গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৩২
৬২১. A person travels a certain distance at 3 km/hr and reaches 15 min late. If he travels at 4 km/hr, he reaches 15 min earlier. The distance he has to travel is (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অ্যাসিস্ট্যান্ট এক্সিকিউটিভ অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- ক4.5 km
- খ6 km
- গ7.2 km
- ঘ12 km
সঠিক উত্তর: খ. 6 km
দুই গতিতে একই দূরত্ব গেলে সময়ের পার্থক্য দিয়ে দূরত্ব বের করা যায়। ঘণ্টায় ৩ কিলোমিটারে ১৫ মিনিট দেরি, আর ৪ কিলোমিটারে ১৫ মিনিট আগে; তাই দুই যাত্রার সময়ের পার্থক্য মোট ৩০ মিনিট, মানে আধা ঘণ্টা।
দূরত্ব d হলে সময় হয় d ভাগ ৩ আর d ভাগ ৪ ঘণ্টা। পার্থক্য d ভাগ ৩ বিয়োগ d ভাগ ৪, মানে d ভাগ ১২, যা আধা ঘণ্টার সমান।
তাই d সমান ১২ গুণ আধা, মানে ৬ কিলোমিটার। যাচাই: ৬ কিলোমিটার ৩ গতিতে ২ ঘণ্টা, ৪ গতিতে দেড় ঘণ্টা; পার্থক্য আধা ঘণ্টা।
অনেকে দেরি আর আগের ১৫ মিনিট যোগ না করে শুধু ১৫ মিনিট পার্থক্য ধরেন, তাতে ৩ কিলোমিটার আসে; আবার ঘণ্টায় না নিয়ে মিনিটে রাখলে বড় ভুল সংখ্যা আসে।
মনে রাখুন: দূরত্ব = (গতি১ × গতি২ ÷ গতির পার্থক্য) × সময়ের পার্থক্য = (৩ × ৪ ÷ ১) × ১/২ = ৬ কিমি।
৬২২. A boy travelled from the home to the college at the rate of 25 km/hr and walked back at the rate of 4 km/hr. If the whole journey took 5 hours 48 minutes, Find the distance of the college from the home? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অ্যাসিস্ট্যান্ট এক্সিকিউটিভ অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- ক5 km
- খ10 km
- গ15 km
- ঘ20 km
সঠিক উত্তর: ঘ. 20 km
যাওয়া-আসার দূরত্ব একই, শুধু গতি আলাদা। মোট সময় হলো যাওয়ার সময় আর ফেরার সময়ের যোগফল।
দূরত্ব d হলে যাওয়ার সময় d ভাগ ২৫ আর ফেরার সময় d ভাগ ৪ ঘণ্টা। মোট সময় ৫ ঘণ্টা ৪৮ মিনিট, মানে ৫ দশমিক ৮ ঘণ্টা, কারণ ৪৮ মিনিট হলো ৪৮ ভাগ ৬০ বা ০ দশমিক ৮ ঘণ্টা।
d ভাগ ২৫ যোগ d ভাগ ৪ সমান ২৯ d ভাগ ১০০। এটি ৫ দশমিক ৮ এর সমান, তাই d সমান ৫৮০ ভাগ ২৯, মানে ২০ কিলোমিটার। যাচাই: যেতে ০ দশমিক ৮ ঘণ্টা, ফিরতে ৫ ঘণ্টা; মোট ৫ দশমিক ৮।
৪৮ মিনিটকে ০ দশমিক ৪৮ ঘণ্টা ধরা সবচেয়ে সাধারণ ভুল।
মনে রাখুন: বিকল্প বসিয়ে দেখুন: ২০ কিমি হলে ২০/২৫ = ০.৮ আর ২০/৪ = ৫; মোট ৫.৮ ঘণ্টা মেলে।
৬২৩. ( 1372 + 959 ) ÷ 292 × 19 . 003 = ? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অ্যাসিস্ট্যান্ট এক্সিকিউটিভ অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- ক77
- খ97
- গ39
- ঘ19
- ঙকোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর: ঙ. কোনোটিই নয়
