গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৩৩
৬৪১. A and B invest in a business in the ratio 3 : 2. If 5% of the total profit goes to charity and A's share is Tk. 855, the total profit is: (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অ্যাসিস্ট্যান্ট এক্সিকিউটিভ অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- ক500
- খ2,000
- গ1,000
- ঘ1,500
সঠিক উত্তর: ঘ. 1,500
এখানে লাভ ভাগ হওয়ার আগে মোট লাভের ৫ শতাংশ দাতব্য কাজে যায়। বাকি ৯৫ শতাংশ A ও B ভাগ করে ৩ অনুপাত ২ এ।
A পায় বাকি অংশের ৩ ভাগ ৫। তাই A-এর ভাগ সমান মোট লাভের ৯৫ শতাংশের ৩ ভাগ ৫, মানে মোট লাভের ৫৭ শতাংশ।
মোট লাভের ৫৭ শতাংশ সমান ৮৫৫ টাকা, তাই মোট লাভ ৮৫৫ গুণ ১০০ ভাগ ৫৭, যা ১৫০০ টাকা। যাচাই: দাতব্য ৭৫, বাকি ১৪২৫; এর ৩ ভাগ ৫ হলো ৮৫৫।
দাতব্যের অংশ ভুলে গেলে ৮৫৫ কে ৩ ভাগ ৫ দিয়ে ভাগ করে ১৪২৫ পাওয়া যায়, যা আসলে দাতব্য বাদে লাভ, মোট লাভ নয়।
মনে রাখুন: অপশন যাচাই: ১৫০০ এর ৯৫% = ১৪২৫, তার ৩/৫ = ৮৫৫। প্রথম চেষ্টাতেই মিলে যায়।
৬৪২. A man can walk uphill at the rate of 2.5 km/hr and downhill at the rate of 3.25 km/hr. If the total time required walking a certain distance up the hill and return to the starting position is 4 hr 36 min, what is the distance he walked up the hill? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক3.5 km
- খ4.5 km
- গ5.5 km
- ঘ6.5 km
সঠিক উত্তর: ঘ. 6.5 km
প্রশ্নটা সময়-দূরত্ব-গতির। লোকটি একই দূরত্ব পাহাড়ে উঠেছে আবার নেমেছে, শুধু গতি আলাদা। মোট সময় দেওয়া আছে, তাই দূরত্বকে d ধরে ওঠার সময় আর নামার সময় যোগ করলেই সমীকরণ হয়।
প্রথমে সময়কে ঘণ্টায় আনি: ৪ ঘণ্টা ৩৬ মিনিট মানে ৪ দশমিক ৬ ঘণ্টা, কারণ ৩৬ মিনিট হলো ঘণ্টার ৬ দশমাংশ।
ওঠার সময় d ভাগ ২ দশমিক ৫, নামার সময় d ভাগ ৩ দশমিক ২৫। এ দুটো যোগ করে ৪ দশমিক ৬ এর সমান ধরলে d আসে ৬ দশমিক ৫ কিলোমিটার।
যাচাই: ৬ দশমিক ৫ ভাগ ২ দশমিক ৫ হয় ২ দশমিক ৬ ঘণ্টা, আর ৬ দশমিক ৫ ভাগ ৩ দশমিক ২৫ হয় ঠিক ২ ঘণ্টা; মোট ৪ দশমিক ৬ ঘণ্টা। ৩৬ মিনিটকে ভুল করে ০ দশমিক ৩৬ ঘণ্টা ধরলে উত্তর মেলে না, এটাই সাধারণ ফাঁদ।
মনে রাখুন: অপশন বসিয়ে দেখুন: ৬.৫/২.৫ = ২.৬ আর ৬.৫/৩.২৫ = ২, যোগফল ৪.৬ ঘণ্টা মিলে গেল।
৬৪৩. A, B and C enter into a partnership with a certain capital in which A's contribution is TK. 10,000. If out of a total profit of TK. 1,000, A gets Tk. 500, B gets Tk. 300, the C's capital is (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- কTK. 4000
- খTK. 3600
