গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৮

⚡ এই বিষয়ে কুইক টেস্ট

পাতা ৮/৫৩ · প্রশ্ন ১৪১–১৬০সব উত্তর দেখান

১৪১. x2 – 7x + 12 ≤ 0 এর সমাধান সেট – (৪৬তম বিসিএস, ২০২৪)
1. ক(- ∞, 3]
2. খ(3, 4)
3. গ[3, 4]
4. ঘ[4, ∞)
সঠিক উত্তর: গ. [3, 4]
প্রশ্নটা দ্বিঘাত অসমতার সমাধান পরীক্ষা করছে। নিয়ম: দুটি গুণনীয়কের গুণফল শূন্যের কম বা সমান হয় যখন একটা ধনাত্মক আর অন্যটা ঋণাত্মক, অথবা কোনো একটা শূন্য।
x বর্গ বিয়োগ ৭x যোগ ১২ ভাঙলে হয় x বিয়োগ ৩ গুণ x বিয়োগ ৪। মূল দুটি ৩ আর ৪। সংখ্যারেখা এই দুই বিন্দুতে তিন ভাগ হয়।
৩-এর কম x নিলে দুটো গুণনীয়কই ঋণাত্মক, গুণফল ধনাত্মক। ৪-এর বেশি নিলে দুটোই ধনাত্মক, গুণফল ধনাত্মক। শুধু ৩ আর ৪-এর মাঝে একটা ঋণাত্মক, গুণফল ঋণাত্মক। যেমন ৩ দশমিক ৫ বসালে মান হয় ঋণাত্মক শূন্য দশমিক ২৫।
চিহ্নে সমান আছে, তাই ৩ আর ৪ নিজেরাও সমাধান; এজন্য বন্ধনী বন্ধ, মানে তৃতীয় বন্ধনী। ফাঁদ হলো খোলা বন্ধনী ৩ থেকে ৪, যেটা সমান চিহ্ন না থাকলে ঠিক হতো।
মনে রাখুন: x² এর সহগ ধনাত্মক হলে “≤ ০” এর সমাধান সবসময় দুই মূলের মাঝখানে, আর “≥ ০” হলে বাইরে।
পুরো পাতা ›
১৪২. x2 + y2 + z2 = 2, xy + yz + zx = 1 হলে, (x + 2y)2 + (y + 2z)2 + (z + 2x)2 এর মান- (৪৬তম বিসিএস, ২০২৪)
1. ক12
2. খ19
3. গ16
4. ঘ14
সঠিক উত্তর: ঘ. 14
প্রশ্নটা বর্গের সূত্র দিয়ে রাশি বিস্তার করে দেওয়া মানে বসানো যাচাই করছে। প্রতিটি বন্ধনী a যোগ ২b এর বর্গ, যা a বর্গ যোগ ৪ab যোগ ৪b বর্গ।
তিনটি বন্ধনী বিস্তার করলে x বর্গ, y বর্গ, z বর্গ প্রত্যেকে একবার ১ গুণ আর একবার ৪ গুণ আসে, মোট ৫ গুণ। আর xy, yz, zx প্রত্যেকে ৪ গুণ করে আসে।
তাই পুরো রাশি সমান ৫ গুণ বর্গগুলোর যোগফল যোগ ৪ গুণ গুণফলগুলোর যোগফল। মান বসালে ৫ গুণ ২ যোগ ৪ গুণ ১, মানে ১০ যোগ ৪ সমান ১৪।
ভুল সাধারণত হয় বর্গের সহগ ৪ ভুলে গিয়ে, অথবা মাঝের পদের ২ গুণ ২ সমান ৪ না ধরে শুধু ২ ধরে। তখন ১২ বা অন্য মান আসে।
মনে রাখুন: চক্রাকার (x+ky)² + (y+kz)² + (z+kx)² = (1+k²)(x²+y²+z²) + 2k(xy+yz+zx); এখানে k = 2, তাই 5 × 2 + 4 × 1 = 14।
পুরো পাতা ›
১৪৩. 3x – y = 3, 5x + y = 21 হলে (x, y) এর মান- (৪৬তম বিসিএস, ২০২৪)
1. ক(2, 5)
2. খ(2, 6)
3. গ(3, 5)
4. ঘ(3, 6)
সঠিক উত্তর: ঘ. (3, 6)
প্রশ্নটা দুই চলকের সরল সমীকরণ জোট সমাধান নিয়ে। দ্রুততম পদ্ধতি অপনয়ন: এমনভাবে যোগ বা বিয়োগ করা যাতে একটি চলক বাদ পড়ে।
প্রথম সমীকরণে y বিয়োগ, দ্বিতীয়টিতে y যোগ। তাই দুই সমীকরণ যোগ করলে y কাটাকাটি হয়ে যায়: ৩x যোগ ৫x হয় ৮x, আর ৩ যোগ ২১ হয় ২৪। ফলে ৮x সমান ২৪, তাই x সমান ৩।
