গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৩৮
৭৪১. If A and B together can complete a work in 18 days, A and C together in 12 day and B and C together in 9 days, then B alone can do the work in - (সমন্বিত ৫ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- ক24 days
- খ18 days
- গ30 days
- ঘ40 days
সঠিক উত্তর: ক. 24 days
কাজের প্রশ্নে এক দিনে কতটুকু কাজ হয় সেটা দিয়ে চিন্তা করতে হয়। ক ও খ একসঙ্গে ১৮ দিনে করলে এক দিনে করে ১ ভাগ ১৮ অংশ; ক ও গ এক দিনে ১ ভাগ ১২; খ ও গ এক দিনে ১ ভাগ ৯।
তিনটি যোগ করলে প্রত্যেকে দুবার আসে। কাজটাকে ৩৬ একক ধরলে ক যোগ খ দিনে ২, ক যোগ গ দিনে ৩, খ যোগ গ দিনে ৪ একক। তিনটির যোগফল ৯, তাই ক যোগ খ যোগ গ দিনে সাড়ে ৪ একক।
খ একা দিনে করে সাড়ে ৪ বিয়োগ ক যোগ গ-এর ৩, মানে দেড় একক। ৩৬ একক কাজ দেড় একক করে করতে লাগবে ২৪ দিন।
ফাঁদ হলো ১৮ দিন: ক ও খ একসঙ্গে ১৮ দিন লাগে, খ একা নয়। একা কাজ করলে সময় সবসময় জোড়ার চেয়ে বেশি লাগবে।
মনে রাখুন: B-এর এক দিনের কাজ = [(A+B) + (B+C) − (A+C)] ÷ ২ = (১/১৮ + ১/৯ − ১/১২) ÷ ২ = ১/২৪।
৭৪২. A tank can be filled with water by two pipes A and B together in 36 minutes. Pipe A alone can fill the tank in 90 minutes. The pipe B can alone fill the tank in— (সমন্বিত ৫ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- ক45 minutes
- খ60 minutes
- গ75 minutes
- ঘ90 minutes
সঠিক উত্তর: খ. 60 minutes
নলের প্রশ্নে প্রতি মিনিটে চৌবাচ্চার কত অংশ ভরে সেটা দিয়ে হিসাব করতে হয়। দুটো নল একসঙ্গে প্রতি মিনিটে ভরে ১ ভাগ ৩৬ অংশ, আর ক একা ভরে ১ ভাগ ৯০ অংশ।
খ একা প্রতি মিনিটে ভরে দুটোর পার্থক্য। চৌবাচ্চাকে ১৮০ একক ধরলে দুটো একসঙ্গে মিনিটে ৫ একক, ক মিনিটে ২ একক, তাই খ মিনিটে ৩ একক।
১৮০ একক ৩ একক করে ভরতে লাগবে ৬০ মিনিট। তাই খ একা চৌবাচ্চা ভরবে ৬০ মিনিটে।
ফাঁদ হলো ৯০ মিনিট, যা আসলে ক নলের সময়; প্রশ্নের সংখ্যাটাই আবার অপশনে বসানো। দুজন সমান দক্ষ হলে একসঙ্গে ৪৫ মিনিট লাগত, ৩৬ নয়, তাই খ ক-এর চেয়ে দ্রুত।
মনে রাখুন: B-এর সময় = (A × মিলিত) ÷ (A − মিলিত) = (৯০ × ৩৬) ÷ (৯০ − ৩৬) = ৩২৪০ ÷ ৫৪ = ৬০ মিনিট।
৭৪৩. In a 729 liters mixture of milk and water, the ratio of milk to water 7 : 2. To get a new mixture containing milk and water in the ratio 7 : 3, the amount of water to be added is (সমন্বিত ৫ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- ক71 liters
- খ81 liters
- গ56 liters
- ঘ50 liters
সঠিক উত্তর: খ. 81 liters
মিশ্রণে পানি যোগ করলে দুধের পরিমাণ বদলায় না। তাই আগে দুধ ও পানি আলাদা বের করে, দুধ স্থির রেখে নতুন অনুপাত বসাতে হয়।
