্ক: ভাজ্য সমান ভাজক গুণ ভাগফল যোগ ভাগশেষ। প্রশ্নে দুটো ভাগ আছে, দ্বিতীয়টা থেকে b, তারপর প্রথমটা থেকে a বের করতে হবে।
b-কে ৩ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল ২ আর ভাগশেষ ১, তাই b সমান ৩ গুণ ২ যোগ ১, মানে ৭।
a-কে ৩ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল b আর ভাগশেষ ২, তাই a সমান ৩ গুণ ৭ যোগ ২, মানে ২৩। যাচাই: ২৩ ভাগ ৩ সমান ৭, ভাগশেষ ২।
ভুল হয় যদি ভাগশেষ দুটো উল্টে ফেলা হয়, তখন b হয় ৮ আর a আসে ২৫ বা কাছাকাছি সংখ্যা; কোন ভাগশেষ কোন ভাগের তা মিলিয়ে নিন।
মনে রাখুন: অপশন যাচাই: ২৩ ÷ ৩ = ৭ ভাগশেষ ২, আর ৭ ÷ ৩ = ২ ভাগশেষ ১; দুটোই মেলে।
১৭৫. The lengths of two sides of a triangle are 7 and 11. If the length of the third side is an integer, what is the least possible perimeter of the triangle? (সমন্বিত ১০ ব্যাংক ও আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৪)
- ক23
- খ18
- গ20
- ঘ22
সঠিক উত্তর: ক. 23
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড়, আর বিয়োগফল তৃতীয় বাহুর চেয়ে ছোট হতে হয়। এটাই ত্রিভুজ অসমতা।
তাই তৃতীয় বাহু ১১ বিয়োগ ৭, মানে ৪-এর চেয়ে বড় এবং ১৮-এর চেয়ে ছোট। ৪ নিজে চলবে না, কারণ তখন ৭ যোগ ৪ সমান ১১, ত্রিভুজ চ্যাপ্টা হয়ে একটা সরলরেখা হয়ে যায়।
সবচেয়ে ছোট পূর্ণসংখ্যা তাই ৫। পরিসীমা ৭ যোগ ১১ যোগ ৫ সমান ২৩।
ফাঁদ হলো তৃতীয় বাহু ৪ ধরে ২২ বলা; সমান হলে ত্রিভুজ হয় না, কঠোরভাবে বড় হতে হবে।
মনে রাখুন: ক্ষুদ্রতম পরিসীমা = ২ × বড় বাহু + ১ (পূর্ণসংখ্যা হলে): ২ × ১১ + ১ = ২৩।
১৭৬. The average length of the sides of ∆ABC is 12. What is the perimeter of ∆ABC? [চিত্র: ∆ABC, ∠B = 60°, ∠C = 90°] (সমন্বিত ১০ ব্যাংক ও আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৪)
- ক24
- খ36
- গ12
- ঘ18
সঠিক উত্তর: খ. 36
পরিসীমা মানে তিন বাহুর যোগফল। আর বাহুগুলোর গড় মানে সেই যোগফলকে ৩ দিয়ে ভাগ।
তাই গড় জানলে যোগফল সরাসরি পাওয়া যায়: গড় গুণ ৩। এখানে ১২ গুণ ৩ সমান ৩৬।
চিত্রে ৬০ ডিগ্রি আর সমকোণ দেওয়া আছে, কিন্তু উত্তরের জন্য এসব লাগে না। এটা পরীক্ষার্থীকে অপ্রয়োজনীয় ত্রিকোণমিতিতে টেনে নেওয়ার ফাঁদ।
অনেকে গড়কেই পরিসীমা ভেবে ১২ লিখে দেন, অথবা ২ দিয়ে গুণ করে ২৪; ত্রিভুজের বাহু ৩টি, তাই ৩ দিয়ে গুণ।
মনে রাখুন: গড় × সংখ্যা = যোগফল; চিত্রের কোণগুলো এখানে অপ্রাসঙ্গিক।
১৭৭. If x/y + y/x = 6, the value of x³/y³ + y³/x³ is- (সমন্বিত ১০ ব্যাংক ও আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৪)
- ক198
- খ176
- গ156
- ঘ144
সঠিক উত্তর: ক. 198
প্রশ্নটা a ঘন যোগ b ঘন সূত্রের প্রয়োগ। এখানে a হলো x ভাগ y আর b হলো y ভাগ x, আর এদের গুণফল সবসময় ১।
সূত্র: a ঘন যোগ b ঘন সমান a যোগ b-এর ঘন বিয়োগ ৩ গুণ ab গুণ a যোগ b। ab সমান ১ হওয়ায় এটা দাঁড়ায় a যোগ b-এর ঘন বিয়োগ ৩ গুণ a যোগ b।
a যোগ b সমান ৬ বসালে পাই ৬-এর ঘন ২১৬, বিয়োগ ৩ গুণ ৬ মানে ১৮। উত্তর ১৯৮।
ভুল হয় ৩ab গুণ a যোগ b অংশটা বাদ দিলে, তখন শুধু ৬-এর ঘন ২১৬ আসে। আবার ঘনের বদলে বর্গের সূত্র ধরলেও উত্তর মেলে না।
