গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৩৬
৭০১. Three dice are thrown together. Find the probability of getting a total of at least 6. (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক103/108
- খ103/208
- গ103/216
- ঘ96/103
সঠিক উত্তর: ক. 103/108
তিনটি ছক্কা একসাথে নিক্ষেপ করলে মোট ফলাফল ৬ গুণ ৬ গুণ ৬, মানে ২১৬টি। কমপক্ষে ৬ সরাসরি গোনা কঠিন, তাই উল্টো ঘটনা, মানে যোগফল ৫ বা কম, গুনে বাদ দিই।
সবচেয়ে কম যোগফল ৩, যখন তিনটিতেই ১ ওঠে: ১টি উপায়। যোগফল ৪ হয় ৩ভাবে, কারণ একটিতে ২ আর বাকি দুটিতে ১। যোগফল ৫ হয় ৬ভাবে: একটিতে ৩ আর বাকি দুটিতে ১, এমন ৩টি; অথবা দুটিতে ২ আর একটিতে ১, এমন ৩টি।
তাহলে যোগফল ৫ বা কম হয় ১ যোগ ৩ যোগ ৬, মানে ১০ভাবে। কমপক্ষে ৬ হয় ২১৬ বিয়োগ ১০, মানে ২০৬ভাবে।
সম্ভাবনা ২০৬ ভাগ ২১৬, সরল করলে ১০৩ ভাগ ১০৮। ফাঁদ হলো ১০৩ ভাগ ২১৬, যেখানে লবকে সরল করা হয়েছে কিন্তু হরকে নয়।
মনে রাখুন: কমপক্ষে থাকলে উল্টো ঘটনা গুনে ১ থেকে বাদ দিন: ১ − ১০/২১৬ = ১০৩/১০৮।
৭০২. In a college Rahim scored 80 marks out of 150 in History and 95 marks out of 120 in English . If he wants to score 70% marks in 3 subjects, find the minimum marks he should score in Geography out of 100. (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক70
- খ55
- গ76
- ঘNone of these
সঠিক উত্তর: ঘ. None of these
তিন বিষয়ের মোট নম্বর ১৫০ যোগ ১২০ যোগ ১০০, মানে ৩৭০। এর ৭০ শতাংশ পেতে হলে মোট পেতে হবে ২৫৯ নম্বর।
রহিম ইতিহাসে পেয়েছে ৮০ আর ইংরেজিতে ৯৫, মোট ১৭৫। বাকি ২৫৯ বিয়োগ ১৭৫, মানে ৮৪ নম্বর ভূগোলে পেতে হবে।
৮৪ কোনো বিকল্পে নেই, তাই উত্তর None of these।
ফাঁদ হলো প্রতিটি বিষয়ের শতকরা হার গড় করা বা ভূগোলে সরাসরি ৭০ ধরা। নম্বর ভিন্ন ভিন্ন পূর্ণমানের, তাই মোট নম্বর দিয়ে হিসাব করতে হবে।
মনে রাখুন: ভিন্ন পূর্ণমানের বিষয়ে মোট শতকরা চাইলে মোট পূর্ণমানের শতাংশ বের করে প্রাপ্ত নম্বর বাদ দিন।
৭০৩. If x = 1 + √2 and y = 1 − √2, find the value of (x² + y²). (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক12
- খ6
- গ8
- ঘ10
সঠিক উত্তর: খ. 6
এখানে x সমান ১ যোগ বর্গমূল ২, আর y সমান ১ বিয়োগ বর্গমূল ২। দুটোকে আলাদা বর্গ না করে সূত্র ব্যবহার করলে দ্রুত হয়।
x যোগ y সমান ২, কারণ বর্গমূল ২ কাটাকাটি যায়। আর x গুণ y সমান ১ বিয়োগ ২, মানে বিয়োগ ১।
সূত্র: x বর্গ যোগ y বর্গ সমান x যোগ y এর বর্গ বিয়োগ ২xy। তাহলে ২ এর বর্গ ৪, বিয়োগ ২ গুণ বিয়োগ ১, মানে ৪ যোগ ২, সমান ৬।