- গTK. 4800
- ঘTK. 4400
সঠিক উত্তর: ক. TK. 4000
অংশীদারি ব্যবসায় সবাই সমান সময় মূলধন খাটালে লাভ ভাগ হয় মূলধনের অনুপাতে। তাই লাভের অনুপাত থেকেই মূলধনের অনুপাত পাওয়া যায়।
মোট লাভ ১ হাজার টাকা। ক পেয়েছে ৫০০, খ পেয়েছে ৩০০, তাই গ পেয়েছে বাকি ২০০ টাকা। লাভের অনুপাত ৫ অনুপাত ৩ অনুপাত ২।
ক-এর মূলধন ১০ হাজার টাকা, যা অনুপাতের ৫ ভাগ। তাহলে ১ ভাগ ২ হাজার টাকা, আর গ-এর ২ ভাগ মানে ৪ হাজার টাকা।
ফাঁদ: গ-এর লাভ আলাদা করে না বের করে খ-এর ৩০০ দিয়ে হিসাব করলে ৬ হাজার আসে, যা খ-এর মূলধন, গ-এর নয়।
মনে রাখুন: গ-এর মূলধন = ক-এর মূলধন × (গ-এর লাভ ÷ ক-এর লাভ) = ১০০০০ × ২০০/৫০০ = ৪০০০।
৬৪৪. The marked price of an article is TK. 500. It is sold on two successive discounts of 20% and 10% .The selling price of that article is (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- কTK. 350
- খTK. 375
- গTK. 360
- ঘTK. 400
সঠিক উত্তর: গ. TK. 360
পরপর দুটি ছাড় মানে প্রথম ছাড়ের পর যে দাম থাকে, দ্বিতীয় ছাড় তার ওপর হয়, মূল দামের ওপর নয়।
চিহ্নিত দাম ৫০০ টাকা। ২০ শতাংশ ছাড়ে ১০০ টাকা কমে, দাম হয় ৪০০ টাকা। এবার ৪০০ টাকার ১০ শতাংশ, মানে ৪০ টাকা কমে, বিক্রয়মূল্য হয় ৩৬০ টাকা।
গুণক দিয়েও করা যায়: ৫০০ কে শূন্য দশমিক ৮ দিয়ে, তারপর শূন্য দশমিক ৯ দিয়ে গুণ করলে ৩৬০।
সবচেয়ে বড় ফাঁদ: দুই ছাড় যোগ করে ৩০ শতাংশ ধরে নেওয়া, তাতে আসে ৩৫০ টাকা। আসলে মোট ছাড় ২৮ শতাংশ, ৩০ নয়।
মনে রাখুন: পরপর ছাড় a% ও b% হলে মোট ছাড় = a + b − ab/১০০ = ২০ + ১০ − ২ = ২৮%; ৫০০ × ০.৭২ = ৩৬০।
৬৪৫. If (p/q)^(x−1) = (q/p)^(x−3), then the value of x is (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক2
- খ1/2
- গ7/2
- ঘ1
সঠিক উত্তর: ক. 2
প্রশ্নটা সূচকের। বাঁ দিকে ভিত্তি p ভাগ q, ডান দিকে তার উল্টো q ভাগ p। প্রশ্নে n ছাপা হলেও খোঁজা হচ্ছে x-এর মান।
কোনো ভগ্নাংশ উল্টে দিলে সূচকের চিহ্ন বদলায়: q ভাগ p এর ঘাত x বিয়োগ ৩ মানে p ভাগ q এর ঘাত ৩ বিয়োগ x। এখন দুই দিকের ভিত্তি এক।
ভিত্তি এক হলে সূচকও সমান: x বিয়োগ ১ সমান ৩ বিয়োগ x। তাহলে ২x সমান ৪, অর্থাৎ x সমান ২।
যাচাই: x সমান ২ বসালে বাঁ দিকে p ভাগ q এর ঘাত ১, ডান দিকে q ভাগ p এর ঘাত মাইনাস ১, যা একই জিনিস। চিহ্ন না বদলে x বিয়োগ ১ সমান x বিয়োগ ৩ লিখলে সমীকরণ অসম্ভব হয়ে যায়; এটাই ফাঁদ।
মনে রাখুন: ভিত্তি উল্টালে সূচকের চিহ্ন বদলায়: (a/b)^n = (b/a)^(−n)।
৬৪৬. A vessel is filled with liquid, 3 parts of which are water and 5 parts syrup. How much of mixture must be drawn off and replaced with water so that the mixture may be half water and half syrup? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক1/3