৭২৯ লিটারে দুধ অনুপাত পানি ৭ অনুপাত ২, মোট ৯ ভাগ। এক ভাগ ৮১ লিটার, তাই দুধ ৫৬৭ লিটার, পানি ১৬২ লিটার।
নতুন অনুপাত ৭ অনুপাত ৩। দুধের ৭ ভাগ ৫৬৭ হলে এক ভাগ ৮১, তাই পানি হতে হবে ৩ ভাগ, মানে ২৪৩ লিটার। আগে ছিল ১৬২, তাই যোগ করতে হবে ৮১ লিটার।
লক্ষ্য করুন, দুধের ভাগ ৭ দুই অনুপাতেই সমান; তাই পানির ভাগ ২ থেকে ৩ হতে এক ভাগ, মানে ৮১ লিটার যোগ করলেই চলে। ৭১ বা ৫৬ সংখ্যাগুলো এই এক ভাগের হিসাব না বুঝলে বেছে নেওয়ার ফাঁদ।
মনে রাখুন: দুধের ভাগ দুই অনুপাতে সমান (৭) হলে, যোগ করা পানি = পানির ভাগের পার্থক্য × এক ভাগ = ১ × ৮১।
৭৪৪. In what ratio must a grocer mix two varieties of pulses costing Tk. 15 and TK. 20 per kg respectively so as to get a mixture worth Tk. 16.50 kg? (সমন্বিত ৫ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- ক3 : 7
- খ5 : 7
- গ7 : 3
- ঘ7 : 5
সঠিক উত্তর: গ. 7 : 3
দুই দামের জিনিস মিশিয়ে মাঝামাঝি দাম পেতে কী অনুপাতে মেশাতে হবে, এটা মিশ্রণের নিয়ম বা alligation দিয়ে সহজে হয়।
নিয়মটা হলো: সস্তা জিনিসের ভাগ সমান দামি জিনিসের দাম বিয়োগ গড় দাম, আর দামি জিনিসের ভাগ সমান গড় দাম বিয়োগ সস্তা জিনিসের দাম।
এখানে সস্তা ১৫ টাকা, দামি ২০ টাকা, গড় সাড়ে ১৬ টাকা। সস্তার ভাগ ২০ বিয়োগ সাড়ে ১৬, মানে সাড়ে ৩; দামির ভাগ সাড়ে ১৬ বিয়োগ ১৫, মানে দেড়। সাড়ে ৩ অনুপাত দেড় সমান ৭ অনুপাত ৩।
যুক্তিতেও মেলে: গড় দাম ১৫-এর বেশি কাছে, তাই সস্তা ডাল বেশি লাগবে। উল্টো অনুপাত ৩ অনুপাত ৭ বেছে নেওয়াই এখানের ফাঁদ।
মনে রাখুন: গড় দাম যে দামের কাছে, সেই জিনিসের ভাগ বেশি। আড়াআড়ি পার্থক্যই অনুপাত।
৭৪৫. Three partners shared the profit in a business in the ratio 5 : 7 : 8. They had partnered for 14 months, 8 months and 7 months respectively. What was the ratio of their investments? (সমন্বিত ৫ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- ক5 : 7 : 8
- খ20 : 49 : 64
- গ38 : 28 : 21
- ঘNone
সঠিক উত্তর: খ. 20 : 49 : 64
অংশীদারি ব্যবসায় লাভ ভাগ হয় মূলধন গুণ সময়ের অনুপাতে। তাই মূলধন বের করতে লাভের অংশকে সময় দিয়ে ভাগ করতে হয়।
তিনজনের মূলধন হবে ৫ ভাগ ১৪, ৭ ভাগ ৮ আর ৮ ভাগ ৭ এর অনুপাতে। ভগ্নাংশ দূর করতে ১৪, ৮ ও ৭-এর ল.সা.গু. ৫৬ দিয়ে গুণ করি।
৫৬ গুণ ৫ ভাগ ১৪ সমান ২০, ৫৬ গুণ ৭ ভাগ ৮ সমান ৪৯, ৫৬ গুণ ৮ ভাগ ৭ সমান ৬৪। তাই মূলধনের অনুপাত ২০ অনুপাত ৪৯ অনুপাত ৬৪।
ফাঁদ হলো লাভের অনুপাত ৫ অনুপাত ৭ অনুপাত ৮-কেই মূলধনের অনুপাত ধরা; সেটা কেবল সবাই সমান সময় থাকলে সত্যি।
মনে রাখুন: যাচাই: ২০ × ১৪ = ২৮০, ৪৯ × ৮ = ৩৯২, ৬৪ × ৭ = ৪৪৮; ২৮০ : ৩৯২ : ৪৪৮ = ৫ : ৭ : ৮।
