গাণিতিক যুক্তি · পাতা ১১
২০১. A train crossed a platform in 45 seconds travelling with a speed of 36 km/h. If the length of train is 200 meters, then what will be the length (in meters) of the platform? (সমন্বিত ১০ ব্যাংক ও আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২৩)
- ক250
- খ200
- গ300
- ঘ350
সঠিক উত্তর: ক. 250
ট্রেন প্ল্যাটফর্ম পার হতে নিজের দৈর্ঘ্য আর প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য, দুটো মিলিয়ে পথ অতিক্রম করে। কারণ ইঞ্জিন প্ল্যাটফর্মে ঢোকা থেকে শেষ বগি প্ল্যাটফর্ম ছাড়া পর্যন্ত গুনতে হয়।
গতি ঘণ্টায় ৩৬ কিলোমিটার। মিটার প্রতি সেকেন্ডে নিতে ৫ ভাগ ১৮ দিয়ে গুণ করি: ৩৬ গুণ ৫ ভাগ ১৮ সমান ১০ মিটার প্রতি সেকেন্ড।
৪৫ সেকেন্ডে ট্রেন যায় ৪৫০ মিটার। এর মধ্যে ২০০ মিটার ট্রেনের নিজের দৈর্ঘ্য, তাই প্ল্যাটফর্ম ২৫০ মিটার।
ট্রেনের দৈর্ঘ্য বাদ দিতে ভুলে গেলে ৪৫০ আসে, যা অপশনে নেই; আর ২০০ দেখে অনেকে ট্রেনের দৈর্ঘ্যকেই প্ল্যাটফর্ম ভেবে বসেন।
মনে রাখুন: কিমি/ঘণ্টা থেকে মি/সে: ৫/১৮ গুণ; প্ল্যাটফর্ম = গতি × সময় − ট্রেনের দৈর্ঘ্য।
২০২. The perimeters of two squares are 40cm and 30cm. Find the perimeter of a third square whose area is equal to the difference of the areas of the two squares. (সমন্বিত ১০ ব্যাংক ও আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২৩)
- ক18cm
- খ24cm
- গ32cm
- ঘ36cm
- ঙকোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর: ঙ. কোনোটিই নয়
প্রশ্নটা বর্গের পরিসীমা থেকে বাহু, বাহু থেকে ক্ষেত্রফল, আবার ক্ষেত্রফল থেকে পরিসীমায় যাওয়ার দক্ষতা যাচাই করছে। বর্গের বাহু সমান পরিসীমা ভাগ ৪।
পরিসীমা ৪০ হলে বাহু ১০, ক্ষেত্রফল ১০০। পরিসীমা ৩০ হলে বাহু ৭ দশমিক ৫, ক্ষেত্রফল ৫৬ দশমিক ২৫। পার্থক্য ৪৩ দশমিক ৭৫ বর্গসেন্টিমিটার।
তৃতীয় বর্গের ক্ষেত্রফল ৪৩ দশমিক ৭৫ হলে বাহু তার বর্গমূল, প্রায় ৬ দশমিক ৬১ সেন্টিমিটার। পরিসীমা তাই প্রায় ২৬ দশমিক ৪৬ সেন্টিমিটার, যা কোনো অপশনে নেই।
তাই প্রশ্নটি ত্রুটিপূর্ণ; একটি সমাধান সাইট একে বাতিলও দেখিয়েছে। ২৪ সেন্টিমিটার ঠিক হতো যদি দ্বিতীয় বর্গের পরিসীমা ৩২ হতো: তখন বাহু ১০ ও ৮, পার্থক্য ৩৬, নতুন বাহু ৬, পরিসীমা ২৪। এই ধরনের প্রশ্নে ৩, ৪, ৫ বা ৬, ৮, ১০ ধরনের পিথাগোরীয় ত্রয়ী খুঁজলে দ্রুত উত্তর মেলে।
মনে রাখুন: পরিসীমাগুলো সরাসরি ব্যবহার করা যায়: নতুন পরিসীমা = √(৪০² − ৩০²) = √৭০০ ≈ ২৬.৪৬।