ফাঁদ হলো xy-কে ধনাত্মক ১ ধরা; তাহলে উত্তর আসে ২। আরেকটি পথ: x বর্গ হয় ৩ যোগ ২ বর্গমূল ২, y বর্গ হয় ৩ বিয়োগ ২ বর্গমূল ২; যোগ করলে মূলের অংশ কেটে যায়, থাকে ৬।
মনে রাখুন: (a + √b)² + (a − √b)² = ২(a² + b); এখানে ২(১ + ২) = ৬।
৭০৪. x can do a piece of work in 20 days and Y can do the 1/7th of the same work in 5 days. In how many days together they can complete the 11/14th of the total work? (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক15 days
- খ20 days
- গ10 days
- ঘ12 days
সঠিক উত্তর: গ. 10 days
X পুরো কাজ করে ২০ দিনে, তাই দিনে করে কাজের ১ ভাগ ২০। Y কাজের ১ ভাগ ৭ করে ৫ দিনে, তাই পুরো কাজ করতে লাগে ৫ গুণ ৭, মানে ৩৫ দিন।
দুজনে একসাথে দিনে করে ১ ভাগ ২০ যোগ ১ ভাগ ৩৫। ল সা গু ১৪০ নিলে এটি ৭ ভাগ ১৪০ যোগ ৪ ভাগ ১৪০, মানে ১১ ভাগ ১৪০।
পুরো কাজ নয়, করতে হবে ১১ ভাগ ১৪ অংশ। সময় হবে ১১ ভাগ ১৪ কে ১১ ভাগ ১৪০ দিয়ে ভাগ, মানে ১০ দিন।
ফাঁদ হলো Y-এর সময় ৫ দিন ধরে নেওয়া, বা পুরো কাজের সময় বের করা। পুরো কাজে লাগত ১৪০ ভাগ ১১, প্রায় ১২ দশমিক ৭ দিন; কিন্তু প্রশ্ন চায় ১১ ভাগ ১৪ অংশ।
মনে রাখুন: মোট কাজ ১৪০ একক ধরুন: X দিনে ৭, Y দিনে ৪, একসাথে ১১। ১১/১৪ অংশ মানে ১১০ একক, সময় ১১০ ÷ ১১ = ১০ দিন।
৭০৫. The circumference of the circle and the perimeter of the square is equal and the ratio between the diameter of the circle and the side of the square is 7 :11 . What is the area of the circle? (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক154 cm²
- খ160 cm²
- গ132 cm²
- ঘCan't be determined
সঠিক উত্তর: ঘ. Can't be determined
প্রশ্নে বৃত্তের পরিধি আর বর্গের পরিসীমা সমান বলা হয়েছে, আর ব্যাস ও বাহুর অনুপাত দেওয়া আছে। কিন্তু কোনো দৈর্ঘ্যের প্রকৃত মান, যেমন পরিধি কত সেন্টিমিটার, দেওয়া নেই।
অনুপাত শুধু আকারের সম্পর্ক বলে, আকারের মাপ নয়। ছোট বৃত্ত আর বড় বৃত্ত দুটোর ক্ষেত্রেই একই অনুপাত খাটে, তাই ক্ষেত্রফল নির্দিষ্ট করে বলা যায় না।
আরও লক্ষ করুন, পরিধি আর পরিসীমা সমান হলে পাই গুণ ব্যাস সমান ৪ গুণ বাহু, ফলে ব্যাস আর বাহুর অনুপাত দাঁড়ায় ১৪ আর ১১, প্রশ্নের ৭ আর ১১ নয়। মানে প্রদত্ত তথ্য নিজেরাই পরস্পরবিরোধী।
ফাঁদ হলো ১৫৪, কারণ ব্যাস ১৪ বা ব্যাসার্ধ ৭ ধরে নিলে ক্ষেত্রফল ১৫৪ আসে। কিন্তু ব্যাসার্ধ ৭ কোথাও দেওয়া নেই, এটি নিজের অনুমান।
মনে রাখুন: জ্যামিতিতে শুধু অনুপাত থাকলে, কোনো একটি প্রকৃত মাপ ছাড়া ক্ষেত্রফল বা দৈর্ঘ্য বের করা যায় না।