- খ1/4
- গ1/5
- ঘ1/7
সঠিক উত্তর: গ. 1/5
মিশ্রণে মোট ৮ ভাগের ৩ ভাগ পানি আর ৫ ভাগ সিরাপ। কিছু মিশ্রণ তুলে পানি ঢাললে পানির পরিমাণ বদলায়, কিন্তু সিরাপ শুধু কমে, নতুন করে যোগ হয় না। তাই সিরাপের হিসাব ধরে এগোনোই সহজ।
পাত্রের মোট পরিমাণ ১ ধরি। শেষে অর্ধেক সিরাপ চাই, মানে সিরাপ হবে ১ ভাগ ২। শুরুতে সিরাপ ৫ ভাগ ৮।
মিশ্রণের যে ভগ্নাংশ তোলা হবে তাকে f ধরলে, বাকি থাকে ১ বিয়োগ f অংশ, আর সিরাপ হয় ৫ ভাগ ৮ গুণ ১ বিয়োগ f। একে ১ ভাগ ২ এর সমান করলে ১ বিয়োগ f হয় ৪ ভাগ ৫, অর্থাৎ f সমান ১ ভাগ ৫।
ফাঁদ: পানি আর সিরাপের পার্থক্য ২ ভাগ দেখে সরাসরি ২ ভাগ ৮ বা ১ ভাগ ৪ ধরে নেওয়া। কিন্তু তোলা মিশ্রণে পানিও থাকে, তাই সেটা ভুল।
মনে রাখুন: যে উপাদান শুধু কমে (সিরাপ) তার হিসাব ধরুন: পুরনো অংশ × (১ − f) = নতুন অংশ।
৬৪৭. One -fourth of the boys and three -eight of the girls in a school participated in the annual sports. What proportional part of the total student population of the school participated in the annual sports? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক4/12
- খ5/8
- গ8/12
- ঘNone of these
সঠিক উত্তর: ঘ. None of these
প্রশ্নে বলা আছে ছেলেদের চার ভাগের এক ভাগ আর মেয়েদের আট ভাগের তিন ভাগ খেলায় অংশ নিয়েছে। কিন্তু স্কুলে ছেলে আর মেয়ে কতজন, বা তাদের অনুপাত কত, তা দেওয়া নেই।
মোট অংশগ্রহণের ভগ্নাংশ নির্ভর করে ছেলে-মেয়ের অনুপাতের ওপর। ধরা যাক ছেলে ও মেয়ে সমান, তাহলে ভগ্নাংশ ৫ ভাগ ১৬। আবার ছেলে বেশি হলে তা ১ ভাগ ৪ এর কাছাকাছি, মেয়ে বেশি হলে ৩ ভাগ ৮ এর কাছাকাছি।
অর্থাৎ উত্তর ১ ভাগ ৪ থেকে ৩ ভাগ ৮ এর মধ্যে যেকোনো মান হতে পারে, নির্দিষ্ট করে বলা যায় না। তাই সঠিক উত্তর None of these।
ফাঁদ: দুই ভগ্নাংশের লব ও হর যোগ করে, অথবা ছেলে-মেয়ের অনুপাত নিজে থেকে ধরে নিয়ে ৪ ভাগ ১২ বের করা। ৪ ভাগ ১২ বা ১ ভাগ ৩ আসে শুধু যদি মেয়ে ছেলের দ্বিগুণ হয়, যা প্রশ্নে বলা নেই। আর ৫ ভাগ ৮ তো সম্ভব সর্বোচ্চ ৩ ভাগ ৮ এর চেয়েও বেশি।
মনে রাখুন: দুই দলের আলাদা ভগ্নাংশ দেওয়া থাকলে মোটের ভগ্নাংশ বের করতে দলগুলোর অনুপাত লাগে; না থাকলে উত্তর নির্ণয়যোগ্য নয়।
৬৪৮. If the rate of simple interest is 12% per annum, the amount that would fetch interest of Tk. 6000 per annum is? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- কTk. 50000
- খTK. 7200
- গTK. 72000
- ঘTK. 7200
সঠিক উত্তর: ক. Tk. 50000