x এর মান প্রথম সমীকরণে বসাই: ৩ গুণ ৩ মানে ৯, ৯ বিয়োগ y সমান ৩, তাই y সমান ৬।
যাচাই করুন দুটো সমীকরণেই: ৯ বিয়োগ ৬ সমান ৩, আর ১৫ যোগ ৬ সমান ২১। দুটোই মেলে। তৃতীয় অপশনে x ঠিক থাকায় অনেকে ধরা খান, কিন্তু সেখানে y ভুল।
মনে রাখুন: অপশন বসিয়ে দেখা: (৩, ৬) দিলে ৯ − ৬ = ৩ এবং ১৫ + ৬ = ২১, দুটোই মেলে।
পুরো পাতা ›
১৪৪. হলে x এর মান কত? (৪৬তম বিসিএস, ২০২৪)
1. ক32
2. খ8
3. গ3
4. ঘ√8
সঠিক উত্তর: ক. 32
প্রশ্নের মূল সমীকরণটি হলো: বর্গমূল ৮ ভিত্তিক লগ এক্স সমান ৩ পূর্ণ ১ ভাগ ৩, মানে ১০ ভাগ ৩। প্রশ্নটা লগারিদমের সংজ্ঞা পরীক্ষা করছে: ভিত্তি এ-তে লগ এক্স সমান এন মানে এক্স সমান এ-এর ঘাত এন।
তাই এক্স সমান বর্গমূল ৮-এর ঘাত ১০ ভাগ ৩। হিসাব সহজ করতে সব কিছু ২-এর ঘাতে লিখি। ৮ হলো ২-এর ঘন, তাই বর্গমূল ৮ হলো ২-এর ঘাত ৩ ভাগ ২।
এখন ঘাতগুলো গুণ হয়: ৩ ভাগ ২ গুণ ১০ ভাগ ৩ সমান ৫। অর্থাৎ এক্স সমান ২-এর ঘাত ৫, মানে ৩২।
ফাঁদ হলো লগের মান আর এক্স গুলিয়ে ফেলা, বা ভিত্তিকেই উত্তর ভেবে নেওয়া; বর্গমূল ৮ আর ৮ বিকল্পগুলো সেভাবেই এসেছে।
মনে রাখুন: লগের প্রশ্নে ভিত্তি আর সংখ্যা দুটোকেই একই মৌলিক সংখ্যার ঘাতে (এখানে ২) লিখলে ঘাত গুণ করেই উত্তর আসে।
পুরো পাতা ›
১৪৫. একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ ২ সে মি এবং উচ্চতা ৬ সে মি হলে, উহার তলগুলির মোট ক্ষেত্রফল কত? (৪৬তম বিসিএস, ২০২৪)
1. ক১৬π বর্গ সেমি
2. খ৩২π বর্গ সেমি
3. গ৩৬π বর্গ সেমি
4. ঘ৪৮π বর্গ সেমি
সঠিক উত্তর: খ. ৩২π বর্গ সেমি
প্রশ্নটা বেলন বা সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল চাইছে। সমগ্র তল মানে তিনটি অংশ: উপরের বৃত্ত, নিচের বৃত্ত, আর চারপাশের বাঁকা তল।
প্রতিটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল পাই আর বর্গ, মানে ৪ পাই; দুটো মিলে ৮ পাই। বাঁকা তলকে খুলে ফেললে একটা আয়তক্ষেত্র হয়, যার দৈর্ঘ্য বৃত্তের পরিধি, আর প্রস্থ উচ্চতা। পরিধি ২ গুণ পাই গুণ ২, মানে ৪ পাই; একে উচ্চতা ৬ দিয়ে গুণ করলে বাঁকা তল ২৪ পাই।
সব যোগ করলে ৮ পাই যোগ ২৪ পাই, মোট ৩২ পাই বর্গ সেন্টিমিটার। সংক্ষিপ্ত সূত্রেও একই আসে: ২ গুণ পাই গুণ ব্যাসার্ধ, তারপর গুণ ব্যাসার্ধ আর উচ্চতার যোগফল, মানে ২ গুণ পাই গুণ ২ গুণ ৮।
সবচেয়ে সাধারণ ভুল হলো শুধু বাঁকা তল ২৪ পাই বা আয়তন ২৪ পাই নিয়ে থেমে যাওয়া, অথবা দুই প্রান্তের বৃত্ত গুনতে ভুল করা। প্রশ্নে তলগুলির মোট বলা আছে, তাই তিনটি অংশই নিতে হবে।
মনে রাখুন: সমগ্র তল = ২πr(r + h) = ২π × ২ × (২ + ৬) = ৩২π, এক লাইনে।
পুরো পাতা ›