২০৩. If a + b + c = 0, the value of a²/bc + b²/ca + c²/ab is - (সমন্বিত ১০ ব্যাংক ও আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২৩)
- ক3abc
- খ1/3
- গ1
- ঘ3
সঠিক উত্তর: ঘ. 3
তিনটি ভগ্নাংশের হর bc, ca আর ab; এদের ল.সা.গু abc। প্রথমটির লব ও হরকে a দিয়ে, দ্বিতীয়টিকে b দিয়ে, তৃতীয়টিকে c দিয়ে গুণ করলে রাশিটা হয় a ঘন যোগ b ঘন যোগ c ঘন, ভাগ abc।
এখন একটা পরিচিত অভেদ কাজে লাগে: a যোগ b যোগ c শূন্য হলে a ঘন যোগ b ঘন যোগ c ঘন সমান ৩abc।
কারণ a ঘন যোগ b ঘন যোগ c ঘন বিয়োগ ৩abc সমান a যোগ b যোগ c গুণ একটা রাশি; প্রথম গুণনীয়ক শূন্য, তাই পুরোটাই শূন্য।
তাহলে মান ৩abc ভাগ abc, মানে ৩। ৩abc অপশনটাই ফাঁদ: ওটা লবের মান, পুরো রাশির নয়।
মনে রাখুন: সংখ্যা বসান: a = ১, b = ১, c = −২ নিলে ১/(−২) + ১/(−২) + ৪/১ = ৩।
২০৪. In a set of 3 numbers, the average of first two numbers is 2, the average of the last two numbers is 3, and the average of the first and the last numbers is 4. What is the average of three numbers? (সমন্বিত ১০ ব্যাংক ও আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২৩)
- ক3
- খ2
- গ2.5
- ঘ3.5
সঠিক উত্তর: ক. 3
গড় দেওয়া থাকলে আগে যোগফলে রূপান্তর করাই সহজ পথ। সংখ্যা তিনটি a, b, c ধরি।
প্রথম দুটির গড় ২, তাই a যোগ b সমান ৪। শেষ দুটির গড় ৩, তাই b যোগ c সমান ৬। প্রথম ও শেষটির গড় ৪, তাই a যোগ c সমান ৮।
তিনটি সমীকরণ যোগ করলে প্রতিটি সংখ্যা দুবার আসে: দুই গুণ a যোগ b যোগ c সমান ১৮। তাই তিনটির যোগফল ৯, আর গড় ৯ ভাগ ৩ সমান ৩।
তিনটি জোড়া-গড় ২, ৩ আর ৪-এর গড় নিলেও ৩ আসে, আর এটা কাকতালীয় নয়: প্রতিটি সংখ্যা ঠিক দুটি জোড়ায় থাকে, তাই জোড়া-গড়গুলোর গড় সবসময় তিন সংখ্যার গড়ের সমান। ২ দশমিক ৫ বা ৩ দশমিক ৫ আসে শুধু দুটি গড় নিয়ে কাজ করলে।
মনে রাখুন: তিন জোড়া-গড়ের গড়ই তিন সংখ্যার গড়: (২ + ৩ + ৪) ÷ ৩ = ৩।
২০৫. What is the value of √(10 + √(25 + √(108 + √(154 + √225))))? (সমন্বিত ১০ ব্যাংক ও আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২৩)
- ক6
- খ4
- গ2
- ঘ1
সঠিক উত্তর: খ. 4
স্তরে স্তরে থাকা বর্গমূলের প্রশ্ন সবসময় সবচেয়ে ভেতর থেকে শুরু করতে হয়। প্রতিটি ধাপে যোগফল একটা পূর্ণবর্গ হবে, প্রশ্নটা সেভাবেই বানানো।
সবচেয়ে ভেতরে ২২৫-এর বর্গমূল ১৫। তারপর ১৫৪ যোগ ১৫ সমান ১৬৯, যার বর্গমূল ১৩। এরপর ১০৮ যোগ ১৩ সমান ১২১, বর্গমূল ১১।