৭৪৬. A and B invest in business in the ratio 3 : 2. If 5% of the total profit goes to charity and A's share is Tk. 855, the total profit is: (সমন্বিত ৫ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- কTk. 1,425.00
- খTk. 1,537.50
- গTk. 1,576.00
- ঘTk. 1,500.00
সঠিক উত্তর: ঘ. Tk. 1,500.00
এখানে মোট লাভের ৫ শতাংশ আগে দাতব্য কাজে যায়। বাকি ৯৫ শতাংশ ক ও খ মূলধনের অনুপাত ৩ অনুপাত ২-এ ভাগ করে নেন।
ক পান বাকি অংশের ৫ ভাগের ৩ ভাগ। ক-এর অংশ ৮৫৫ টাকা হলে বাকি অংশ ৮৫৫ গুণ ৫ ভাগ ৩, মানে ১৪২৫ টাকা।
এই ১৪২৫ টাকা মোট লাভের ৯৫ শতাংশ। তাই মোট লাভ ১৪২৫ ভাগ ০.৯৫, অর্থাৎ ১৫০০ টাকা।
ফাঁদ হলো ১৪২৫ টাকা, যা ভাগ হওয়া অংশ মাত্র, দাতব্যে যাওয়া ৭৫ টাকা যোগ করা হয়নি। আবার ১৪২৫-এর সঙ্গে ৫ শতাংশ যোগ করলে আসে প্রায় ১৪৯৬, সেটাও ভুল পদ্ধতি।
মনে রাখুন: মোট লাভ = ৮৫৫ × ৫/৩ × ১০০/৯৫ = ১৫০০।
৭৪৭. The sum of ages of 5 children born at the intervals of 3 years each is 50 years. What is the age of the youngest child? (সমন্বিত ৫ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- ক4 years
- খ8 years
- গ9 years
- ঘNone
সঠিক উত্তর: ক. 4 years
৫টি শিশু ৩ বছর পরপর জন্মেছে, তাই তাদের বয়স একটা সমান্তর ধারা। সবচেয়ে ছোটটির বয়স ক ধরলে বাকিদের বয়স ক যোগ ৩, ক যোগ ৬, ক যোগ ৯, ক যোগ ১২।
সবার বয়সের যোগফল ৫ক যোগ ৩০, যা ৫০-এর সমান। তাই ৫ক সমান ২০, আর ক সমান ৪।
অন্যভাবে, সমান্তর ধারায় মাঝের পদই গড়। গড় বয়স ৫০ ভাগ ৫, মানে ১০; মাঝের শিশুর বয়স ১০। ছোটটি তার চেয়ে ২ ধাপ, মানে ৬ বছর ছোট: ৪ বছর।
ফাঁদ হলো গড় ১০ থেকে মাত্র এক ধাপ, মানে ৩ বছর পিছিয়ে ৭ বা কাছাকাছি ৮ ধরে ফেলা। ছোটটি মাঝের শিশু থেকে দুই ধাপ ছোট, তাই ৬ বছর বাদ দিতে হবে।
মনে রাখুন: গড় ৫০ ÷ ৫ = ১০ = মাঝের শিশু; ছোটটি = ১০ − ২ × ৩ = ৪।
৭৪৮. Six years ago, the ratio of ages of Kunal and Sagar's was 6 : 5. Four years hence, the ratio of their ages will be 11 : 10. What is Sagar's age at present? (সমন্বিত ৫ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- ক18 years
- খ20 years
- গ16 years
- ঘ22 years
সঠিক উত্তর: গ. 16 years
বয়সের অনুপাতের প্রশ্নে বর্তমান বয়স ধরে অতীত ও ভবিষ্যতের অনুপাত দিয়ে দুটি সমীকরণ বানাতে হয়।
৬ বছর আগে কুনাল ও সাগরের বয়স ছিল ৬ক ও ৫ক। তাহলে এখন তাদের বয়স ৬ক যোগ ৬ এবং ৫ক যোগ ৬। ৪ বছর পরে হবে ৬ক যোগ ১০ এবং ৫ক যোগ ১০।
এই দুটির অনুপাত ১১ অনুপাত ১০। আড়গুণন করলে ১০ গুণ ৬ক যোগ ১০ সমান ১১ গুণ ৫ক যোগ ১০, মানে ৬০ক যোগ ১০০ সমান ৫৫ক যোগ ১১০। তাই ৫ক সমান ১০, ক সমান ২।