১৪৬. কোনো একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের পরিমাণ ২৮° ও ৬২°। ত্রিভুজটি কোন ধরনের? (৪৬তম বিসিএস, ২০২৪)
1. কসমকোণী
2. খসূক্ষ্মকোণী
3. গস্থূলকোণী
4. ঘসমদ্বিবাহু সমকোণী
সঠিক উত্তর: ক. সমকোণী
প্রশ্নটা ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি আর কোণ অনুযায়ী ত্রিভুজের শ্রেণিবিভাগ যাচাই করছে। যেকোনো ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল ১৮০ ডিগ্রি।
দুই কোণ ২৮ আর ৬২ ডিগ্রি, যোগফল ৯০ ডিগ্রি। তাই তৃতীয় কোণ ১৮০ বিয়োগ ৯০, মানে ৯০ ডিগ্রি।
একটি কোণ ঠিক ৯০ ডিগ্রি হলে ত্রিভুজ সমকোণী। সব কোণ ৯০ এর কম হলে সূক্ষ্মকোণী, একটি ৯০ এর বেশি হলে স্থূলকোণী।
ফাঁদ হলো সমদ্বিবাহু সমকোণী। এর জন্য বাকি দুই কোণ সমান, মানে ৪৫ আর ৪৫ ডিগ্রি হতে হতো; এখানে ২৮ আর ৬২ সমান নয়।
মনে রাখুন: দুই কোণের যোগফল ঠিক 90° হলে তৃতীয়টি সমকোণ; 90° এর কম হলে তৃতীয়টি স্থূলকোণ।
পুরো পাতা ›
১৪৭. 4 সেমি বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রে পরিলিখিত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত? (৪৬তম বিসিএস, ২০২৪)
1. ক8π বর্গসেমি
2. খ6π বর্গসেমি
3. গ4π বর্গসেমি
4. ঘ2√2 π বর্গসেমি
সঠিক উত্তর: ক. 8π বর্গসেমি
প্রশ্নটা বর্গের পরিলিখিত বৃত্ত নিয়ে, অর্থাৎ যে বৃত্ত বর্গের চারটি শীর্ষবিন্দু ছুঁয়ে যায়। এমন বৃত্তের ব্যাস হলো বর্গের কর্ণ।
৪ সেন্টিমিটার বাহুর বর্গের কর্ণ হলো বাহু গুণ রুট দুই, মানে চার রুট দুই সেন্টিমিটার। তাই ব্যাসার্ধ তার অর্ধেক, দুই রুট দুই সেন্টিমিটার।
বৃত্তের ক্ষেত্রফল হলো পাই গুণ ব্যাসার্ধের বর্গ। দুই রুট দুই এর বর্গ হলো ৪ গুণ ২, মানে ৮। তাই ক্ষেত্রফল ৮ পাই বর্গ সেন্টিমিটার।
সবচেয়ে বড় ফাঁদ হলো অন্তর্লিখিত বৃত্ত, যা বর্গের চার বাহু ছোঁয়। তার ব্যাস বাহুর সমান, ব্যাসার্ধ ২, ক্ষেত্রফল ৪ পাই। আরেকটি ফাঁদ হলো ব্যাসার্ধের বর্গ না করে দুই রুট দুই পাই লিখে ফেলা।
মনে রাখুন: বর্গের পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × বাহু² ÷ ২ = π × ১৬ ÷ ২ = ৮π।
পুরো পাতা ›
১৪৮. CONIC শব্দটির অক্ষরগুলো নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা কত? (৪৬তম বিসিএস, ২০২৪)
1. ক24
2. খ40
3. গ60
4. ঘ120
সঠিক উত্তর: গ. 60
প্রশ্নটা পুনরাবৃত্ত অক্ষরসহ বিন্যাসের নিয়ম পরীক্ষা করছে। এন সংখ্যক জিনিস সাজানোর উপায় এন ফ্যাক্টোরিয়াল, কিন্তু কোনো জিনিস একাধিকবার থাকলে সেগুলোর নিজেদের মধ্যে অদলবদল নতুন বিন্যাস তৈরি করে না।
তাই নিয়ম হলো: মোট অক্ষরের ফ্যাক্টোরিয়ালকে প্রতিটি পুনরাবৃত্ত অক্ষরের সংখ্যার ফ্যাক্টোরিয়াল দিয়ে ভাগ করা।