তারপর ২৫ যোগ ১১ সমান ৩৬, বর্গমূল ৬। শেষে ১০ যোগ ৬ সমান ১৬, যার বর্গমূল ৪। তাই মান ৪।
মাঝপথে থেমে গেলে বা শেষ বর্গমূলটা নিতে ভুলে গেলে ৬ উত্তর বেরিয়ে আসে, কারণ ৬ হলো শেষ ধাপের আগের মান; এটাই ফাঁদ। আবার ৪-এর পর আরেকবার বর্গমূল নিলে ২ আসে।
মনে রাখুন: প্রতিটি ধাপে পূর্ণবর্গ খুঁজুন: ২২৫, ১৬৯, ১২১, ৩৬, ১৬।
২০৬. In 2024, the total number of days is - (সমন্বিত ১০ ব্যাংক ও আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২৩)
- ক365 days
- খ366 days
- গ364 days
- ঘNone of these
সঠিক উত্তর: খ. 366 days
যে বছর ৪ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য, সাধারণত সেটি অধিবর্ষ, আর অধিবর্ষে দিন থাকে ৩৬৬টি, কারণ ফেব্রুয়ারি হয় ২৯ দিনের।
২০২৪ ভাগ ৪ সমান ৫০৬, কোনো ভাগশেষ নেই। তাই ২০২৪ অধিবর্ষ, দিন ৩৬৬টি।
ব্যতিক্রম মনে রাখুন: শতাব্দী বছর, যেমন ১৯০০ বা ২১০০, অধিবর্ষ হয় কেবল ৪০০ দিয়ে বিভাজ্য হলে। তাই ২০০০ অধিবর্ষ ছিল, কিন্তু ১৯০০ ছিল না।
৩৬৫ সাধারণ বছরের দিন; ৩৬৪ কোনো ক্যালেন্ডার বছরের দিনসংখ্যা নয়।
মনে রাখুন: শেষ দুই অঙ্ক ৪ দিয়ে ভাগ গেলে (শতাব্দী বছর ছাড়া) অধিবর্ষ: ২৪ ÷ ৪ = ৬।
২০৭. If 4^(x+y) = 1 and 4^(x−y) = 4, then the values of x and y respectively are- (জনতা ব্যাংক: অফিসার, রুরাল ক্রেডিট) (২০২৩)
- ক−1/2 and 1/2
- খ−1/2 and −1/2
- গ1/2 and −1/2
- ঘ1/2 and 1/2
সঠিক উত্তর: গ. 1/2 and −1/2
এটি সূচকের সমীকরণ: ৪ এর ঘাত x যোগ y সমান ১, আর ৪ এর ঘাত x বিয়োগ y সমান ৪। ভিত্তি একই হলে ঘাতগুলো সমান ধরে সাধারণ সমীকরণ বানানো যায়।
যেকোনো সংখ্যার ঘাত শূন্য হলে মান ১ হয়। তাই ৪ এর ঘাত x যোগ y সমান ১ মানে x যোগ y সমান শূন্য। আবার ৪ এর ঘাত ১ হলো ৪, তাই x বিয়োগ y সমান ১।
দুটি সমীকরণ যোগ করলে ২x সমান ১, তাই x সমান ১ ভাগ ২। তখন y সমান শূন্য বিয়োগ ১ ভাগ ২, মানে ঋণাত্মক ১ ভাগ ২।
প্রশ্ন respectively বলে আগে x পরে y চেয়েছে। চিহ্ন উল্টে ফেললে ঋণাত্মক ১ ভাগ ২ এবং ১ ভাগ ২ অপশনটি বেছে নেওয়ার ভুল হয়।
মনে রাখুন: ডান দিক ১ হলে ঘাত শূন্য; ভিত্তি একই হলে ঘাত সমান করে সমীকরণ বানান।
২০৮. √(4/3) − √(3/4) = ? (জনতা ব্যাংক: অফিসার, রুরাল ক্রেডিট) (২০২৩)
- ক4√3/6
- খ1/(2√3)
- গ1
- ঘ−1/(2√3)
সঠিক উত্তর: খ. 1/(2√3)
প্রশ্নটি হলো ৪ ভাগ ৩ এর বর্গমূল বিয়োগ ৩ ভাগ ৪ এর বর্গমূল। এটি করণী সরলীকরণের প্রশ্ন: ভগ্নাংশের বর্গমূল মানে লবের বর্গমূল ভাগ হরের বর্গমূল।