সরল মুনাফায় এক বছরের মুনাফা হলো আসল গুণ হার। এখানে বছরে মুনাফা ৬ হাজার টাকা আর হার ১২ শতাংশ, আসল বের করতে হবে।
আসল গুণ ১২ ভাগ ১০০ সমান ৬ হাজার। তাই আসল সমান ৬ হাজারকে ১০০ দিয়ে গুণ করে ১২ দিয়ে ভাগ, অর্থাৎ ৫০ হাজার টাকা।
যাচাই: ৫০ হাজার টাকার ১২ শতাংশ হলো ৬ হাজার টাকা, মিলে গেল।
ফাঁদ: ৬ হাজারকে ১২ শতাংশ দিয়ে গুণ করে ৭২০ বা ৭২০০ জাতীয় সংখ্যা বের করা। মুনাফা থেকে আসল বের করতে হার দিয়ে ভাগ করতে হয়, গুণ নয়।
মনে রাখুন: মুনাফা থেকে আসল: মুনাফা × ১০০ ÷ হার = ৬০০০ × ১০০ ÷ ১২ = ৫০,০০০।
৬৪৯. The compound interest on a certain sum of money for 2 years at 10% per annum is Tk. 420. The simple interest on the same sum at the same rate and for the same time will be? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- কTk. 350
- খTk. 375
- গTk. 380
- ঘTk. 400
সঠিক উত্তর: ঘ. Tk. 400
২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মুনাফা আর সরল মুনাফার পার্থক্য হলো প্রথম বছরের মুনাফার ওপর দ্বিতীয় বছরে পাওয়া মুনাফা। এই সম্পর্ক দিয়েই আসল বের করা যায়।
১০ শতাংশ হারে ২ বছরে চক্রবৃদ্ধি মুনাফা হয় আসলের ২১ শতাংশ, কারণ ১ দশমিক ১ এর বর্গ ১ দশমিক ২১। তাই আসলের ২১ শতাংশ সমান ৪২০ টাকা, আসল ২ হাজার টাকা।
একই আসলে ১০ শতাংশ হারে ২ বছরের সরল মুনাফা হয় আসলের ২০ শতাংশ, মানে ৪০০ টাকা।
আরও দ্রুত: সরল মুনাফা সমান চক্রবৃদ্ধি মুনাফা গুণ ২০ ভাগ ২১, অর্থাৎ ৪২০ গুণ ২০ ভাগ ২১ সমান ৪০০। পার্থক্য ২০ টাকা, যা প্রথম বছরের মুনাফা ২০০ টাকার ১০ শতাংশ।
মনে রাখুন: ১০% হারে ২ বছরে: সরল মুনাফা = চক্রবৃদ্ধি × ২০/২১ = ৪২০ × ২০/২১ = ৪০০।
৬৫০. Tickets numbered 1 to 20 are mixed up and then a ticket is drawn at random. what is the probability that the ticket drawn has a number which is a multiple of 3 or 5? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক½
- খ9/20
- গ3/5
- ঘ8/15
সঠিক উত্তর: খ. 9/20
সম্ভাবনা মানে অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা ভাগ মোট ফলাফলের সংখ্যা। ১ থেকে ২০ পর্যন্ত টিকিট, তাই মোট ফলাফল ২০।
৩-এর গুণিতক: ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, মোট ৬টি। ৫-এর গুণিতক: ৫, ১০, ১৫, ২০, মোট ৪টি।
কিন্তু ১৫ দুই তালিকাতেই আছে, কারণ এটি ৩ আর ৫ দুটোরই গুণিতক। তাই ৬ যোগ ৪ থেকে ১ বাদ দিয়ে অনুকূল সংখ্যা ৯। সম্ভাবনা ৯ ভাগ ২০।
ফাঁদ: ১৫-কে দুবার গুনে ১০ ভাগ ২০, অর্থাৎ ১ ভাগ ২ বের করা। মনে রাখুন, বা শব্দের প্রশ্নে সবসময় দুই তালিকার সাধারণ অংশ একবার বাদ দিতে হয়।
মনে রাখুন: n(A বা B) = n(A) + n(B) − n(A ও B); এখানে ৬ + ৪ − ১ = ৯।