এটি আসন্ন মান বা approximation এর প্রশ্ন। নিয়ম হলো আগে বন্ধনীর ভেতরের কাজ, তারপর বাম থেকে ডানে ভাগ আর গুণ।
বন্ধনীর ভেতরে ১৩৭২ যোগ ৯৫৯ সমান ২৩৩১। একে ২৯২ দিয়ে ভাগ করলে আসে প্রায় ৭ দশমিক ৯৮, মানে প্রায় ৮; কারণ ২৯২ গুণ ৮ হলো ২৩৩৬, যা ২৩৩১ এর খুব কাছে।
এরপর ১৯ দশমিক শূন্য শূন্য ৩ কে প্রায় ১৯ ধরে গুণ করলে ৮ গুণ ১৯, মানে প্রায় ১৫২। সঠিক হিসাবেও মান প্রায় ১৫১ দশমিক ৭।
চারটি বিকল্পের কোনোটিই ১৫২ এর কাছে নয়। তাই ছাপা প্রশ্ন অনুযায়ী কোনো বিকল্প সঠিক নয়; উত্তরমালায় দেওয়া ৭৭ সম্ভবত প্রশ্নের কোনো ছাপার ভুলের কারণে।
মনে রাখুন: আসন্ন মানের প্রশ্নে ভাজককে গুণিতকের কাছাকাছি সংখ্যায় গোল করুন: ২৯২ × ৮ = ২৩৩৬ ≈ ২৩৩১।
৬২৪. Two men and three women can repair a bridge in 10 days while three men and two women can to same work in 8 days. If two men and one woman are used to finish this work, in how many days they will complete it? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অ্যাসিস্ট্যান্ট এক্সিকিউটিভ অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- ক15.0 days
- খ13.5 days
- গ11.0 days
- ঘ12.5 days
সঠিক উত্তর: ঘ. 12.5 days
পুরুষ আর নারীর কাজের হার আলাদা, তাই আগে দুটোকে একই এককে আনতে হবে। একই কাজ দুই দল করেছে, তাই দুই দলের মোট শ্রম-দিন সমান।
প্রথম দল ২ পুরুষ ৩ নারী, ১০ দিন; দ্বিতীয় দল ৩ পুরুষ ২ নারী, ৮ দিন। ১০ গুণ ২ পুরুষ ৩ নারী সমান ৮ গুণ ৩ পুরুষ ২ নারী: ২০ পুরুষ যোগ ৩০ নারী সমান ২৪ পুরুষ যোগ ১৬ নারী। তাই ১৪ নারী সমান ৪ পুরুষ, অর্থাৎ ১ পুরুষ সমান সাড়ে ৩ নারী।
মোট কাজ নারী-দিনে: ২ পুরুষ ৩ নারী মানে ৭ যোগ ৩, ১০ নারী; ১০ দিনে তাই ১০০ নারী-দিন। ২ পুরুষ ১ নারী মানে ৭ যোগ ১, ৮ নারী। সময় ১০০ ভাগ ৮, মানে সাড়ে ১২ দিন।
একজন পুরুষকে একজন নারীর সমান ধরলে ভুল উত্তর আসে; এই প্রশ্নের মূল কাজ হলো তুলনামূলক হার বের করা।
মনে রাখুন: m = ৩.৫w বের করে সবাইকে নারীতে রূপান্তর করুন; তারপর মোট কাজ ÷ নতুন দলের নারী-সংখ্যা।
৬২৫. A boatman takes twice as long to go a distance upstream as to travel the same distance downstream. What is the ratio of the speed of the boatman (in still water) and the current? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অ্যাসিস্ট্যান্ট এক্সিকিউটিভ অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- ক2 : 3
- খ3 : 1
- গ1 : 3
- ঘ4 : 3
সঠিক উত্তর: খ. 3 : 1
নৌকার প্রশ্নে স্রোতের অনুকূলে গতি হলো নৌকার গতি যোগ স্রোতের গতি, আর প্রতিকূলে নৌকার গতি বিয়োগ স্রোতের গতি। একই দূরত্বে সময় গতির উল্টো অনুপাতে চলে।
উজানে সময় ভাটির দ্বিগুণ, তাই ভাটির গতি উজানের গতির দ্বিগুণ। নৌকার গতি b আর স্রোতের গতি c হলে, b যোগ c সমান ২ গুণ b বিয়োগ c।