৪ এর বর্গমূল ২, তাই প্রথম পদ হয় ২ ভাগ বর্গমূল ৩। দ্বিতীয় পদ হয় বর্গমূল ৩ ভাগ ২।
দুটি ভগ্নাংশের হর মিলাই: হর হবে ২ গুণ বর্গমূল ৩। লবে আসে ২ গুণ ২ বিয়োগ বর্গমূল ৩ গুণ বর্গমূল ৩, মানে ৪ বিয়োগ ৩, অর্থাৎ ১। তাই উত্তর ১ ভাগ ২ বর্গমূল ৩।
ক্রম উল্টে বিয়োগ করলে ঋণাত্মক উত্তর আসে, আর শুধু প্রথম পদটি লিখে ফেললে ৪ বর্গমূল ৩ ভাগ ৬ আসে; দুটোই ফাঁদ।
মনে রাখুন: √(a/b) − √(b/a) = (a − b)/√(ab)। এখানে (৪ − ৩)/√১২ = ১/(২√৩)।
২০৯. The ages of Sabiha and Suriya are in the ratio of 7: 3 respectively. After 6 years, the ratio of their ages will be 5:3. What is the difference in their ages? (জনতা ব্যাংক: অফিসার, রুরাল ক্রেডিট) (২০২৩)
- ক6 years
- খ8 years
- গ10 years
- ঘ12 years
সঠিক উত্তর: খ. 8 years
বয়সের অনুপাতের প্রশ্নে বর্তমান বয়স ধরি অনুপাতের গুণিতক দিয়ে। সাবিহার বয়স ৭x আর সুরিয়ার ৩x।
৬ বছর পর দুজনের বয়স হবে ৭x যোগ ৬ আর ৩x যোগ ৬, এবং অনুপাত হবে ৫ অনুপাত ৩। আড়াআড়ি গুণ করে পাই ৩ গুণ ৭x যোগ ৬ সমান ৫ গুণ ৩x যোগ ৬, মানে ২১x যোগ ১৮ সমান ১৫x যোগ ৩০।
তাহলে ৬x সমান ১২, x সমান ২। বর্তমান বয়স ১৪ ও ৬ বছর। পার্থক্য ৭x বিয়োগ ৩x, মানে ৪x সমান ৮ বছর।
মনে রাখুন, বয়সের পার্থক্য কখনো বদলায় না। অনেকে x এর মান ২ বা কোনো একজনের বয়স ৬ লিখে ফেলেন; কিন্তু প্রশ্ন চেয়েছে পার্থক্য।
মনে রাখুন: পার্থক্য স্থির, তাই ৫ : ৩ কে ১০ : ৬ করি, যাতে পার্থক্য ৭ : ৩ এর মতো ৪ ভাগ হয়। ৭ থেকে ১০ মানে ৩ ভাগ = ৬ বছর, ১ ভাগ = ২; পার্থক্য ৪ ভাগ = ৮ বছর।
২১০. A scored 30% marks and failed by 15 marks. B scored 40% marks and obtained 35 marks more than those required to pass. The pass percentage is- (জনতা ব্যাংক: অফিসার, রুরাল ক্রেডিট) (২০২৩)
- ক33%
- খ38%
- গ43%
- ঘ46%
সঠিক উত্তর: ক. 33%
পাস নম্বর একটাই, তাই দুজনের তথ্য থেকে পাস নম্বর দুইভাবে লিখে সমান করব। মোট নম্বর ধরি T।
A পেয়েছে ৩০ শতাংশ আর ১৫ নম্বরের জন্য ফেল, তাই পাস নম্বর হলো T এর ৩০ শতাংশ যোগ ১৫। B পেয়েছে ৪০ শতাংশ, যা পাস নম্বরের চেয়ে ৩৫ বেশি, তাই পাস নম্বর হলো T এর ৪০ শতাংশ বিয়োগ ৩৫।
দুটো সমান করলে T এর ১০ শতাংশ সমান ৫০, তাই মোট নম্বর ৫০০। পাস নম্বর ৫০০ এর ৩০ শতাংশ মানে ১৫০, যোগ ১৫, মোট ১৬৫। ১৬৫ হলো ৫০০ এর ৩৩ শতাংশ।
ভুল হয় পাস নম্বর ১৬৫ কেই উত্তর ভাবলে, বা চিহ্ন উল্টালে; প্রশ্ন চেয়েছে পাস নম্বরের শতকরা হার।