৬৫১. A bag contains 2 red Roses, 4 yellow Roses and 6 pink Roses. Two roses are drawn at random. What is the probability that they are not of same color? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক1/6
- খ14/33
- গ2/3
- ঘ5/6
সঠিক উত্তর: গ. 2/3
মোট গোলাপ ২ যোগ ৪ যোগ ৬, মানে ১২টি। দুটি গোলাপ তোলার মোট উপায় ১২ থেকে ২টি বাছাই, যা ৬৬।
একই রঙের হওয়ার উপায় আগে গুনি: দুটি লাল ১ উপায়, দুটি হলুদ ৬ উপায়, দুটি গোলাপি ১৫ উপায়। মোট ২২ উপায়।
তাই একই রঙের সম্ভাবনা ২২ ভাগ ৬৬, মানে ১ ভাগ ৩। আর একই রঙের না হওয়ার সম্ভাবনা ১ বিয়োগ ১ ভাগ ৩, মানে ২ ভাগ ৩।
উল্টো দিক থেকে হিসাব করা এখানে সহজ। সরাসরি ভিন্ন রঙের জোড়া গুনলেও পাই: লাল-হলুদ ৮, লাল-গোলাপি ১২, হলুদ-গোলাপি ২৪, মোট ৪৪; ৪৪ ভাগ ৬৬ সমান ২ ভাগ ৩। ১ ভাগ ৩ বেছে নেওয়া মানে একই রঙের সম্ভাবনাকেই উত্তর ধরা, যা ফাঁদ।
মনে রাখুন: 'একই নয়' প্রশ্নে আগে 'একই' এর সম্ভাবনা বের করে ১ থেকে বিয়োগ করুন।
৬৫২. The sum of the present ages of a father and his son is 60 years. Five years ago, father's age was four times the age of the son. So now the son's age will be - (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক15 years
- খ5 years
- গ20 years
- ঘ10 years
সঠিক উত্তর: ক. 15 years
বয়সের প্রশ্নে বর্তমান বয়সকে চলক ধরে দুটি শর্ত থেকে দুটি সমীকরণ বানাতে হয়। ছেলের বর্তমান বয়স s, বাবার f ধরি।
প্রথম শর্ত: f যোগ s সমান ৬০। দ্বিতীয় শর্ত: ৫ বছর আগে বাবার বয়স ছেলের চার গুণ, মানে f বিয়োগ ৫ সমান ৪ গুণ s বিয়োগ ৫। এখান থেকে f সমান ৪s বিয়োগ ১৫।
প্রথম সমীকরণে বসালে ৫s বিয়োগ ১৫ সমান ৬০, তাই s সমান ১৫। ছেলের বর্তমান বয়স ১৫ বছর, বাবার ৪৫ বছর।
যাচাই: ৫ বছর আগে ছেলে ১০, বাবা ৪০; ৪০ হলো ১০ এর চার গুণ, মিলে গেল। ৫ বছর আগের বয়স ১০ কে বর্তমান বয়স ভেবে নিলে ভুল অপশন বেছে ফেলবেন, এটাই ফাঁদ।
মনে রাখুন: অপশন বসান: s = ১৫ হলে বাবা ৪৫; ৫ বছর আগে ১০ ও ৪০, চার গুণ মিলে গেল।
৬৫৩. A hall is 15 m long and 12 m broad. If the sum of the areas of the floor and the ceiling is equal to the sum of the areas of four walls, the volume of the hall is? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক720 m³
- খ1200 m³
- গ900 m³
- ঘ1800 m³
সঠিক উত্তর: খ. 1200 m³
প্রশ্নটি ঘরের মেঝে, ছাদ আর চার দেয়ালের ক্ষেত্রফলের সম্পর্ক থেকে উচ্চতা বের করে আয়তন জানতে চেয়েছে। মেঝে আর ছাদ দুটোরই ক্ষেত্রফল দৈর্ঘ্য গুণ প্রস্থ, তাই দুটো মিলে ২ গুণ দৈর্ঘ্য গুণ প্রস্থ।