CONIC শব্দে অক্ষর ৫টি: সি, ও, এন, আই, সি; এর মধ্যে সি আছে ২ বার। তাই বিন্যাস সংখ্যা ৫ ফ্যাক্টোরিয়াল ভাগ ২ ফ্যাক্টোরিয়াল, মানে ১২০ ভাগ ২, সমান ৬০।
সবচেয়ে বড় ফাঁদ ১২০: দুটো সি একই অক্ষর, এটা না দেখে সরাসরি ৫ ফ্যাক্টোরিয়াল লিখে ফেলা।
মনে রাখুন: বিন্যাস = n! ÷ (p! × q! × …), যেখানে p, q পুনরাবৃত্ত অক্ষরের সংখ্যা।
পুরো পাতা ›
১৪৯. একটি থলিতে 5টি নীল, 10টি সাদা, 20টি কালো বল আছে। দৈব চয়নের মাধ্যমে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা কত? (৪৬তম বিসিএস, ২০২৪)
1. ক3/10
2. খ5/7
3. গ7/5
4. ঘ7/10
সঠিক উত্তর: খ. 5/7
প্রশ্নটা সম্ভাবনার মূল সংজ্ঞা পরীক্ষা করছে: অনুকূল ফলাফলের সংখ্যাকে মোট ফলাফলের সংখ্যা দিয়ে ভাগ।
থলিতে মোট বল ৫ যোগ ১০ যোগ ২০, মানে ৩৫টি। সাদা না হওয়া মানে নীল অথবা কালো, তাই অনুকূল বল ৫ যোগ ২০, মানে ২৫টি।
সম্ভাবনা ২৫ ভাগ ৩৫, সরল করলে ৫ ভাগ ৭। অন্য পথে: সাদা হওয়ার সম্ভাবনা ১০ ভাগ ৩৫, মানে ২ ভাগ ৭; সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা ১ থেকে সেটা বাদ, মানে ৫ ভাগ ৭।
মনে রাখুন, সম্ভাবনা কখনো ১-এর বেশি হতে পারে না, তাই ৭ ভাগ ৫ সরাসরি বাদ। আর ৩ ভাগ ১০ বা ৭ ভাগ ১০ হতেই পারে না, কারণ মোট বল ৩৫, তাই সরল করার পর হর হবে ৩৫, ৭, ৫ বা ১; কখনো ১০ নয়।
মনে রাখুন: “না হওয়ার” সম্ভাবনা = ১ − হওয়ার সম্ভাবনা: ১ − ১০/৩৫ = ৫/৭।
পুরো পাতা ›
১৫০. একজন মহিলা বলছেন, 'আপনি যদি আমার নিজের বয়সকে উল্টে দেন তাহলে তা আমার স্বামীর বয়সকে নির্দেশ করে। তিনি আমার থেকে বয়সে বড় এবং আমাদের বয়সের পার্থক্য আমাদের মোট বয়সের যোগফলের এগারো ভাগের একভাগ।' মহিলার বয়স কত? (৪৬তম বিসিএস, ২০২৪)
1. ক২৩ বছর
2. খ৩৪ বছর
3. গ৪৫ বছর
4. ঘকোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর: গ. ৪৫ বছর
প্রশ্নটা অঙ্ক উল্টানো দুই অঙ্কের সংখ্যার ধর্ম যাচাই করছে। মহিলার বয়স দশকের অঙ্ক a আর এককের অঙ্ক b হলে তাঁর বয়স ১০a যোগ b, আর স্বামীর বয়স ১০b যোগ a।
এমন দুই সংখ্যার পার্থক্য সবসময় ৯ গুণ অঙ্কদ্বয়ের পার্থক্য, আর যোগফল সবসময় ১১ গুণ অঙ্কদ্বয়ের যোগফল। শর্ত বলছে পার্থক্য সমান যোগফলের ১১ ভাগের ১ ভাগ, মানে ৯ গুণ b বিয়োগ a সমান a যোগ b।
এ থেকে ৮b সমান ১০a, অর্থাৎ a অনুপাত b সমান ৪ অনুপাত ৫। এক অঙ্কের অঙ্ক হিসেবে একমাত্র সমাধান a সমান ৪, b সমান ৫। তাই মহিলার বয়স ৪৫, স্বামীর ৫৪।
যাচাই: পার্থক্য ৯, যোগফল ৯৯, আর ৯৯ এর ১১ ভাগের ১ ভাগ ৯। ২৩ বা ৩৪ নিলেও পার্থক্য ৯ হয়, কিন্তু যোগফল ৫৫ বা ৭৭, যার ১১ ভাগের ১ ভাগ ৯ নয়; এখানেই ফাঁদ।