সরল করলে b যোগ c সমান ২b বিয়োগ ২c, তাই b সমান ৩c। অর্থাৎ নৌকার গতি আর স্রোতের গতির অনুপাত ৩ অনুপাত ১।
উল্টে ১ অনুপাত ৩ লেখা সাধারণ ভুল; প্রশ্নে আগে নৌকা, পরে স্রোত।
মনে রাখুন: উজানে সময় ভাটির n গুণ হলে নৌকা : স্রোত = (n + ১) : (n − ১) = (২ + ১) : (২ − ১) = ৩ : ১।
৬২৬. Speed of a boat in standing water is 9 km/hr and the speed of the stream is 1.5 km/hr. A man rows to a place at a distance of 105 km and comes back to the starting point .The total time taken by him is - (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অ্যাসিস্ট্যান্ট এক্সিকিউটিভ অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- ক18
- খ16
- গ24
- ঘ20
সঠিক উত্তর: গ. 24
স্থির পানিতে নৌকার গতি ঘণ্টায় ৯ কিলোমিটার, স্রোতের গতি দেড় কিলোমিটার। ভাটিতে গতি দুটোর যোগফল, ঘণ্টায় সাড়ে ১০ কিলোমিটার; উজানে বিয়োগফল, ঘণ্টায় সাড়ে ৭ কিলোমিটার।
১০৫ কিলোমিটার ভাটিতে যেতে লাগে ১০৫ ভাগ সাড়ে ১০, মানে ১০ ঘণ্টা। ফিরতে উজানে লাগে ১০৫ ভাগ সাড়ে ৭, মানে ১৪ ঘণ্টা।
মোট সময় ১০ যোগ ১৪, মানে ২৪ ঘণ্টা।
অনেকে মোট দূরত্ব ২১০ কে নৌকার গতি ৯ দিয়ে ভাগ করে গড় ধরেন, এতে প্রায় ২৩ দশমিক ৩ আসে; কিন্তু স্রোত দুই দিকে সমানভাবে কাটাকাটি হয় না, কারণ উজানে বেশি সময় কাটে।
মনে রাখুন: মোট সময় = ২ × দূরত্ব × নৌকার গতি ÷ (নৌকা² − স্রোত²) = ২ × ১০৫ × ৯ ÷ (৮১ − ২.২৫) = ২৪।
৬২৭. A, B and C invested capitals in the ratio of 4 : 6 : 9. At the end of the business term, they received the profit in the ratio of 2 : 3 : 5. Find the ratio of their time for which they contributed their capitals. (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অ্যাসিস্ট্যান্ট এক্সিকিউটিভ অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- ক1 :1 : 9
- খ2 : 2 : 9
- গ10 : 10 : 9
- ঘ9 : 9: 10
সঠিক উত্তর: ঘ. 9 : 9: 10
এটা অংশীদারি ব্যবসার প্রশ্ন, যেখানে মূলধন আর লাভের অনুপাত দেওয়া আছে, সময় বের করতে হবে। মূল নিয়ম: লাভ সমানুপাতিক মূলধন গুণ সময়ের।
তাই সময় হলো লাভ ভাগ মূলধন। A-এর সময় ২ ভাগ ৪, মানে ১ ভাগ ২। B-এর সময় ৩ ভাগ ৬, এটাও ১ ভাগ ২। C-এর সময় ৫ ভাগ ৯।
ভগ্নাংশগুলো পূর্ণসংখ্যায় আনতে হরগুলোর লসাগু ১৮ দিয়ে গুণ করি। তাহলে পাই ৯, ৯ এবং ১০। সুতরাং সময়ের অনুপাত ৯ অনুপাত ৯ অনুপাত ১০।
অনেকে ভুল করে মূলধনকে লাভ দিয়ে ভাগ করেন, তাতে উল্টো অনুপাত ১০ অনুপাত ১০ অনুপাত ৯ আসে। মনে রাখবেন, সময় হলো লাভ ভাগ মূলধন, উল্টোটা নয়।
মনে রাখুন: লাভের অনুপাতের প্রতিটি পদকে মূলধনের সংশ্লিষ্ট পদ দিয়ে ভাগ করুন, তারপর লসাগু দিয়ে গুণ: (২/৪ : ৩/৬ : ৫/৯) × ১৮ = ৯ : ৯ : ১০।