৭০৬. The average weight of teacher is also included, then the average weight is increased by 200 grams. Find the weight of the teacher? (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক93.6 kg
- খ94 kg
- গ93.4 kg
- ঘ94.6 kg
সঠিক উত্তর: ক. 93.6 kg
প্রশ্নটা গড়ের একটা পরিচিত ধরন: একদল ছাত্রের গড় ওজন জানা, তাদের সঙ্গে শিক্ষক যোগ হলে গড় কিছুটা বাড়ে। এখান থেকে শিক্ষকের ওজন বের করতে হয়। তবে এখানে যে লেখাটা পাওয়া গেছে তাতে ছাত্রসংখ্যা আর তাদের আগের গড় নেই, তাই নিচের নিয়মটা শিখে রাখুন।
শিক্ষক যোগ হওয়ার পর মোট মানুষ হয় ছাত্রসংখ্যার চেয়ে এক জন বেশি। গড় ২০০ গ্রাম, মানে শূন্য দশমিক ২ কেজি বেড়েছে, তাই নতুন সবার প্রত্যেককে শূন্য দশমিক ২ কেজি করে বাড়তি দিতে হয়েছে। এই বাড়তিটুকু এসেছে শিক্ষকের কাছ থেকেই।
তাই শিক্ষকের ওজন সমান আগের গড়, যোগ নতুন মোট লোকসংখ্যা গুণ শূন্য দশমিক ২ কেজি। শিক্ষক নিজে আগের গড়টা বহন করেন, আর বাড়তি অংশটা সবার মাঝে ভাগ করে দেন।
সাধারণ ভুল হলো বাড়তি অংশ শুধু ছাত্রসংখ্যা দিয়ে গুণ করা। শিক্ষককেও গুনতে হবে, কারণ নতুন গড়টা শিক্ষকসহ সবার; তাই গুণ হবে ছাত্রসংখ্যা যোগ এক দিয়ে।
মনে রাখুন: নতুন সদস্যের মান = আগের গড় + (নতুন মোট সংখ্যা × গড়ের পরিবর্তন)।
৭০৭. A train can cross another train of equal length coming from the opposite direction with the speed of 108 km/h in 3 minutes . The speed of the other train is 90 km/h. Find the length of the train . (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক5940 m
- খ5490 m
- গ4950 m
- ঘ4590 m
সঠিক উত্তর: গ. 4950 m
দুটি ট্রেন বিপরীত দিক থেকে এলে একটা আরেকটাকে অতিক্রম করতে তাদের গতি যোগ হয়। আর অতিক্রম শেষ হতে মোট যে দূরত্ব যেতে হয়, তা দুই ট্রেনের দৈর্ঘ্যের যোগফল।
আপেক্ষিক গতি ১০৮ যোগ ৯০, মানে ঘণ্টায় ১৯৮ কিলোমিটার। একে সেকেন্ডে মিটারে নিতে ৫ ভাগ ১৮ দিয়ে গুণ করি: সেকেন্ডে ৫৫ মিটার।
সময় ৩ মিনিট, মানে ১৮০ সেকেন্ড। তাই মোট দূরত্ব ৫৫ গুণ ১৮০, মানে ৯৯০০ মিটার। দুটি ট্রেনের দৈর্ঘ্য সমান, তাই প্রতিটি ৯৯০০ ভাগ ২, মানে ৪৯৫০ মিটার।
ফাঁদ হলো ৯৯০০ মিটারকেই একটি ট্রেনের দৈর্ঘ্য ভাবা, অথবা অঙ্কের সাজানো রূপ ৫৪৯০ বা ৪৫৯০ দেখে বিভ্রান্ত হওয়া।
মনে রাখুন: বিপরীত দিক: গতি যোগ; দূরত্ব = দুই দৈর্ঘ্যের যোগ। সমান দৈর্ঘ্য হলে L = আপেক্ষিক গতি × সময় ÷ ২।
৭০৮. A can complete a piece of work in 12 days, A, B and C can complete the work in 6 days. Efficiency of B is 0.5 times the efficiency of A. In how many days C can complete the work alone? (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক24 days