মনে রাখুন: ১০% এর পার্থক্য = ১৫ + ৩৫ = ৫০ নম্বর, তাই ১% = ৫; পাস = ৩০% + ১৫ ÷ ৫ = ৩০% + ৩% = ৩৩%।
২১১. A, B and C are partners in a business. Their shares are in the proportion of 1/3 : 1/4 : 1/5. A withdraws half of his capital after 15 months and after another 15 months, a profit of Tk. 4340 is divided. The share of C is- (জনতা ব্যাংক: অফিসার, রুরাল ক্রেডিট) (২০২৩)
- কTk. 1240
- খTk. 1250
- গTk. 1300
- ঘTk. 1400
সঠিক উত্তর: ক. Tk. 1240
অংশীদারি ব্যবসায় লাভ ভাগ হয় মূলধন গুণ সময়ের অনুপাতে। আগে ভগ্নাংশের অনুপাতকে পূর্ণসংখ্যায় আনি: ৩, ৪, ৫ এর লসাগু ৬০ দিয়ে গুণ করলে ১ ভাগ ৩ অনুপাত ১ ভাগ ৪ অনুপাত ১ ভাগ ৫ হয় ২০ অনুপাত ১৫ অনুপাত ১২।
মোট সময় ১৫ যোগ ১৫, মানে ৩০ মাস। A প্রথম ১৫ মাস ২০ ভাগ, পরের ১৫ মাস অর্ধেক মানে ১০ ভাগ খাটিয়েছে: ৩০০ যোগ ১৫০, মোট ৪৫০। B খাটিয়েছে ১৫ গুণ ৩০ সমান ৪৫০, আর C খাটিয়েছে ১২ গুণ ৩০ সমান ৩৬০।
অনুপাত ৪৫০ অনুপাত ৪৫০ অনুপাত ৩৬০, মোট ১২৬০। C পাবে ৪৩৪০ এর ৩৬০ ভাগ ১২৬০, মানে ১২৪০ টাকা।
ফাঁদ হলো A-এর মূলধন কমার কথা ভুলে শুধু ২০ অনুপাত ১৫ অনুপাত ১২ ধরে ভাগ করা; তখন C-এর ভাগ অন্যরকম আসে।
মনে রাখুন: মূলধন × মাস যোগ করে অনুপাত ৫ : ৫ : ৪ (৯০ দিয়ে ভাগ); C = ৪৩৪০ × ৪ ÷ ১৪ = ১২৪০।
২১২. Two coins are tossed. What is the probability of getting at most one head? (জনতা ব্যাংক: অফিসার, রুরাল ক্রেডিট) (২০২৩)
- ক1/2
- খ1/4
- গ3/4
- ঘ1/6
সঠিক উত্তর: গ. 3/4
দুটি মুদ্রা নিক্ষেপে মোট সম্ভাব্য ফল চারটি: HH, HT, TH, TT।
At most one head মানে সর্বোচ্চ একটি হেড, অর্থাৎ শূন্য বা একটি হেড। এমন ফল তিনটি: HT, TH, TT। তাই সম্ভাবনা ৩ ভাগ ৪।
আরেকভাবে: শুধু দুটোই হেড হওয়া, মানে HH, বাদ দিতে হবে, যার সম্ভাবনা ১ ভাগ ৪। তাই ১ বিয়োগ ১ ভাগ ৪ সমান ৩ ভাগ ৪।
ফাঁদ হলো at most কে exactly ধরে ফেলা: ঠিক একটি হেডের সম্ভাবনা ১ ভাগ ২। আর at least one head হলেও ৩ ভাগ ৪ আসে, তবে ভিন্ন তিনটি ফল নিয়ে।
মনে রাখুন: At most one head = ১ − P(দুটোই হেড) = ১ − ১/৪ = ৩/৪।
২১৩. A train with a length of 150m long, takes 30 seconds to cross a 500m long bridge. How much time will the take to cross a 370m long platform? (জনতা ব্যাংক: অফিসার, রুরাল ক্রেডিট) (২০২৩)
- ক18 sec
- খ24 sec
- গ30 sec
- ঘ36 sec
সঠিক উত্তর: খ. 24 sec