৬২৮. A trader marks his goods at 20% above the cost price . If he allows a discount of 5% for his down payment, his profit percent for such a transaction is - (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অ্যাসিস্ট্যান্ট এক্সিকিউটিভ অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- ক15%
- খ12%
- গ14%
- ঘ17%
সঠিক উত্তর: গ. 14%
প্রশ্নটা চিহ্নিত মূল্য আর ছাড়ের সম্পর্ক যাচাই করছে। ছাড় সবসময় চিহ্নিত মূল্যের উপর দেওয়া হয়, কিন্তু লাভের হার হিসাব হয় ক্রয়মূল্যের উপর।
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা ধরি। ২০ শতাংশ বেশি চিহ্নিত করলে চিহ্নিত মূল্য ১২০ টাকা। এর উপর ৫ শতাংশ ছাড় মানে ১২০ এর ৫ শতাংশ, অর্থাৎ ৬ টাকা।
তাহলে বিক্রয়মূল্য ১২০ বিয়োগ ৬, মানে ১১৪ টাকা। ১০০ টাকার জিনিসে ১৪ টাকা লাভ, তাই লাভের হার ১৪ শতাংশ।
সাধারণ ফাঁদ হলো ২০ থেকে ৫ সরাসরি বাদ দিয়ে ১৫ শতাংশ বলা। কিন্তু ৫ শতাংশ ছাড়টা ১০০ এর উপর নয়, ১২০ এর উপর; তাই ছাড়ের পরিমাণ ৬ টাকা, ৫ টাকা নয়।
মনে রাখুন: লাভ% = (১ + ০.২০) × (১ − ০.০৫) − ১ = ১.১৪ − ১ = ১৪%। অথবা ২০ − ৫ − (২০ × ৫ ÷ ১০০) = ১৪।
৬২৯. If a = √3/2, then √(1 + a) + √(1 − a) = ? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অ্যাসিস্ট্যান্ট এক্সিকিউটিভ অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- ক√3
- খ(2 − √3)
- গ(2 + √3)
- ঘ√3/2
সঠিক উত্তর: ক. √3
প্রশ্নে বর্গমূল চিহ্নগুলো ছাপায় হারিয়ে গেছে। আসল প্রশ্ন: a সমান রুট ৩ ভাগ ২ হলে, রুট ওভার ১ যোগ a, যোগ রুট ওভার ১ বিয়োগ a এর মান কত।
কৌশল হলো রুটের ভেতরের রাশিকে পূর্ণবর্গ বানানো। ১ যোগ রুট ৩ ভাগ ২ লিখি ২ যোগ রুট ৩ ভাগ ২ হিসেবে। লব-হরকে ২ দিয়ে গুণ করলে হয় ৪ যোগ ২ রুট ৩ ভাগ ৪, আর ৪ যোগ ২ রুট ৩ হলো রুট ৩ যোগ ১ এর বর্গ।
তাই প্রথম পদের মান রুট ৩ যোগ ১ ভাগ ২। একইভাবে ১ বিয়োগ a থেকে পাই রুট ৩ বিয়োগ ১ ভাগ ২।
দুটো যোগ করলে ১ আর বিয়োগ ১ কেটে যায়, থাকে ২ রুট ৩ ভাগ ২, মানে রুট ৩। ফাঁদ হলো ২ যোগ রুট ৩ বা ২ বিয়োগ রুট ৩, যা রুটের ভেতরের রাশি থেকে আসে, রুট নেওয়ার আগের ধাপ।
মনে রাখুন: a = cos ৩০° ধরলে √(১ + cos θ) + √(১ − cos θ) = √২ (cos θ/২ + sin θ/২); θ = ৩০° বসিয়েও √৩ আসে। ক্যালকুলেটর মাথায়: ১.৩৬৬ + ০.৩৬৬ = ১.৭৩২ = √৩।
৬৩০. Some money is divided amongst three workers A,B and C such that 5 times A's share is equal to 12 times B's share which is equal to 6 times C's share. The ratio between the shares of A,B and C is? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অ্যাসিস্ট্যান্ট এক্সিকিউটিভ অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- ক5 : 10 :12
- খ10 : 12 : 5
- গ12 : 5 : 10
- ঘ5 : 12 : 10
সঠিক উত্তর: গ. 12 : 5 : 10