- খ10 days
- গ16 days
- ঘ12 days
সঠিক উত্তর: ক. 24 days
কাজের অঙ্কে প্রতিটি লোক একদিনে কাজের কত অংশ করে, সেটা দিয়েই হিসাব হয়। দল একসঙ্গে একদিনে যা করে, তা প্রত্যেকের একদিনের কাজের যোগফল।
ক একা ১২ দিনে করে, তাই একদিনে করে ১ ভাগ ১২ অংশ। খ-এর দক্ষতা ক-এর অর্ধেক, তাই খ একদিনে করে ১ ভাগ ২৪ অংশ, মানে খ একা লাগাবে ২৪ দিন।
তিনজন মিলে ৬ দিনে করে, তাই একদিনে ১ ভাগ ৬ অংশ। এখন গ-এর একদিনের কাজ হলো ১ ভাগ ৬ থেকে ১ ভাগ ১২ আর ১ ভাগ ২৪ বাদ দিলে যা থাকে: ২৪ ভাগের ৪ থেকে ২ আর ১ বাদ, মানে ১ ভাগ ২৪। তাই গ একা লাগাবে ২৪ দিন।
ফাঁদ হলো খ-এর দক্ষতা অর্ধেক শুনে খ-এর সময়ও অর্ধেক, মানে ৬ দিন ধরে নেওয়া। দক্ষতা কম হলে সময় বেশি লাগে; দক্ষতা অর্ধেক মানে সময় দ্বিগুণ।
মনে রাখুন: মোট কাজ লসাগু ধরে প্রতিদিনের একক বের করুন; বিয়োগ করলেই অজানাজনের হার।
৭০৯. A shopkeeper sold an item at 20% profit and another item at 10% loss. If the cost price of both the items is same, find overall profit percent. (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক7.55%
- খ5%
- গ6.00%
- ঘ6.50%
সঠিক উত্তর: খ. 5%
দুটি জিনিসের কেনা দাম সমান হলে মোট লাভ-ক্ষতির হার হলো দুটি হারের সাধারণ গড়। কারণ দুটোর ভিত্তি একই, তাই লাভ আর ক্ষতি সরাসরি কাটাকাটি হয়।
ধরি প্রতিটির কেনা দাম ১০০ টাকা। প্রথমটি ২০ শতাংশ লাভে বিক্রি হলো ১২০ টাকায়, দ্বিতীয়টি ১০ শতাংশ ক্ষতিতে ৯০ টাকায়। মোট কেনা ২০০ টাকা, মোট বেচা ২১০ টাকা।
মোট লাভ ১০ টাকা, মোট কেনা ২০০ টাকার উপর; তাই লাভের হার ১০ ভাগ ২০০ গুণ ১০০, মানে ৫ শতাংশ।
অনেকে ভুলে ২০ থেকে ১০ বাদ দিয়ে ১০ শতাংশ ভাবেন, অথবা দুটি জিনিসের বিক্রয়মূল্য সমান হলে যে নিয়ম খাটে সেটা গুলিয়ে ফেলেন। এখানে কেনা দাম সমান, তাই সোজা গড়।
মনে রাখুন: ক্রয়মূল্য সমান হলে মোট হার = (লাভ% − ক্ষতি%) ÷ ২ = (২০ − ১০) ÷ ২ = ৫%।
৭১০. 8 males and 6 females can do a piece of work in 5 days, 5 males and 6 females can complete the same work in 7 days . How many days will a female take to do the job, if she works alone? (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক135 days
- খ142 days
- গ110 days
- ঘ126 days
সঠিক উত্তর: ঘ. 126 days
দুটি দলের মধ্যে মহিলার সংখ্যা একই, ছয় জন। তাই দুই দলের একদিনের কাজের পার্থক্য আসে শুধু পুরুষের পার্থক্য থেকে, মানে ৩ জন পুরুষ।