মনে রাখুন: বিকল্প যাচাই: উল্টে যোগফল বের করে 11 দিয়ে ভাগ করুন; ভাগফল যেটায় পার্থক্যের (9) সমান, সেটাই উত্তর।
পুরো পাতা ›
১৫১. একটি সভায় ১৫ জন লোক রয়েছে এবং তারা সকলেই সভা শেষে একে অপরের সাথে করমর্দন করে। মোট কতটি করমর্দন হবে? (৪৬তম বিসিএস, ২০২৪)
1. ক২১০
2. খ১০৫
3. গ২২৫
4. ঘ১৯৬
সঠিক উত্তর: খ. ১০৫
প্রশ্নটা জোড়া গোনার, অর্থাৎ সমাবেশের প্রশ্ন। প্রতিটি করমর্দন মানে দুজন মানুষের একটি জোড়া, আর একই জোড়ায় করমর্দন একবারই হয়।
প্রত্যেকে বাকি ১৪ জনের সঙ্গে হাত মেলায়। তাই ১৫ গুণ ১৪, মানে ২১০ টি হাত মেলানো গোনা যায়।
কিন্তু এভাবে প্রতিটি করমর্দন দুবার গোনা হয়েছে: ক এর দিক থেকে একবার, খ এর দিক থেকে আরেকবার। তাই ২ দিয়ে ভাগ করলে আসল সংখ্যা ১০৫।
সাধারণ সূত্র: n জন থাকলে করমর্দন n গুণ n বিয়োগ ১, তারপর ২ দিয়ে ভাগ। ফাঁদ হলো ২ দিয়ে ভাগ করতে ভুলে গিয়ে ২১০ বেছে নেওয়া।
মনে রাখুন: n জনে করমর্দন = n(n − ১) ÷ ২ = ১৫ × ১৪ ÷ ২ = ১০৫।
পুরো পাতা ›
১৫২. If a 240-metre-long metro rail passes a pole in 24 seconds, how long will it take to pass a 650-metre-long platform? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২৪)
1. ক60 seconds
2. খ75 seconds
3. গ89 seconds
4. ঘ130 seconds
সঠিক উত্তর: গ. 89 seconds
প্রশ্নটা ট্রেন বা মেট্রোরেলের একটি জিনিস পার হওয়ার সময় নিয়ে। মূল নিয়ম: ট্রেন একটি খুঁটি পার হতে নিজের দৈর্ঘ্যের সমান দূরত্ব যায়, আর প্ল্যাটফর্ম পার হতে নিজের দৈর্ঘ্য যোগ প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য।
আগে গতিবেগ বের করি। ২৪০ মিটার লম্বা ট্রেন খুঁটি পার হয় ২৪ সেকেন্ডে, তাই গতিবেগ ২৪০ ভাগ ২৪, মানে প্রতি সেকেন্ডে ১০ মিটার।
প্ল্যাটফর্ম পার হতে মোট যেতে হবে ২৪০ যোগ ৬৫০, মানে ৮৯০ মিটার। প্রতি সেকেন্ডে ১০ মিটার গেলে সময় লাগে ৮৯০ ভাগ ১০, মানে ৮৯ সেকেন্ড।
সবচেয়ে বড় ফাঁদ ট্রেনের দৈর্ঘ্য ভুলে শুধু প্ল্যাটফর্মের ৬৫০ মিটার ধরা। তাহলে উত্তর আসে ৬৫ সেকেন্ড, যা অপশনেও নেই; আবার তাড়াহুড়োয় ৬০ বা ৭৫ দাগিয়ে ফেলেন অনেকে।
মনে রাখুন: একই গতিতে সময় দূরত্বের অনুপাতে: ২৪ × (৮৯০ ÷ ২৪০) = ৮৯ সেকেন্ড।
পুরো পাতা ›
১৫৩. What would be the measure of the perimeter of a square whose area is equal to 256 square cm? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২৪)
1. ক16 cm
2. খ36 cm
3. গ64 cm
4. ঘ128 cm
সঠিক উত্তর: গ. 64 cm
প্রশ্নটা বর্গের ক্ষেত্রফল থেকে পরিসীমা বের করতে বলেছে। বর্গের ক্ষেত্রফল হলো বাহুর বর্গ, আর পরিসীমা হলো ৪ গুণ বাহু। তাই আগে বাহু বের করতে হবে।