মনে রাখুন: x + ১/x = t হলে x³ + ১/x³ = t³ − ৩t; সরাসরি ৬³ − ১৮।
১৭৮. What percentage of numbers from 1 to 70 have squares that end in the digit 1? (সমন্বিত ১০ ব্যাংক ও আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৪)
- ক14
- খ12
- গ20
- ঘ21
সঠিক উত্তর: গ. 20
কোনো সংখ্যার বর্গের শেষ অঙ্ক নির্ভর করে শুধু সংখ্যাটির শেষ অঙ্কের উপর। ১-এর বর্গ ১, আর ৯-এর বর্গ ৮১; এই দুটোরই শেষ অঙ্ক ১। অন্য কোনো অঙ্কের বর্গ ১ দিয়ে শেষ হয় না।
তাই প্রতি ১০টি সংখ্যায় ঠিক ২টি করে এমন সংখ্যা থাকে, যেমন ১ ও ৯, ১১ ও ১৯। ১ থেকে ৭০-এ ৭টি দশক, তাই মোট ১৪টি।
শতকরা হার ১৪ ভাগ ৭০ গুণ ১০০, মানে ২০ শতাংশ। আসলে প্রতি ১০-এ ২টি মানে সোজাসুজি ২০ শতাংশ।
ফাঁদ হলো ১৪ সংখ্যাটাকেই উত্তর ভেবে নেওয়া; প্রশ্ন চেয়েছে শতকরা হার, সংখ্যা নয়।
মনে রাখুন: শেষ অঙ্ক-নির্ভর প্রশ্নে একটা দশক পরীক্ষা করলেই পুরো হার পাওয়া যায়: ১০-এ ২ = ২০%।
১৭৯. Average of ten positive numbers is x. If each number increases by 10%, then x- (সমন্বিত ১০ ব্যাংক ও আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৪)
- কremains unchanged
- খmay increase or decrease
- গwill increase
- ঘis increased by 10%
সঠিক উত্তর: ঘ. is increased by 10%
গড় হলো মোট ভাগ সংখ্যা। ১০টি সংখ্যার গড় x হলে তাদের মোট ১০x।
প্রতিটি সংখ্যা ১০ শতাংশ বাড়লে মোটও ঠিক ১০ শতাংশ বাড়ে, কারণ প্রতিটিকে ১ দশমিক ১ দিয়ে গুণ করা মানে পুরো যোগফলকে ১ দশমিক ১ দিয়ে গুণ করা। নতুন মোট ১১x।
সংখ্যা একই, ১০টি। তাই নতুন গড় ১১x ভাগ ১০, মানে ১ দশমিক ১x; অর্থাৎ গড়ও ঠিক ১০ শতাংশ বাড়ে।
Will increase কথাটা সত্য হলেও অসম্পূর্ণ; প্রশ্ন সবচেয়ে নির্দিষ্ট উত্তর চায়, আর সেটা হলো ১০ শতাংশ বৃদ্ধি।
মনে রাখুন: সব সংখ্যা একই হারে বাড়লে বা কমলে গড়ও সেই হারেই বাড়ে বা কমে।
১৮০. There are 23 poles with a constant distance between each pole. A car takes 24 seconds to reach the 12th pole. How much more time will it take to reach the last pole? (সমন্বিত ১০ ব্যাংক ও আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৪)
- ক40 seconds
- খ44 seconds
- গ48 seconds
- ঘ46 seconds
সঠিক উত্তর: গ. 48 seconds
খুঁটির প্রশ্নে খুঁটি নয়, খুঁটির মাঝের ফাঁক গুনতে হয়। গাড়ি প্রথম খুঁটি থেকে শুরু করলে ১২তম খুঁটিতে পৌঁছাতে পেরোয় ১১টি ফাঁক, সময় লাগে ২৪ সেকেন্ড।
২৩টি খুঁটির মাঝে মোট ফাঁক ২২টি, যা ১১-এর ঠিক দ্বিগুণ। তাই প্রথম থেকে শেষ খুঁটিতে পৌঁছাতে মোট সময় ২৪-এর দ্বিগুণ, মানে ৪৮ সেকেন্ড।
খেয়াল করুন, প্রশ্নে লেখা how much more time, মানে ১২তম খুঁটি থেকে আরও কত সময়; সেটা হিসাব করলে বাকি ১১টি ফাঁকে আরও ২৪ সেকেন্ড, যা বিকল্পে নেই। পরীক্ষার উদ্দেশ্য স্পষ্টতই মোট সময় ৪৮ সেকেন্ড।
সাধারণ ভুল হলো খুঁটির সংখ্যা দিয়ে অনুপাত করা: ২৪ ভাগ ১২ গুণ ২৩ সমান ৪৬ সেকেন্ড; এটাই ৪৬ বিকল্পের ফাঁদ।
মনে রাখুন: n-তম খুঁটি পর্যন্ত ফাঁক = n − ১; সময় ফাঁকের সমানুপাতিক।