প্রথম দল একদিনে করে ১ ভাগ ৫ অংশ, দ্বিতীয় দল ১ ভাগ ৭ অংশ। পার্থক্য ২ ভাগ ৩৫। এটা ৩ জন পুরুষের একদিনের কাজ, তাই একজন পুরুষ একদিনে করে ২ ভাগ ১০৫ অংশ।
দ্বিতীয় দলে ৫ জন পুরুষ একদিনে করে ১০ ভাগ ১০৫। দলের মোট ১৫ ভাগ ১০৫ থেকে এটা বাদ দিলে ৬ জন মহিলার কাজ ৫ ভাগ ১০৫। তাই একজন মহিলা একদিনে করে ১ ভাগ ১২৬, মানে একা লাগবে ১২৬ দিন।
ফাঁদ হলো একজন পুরুষের সময় বের করেই থেমে যাওয়া; পুরুষ একা লাগাত সাড়ে ৫২ দিন। প্রশ্ন চেয়েছে মহিলার সময়।
মনে রাখুন: সমান সংখ্যার দিকটা বিয়োগে বাদ পড়ে; আগে অন্যজনের হার বের করে বসিয়ে দিন।
৭১১. A is 30% more efficient than B. How much time will they, working together, take to complete a job which A alone could have done in 23 days? (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক13 days
- খ15 days
- গ10 days
- ঘNone
সঠিক উত্তর: ক. 13 days
ক যদি খ-এর চেয়ে ৩০ শতাংশ বেশি দক্ষ হয়, তাহলে খ একদিনে ১০ একক কাজ করলে ক করে ১৩ একক। দক্ষতার অনুপাত ক বনাম খ হলো ১৩ বনাম ১০।
ক একা ২৩ দিনে কাজ শেষ করে, তাই মোট কাজ ২৩ গুণ ১৩, মানে ২৯৯ একক।
দুজন মিলে একদিনে করে ১৩ যোগ ১০, মানে ২৩ একক। তাই সময় লাগবে ২৯৯ ভাগ ২৩, মানে ১৩ দিন।
ফাঁদ হলো ৩০ শতাংশ বেশি দক্ষ শুনে খ-কে ক-এর চেয়ে ৩০ শতাংশ কম দক্ষ ধরা। তুলনার ভিত্তি এখানে খ, তাই খ ১০ হলে ক ১৩।
মনে রাখুন: একসঙ্গে সময় = ক-এর সময় × ক-এর দক্ষতা ÷ (দুজনের দক্ষতার যোগ) = ২৩ × ১৩ ÷ ২৩ = ১৩।
৭১২. The area of lawn is 460 m 2 . If the length is 15 percent more than the breadth of the rectangular field What is the length of the field? (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক15 m
- খ26 m
- গ34.5 m
- ঘNone of these
সঠিক উত্তর: ঘ. None of these
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো দৈর্ঘ্য গুণ প্রস্থ। দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে ১৫ শতাংশ বেশি, মানে দৈর্ঘ্য হলো প্রস্থের ১ দশমিক ১৫ গুণ।
প্রস্থ x ধরলে ক্ষেত্রফল ১ দশমিক ১৫ গুণ x-এর বর্গ, যা ৪৬০ বর্গমিটার। তাই x-এর বর্গ ৪৬০ ভাগ ১ দশমিক ১৫, মানে ৪০০, আর প্রস্থ ২০ মিটার।
দৈর্ঘ্য ২০-এর ১ দশমিক ১৫ গুণ, মানে ২৩ মিটার। যাচাই: ২৩ গুণ ২০ সমান ৪৬০। বিকল্পে ২৩ মিটার নেই, তাই উত্তর এর কোনোটিই নয়।
৩৪ দশমিক ৫ মিটার দেখে অনেকে ভাবেন ৩০ মিটারের ১৫ শতাংশ বেশি; কিন্তু তাতে ক্ষেত্রফল মেলে না। সবসময় শেষে ক্ষেত্রফল মিলিয়ে দেখুন।
মনে রাখুন: উত্তর বসিয়ে দেখুন: ২৬ নিলে প্রস্থ প্রায় ২২.৬, গুণফল ৪৬০ নয়; ৩৪.৫ নিলে প্রস্থ ৩০, গুণফল ১০৩৫। কোনোটাই মেলে না।