ক্ষেত্রফল ২৫৬ বর্গ সেন্টিমিটার। কোন সংখ্যাকে নিজের সঙ্গে গুণ করলে ২৫৬ হয়? ১৬ গুণ ১৬ সমান ২৫৬। তাই বাহু ১৬ সেন্টিমিটার।
পরিসীমা মানে চার বাহুর যোগফল: ৪ গুণ ১৬, মানে ৬৪ সেন্টিমিটার।
ফাঁদ হলো বাহু ১৬ বের করেই থেমে যাওয়া, আর প্রথম অপশন দাগানো। আবার ১২৮ আসে ভুল করে ৮ গুণ ১৬ করলে।
মনে রাখুন: বর্গের পরিসীমা = ৪√ক্ষেত্রফল = ৪ × ১৬ = ৬৪।
পুরো পাতা ›
১৫৪. The area of a rectangle R with width 4 feet is equal to the area of a square S, which has a perimeter of 24 feet. The perimeter of the rectangle R is- (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২৪)
1. ক9 ft
2. খ16 ft
3. গ24 ft
4. ঘ26 ft
সঠিক উত্তর: ঘ. 26 ft
প্রশ্নটা দুটি ক্ষেত্রের তুলনা: একটি বর্গ আর একটি আয়তক্ষেত্র, যাদের ক্ষেত্রফল সমান। বর্গের তথ্য থেকে ক্ষেত্রফল বের করে, সেটা দিয়ে আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য আর পরিসীমা বের করতে হবে।
বর্গের পরিসীমা ২৪ ফুট, তাই এক বাহু ২৪ ভাগ ৪, মানে ৬ ফুট। বর্গের ক্ষেত্রফল ৬ গুণ ৬, মানে ৩৬ বর্গফুট।
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলও ৩৬ বর্গফুট, আর প্রস্থ ৪ ফুট। তাই দৈর্ঘ্য ৩৬ ভাগ ৪, মানে ৯ ফুট। পরিসীমা হলো ২ গুণ দৈর্ঘ্য আর প্রস্থের যোগফল: ২ গুণ ১৩, মানে ২৬ ফুট।
ফাঁদ হলো দৈর্ঘ্য ৯ বের করেই প্রথম অপশন দাগানো, অথবা বর্গের পরিসীমা ২৪ দেখে মনে করা আয়তক্ষেত্রের পরিসীমাও একই। ক্ষেত্রফল সমান হলেও পরিসীমা সমান হয় না।
মনে রাখুন: সমান ক্ষেত্রফলের প্রশ্নে আগে ক্ষেত্রফল বের করুন, তারপর অজানা বাহু: ৩৬ ÷ ৪ = ৯, পরিসীমা ২ × ১৩ = ২৬।
পুরো পাতা ›
১৫৫. The difference between two numbers is 5 and the difference between their square is 65. What is the smaller number? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২৪)
1. ক4
2. খ5
3. গ11
4. ঘ13
সঠিক উত্তর: ক. 4
প্রশ্নে দুই সংখ্যার পার্থক্য আর তাদের বর্গের পার্থক্য দেওয়া আছে। বর্গের পার্থক্যের সূত্র মনে রাখলেই কাজ সহজ: বড় সংখ্যার বর্গ বিয়োগ ছোট সংখ্যার বর্গ সমান তাদের যোগফল গুণ তাদের বিয়োগফল।
বিয়োগফল ৫, আর বর্গের বিয়োগফল ৬৫। তাই যোগফল হবে ৬৫ ভাগ ৫, মানে ১৩।
এখন যোগফল ১৩ আর বিয়োগফল ৫। বড় সংখ্যা হলো এদের যোগ ১৮-এর অর্ধেক, ৯; ছোট সংখ্যা হলো এদের বিয়োগ ৮-এর অর্ধেক, ৪। মিলিয়ে দেখি: ৮১ থেকে ১৬ বাদ দিলে ৬৫।
অপশনে ১৩ আছে, যা আসলে দুই সংখ্যার যোগফল, ছোট সংখ্যা নয়। মাঝপথে থেমে গেলে এই ফাঁদে পড়তে হয়।
মনে রাখুন: ছোট সংখ্যা = (বর্গের পার্থক্য ÷ পার্থক্য − পার্থক্য) ÷ ২ = (১৩ − ৫) ÷ ২ = ৪।