সাগরের বর্তমান বয়স ৫ গুণ ২ যোগ ৬, অর্থাৎ ১৬ বছর; কুনালের ১৮ বছর। ফাঁদ হলো ১৮, যা কুনালের বয়স, প্রশ্ন চেয়েছে সাগরের।
মনে রাখুন: অপশন যাচাই: সাগর ১৬ হলে ৬ বছর আগে ১০, তাই কুনাল তখন ১২, এখন ১৮; ৪ বছর পরে ২২ : ২০ = ১১ : ১০।
৭৪৯. The price of 10 chairs is equal to that of 4 tables . The price of 15 chairs and 2 tables together is Tk. 4000. The total price of 12 chairs and 3 tables is- (সমন্বিত ৫ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, ক্যাশ) (২০১৯)
- কTK. 3500
- খTk. 3750
- গTk. 3840
- ঘNone of these
সঠিক উত্তর: ঘ. None of these
এখানে দুটি অজানা: চেয়ারের দাম ও টেবিলের দাম। প্রথম তথ্য থেকে একটির দাম অন্যটি দিয়ে প্রকাশ করে দ্বিতীয় তথ্যে বসালেই হয়।
১০টি চেয়ারের দাম ৪টি টেবিলের সমান, তাই ১টি টেবিলের দাম আড়াইটি চেয়ারের সমান। তাহলে ২টি টেবিল মানে ৫টি চেয়ার।
১৫টি চেয়ার ও ২টি টেবিল মানে মোট ২০টি চেয়ারের দাম, যা ৪০০০ টাকা। তাই একটি চেয়ার ২০০ টাকা, একটি টেবিল ৫০০ টাকা।
১২টি চেয়ার ২৪০০ টাকা আর ৩টি টেবিল ১৫০০ টাকা, মোট ৩৯০০ টাকা। এই সংখ্যা অপশনে নেই, তাই সঠিক উত্তর None of these। ৩৮৪০ বা ৩৭৫০ কাছাকাছি সংখ্যা দিয়ে বিভ্রান্ত করার ফাঁদ।
মনে রাখুন: সব কিছু চেয়ারে রূপান্তর করুন: ১২ চেয়ার + ৩ টেবিল = ১২ + ৭.৫ = ১৯.৫ চেয়ার = ১৯.৫ × ২০০ = ৩৯০০।
৭৫০. In an office, 44% of the workers prefer coffee and 72% prefer tea. If each of them prefers coffee or tea and 40 like both, the total number of workers in the office is - (সোনালী ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ, মুক্তিযোদ্ধা কোটা) (২০১৯)
- ক200
- খ250
- গ240
- ঘ210
সঠিক উত্তর: খ. 250
এটা সেট বা ভেন চিত্রের প্রশ্ন। প্রত্যেক কর্মী অন্তত একটা পছন্দ করে, তাই দুই দলের শতাংশ যোগ করলে যারা দুটোই পছন্দ করে তারা দুবার গোনা হয়ে যায়।
কফি ৪৪ শতাংশ আর চা ৭২ শতাংশ, যোগ করলে ১১৬ শতাংশ। কিন্তু মোট তো ১০০ শতাংশ। বাড়তি ১৬ শতাংশই হলো যারা দুটো পছন্দ করে, কারণ তারা দুবার গোনা হয়েছে।
প্রশ্নে বলা আছে দুটোই পছন্দ করে ৪০ জন। তাহলে ১৬ শতাংশ সমান ৪০ জন, মানে ১ শতাংশ সমান ২ দশমিক ৫ জন, আর ১০০ শতাংশ সমান ২৫০ জন।
যারা ৪০ কে মোটের ৪০ শতাংশ ধরে ফেলেন বা শতাংশগুলো বিয়োগ করেন, তারা অন্য বিকল্পে যান। মূল সূত্র: দুই দলের যোগফল থেকে মোট বাদ দিলে উভয় পাওয়া যায়।
মনে রাখুন: শতাংশ দুটোর যোগফল থেকে ১০০ বাদ দিলে উভয়ের শতাংশ; তারপর ঐকিক নিয়মে মোট।