যখন বলা হয় কয়েকজনের ভাগের বিভিন্ন গুণিতক সমান, তখন প্রত্যেকের ভাগ সেই গুণকের উল্টো অনুপাতে হয়। যে বেশি দিয়ে গুণ হয়, তার ভাগ কম।
৫ গুণ A সমান ১২ গুণ B সমান ৬ গুণ C, এই সাধারণ মানকে k ধরি। তাহলে A সমান k ভাগ ৫, B সমান k ভাগ ১২, C সমান k ভাগ ৬।
অনুপাত ১ ভাগ ৫ অনুপাত ১ ভাগ ১২ অনুপাত ১ ভাগ ৬। ৫, ১২ ও ৬ এর লসাগু ৬০ দিয়ে গুণ করলে পাই ১২ অনুপাত ৫ অনুপাত ১০।
প্রধান ফাঁদ হলো গুণকগুলোকেই সরাসরি অনুপাত ধরে ৫ অনুপাত ১২ অনুপাত ১০ এর মতো কিছু বেছে নেওয়া। গুণক বড় মানে ভাগ ছোট, তাই B-এর ভাগই সবচেয়ে কম।
মনে রাখুন: aA = bB = cC হলে A : B : C = ১/a : ১/b : ১/c। এখানে লসাগু ৬০ কে ৫, ১২, ৬ দিয়ে ভাগ করলেই ১২ : ৫ : ১০।
৬৩১. At simple interest of 5%, 6% and 8% for three consecutive years, the interest earned is TK. 760. Find the principal? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অ্যাসিস্ট্যান্ট এক্সিকিউটিভ অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- কTk. 4000
- খTK. 4600
- গTK. 3200
- ঘTK. 3600
সঠিক উত্তর: ক. Tk. 4000
সরল মুনাফায় প্রতি বছর মুনাফা হয় একই আসলের উপর। তাই তিন বছরে ভিন্ন ভিন্ন হার থাকলে হারগুলো সরাসরি যোগ করা যায়।
তিন বছরের মোট হার ৫ যোগ ৬ যোগ ৮, মানে ১৯ শতাংশ। অর্থাৎ আসলের ১৯ শতাংশই হলো ৭৬০ টাকা।
তাহলে আসল সমান ৭৬০ গুণ ১০০ ভাগ ১৯, যা ৪০০০ টাকা। যাচাই: ৪০০০ এর ৫ শতাংশ ২০০, ৬ শতাংশ ২৪০, ৮ শতাংশ ৩২০; যোগফল ৭৬০।
চক্রবৃদ্ধি ভেবে প্রতি বছর আসল বাড়িয়ে হিসাব করলে ভুল সংখ্যা আসে। প্রশ্নে স্পষ্ট বলা আছে সরল মুনাফা।
মনে রাখুন: আসল = মোট মুনাফা × ১০০ ÷ (হারগুলোর যোগফল) = ৭৬০০০ ÷ ১৯ = ৪০০০।
৬৩২. If the compound interest of a certain sum of money for two successive years be Tk. 225 and Tk. 238.50 . What is the rate of interest per annum? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অ্যাসিস্ট্যান্ট এক্সিকিউটিভ অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- ক5%
- খ7%
- গ10%
- ঘ6%
সঠিক উত্তর: ঘ. 6%
চক্রবৃদ্ধিতে দ্বিতীয় বছরের মুনাফা প্রথম বছরের চেয়ে বেশি হয়, কারণ দ্বিতীয় বছরে প্রথম বছরের মুনাফার উপরও মুনাফা আসে।
দুই বছরের মুনাফার পার্থক্য ২৩৮ দশমিক ৫০ বিয়োগ ২২৫, মানে ১৩ দশমিক ৫০ টাকা। এই বাড়তি টাকাটা হলো প্রথম বছরের মুনাফা ২২৫ টাকার উপর এক বছরের মুনাফা।
তাই হার সমান ১৩ দশমিক ৫ ভাগ ২২৫ গুণ ১০০, যা ৬ শতাংশ।
ফাঁদ হলো ১৩ দশমিক ৫ কে আসলের হার ভেবে বা ২২৫ কে আসল ধরে অন্য কিছু হিসাব করা। পরপর দুই বছরের মুনাফা দেওয়া থাকলে পার্থক্যকে আগের বছরের মুনাফা দিয়ে ভাগ করাই নিয়ম।
মনে রাখুন: হার = (পরের বছরের মুনাফা − আগের বছরের মুনাফা) ÷ আগের বছরের মুনাফা × ১০০।