ট্রেন কোনো সেতু বা প্ল্যাটফর্ম পার হতে নিজের দৈর্ঘ্য যোগ সেতুর দৈর্ঘ্য পরিমাণ পথ যায়, কারণ ইঞ্জিন ঢোকা থেকে শেষ বগি বের হওয়া পর্যন্ত গুনতে হয়।
সেতু পার হতে দূরত্ব ১৫০ যোগ ৫০০, মানে ৬৫০ মিটার, সময় ৩০ সেকেন্ড। তাই গতি ৬৫০ ভাগ ৩০, মানে ৬৫ ভাগ ৩ মিটার প্রতি সেকেন্ড।
প্ল্যাটফর্ম পার হতে দূরত্ব ১৫০ যোগ ৩৭০, মানে ৫২০ মিটার। সময় ৫২০ ভাগ ৬৫ ভাগ ৩, মানে ৫২০ গুণ ৩ ভাগ ৬৫, যা ২৪ সেকেন্ড।
ফাঁদ হলো ট্রেনের দৈর্ঘ্য বাদ দিয়ে শুধু সেতু আর প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য তুলনা করা; তখন ভুল সময় আসে।
মনে রাখুন: গতি একই, তাই সময় দূরত্বের অনুপাতে: ৩০ × (১৫০ + ৩৭০) ÷ (১৫০ + ৫০০) = ২৪।
২১৪. A boat covers 143 km upstream in 13 hours and the same distance downstream in 11 hours. What is the speed (in km / hr ) of the boat in still (without stream) water? (জনতা ব্যাংক: অফিসার, রুরাল ক্রেডিট) (২০২৩)
- ক10 km/hr
- খ12 km/hr
- গ14 km/hr
- ঘ8 km/hr
সঠিক উত্তর: খ. 12 km/hr
স্রোতের বিপরীতে নৌকার কার্যকর গতি হয় নৌকার গতি বিয়োগ স্রোতের গতি, আর স্রোতের অনুকূলে হয় নৌকার গতি যোগ স্রোতের গতি।
উজানে ১৪৩ কিলোমিটার ১৩ ঘণ্টায়, তাই উজানের গতি ১১ কিলোমিটার প্রতি ঘণ্টা। ভাটিতে ১১ ঘণ্টায়, তাই ভাটির গতি ১৩ কিলোমিটার প্রতি ঘণ্টা।
স্থির পানিতে নৌকার গতি হলো এই দুটির গড়: ১১ যোগ ১৩, ভাগ ২, মানে ১২ কিলোমিটার প্রতি ঘণ্টা। স্রোতের গতি হবে ১৩ বিয়োগ ১১, ভাগ ২, মানে ১।
ফাঁদ হলো স্রোতের গতি আর নৌকার গতি গুলিয়ে ফেলা, বা উজান-ভাটির একটিকেই উত্তর ধরা।
মনে রাখুন: নৌকার গতি = (ভাটি + উজান) ÷ ২; স্রোত = (ভাটি − উজান) ÷ ২।
২১৫. A student walks from his house at a speed of 2½ km per hour and reaches his school 6 minutes late. The next day he increases his speed by 1 km per hour and reaches 6 minutes before school time. How far is the school from his house? (জনতা ব্যাংক: অফিসার, রুরাল ক্রেডিট) (২০২৩)
- ক1¼ km
- খ1¾ km
- গ2¼ km
- ঘ2¾ km
সঠিক উত্তর: খ. 1¾ km
একই দূরত্ব দুই গতিতে গেলে সময়ের পার্থক্য দিয়ে দূরত্ব বের করা যায়। প্রথম দিন ৬ মিনিট দেরি, দ্বিতীয় দিন ৬ মিনিট আগে, তাই দুই দিনের সময়ের পার্থক্য ১২ মিনিট, মানে ১ ভাগ ৫ ঘণ্টা।
প্রথম দিনের গতি আড়াই, মানে ৫ ভাগ ২ কিলোমিটার প্রতি ঘণ্টা; দ্বিতীয় দিন ১ বাড়িয়ে সাড়ে তিন, মানে ৭ ভাগ ২। দূরত্ব d হলে সময় d ভাগ ৫ ভাগ ২ বিয়োগ d ভাগ ৭ ভাগ ২ সমান ১ ভাগ ৫।