৭৫১. 100 kg of solution A is mixed with 60 kg of solution B . If solution A has tin and copper in the ratio 1: 4 and solution B has lead and tin in the ratio 3 :2 then what is the amount of tin in the new solution? (সোনালী ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ, মুক্তিযোদ্ধা কোটা) (২০১৯)
- ক70 kg
- খ36 kg
- গ44 kg
- ঘ56 kg
সঠিক উত্তর: গ. 44 kg
মিশ্রণের প্রশ্নে প্রতিটি দ্রবণ থেকে টিন আলাদা করে বের করে যোগ করতে হয়। সাবধান: দুই দ্রবণে অনুপাতের ক্রম আলাদা, তাই কোন সংখ্যাটা টিনের তা খেয়াল করতে হবে।
দ্রবণ ক-তে টিন আর তামা ১ অনুপাত ৪। মোট অংশ ৫, টিন ১ অংশ। ১০০ কেজির ৫ ভাগের ১ ভাগ, মানে ২০ কেজি টিন।
দ্রবণ খ-তে সীসা আর টিন ৩ অনুপাত ২। এখানে টিন দ্বিতীয় সংখ্যা, মানে ৫ অংশের ২ অংশ। ৬০ কেজির ৫ ভাগের ২ ভাগ, মানে ২৪ কেজি টিন।
নতুন মিশ্রণে মোট টিন ২০ যোগ ২৪, মানে ৪৪ কেজি। দ্রবণ খ-তে টিনকে ৩ অংশ ধরলে আসে ৩৬ যোগ ২০, মানে ৫৬ কেজি; এটাই প্রধান ফাঁদ।
মনে রাখুন: যে উপাদান চাই, প্রতিটি অনুপাতে তার অংশ ÷ মোট অংশ × পরিমাণ; তারপর যোগ।
৭৫২. The difference between the length and the breadth of a blackboard is 8 cm. If the breadth is decreased by 4 cm and the length is increased by 7 cm the area remains the same. Find the dimensions of the blackboard? (সোনালী ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ, মুক্তিযোদ্ধা কোটা) (২০১৯)
- ক30,22
- খ28,20
- গ34,26
- ঘ56,48
সঠিক উত্তর: খ. 28,20
প্রশ্নে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের পার্থক্য ৮ সেন্টিমিটার, আর প্রস্থ ৪ কমিয়ে দৈর্ঘ্য ৭ বাড়ালে ক্ষেত্রফল একই থাকে। প্রস্থকে x ধরলে দৈর্ঘ্য x যোগ ৮।
নতুন প্রস্থ x বিয়োগ ৪, নতুন দৈর্ঘ্য x যোগ ১৫। ক্ষেত্রফল সমান, তাই x বিয়োগ ৪ গুণ x যোগ ১৫ সমান x গুণ x যোগ ৮।
দুই পাশ খুললে x বর্গ বাতিল হয়ে যায়: বাম পাশে ১১x বিয়োগ ৬০, ডান পাশে ৮x। তাহলে ৩x সমান ৬০, অর্থাৎ x সমান ২০। প্রস্থ ২০, দৈর্ঘ্য ২৮ সেন্টিমিটার।
যাচাই: আগে ২৮ গুণ ২০ সমান ৫৬০, পরে ৩৫ গুণ ১৬ সমান ৫৬০। শুধু পার্থক্য ৮ মিলিয়ে উত্তর বাছলে ভুল হয়, কারণ সব বিকল্পেই পার্থক্য ৮।
মনে রাখুন: বিকল্প যাচাই সবচেয়ে দ্রুত: (দৈর্ঘ্য + ৭) × (প্রস্থ − ৪) = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ কোনটিতে মেলে দেখুন।
৭৫৩. X can complete a certain work in the same time in which Y and Z together can do it. If X and Y together can finish it in 10 days and Z alone in 15 days, then Y alone can do it in? (X একটি কাজ নির্দিষ্ট সময়ে করতে পারে যা Y এবং Z একসাথে করতে পারে। যদি X এবং Y একসাথে কাজটি ১০ দিনে শেষ করতে পারে এবং Z একা ১৫ দিনে করতে পারে, তবে Y একা কত দিনে তা করতে পারবে?) (সোনালী ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ, মুক্তিযোদ্ধা কোটা) (২০১৯)