পুরো পাতা ›
১৫৬. Six years ago, Hena was 1/4th of the age she will be after 12 years from now. How old is she now? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২৪)
1. ক6 years
2. খ8 years
3. গ12 years
4. ঘ24 years
সঠিক উত্তর: গ. 12 years
বয়সের প্রশ্নে বর্তমান বয়সকে x ধরে নিলে ৬ বছর আগের বয়স x বিয়োগ ৬, আর ১২ বছর পরের বয়স x যোগ ১২।
শর্ত বলছে ৬ বছর আগের বয়স হলো ১২ বছর পরের বয়সের ৪ ভাগের ১ ভাগ। তাই x বিয়োগ ৬ এর ৪ গুণ সমান x যোগ ১২।
সমাধান করলে ৪x বিয়োগ ২৪ সমান x যোগ ১২, অর্থাৎ ৩x সমান ৩৬, x সমান ১২। যাচাই: ৬ বছর আগে ৬, ১২ বছর পরে ২৪, আর ৬ সত্যিই ২৪-এর এক চতুর্থাংশ।
২৪ অপশনটি ফাঁদ; ওটা হেনার ১২ বছর পরের বয়স। আর ৬ হলো ৬ বছর আগের বয়স। প্রশ্ন চেয়েছে এখনকার বয়স।
মনে রাখুন: অপশন বসিয়ে দেখুন: ১২ হলে ৬ বছর আগে ৬, ১২ বছর পরে ২৪; ৬ × ৪ = ২৪, মিলে গেল।
পুরো পাতা ›
১৫৭. In a class of 60, 32 studied English, 28 studied Bengali and 6 did not study either. How many of the students studied both? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২৪)
1. ক6
2. খ4
3. গ12
4. ঘ16
সঠিক উত্তর: ক. 6
এটা সেট বা ভেন চিত্রের প্রশ্ন। মোট ৬০ জনের মধ্যে ৬ জন কোনো বিষয়ই পড়েনি, তাই অন্তত একটি বিষয় পড়েছে ৫৪ জন।
ইংরেজি ৩২ আর বাংলা ২৮ যোগ করলে হয় ৬০। কিন্তু যারা দুটোই পড়েছে, তাদের এই যোগফলে দুবার গোনা হয়েছে।
তাই দুটোই পড়েছে এমন ছাত্র সংখ্যা হলো ৬০ বিয়োগ ৫৪, মানে ৬। সূত্রটা হলো: দুটোই সমান প্রথম সেট যোগ দ্বিতীয় সেট বিয়োগ অন্তত একটি।
এখানে কাকতালীয়ভাবে উত্তর ৬ আর কেউ পড়েনি এমন ছাত্রও ৬ জন; তাই সংখ্যা মিলে গেছে বলে ভুল যুক্তিতে ৬ বেছে নেবেন না, হিসাব করে নিশ্চিত হন।
মনে রাখুন: দুটোই = (A + B) − (মোট − কেউ না) = ৬০ − ৫৪ = ৬।
পুরো পাতা ›
১৫৮. A motorcyclist completes a certain journey in 5 hours. He covers one-third distance at 60 km/hour and the rest 80 km/hour. The length of the journey is- (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২৪)
1. ক240 km
2. খ270 km
3. গ300 km
4. ঘ360 km
সঠিক উত্তর: ঘ. 360 km
মোট দূরত্ব d ধরি। এর এক তৃতীয়াংশ ঘণ্টায় ৬০ কিলোমিটার বেগে, আর বাকি দুই তৃতীয়াংশ ঘণ্টায় ৮০ কিলোমিটার বেগে গেছে। মোট সময় ৫ ঘণ্টা।
সময় সমান দূরত্ব ভাগ বেগ। প্রথম অংশে সময় d ভাগ ১৮০, দ্বিতীয় অংশে সময় দুই d ভাগ ২৪০ বা d ভাগ ১২০। এ দুটো যোগ করে ৫-এর সমান ধরি।