অর্থাৎ ২d ভাগ ৫ বিয়োগ ২d ভাগ ৭ সমান ১ ভাগ ৫। বাঁদিক হয় ৪d ভাগ ৩৫। তাই d সমান ৩৫ ভাগ ২০, মানে ৭ ভাগ ৪, যা ১ পূর্ণ ৩ ভাগ ৪ কিলোমিটার।
ফাঁদ হলো সময়ের পার্থক্য ৬ মিনিট ধরা; দেরি আর আগে পৌঁছানো দুই দিকে, তাই পার্থক্য ৬ যোগ ৬ সমান ১২ মিনিট। ৬ মিনিট ধরলে অর্ধেক, মানে ৭ ভাগ ৮ কিলোমিটার আসত।
মনে রাখুন: দূরত্ব = গতি₁ × গতি₂ × সময়ের পার্থক্য ÷ (গতির পার্থক্য) = ৫/২ × ৭/২ × ১/৫ ÷ ১ = ৭/৪।
২১৬. A man buys an article for 10% less than its value and sells it for 10% more than its value. His gain or loss percentage is- (জনতা ব্যাংক: অফিসার, রুরাল ক্রেডিট) (২০২৩)
- কNo profit, no loss
- খ20% profit
- গLess than 20% profit
- ঘMore than 20% profit
সঠিক উত্তর: ঘ. More than 20% profit
জিনিসটির আসল মূল্য ১০০ টাকা ধরি। ১০ শতাংশ কমে কিনলে ক্রয়মূল্য ৯০ টাকা, আর ১০ শতাংশ বেশিতে বেচলে বিক্রয়মূল্য ১১০ টাকা।
লাভ ১১০ বিয়োগ ৯০, মানে ২০ টাকা। কিন্তু লাভের হার হিসাব হয় ক্রয়মূল্যের উপর, অর্থাৎ ৯০ টাকার উপর, ১০০ টাকার উপর নয়।
২০ ভাগ ৯০ গুণ ১০০ সমান প্রায় ২২ দশমিক ২২ শতাংশ। তাই লাভ ২০ শতাংশের বেশি।
ফাঁদ হলো ১০ যোগ ১০ সমান ২০ শতাংশ ধরা; লাভ ২০ টাকা হলেও তা ৯০ টাকার উপর, তাই হার একটু বেশি।
মনে রাখুন: (১০০ + x) ÷ (১০০ − x) − ১; x = ১০ হলে ১১০/৯০ − ১ = ২/৯ ≈ ২২.২২%।
২১৭. A reservoir has two pipes, A and B. A can fill the reservoir 5 hours faster than B. If both together fill the reservoir in 6 hours, the reservoir will be filled by A alone in- (জনতা ব্যাংক: অফিসার, রুরাল ক্রেডিট) (২০২৩)
- ক8 hours
- খ10 hours
- গ11 hours
- ঘ12 hours
সঠিক উত্তর: খ. 10 hours
নল ও চৌবাচ্চার প্রশ্নে প্রতি ঘণ্টায় কত অংশ ভরে তা যোগ করা হয়। A একা ধরি x ঘণ্টায় ভরে, তাহলে B লাগে x যোগ ৫ ঘণ্টা।
এক ঘণ্টায় A ভরে ১ ভাগ x, B ভরে ১ ভাগ x যোগ ৫। দুজনে মিলে ৬ ঘণ্টায় ভরে, তাই এক ঘণ্টায় ১ ভাগ ৬। সমীকরণ: ১ ভাগ x যোগ ১ ভাগ x যোগ ৫ সমান ১ ভাগ ৬।
সরল করলে x এর বর্গ বিয়োগ ৭x বিয়োগ ৩০ সমান শূন্য, যার উৎপাদক x বিয়োগ ১০ গুণ x যোগ ৩। সময় ঋণাত্মক হয় না, তাই x সমান ১০ ঘণ্টা। যাচাই: ১ ভাগ ১০ যোগ ১ ভাগ ১৫ সমান ১ ভাগ ৬।
সময় বের করার সহজ উপায় হলো অপশন যাচাই। ৮ ঘণ্টা নিলে B লাগে ১৩ ঘণ্টা, কিন্তু একসাথে ৬ ঘণ্টা মেলে না।
মনে রাখুন: অপশন যাচাই: x ও x + ৫ এর গুণফল ÷ যোগফল = ৬ হতে হবে; ১০ × ১৫ ÷ ২৫ = ৬।