৭১৩. A boat can travel from point A to point B and return back to point A in 9 hours. Speed of the boat in still water is 8 km/h and the speed of the stream is 4 km/h. Find the distance between A and B. (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক18 km
- খ27 km
- গ36 km
- ঘ45 km
সঠিক উত্তর: খ. 27 km
নৌকা স্রোতের অনুকূলে গেলে নৌকার গতি আর স্রোতের গতি যোগ হয়, প্রতিকূলে গেলে বিয়োগ হয়। তাই একপথে গতি বেশি, ফেরার পথে কম।
এখানে অনুকূলে গতি ৮ যোগ ৪, মানে ঘণ্টায় ১২ কিলোমিটার; প্রতিকূলে ৮ বিয়োগ ৪, মানে ঘণ্টায় ৪ কিলোমিটার।
দূরত্ব d ধরলে যেতে-আসতে মোট সময় d ভাগ ১২ যোগ d ভাগ ৪, যা ৯ ঘণ্টা। d ভাগ ১২ যোগ ৩d ভাগ ১২ মানে ৪d ভাগ ১২, অর্থাৎ d ভাগ ৩। তাই d সমান ২৭ কিলোমিটার।
ফাঁদ হলো গড় গতি ৮ ধরে ৯ ঘণ্টায় ৭২ কিলোমিটার, তার অর্ধেক ৩৬ ধরা। যাওয়া-আসায় গতি আলাদা, তাই সময় আলাদা করে যোগ করতে হয়।
মনে রাখুন: উত্তর বসিয়ে দেখুন: ২৭ ÷ ১২ = ২.২৫ আর ২৭ ÷ ৪ = ৬.৭৫; যোগ ৯ ঘণ্টা।
৭১৪. A 10% monthly salary increase resulted in a Tk.9000 per year increase in salary for an employee. What was his monthly salary before the increase? (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- কTk. 7500
- খTk. 8500
- গTk. 5000
- ঘTk. 9500
সঠিক উত্তর: ক. Tk. 7500
বেতন মাসিক ১০ শতাংশ বাড়ায় বছরে ৯০০০ টাকা বেশি আসছে। বছরের বাড়তি ১২ মাসে ভাগ করলে মাসিক বাড়তি পাওয়া যায়।
মাসিক বাড়তি ৯০০০ ভাগ ১২, মানে ৭৫০ টাকা। এই ৭৫০ টাকা আগের মাসিক বেতনের ১০ শতাংশ।
তাই আগের মাসিক বেতন ৭৫০ গুণ ১০, মানে ৭৫০০ টাকা।
ফাঁদ হলো ৯০০০ টাকাকেই মাসিক বৃদ্ধি ধরা, অথবা ১২ দিয়ে ভাগ করতে ভুলে যাওয়া; তখন উত্তর অনেক বড় আসে।
মনে রাখুন: আগের বেতন = বার্ষিক বৃদ্ধি ÷ ১২ ÷ শতাংশের হার = ৯০০০ ÷ ১২ ÷ ০.১০ = ৭৫০০।
৭১৫. When a certain number is divided by 7, the remainder is 0, if the remainder is not 0 when the number is divided by 14, then the remainder must be (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক7
- খ5
- গ3
- ঘ8
সঠিক উত্তর: ক. 7
সংখ্যাটি ৭ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য, তাই সংখ্যাটি ৭-এর কোনো গুণিতক: ৭, ১৪, ২১, ২৮ এভাবে।
এর মধ্যে যেগুলো ১৪ দিয়েও বিভাজ্য, সেগুলো ৭-এর জোড় গুণিতক: ১৪, ২৮, ৪২। প্রশ্ন বলছে ১৪ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ শূন্য নয়, তাই সংখ্যাটি ৭-এর বিজোড় গুণিতক: ৭, ২১, ৩৫।
৭-এর বিজোড় গুণিতককে ১৪ দিয়ে ভাগ করলে সবসময় ভাগশেষ থাকে ৭। যেমন ২১ ভাগ ১৪ দিলে ভাগশেষ ৭, ৩৫ ভাগ ১৪ দিলে ভাগশেষ ৭।