চার দেয়ালের ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো ২ গুণ দৈর্ঘ্য যোগ প্রস্থ, তারপর উচ্চতা দিয়ে গুণ। দুটো সমান ধরলে দুই পাশের ২ কেটে যায়, থাকে দৈর্ঘ্য গুণ প্রস্থ সমান দৈর্ঘ্য যোগ প্রস্থ গুণ উচ্চতা।
এখানে দৈর্ঘ্য গুণ প্রস্থ ১৮০, আর দৈর্ঘ্য যোগ প্রস্থ ২৭। তাই উচ্চতা ১৮০ ভাগ ২৭, মানে ২০ ভাগ ৩ মিটার।
আয়তন হলো দৈর্ঘ্য গুণ প্রস্থ গুণ উচ্চতা: ১৮০ গুণ ২০ ভাগ ৩, যা ১২০০ ঘনমিটার। উচ্চতাকে দশমিকে না ভেঙে ভগ্নাংশেই রাখলে হিসাব নির্ভুল ও দ্রুত হয়।
মনে রাখুন: শর্ত থেকে সরাসরি h = lb ÷ (l + b), তাই আয়তন = (lb)² ÷ (l + b) = ১৮০² ÷ ২৭ = ১২০০।
৬৫৪. A cylindrical rod of iron, whose height is equal to its radius, is melted and cast into spherical balls whose radius is half the radius of the rod. Find the number of balls. (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক2
- খ3
- গ4
- ঘ6
সঠিক উত্তর: ঘ. 6
প্রশ্নটি গলিয়ে নতুন আকার দেওয়ার ধারণা পরীক্ষা করছে। গলালে লোহার মোট আয়তন বদলায় না, তাই বলের সংখ্যা হলো রডের আয়তনকে একটি বলের আয়তন দিয়ে ভাগ। প্রশ্নে east শব্দটি আসলে cast, মানে ঢালাই করা।
রডের ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতাও r, তাই সিলিন্ডারের আয়তন পাই গুণ r বর্গ গুণ r, অর্থাৎ পাই r ঘন।
প্রতিটি বলের ব্যাসার্ধ r ভাগ ২। গোলকের আয়তন ৪ ভাগ ৩ পাই গুণ ব্যাসার্ধের ঘন, তাই একটি বলের আয়তন ৪ ভাগ ৩ গুণ ১ ভাগ ৮ পাই r ঘন, অর্থাৎ ১ ভাগ ৬ পাই r ঘন।
এখন পাই r ঘনকে ১ ভাগ ৬ পাই r ঘন দিয়ে ভাগ করলে পাই ৬। অনেকে ব্যাসার্ধ অর্ধেক দেখে আয়তনও অর্ধেক ভেবে ২ বলেন, কিন্তু ব্যাসার্ধ অর্ধেক হলে আয়তন হয় ৮ ভাগের ১ ভাগ।
মনে রাখুন: ব্যাসার্ধ অর্ধেক হলে গোলকের আয়তন ৮ ভাগের ১ ভাগ; তাই সংখ্যা = πr³ ÷ (৪/৩ × πr³/৮) = ৬।
৬৫৫. A person's present age is two-fifth of the age of his mother. After 8 years, he will be one-half of the age of his mother. How old is the mother at present? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক36 years
- খ38 years
- গ40 years
- ঘ42 years
সঠিক উত্তর: গ. 40 years
প্রশ্নটি বয়সের সমস্যা, যেখানে বর্তমান অনুপাত আর ভবিষ্যৎ অনুপাত দিয়ে সমীকরণ গড়তে হয়। মায়ের বর্তমান বয়স m ধরলে ছেলের বয়স ২ ভাগ ৫ গুণ m।
৮ বছর পরে দুজনেরই বয়স ৮ বছর বাড়বে। তখন ছেলের বয়স মায়ের বয়সের অর্ধেক, তাই ২ ভাগ ৫ m যোগ ৮ সমান m যোগ ৮ এর অর্ধেক।
সমীকরণটি সরল করলে ২ ভাগ ৫ m যোগ ৮ সমান m ভাগ ২ যোগ ৪, অর্থাৎ m ভাগ ১০ সমান ৪। তাই m সমান ৪০ বছর।