৬৩৩. A bag contains 4 white, 5 red and 6 blue balls. Three balls are drawn at random from the bag. The probability that all of them are red, is - (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অ্যাসিস্ট্যান্ট এক্সিকিউটিভ অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- ক1/22
- খ2/91
- গ3/22
- ঘ2/77
সঠিক উত্তর: খ. 2/91
সম্ভাবনা সমান অনুকূল ঘটনার সংখ্যা ভাগ মোট সম্ভাব্য ঘটনার সংখ্যা। একসাথে কয়েকটি বল তোলা হলে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়, তাই সমাবেশ বা combination ব্যবহার করতে হয়।
থলেতে মোট ৪ যোগ ৫ যোগ ৬, অর্থাৎ ১৫টি বল। ১৫টি থেকে ৩টি তোলার উপায় ১৫C৩, যা ৪৫৫।
৩টিই লাল হতে হলে ৫টি লাল বল থেকে ৩টি নিতে হবে, উপায় ৫C৩, যা ১০। তাই সম্ভাবনা ১০ ভাগ ৪৫৫, সরল করলে ২ ভাগ ৯১।
ভুলটা হয় যখন কেউ ৫ ভাগ ১৫ কে তিনবার গুণ করেন, যেন বল ফেরত রাখা হচ্ছে। এখানে বল ফেরত রাখা হয় না, তাই প্রতিবার মোট বল কমে।
মনে রাখুন: ফেরত না রেখে তুললে সরাসরি গুণ: ৫/১৫ × ৪/১৪ × ৩/১৩ = ৬০/২৭৩০ = ২/৯১।
৬৩৪. A word consists of 9 letters; 5 consonants and 4 vowels. Three letters are chosen at random. What is the probability that more than one vowel will be selected? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অ্যাসিস্ট্যান্ট এক্সিকিউটিভ অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- ক13/42
- খ5/42
- গ17/42
- ঘ3/14
সঠিক উত্তর: গ. 17/42
একের বেশি স্বরবর্ণ মানে ২টি অথবা ৩টি স্বরবর্ণ। দুটো আলাদা ঘটনা, তাই দুটোর উপায় আলাদা গুনে যোগ করতে হবে।
৯টি অক্ষর থেকে ৩টি বাছাইয়ের মোট উপায় ৯C৩, যা ৮৪।
ঠিক ২টি স্বরবর্ণ আর ১টি ব্যঞ্জনবর্ণ: ৪C২ গুণ ৫C১, মানে ৬ গুণ ৫ সমান ৩০। তিনটিই স্বরবর্ণ: ৪C৩ সমান ৪। মোট অনুকূল ৩৪।
সম্ভাবনা ৩৪ ভাগ ৮৪, সরল করলে ১৭ ভাগ ৪২। অনেকে শুধু ঠিক ২টি স্বরবর্ণ গোনেন, ৩টি স্বরবর্ণের ঘটনাটা বাদ পড়ে যায়; একের বেশি মানে ২ এবং ৩ দুটোই।
মনে রাখুন: “একের বেশি” = ২ বা ৩; আলাদা গুনে যোগ করুন: (৩০ + ৪) ÷ ৮৪।
৬৩৫. The ages of X and Y are in the proportion of 6 : 5 and total of their ages is 44 years. The proportion of their ages after 8 years will be (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অ্যাসিস্ট্যান্ট এক্সিকিউটিভ অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- ক8 : 7
- খ3 : 6
- গ6 : 3
- ঘ9 : 5
সঠিক উত্তর: ক. 8 : 7
বয়সের অনুপাত আর মোট বয়স দেওয়া থাকলে আগে প্রত্যেকের বর্তমান বয়স বের করতে হয়, তারপর সময় যোগ করে নতুন অনুপাত।
অনুপাত ৬ অনুপাত ৫, অংশ মোট ১১। মোট বয়স ৪৪, তাই এক অংশ সমান ৪। X-এর বয়স ২৪ বছর, Y-এর বয়স ২০ বছর।
৮ বছর পর X হবে ৩২ আর Y হবে ২৮। ৩২ অনুপাত ২৮, দুটোকে ৪ দিয়ে ভাগ করলে ৮ অনুপাত ৭।
ফাঁদ হলো অনুপাতের সংখ্যাতেই সরাসরি ৮ যোগ করা, যেমন ৬ যোগ ৮ আর ৫ যোগ ৮। অনুপাতের সংখ্যা বয়স নয়, অংশ মাত্র।