ভাগশেষ অবশ্যই ৭-এর গুণিতক হতে হবে, কারণ সংখ্যা আর ১৪ দুটোই ৭-এর গুণিতক। তাই ৫, ৩ বা ৮ কখনোই সম্ভব নয়।
মনে রাখুন: উদাহরণ দিয়ে দেখুন: ২১ ÷ ১৪ এর ভাগশেষ ৭। প্রশ্নের শর্ত মানা যেকোনো একটা সংখ্যাই যথেষ্ট।
৭১৬. A mixture of 20 kg of spirit and water contains 10% water. How much water must be added to this mixture to raise the percentage of water to 25%? (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক2
- খ4
- গ5
- ঘ6
সঠিক উত্তর: খ. 4
মিশ্রণে পানি যোগ করলে স্পিরিটের পরিমাণ বদলায় না। তাই যে জিনিসটা স্থির থাকে, সেটা দিয়েই হিসাব করা সবচেয়ে সহজ।
২০ কেজি মিশ্রণে ১০ শতাংশ পানি, মানে পানি ২ কেজি আর স্পিরিট ১৮ কেজি। পানি যোগের পর পানি হবে ২৫ শতাংশ, তাই স্পিরিট হবে মোটের ৭৫ শতাংশ।
১৮ কেজি যদি মোটের ৭৫ শতাংশ হয়, তাহলে নতুন মোট ১৮ ভাগ শূন্য দশমিক ৭৫, মানে ২৪ কেজি। আগে ছিল ২০ কেজি, তাই যোগ করতে হবে ৪ কেজি পানি।
ফাঁদ হলো শতাংশের পার্থক্য ১৫ শতাংশ ধরে ২০ কেজির ১৫ শতাংশ, মানে ৩ কেজি হিসাব করা। পানি যোগে মোটও বাড়ে, তাই এভাবে হয় না।
মনে রাখুন: যে উপাদান অপরিবর্তিত, তার নতুন শতাংশ দিয়ে নতুন মোট বের করুন: ১৮ ÷ ০.৭৫ = ২৪।
৭১৭. X and Y start a business by investing a certain amount in the ratio 9:16. Both of them invest for an equal period of time. At the end of the term, X’s share of profit is what percent less than that of Y? (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক62(1/2)
- খ60
- গ55(2/3)
- ঘ43(3/4)
সঠিক উত্তর: ঘ. 43(3/4)
সমান সময়ের জন্য বিনিয়োগ করলে লাভ ভাগ হয় বিনিয়োগের অনুপাতে। তাই X ও Y-এর লাভের অনুপাতও ৯ বনাম ১৬।
X-এর লাভ Y-এর চেয়ে কত শতাংশ কম, সেটা হিসাব হয় Y-এর লাভের উপর, কারণ তুলনা করা হচ্ছে Y-এর সঙ্গে। পার্থক্য ১৬ বিয়োগ ৯, মানে ৭।
শতকরা হার ৭ ভাগ ১৬ গুণ ১০০, মানে ৪৩ দশমিক ৭৫, অর্থাৎ ৪৩ পূর্ণ ৩ ভাগ ৪ শতাংশ।
ফাঁদ হলো ভিত্তি উল্টে ৭ ভাগ ৯ ধরা; তাতে আসে প্রায় ৭৭ দশমিক ৭৮ শতাংশ, যা বলে Y কত শতাংশ বেশি। কম-বেশির প্রশ্নে সবসময় যার সঙ্গে তুলনা, সে-ই ভিত্তি।
মনে রাখুন: কম কত শতাংশ = পার্থক্য ÷ বড়টি × ১০০ = ৭/১৬ × ১০০।
৭১৮. The average attendance of a college for the first three days of a week is 325 and the first four days is 320. How many were present on the fourth day? (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক300
- খ315
- গ305
- ঘ350
সঠিক উত্তর: গ. 305