- ক22 days
- খ60 days
- গ20 days
- ঘ25 days
সঠিক উত্তর: খ. 60 days
কাজের প্রশ্নে দিনের বদলে এক দিনে কতটুকু কাজ হয় তা দিয়ে হিসাব সহজ। X একা যে সময়ে কাজটা করে, Y আর Z মিলে একই সময়ে করে; মানে X-এর এক দিনের কাজ সমান Y আর Z-এর এক দিনের কাজের যোগফল।
Z একা ১৫ দিনে করে, তাই Z এক দিনে করে ১৫ ভাগের ১ ভাগ। X আর Y মিলে ১০ দিনে করে, তাই এক দিনে ১০ ভাগের ১ ভাগ।
X-এর জায়গায় Y যোগ Z বসাই: Y যোগ Z যোগ Y, মানে ২ গুণ Y যোগ Z, সমান ১০ ভাগের ১। Z-এর অংশ ১৫ ভাগের ১ বাদ দিলে ২ গুণ Y সমান ৩০ ভাগের ১, অর্থাৎ Y এক দিনে করে ৬০ ভাগের ১ ভাগ। তাই Y একা লাগবে ৬০ দিন।
অনেকে X আর Z-কে গুলিয়ে ১০ আর ১৫ থেকে সরাসরি Y বের করেন, তাতে ৩০ বা অন্য সংখ্যা আসে। মূল চাবি হলো X-কে Y যোগ Z দিয়ে প্রতিস্থাপন করা।
মনে রাখুন: X = Y + Z হলে X + Y = ২Y + Z; তাই ২Y = ১/১০ − ১/১৫।
৭৫৪. The difference between the radii of bigger circle and smaller circle is 14cm and the difference between their areas is 1,056cm2. Radius of the smaller circle is (সোনালী ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ, মুক্তিযোদ্ধা কোটা) (২০১৯)
- ক7cm
- খ5cm
- গ9cm
- ঘ3cm
সঠিক উত্তর: খ. 5cm
দুই বৃত্তের ক্ষেত্রফলের পার্থক্য হলো পাই গুণ বড় ব্যাসার্ধের বর্গ বিয়োগ ছোট ব্যাসার্ধের বর্গ। বর্গের বিয়োগফলকে ভাঙা যায় যোগফল গুণ বিয়োগফল হিসেবে; এটাই এই প্রশ্নের চাবি।
পাই ধরি ২২ ভাগ ৭। তাহলে ২২ ভাগ ৭ গুণ ব্যাসার্ধের যোগফল গুণ ১৪ সমান ১০৫৬। ২২ ভাগ ৭ গুণ ১৪ হলো ৪৪, তাই ব্যাসার্ধের যোগফল ১০৫৬ ভাগ ৪৪, মানে ২৪ সেন্টিমিটার।
এখন যোগফল ২৪, বিয়োগফল ১৪। বড়টা হলো ২৪ যোগ ১৪ ভাগ ২, মানে ১৯; ছোটটা ২৪ বিয়োগ ১৪ ভাগ ২, মানে ৫ সেন্টিমিটার।
যাচাই: ২২ ভাগ ৭ গুণ ১৯ বর্গ বিয়োগ ৫ বর্গ, মানে ২২ ভাগ ৭ গুণ ৩৩৬, সমান ১০৫৬। ৭ সেন্টিমিটার বিকল্পটা বেশি আকর্ষণীয় কারণ পাই-এর ৭-এর সাথে মেলে, কিন্তু তাতে পার্থক্য হয় ১২৩২।
মনে রাখুন: R² − r² = (R + r)(R − r): যোগফল আর বিয়োগফল জানলেই দুই ব্যাসার্ধ।
৭৫৫. A jar contains a mixture of oil and water in the ratio 22 :3 . 50 litres of the mixture was taken out and 25 litres of water was added to it. If water was 34% in the resultant mixture, what was the initial quantity of the mixture (in litres ) in the jar? (সোনালী ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ, মুক্তিযোদ্ধা কোটা) (২০১৯)
- ক175
- খ150
- গ75
- ঘ125
সঠিক উত্তর: ঘ. 125
মিশ্রণ থেকে কিছু তুলে নিলে তেল আর পানি একই অনুপাতে বেরিয়ে যায়, তাই বাকি মিশ্রণে অনুপাত ২২ অনুপাত ৩ থাকে। মোট অংশ ২৫, যার ৩ অংশ পানি।