মনে রাখুন: দুই বয়সের পার্থক্য সবসময় ৪ বছর থাকে; বিকল্পে পার্থক্য ১ অংশ = ৪ ধরলে ৮ : ৭ মানে ৩২ ও ২৮, যোগফল ৬০ = ৪৪ + ১৬। মিলে গেল।
৬৩৬. The volume of a wall, 5 times as high as it is broad and 8 times as long as it is high, is 12.8 m³. Find the breadth of the wall. (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অ্যাসিস্ট্যান্ট এক্সিকিউটিভ অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- ক30 cm
- খ40 cm
- গ50 cm
- ঘ60 cm
সঠিক উত্তর: খ. 40 cm
দেয়াল একটি আয়তাকার ঘনবস্তু, তাই আয়তন সমান দৈর্ঘ্য গুণ প্রস্থ গুণ উচ্চতা। প্রশ্নে আয়তনের একক m ২ ছাপা হয়েছে, আসলে হবে ঘনমিটার।
প্রস্থ b মিটার ধরি। উচ্চতা প্রস্থের ৫ গুণ, মানে ৫b। দৈর্ঘ্য উচ্চতার ৮ গুণ, মানে ৪০b।
আয়তন b গুণ ৫b গুণ ৪০b, মানে ২০০ b ঘন। এটা ১২ দশমিক ৮ এর সমান, তাই b ঘন সমান ০ দশমিক ০৬৪, আর b সমান ০ দশমিক ৪ মিটার।
উত্তর মিটারে নয়, সেন্টিমিটারে চাওয়া: ০ দশমিক ৪ মিটার মানে ৪০ সেন্টিমিটার। দৈর্ঘ্যকে প্রস্থের ৮ গুণ ধরে ফেলা সাধারণ ভুল; দৈর্ঘ্য উচ্চতার ৮ গুণ, তাই প্রস্থের ৪০ গুণ।
মনে রাখুন: অপশন যাচাই: b = ০.৪ হলে উচ্চতা ২, দৈর্ঘ্য ১৬; ০.৪ × ২ × ১৬ = ১২.৮। মিলে গেল।
৬৩৭. A rectangular field is to be fenced on three sides leaving a side of 20 m uncovered. If the area of the field is 680 m 2 ,how many meters of fencing will be required? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অ্যাসিস্ট্যান্ট এক্সিকিউটিভ অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- ক88 m
- খ34 m
- গ40 m
- ঘ68 m
সঠিক উত্তর: ক. 88 m
আয়তাকার মাঠের তিন দিকে বেড়া, এক দিক খোলা। খোলা দিকটা ২০ মিটার, তাই বেড়া লাগবে উল্টো দিকের ২০ মিটার আর দুই পাশের দুটি বাহুতে।
ক্ষেত্রফল সমান দৈর্ঘ্য গুণ প্রস্থ। ৬৮০ ভাগ ২০ সমান ৩৪, তাই অপর বাহু ৩৪ মিটার।
বেড়া সমান ২০ যোগ ৩৪ যোগ ৩৪, মানে ৮৮ মিটার।
ফাঁদ হলো ৩৪ বা ৬৮ বেছে নেওয়া: ৩৪ শুধু একটি বাহু, ৬৮ হলো দুই পাশের বাহু; খোলা দিকের বিপরীত ২০ মিটারও বেড়ার মধ্যে পড়ে।
মনে রাখুন: বেড়া = খোলা বাহু + ২ × (ক্ষেত্রফল ÷ খোলা বাহু) = ২০ + ২ × ৩৪ = ৮৮।
৬৩৮. A number is decreased by 10% and then increased by 10%. The number of obtained is 10 less than the original number. What was the original number? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অ্যাসিস্ট্যান্ট এক্সিকিউটিভ অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- ক4,000
- খ3,000
- গ2,000
- ঘ1,000
সঠিক উত্তর: ঘ. 1,000
একই শতাংশে আগে কমিয়ে পরে বাড়ালে মূল সংখ্যায় ফেরা যায় না, কারণ দ্বিতীয় বৃদ্ধিটা হয় কমে যাওয়া ছোট সংখ্যার উপর। নিট ফল হলো একটু কমে যাওয়া।