২১৮. What is the average of odd numbers from 1 to 40? (জনতা ব্যাংক: অফিসার, রুরাল ক্রেডিট) (২০২৩)
- ক20
- খ21
- গ31
- ঘ41
সঠিক উত্তর: ক. 20
১ থেকে ৪০ পর্যন্ত বিজোড় সংখ্যা হলো ১, ৩, ৫ থেকে ৩৯ পর্যন্ত। এগুলো সমান্তর ধারা, সাধারণ অন্তর ২।
সমান্তর ধারার গড় হলো প্রথম ও শেষ পদের গড়: ১ যোগ ৩৯, ভাগ ২, মানে ২০।
আরেকভাবে: প্রথম n টি বিজোড় সংখ্যার যোগফল n এর বর্গ। এখানে ২০টি বিজোড় সংখ্যা, যোগফল ৪০০, গড় ৪০০ ভাগ ২০ সমান ২০।
ফাঁদ হলো ৪০ কে শেষ পদ ধরে ১ যোগ ৪০ ভাগ ২ হিসাব করা, বা ২১ বেছে নেওয়া; ৪০ জোড়, তাই শেষ বিজোড় পদ ৩৯।
মনে রাখুন: প্রথম n টি বিজোড় সংখ্যার গড় = n। ১ থেকে ৪০ এ বিজোড় ২০টি, তাই গড় ২০।
২১৯. How many different numbers of two digits can be formed with the digits 1, 2, 3, 4, 5, 6; no digit being repeated? (জনতা ব্যাংক: অফিসার, রুরাল ক্রেডিট) (২০২৩)
- ক40
- খ30
- গ35
- ঘ45
সঠিক উত্তর: খ. 30
এটি বিন্যাসের প্রশ্ন, কারণ অঙ্কের ক্রম বদলালে সংখ্যা বদলায়, যেমন ১২ আর ২১ আলাদা।
দশকের ঘরে ৬টি অঙ্কের যেকোনোটি বসতে পারে। পুনরাবৃত্তি নিষেধ, তাই একক ঘরে বাকি ৫টি অঙ্কের যেকোনোটি। মোট ৬ গুণ ৫ সমান ৩০টি সংখ্যা।
এটাই ৬ থেকে ২টি নিয়ে বিন্যাস, অর্থাৎ ৬P২ সমান ৩০। এখানে শূন্য নেই, তাই দশকের ঘরে কোনো অঙ্ক বাদ দিতে হয় না।
ফাঁদ হলো পুনরাবৃত্তি ধরে ৬ গুণ ৬ সমান ৩৬ ভাবা, বা সমাবেশ ধরে ১৫ ভাবা।
মনে রাখুন: n টি অঙ্ক থেকে পুনরাবৃত্তি ছাড়া r অঙ্কের সংখ্যা = nPr; শূন্য থাকলে প্রথম ঘর থেকে শূন্য বাদ দিন।
২২০. If the area of a triangle with base x is equal to the area of a square with side x, then the altitude of the triangle is- (জনতা ব্যাংক: অফিসার, রুরাল ক্রেডিট) (২০২৩)
- কx/2
- খx
- গ2x
- ঘ3x
সঠিক উত্তর: গ. 2x
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হলো ১ ভাগ ২ গুণ ভূমি গুণ উচ্চতা, আর বর্গের ক্ষেত্রফল বাহুর বর্গ।
ত্রিভুজের ভূমি x আর উচ্চতা h হলে ক্ষেত্রফল ১ ভাগ ২ গুণ x গুণ h। বর্গের বাহু x হলে ক্ষেত্রফল x এর বর্গ। দুটো সমান।
তাহলে ১ ভাগ ২ গুণ x গুণ h সমান x এর বর্গ। দুই দিক x দিয়ে ভাগ করে ২ দিয়ে গুণ করলে h সমান ২x।
ফাঁদ হলো ১ ভাগ ২ ভুলে গিয়ে h সমান x ধরা। ত্রিভুজ একই ভূমি ও উচ্চতার আয়তক্ষেত্রের অর্ধেক, তাই সমান ক্ষেত্রফল পেতে উচ্চতা দ্বিগুণ লাগে।
মনে রাখুন: একই ভূমিতে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল আয়তের অর্ধেক; সমান করতে উচ্চতা দ্বিগুণ।