যাচাই: মা ৪০, ছেলে ১৬; ৮ বছর পরে মা ৪৮, ছেলে ২৪, যা ঠিক অর্ধেক। ভুল হয় যখন কেউ ৮ বছর শুধু ছেলের বয়সে যোগ করেন, মায়েরটায় নয়।
মনে রাখুন: অপশন যাচাই: ৪০ এর ২/৫ = ১৬; ১৬ + ৮ = ২৪ আর ৪০ + ৮ = ৪৮, ২৪ হলো ৪৮ এর অর্ধেক। মিলে গেল।
৬৫৬. The length of a rectangle is halved, while its breadth is tripled. What is the percentage change in area? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক50% increase
- খ25% increase
- গ50% decrease
- ঘ75% decrease
সঠিক উত্তর: ক. 50% increase
প্রশ্নটি দুটো মাত্রা একসাথে বদলালে ক্ষেত্রফল কত শতাংশ বদলায়, তা দেখছে। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল দৈর্ঘ্য গুণ প্রস্থ, তাই দুটো পরিবর্তনের গুণক একে অপরের সাথে গুণ হয়।
দৈর্ঘ্য অর্ধেক মানে গুণক ১ ভাগ ২, আর প্রস্থ তিন গুণ মানে গুণক ৩। নতুন ক্ষেত্রফল পুরনোটির ১ ভাগ ২ গুণ ৩, মানে ১ দশমিক ৫ গুণ।
১ দশমিক ৫ গুণ মানে আগের চেয়ে অর্ধেক বেশি, অর্থাৎ ৫০ শতাংশ বৃদ্ধি। সহজে বুঝতে দৈর্ঘ্য ১০ আর প্রস্থ ১০ ধরলে ক্ষেত্রফল ১০০; নতুন দৈর্ঘ্য ৫ আর প্রস্থ ৩০ হলে ক্ষেত্রফল ১৫০।
ফাঁদ হলো অর্ধেক দেখে ৫০ শতাংশ হ্রাস বলে ফেলা; কিন্তু প্রস্থ তিন গুণ হওয়ায় সামগ্রিকভাবে ক্ষেত্রফল বেড়েছে।
মনে রাখুন: গুণক গুণ করুন: ½ × ৩ = ১.৫, মানে ৫০% বৃদ্ধি।
৬৫৭. Fresh fruit contains 68% water and dry fruit contains 20% water. How much dry fruit can be obtained from 100 kg of fresh fruits? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক20 kg
- খ30 kg
- গ35 kg
- ঘ40 kg
সঠিক উত্তর: ঘ. 40 kg
প্রশ্নটি শুকানোর সমস্যা। শুকালে শুধু পানি কমে, শাঁস বা শুকনো অংশের ওজন একই থাকে। তাই হিসাবটা সবসময় শুকনো অংশ ধরে করতে হয়।
তাজা ফলে ৬৮ শতাংশ পানি, তাই ১০০ কেজিতে শুকনো অংশ ৩২ কেজি।
শুকনো ফলে পানি ২০ শতাংশ, অর্থাৎ শুকনো অংশ ৮০ শতাংশ। এই ৮০ শতাংশই সেই ৩২ কেজি। তাহলে পুরো শুকনো ফল ৩২ ভাগ ৮০ গুণ ১০০, মানে ৪০ কেজি।
ফাঁদ হলো পানির শতাংশ বিয়োগ করে ৪৮ শতাংশ ধরে নেওয়া, বা শুধু ৩২ কেজি বলে ফেলা। ৩২ কেজি শুকনো অংশ, কিন্তু শুকনো ফলেও কিছু পানি থাকে।
মনে রাখুন: শুকনো ফল = তাজা ওজন × (১০০ − তাজার পানি%) ÷ (১০০ − শুকনোর পানি%) = ১০০ × ৩২ ÷ ৮০ = ৪০।
৬৫৮. A tap can fill a tank in 6 hours. After half the tank is filled, three more similar taps are opened. What is the total time taken to fill the tank completely? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক3 hrs 15 min
- খ3 hrs 45 min
- গ4 hrs 15 min
- ঘNone of these
সঠিক উত্তর: খ. 3 hrs 45 min