সংখ্যাটি ১০০ ধরলে ১০ শতাংশ কমে হয় ৯০, তারপর ৯০ এর ১০ শতাংশ বাড়লে হয় ৯৯। মানে নিট ১ শতাংশ কমেছে।
প্রশ্নে বলা আছে এই কমতি ১০। তাই মূল সংখ্যার ১ শতাংশ সমান ১০, আর মূল সংখ্যা ১০০০।
যাচাই: ১০০০ থেকে ১০ শতাংশ কমে ৯০০, তারপর ১০ শতাংশ বেড়ে ৯৯০, যা মূলের চেয়ে ঠিক ১০ কম। অনেকে ভাবেন কমা আর বাড়া কেটে যায়, তাই প্রশ্নটাই অর্থহীন মনে হয়; আসলে নিট ক্ষতি হলো হারের বর্গ ভাগ ১০০।
মনে রাখুন: x% কমিয়ে x% বাড়ালে নিট কমে x²/১০০ শতাংশ। এখানে ১%; ১% = ১০ হলে সংখ্যা ১০০০।
৬৩৯. A cistern is normally filled in 8 hours but takes two hours longer to fill because of a leak in its bottoms. If the cistern is full, the leak will empty it in? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অ্যাসিস্ট্যান্ট এক্সিকিউটিভ অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- ক28 hrs
- খ20 hrs
- গ40 hrs
- ঘ36 hrs
সঠিক উত্তর: গ. 40 hrs
নল আর ছিদ্রের প্রশ্নে কাজ হিসাব হয় প্রতি ঘণ্টায় কতটুকু ভরে বা খালি হয়, তা দিয়ে। ভরাট আর খালি করা উল্টো কাজ, তাই হার বিয়োগ হয়।
ছিদ্র না থাকলে ৮ ঘণ্টায় ভরে, তাই প্রতি ঘণ্টায় ১ ভাগ ৮ অংশ। ছিদ্রসহ লাগে ১০ ঘণ্টা, তাই নিট হার ১ ভাগ ১০ অংশ।
ছিদ্রের হার হলো এই দুইয়ের পার্থক্য: ১ ভাগ ৮ বিয়োগ ১ ভাগ ১০, মানে ১ ভাগ ৪০। অর্থাৎ ছিদ্র একা পুরো চৌবাচ্চা খালি করতে ৪০ ঘণ্টা নেবে।
সাধারণ ভুল হলো ২ ঘণ্টা দেরি দেখে ছিদ্রের সময়ও ছোট ভাবা, যেমন ২০ ঘণ্টা। কিন্তু ২০ ঘণ্টায় খালি করলে নিট হার হতো ৩ ভাগ ৪০, আর ভরতে লাগত প্রায় ১৩ ঘণ্টা, ১০ নয়। ছিদ্রটা আসলে খুব ধীরে খালি করে, তাই সময় বেশি।
মনে রাখুন: ছিদ্রের সময় = (a × b) ÷ (b − a) = (৮ × ১০) ÷ (১০ − ৮) = ৪০ ঘণ্টা।
৬৪০. A sum of tk. 427 is to be divided among A, B and C such that 3 times A's share, 4 times B's share and 7 times C's share are all equal. The share of C is: (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অ্যাসিস্ট্যান্ট এক্সিকিউটিভ অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- ক140
- খ196
- গ84
- ঘ240
সঠিক উত্তর: গ. 84
৩ গুণ A সমান ৪ গুণ B সমান ৭ গুণ C হলে ভাগগুলো গুণকের উল্টো অনুপাতে, মানে ১ ভাগ ৩ অনুপাত ১ ভাগ ৪ অনুপাত ১ ভাগ ৭।
৩, ৪, ৭ এর লসাগু ৮৪ দিয়ে গুণ করলে অনুপাত দাঁড়ায় ২৮ অনুপাত ২১ অনুপাত ১২। অংশের যোগফল ৬১।
৪২৭ ভাগ ৬১ সমান ৭, তাই এক অংশ ৭ টাকা। C-এর ভাগ ১২ গুণ ৭, মানে ৮৪ টাকা। যাচাই: A ১৯৬, B ১৪৭, C ৮৪; যোগফল ৪২৭ এবং ৩ গুণ ১৯৬, ৪ গুণ ১৪৭, ৭ গুণ ৮৪ তিনটিই ৫৮৮।
ফাঁদ হলো ১৯৬, যা A-এর ভাগ। ৭ সবচেয়ে বড় গুণক বলে C-এর ভাগই সবচেয়ে ছোট হবে।
মনে রাখুন: ৭C = k হলে C = k/৭; মোট = k(১/৩ + ১/৪ + ১/৭) = ৬১k/৮৪ = ৪২৭ ⇒ k = ৫৮৮, C = ৮৪।