লসাগু ৩৬০ নিলে ২d যোগ ৩d ভাগ ৩৬০ সমান ৫, মানে ৫d সমান ১৮০০, d সমান ৩৬০ কিলোমিটার। যাচাই: ১২০ কিলোমিটার ৬০ বেগে ২ ঘণ্টা, ২৪০ কিলোমিটার ৮০ বেগে ৩ ঘণ্টা, মোট ৫ ঘণ্টা।
অনেকে গড় বেগ ৭০ ধরে ৫ দিয়ে গুণ করেন; কিন্তু দুই অংশে দূরত্ব বা সময় সমান না হলে সাধারণ গড় বেগ চলে না।
মনে রাখুন: অপশন যাচাই: ৩৬০-এর ১/৩ = ১২০ ÷ ৬০ = ২ ঘণ্টা, ২৪০ ÷ ৮০ = ৩ ঘণ্টা; মোট ৫।
পুরো পাতা ›
১৫৯. In a T-20 cricket match, the number of boundaries scored was twice the number of over boundaries by a team. The team took 22 single runs, no two or three runs and could not score from 38 deliveries. How many runs did the team score? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২৪)
1. ক124
2. খ144
3. গ150
4. ঘ302
সঠিক উত্তর: ঘ. 302
T-২০ ম্যাচে একটি দলের মোট বল ২০ ওভার গুণ ৬, মানে ১২০টি; এখানে ধরে নিতে হয় পুরো ২০ ওভার খেলা হয়েছে আর কোনো অতিরিক্ত রান নেই। Boundary মানে চার, আর over boundary মানে ছক্কা।
ছক্কার সংখ্যা x ধরলে চারের সংখ্যা ২x। এছাড়া ২২টি সিঙ্গেল আর ৩৮টি ডট বল, দুই বা তিন রান নেই। তাই সব বল মিলিয়ে x যোগ ২x যোগ ২২ যোগ ৩৮ সমান ১২০।
এ থেকে ৩x সমান ৬০, x সমান ২০। অর্থাৎ ২০টি ছক্কা আর ৪০টি চার।
মোট রান: ৪০টি চারে ১৬০, ২০টি ছক্কায় ১২০, আর সিঙ্গেলে ২২; সব মিলিয়ে ৩০২। অনেকে মোট বলের হিসাব ভুলে শুধু রান থেকে সমীকরণ বানাতে যান, কিন্তু চাবি হলো বলের সংখ্যা ১২০।
মনে রাখুন: বাউন্ডারি বল = ১২০ − ২২ − ৩৮ = ৬০; ৩ ভাগে ভাগ করে ২০ ছক্কা, ৪০ চার।
পুরো পাতা ›
১৬০. How many ways the letters of the word 'BANKS' can be arranged? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২৪)
1. ক24
2. খ120
3. গ90
4. ঘ30
সঠিক উত্তর: খ. 120
প্রশ্নটা বিন্যাস নিয়ে। কোনো শব্দের সব অক্ষর আলাদা হলে n টি অক্ষরকে সাজানো যায় n ফ্যাক্টোরিয়াল উপায়ে, মানে n থেকে ১ পর্যন্ত সব সংখ্যার গুণফল।
BANKS শব্দে ৫টি অক্ষর: B, A, N, K, S। কোনো অক্ষর পুনরাবৃত্ত হয়নি, তাই সাজানোর উপায় ৫ ফ্যাক্টোরিয়াল।
৫ ফ্যাক্টোরিয়াল হলো ৫ গুণ ৪ গুণ ৩ গুণ ২ গুণ ১, মানে ১২০। প্রথম ঘরে ৫টি অক্ষরের যেকোনোটি, দ্বিতীয় ঘরে বাকি ৪টির যেকোনোটি, এভাবে ঘর কমতে থাকে।
কোনো অক্ষর পুনরাবৃত্ত হলে ভাগ করতে হতো, যেমন BANK-এর জায়গায় BANANA হলে। এখানে তা নেই, তাই ৬০ বা ৩০ জাতীয় উত্তর আসবে না; আর ২৪ হলো ৪ ফ্যাক্টোরিয়াল।
মনে রাখুন: পুনরাবৃত্তি না থাকলে উত্তর সরাসরি n!; থাকলে n! কে পুনরাবৃত্ত অক্ষরের ফ্যাক্টোরিয়াল দিয়ে ভাগ।
পুরো পাতা ›

পরের পাতা: প্রশ্ন ১৬১–১৮০ ›