প্রশ্নটি নল ও চৌবাচ্চার কাজের সমস্যা, যেখানে মাঝপথে কাজের হার বদলে যায়। তাই কাজটাকে দুই ভাগে ভাগ করে আলাদা সময় বের করে যোগ করতে হয়।
একটি নল পুরো ট্যাংক ৬ ঘণ্টায় ভরে, তাই অর্ধেক ভরতে লাগে ৩ ঘণ্টা।
এরপর আরও ৩টি একই রকম নল খোলা হলো, মোট ৪টি নল। ৪টি নল একসাথে পুরো ট্যাংক ভরত ৬ ভাগ ৪, মানে দেড় ঘণ্টায়; তাই বাকি অর্ধেক ভরতে লাগে পৌনে এক ঘণ্টা, অর্থাৎ ৪৫ মিনিট।
মোট সময় ৩ ঘণ্টা ৪৫ মিনিট। অনেকে ভুল করে নতুন ৩টি নল ধরে মোট ৩টি গোনেন, তখন বাকি অর্ধেকে ১ ঘণ্টা লাগে বলে মনে হয়; কিন্তু আগের নলটিও চালু থাকে।
মনে রাখুন: একই কাজ n গুণ নল করলে সময় n ভাগের ১ ভাগ: ৩ ঘণ্টা ÷ ৪ = ৪৫ মিনিট; মোট ৩ ঘণ্টা ৪৫ মিনিট।
৬৫৯. The salaries of A, B and C are in the ratio of 1 : 2 : 3 The salary of B and C together is TK. 6000. By what percent is the salary of C more than that of A? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক100%
- খ150%
- গ200%
- ঘ250%
সঠিক উত্তর: গ. 200%
প্রশ্নটি অনুপাত থেকে শতকরা বেশি বের করার। একটা তথ্য ইচ্ছা করে বাড়তি দেওয়া হয়েছে: B ও C এর মোট বেতন ৬০০০ টাকা। শতকরা তুলনার জন্য শুধু অনুপাতই যথেষ্ট।
A, B, C এর বেতন ১, ২, ৩ অনুপাতে। C এর বেতন A এর চেয়ে ৩ বিয়োগ ১, মানে ২ অংশ বেশি।
কতো শতাংশ বেশি, তা সবসময় যার সাথে তুলনা তার উপর হিসাব হয়, এখানে A এর উপর। তাই ২ ভাগ ১ গুণ ১০০, মানে ২০০ শতাংশ বেশি।
টাকায় দেখলেও একই: ৫ অংশে ৬০০০ টাকা, তাই ১ অংশে ১২০০ টাকা; A পান ১২০০, C পান ৩৬০০, পার্থক্য ২৪০০, যা ১২০০ এর ২০০ শতাংশ। ফাঁদ হলো C কে A এর ৩০০ শতাংশ দেখে বা পার্থক্যকে C দিয়ে ভাগ করে ভুল হার বলা।
মনে রাখুন: অনুপাত থেকেই: (৩ − ১) ÷ ১ × ১০০ = ২০০%। টাকার অঙ্ক লাগে না।
৬৬০. Two numbers are in the ratio 3 : 7 . If 6 be added to each of them, then they are in the ratio 5 : 9 Find the numbers? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক9 and 21
- খ11 and 17
- গ7 and 17
- ঘ12 and 23
সঠিক উত্তর: ক. 9 and 21
প্রশ্নটি অনুপাতে একই সংখ্যা যোগ করলে নতুন অনুপাত দেখে মূল সংখ্যা বের করার। সংখ্যা দুটি ৩x আর ৭x ধরে সমীকরণ গঠন করতে হয়।
প্রত্যেকটির সাথে ৬ যোগ করলে অনুপাত হয় ৫ : ৯। তাই ৩x যোগ ৬ ভাগ ৭x যোগ ৬ সমান ৫ ভাগ ৯।
আড়গুণ করলে ২৭x যোগ ৫৪ সমান ৩৫x যোগ ৩০, অর্থাৎ ৮x সমান ২৪, তাই x সমান ৩। সংখ্যা দুটি ৯ আর ২১।
যাচাই: ৯ যোগ ৬ সমান ১৫ আর ২১ যোগ ৬ সমান ২৭; ১৫ : ২৭ সরল করলে ৫ : ৯। অপশন থেকে দ্রুত বাছাই করতে আগে দেখুন কোন জোড়া ৩ : ৭ অনুপাতে আছে; এখানে শুধু ৯ ও ২১।
মনে রাখুন: অপশনগুলোর মধ্যে শুধু ৯ ও ২১ জোড়াটি ৩ : ৭ অনুপাতে; বাকিগুলো প্রথম শর্তই মানে না।