গড় দিয়ে মোট বের করা যায়: গড় গুণ সংখ্যা সমান মোট। প্রথম চার দিনের মোট থেকে প্রথম তিন দিনের মোট বাদ দিলেই চতুর্থ দিনের উপস্থিতি।
প্রথম তিন দিনের মোট ৩২৫ গুণ ৩, মানে ৯৭৫ জন। প্রথম চার দিনের মোট ৩২০ গুণ ৪, মানে ১২৮০ জন।
চতুর্থ দিনে উপস্থিত ১২৮০ বিয়োগ ৯৭৫, মানে ৩০৫ জন।
যুক্তিও মেলে: চার দিনের গড় তিন দিনের গড়ের চেয়ে কম হয়েছে, তাই চতুর্থ দিনের সংখ্যা ৩২০-এর চেয়ে কম হতেই হবে। ৩৫০ তাই সরাসরি বাদ।
মনে রাখুন: চতুর্থ দিন = নতুন গড় − (পুরোনো সংখ্যা × গড়ের হ্রাস) = ৩২০ − ৩ × ৫ = ৩০৫।
৭১৯. Tk. 355 has been divided among A, B, C in such a way that A had Tk. 20 more than B and C had Tk.15 more than A. How much was C’s share? (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- কTk. 135
- খTk. 100
- গTk. 120
- ঘTk. 150
সঠিক উত্তর: ক. Tk. 135
তিনজনের ভাগ একটা আরেকটার সঙ্গে নির্দিষ্ট টাকার ব্যবধানে বাঁধা। তাই সবচেয়ে ছোট ভাগটাকে অজানা ধরে বাকিদের তার সঙ্গে প্রকাশ করলে এক সমীকরণেই সমাধান হয়।
B-এর ভাগ x টাকা ধরি। A পায় B-এর চেয়ে ২০ টাকা বেশি, মানে x যোগ ২০। C পায় A-এর চেয়ে ১৫ টাকা বেশি, মানে x যোগ ৩৫।
তিনজনের মোট ৩x যোগ ৫৫, যা ৩৫৫ টাকা। তাই ৩x সমান ৩০০, x সমান ১০০। C পায় ১০০ যোগ ৩৫, মানে ১৩৫ টাকা।
ফাঁদ হলো C-কে B-এর চেয়ে মাত্র ১৫ টাকা বেশি ধরা; C-এর বাড়তি গোনা হয় A থেকে, তাই B থেকে C-এর ব্যবধান ৩৫ টাকা।
মনে রাখুন: মোট থেকে বাড়তিগুলো (২০ + ৩৫ = ৫৫) বাদ দিয়ে ৩ দিয়ে ভাগ করুন: B = ১০০।
৭২০. If 2 kg of metal, of which 1/3 is zinc and the rest is copper, be mixed with 3 kg of metal, of which 1/4 is zinc and the rest is copper, then what will be the ratio of zinc to copper in the mixture? (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক17 : 43
- খ13 : 42
- গ19 : 43
- ঘ15 : 42
সঠিক উত্তর: ক. 17 : 43
দুটি ধাতুর মিশ্রণে দস্তা আর তামার পরিমাণ আলাদা আলাদা যোগ করতে হয়। অনুপাত সরাসরি যোগ করা যায় না, আগে প্রকৃত ওজন বের করতে হয়।
প্রথম ২ কেজিতে দস্তা ২-এর ৩ ভাগের ১, মানে ২ ভাগ ৩ কেজি; তামা ৪ ভাগ ৩ কেজি। দ্বিতীয় ৩ কেজিতে দস্তা ৩-এর ৪ ভাগের ১, মানে ৩ ভাগ ৪ কেজি; তামা ৯ ভাগ ৪ কেজি।
মোট দস্তা ২ ভাগ ৩ যোগ ৩ ভাগ ৪, মানে ১৭ ভাগ ১২ কেজি। মোট তামা ৪ ভাগ ৩ যোগ ৯ ভাগ ৪, মানে ৪৩ ভাগ ১২ কেজি। তাই অনুপাত ১৭ বনাম ৪৩।
যাচাই: ১৭ যোগ ৪৩ সমান ৬০, আর ৬০ ভাগ ১২ সমান ৫ কেজি, যা মোট ধাতুর ওজন। ভগ্নাংশ দুটি সরাসরি যোগ করে ৭ ভাগ ১২ ধরলে ভুল হয়।
মনে রাখুন: সব ওজন ১২ দিয়ে গুণ করুন (২৪ ও ৩৬ ভাগ): দস্তা ৮ + ৯ = ১৭, তামা ১৬ + ২৭ = ৪৩।