শুরুর পরিমাণ x লিটার ধরি। ৫০ লিটার তোলার পর থাকে x বিয়োগ ৫০, যার মধ্যে পানি ২৫ ভাগের ৩ ভাগ। এরপর ২৫ লিটার পানি যোগ হলে মোট হয় x বিয়োগ ২৫ লিটার, আর পানি বাড়ে ২৫ লিটার।
নতুন মিশ্রণে পানি ৩৪ শতাংশ। সমীকরণ মেলালে x আসে ১২৫। যাচাই করি: ১২৫ লিটারে পানি ১৫ লিটার। ৫০ লিটার তুললে বাকি ৭৫ লিটারে পানি ৯ লিটার, তেল ৬৬ লিটার। ২৫ লিটার পানি যোগে মোট ১০০ লিটার, পানি ৩৪ লিটার, মানে ঠিক ৩৪ শতাংশ।
সবচেয়ে সহজ উপায় বিকল্প যাচাই: ১২৫ বসালেই সংখ্যাগুলো পরিষ্কার মিলে যায়। ৫০ লিটার তোলার সময় শুধু পানি বের হয়েছে ভাবা সবচেয়ে বড় ভুল।
মনে রাখুন: বিকল্প বসিয়ে দেখুন: ১২৫ থেকে ৫০ বাদে ৭৫, পানি ৯; ২৫ যোগে ১০০-এ পানি ৩৪।
৭৫৬. The ratio of the length to the breadth of a rectangular park is 3 : 2. If a man cycling along the boundary of the park at the speed of 12 km/hr completes one round in 8 minutes, then what is the area of the park? (সোনালী ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ, মুক্তিযোদ্ধা কোটা) (২০১৯)
- ক153600 m²
- খ154000 m²
- গ307400 m²
- ঘNone of these
সঠিক উত্তর: ক. 153600 m²
প্রশ্নের ছাপায় গতি আর সময়ের অংশ হারিয়ে গেছে; মূল প্রশ্নে বলা ছিল, একজন সাইকেল আরোহী ঘণ্টায় ১২ কিলোমিটার বেগে পার্কের চারপাশে এক চক্কর দেয় ৮ মিনিটে। এখান থেকে পার্কের পরিসীমা পাওয়া যায়।
ঘণ্টায় ১২ কিলোমিটার মানে মিনিটে ২০০ মিটার। ৮ মিনিটে যায় ১৬০০ মিটার, এটাই পরিসীমা।
দৈর্ঘ্য আর প্রস্থ ৩ অনুপাত ২, তাই দৈর্ঘ্য ৩k, প্রস্থ ২k ধরি। পরিসীমা ২ গুণ ৩k যোগ ২k, মানে ১০k, সমান ১৬০০। তাই k সমান ১৬০, দৈর্ঘ্য ৪৮০ মিটার, প্রস্থ ৩২০ মিটার।
ক্ষেত্রফল ৪৮০ গুণ ৩২০, মানে ১ লাখ ৫৩ হাজার ৬০০ বর্গমিটার। কিলোমিটারকে মিটারে না বদলালে বা পরিসীমার ২ গুণ ভুলে গেলে অন্য সংখ্যা আসে; যেমন ২ গুণ না ধরলে দৈর্ঘ্য-প্রস্থ দ্বিগুণ হয়ে ক্ষেত্রফল চারগুণ হয়ে যায়।
মনে রাখুন: অনুপাত a : b হলে পরিসীমা = ২(a + b)k; বেগ × সময় দিয়ে পরিসীমা বের করে k পান।
৭৫৭. A boat takes 19 hours to travel downstream from point A to point B and coming back to a point C midway between A and B. If the speed of the stream is 4 km/hr and the speed of the boat in still water is 14 km/hr, what is the distance between A and B? (সোনালী ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ, মুক্তিযোদ্ধা কোটা) (২০১৯)
- ক160 km
- খ200 km
- গ180 km
- ঘ220 km
সঠিক উত্তর: গ. 180 km
প্রশ্নের ছাপায় একটা তথ্য বাদ পড়েছে: স্থির পানিতে নৌকার বেগ। মূল প্রশ্নে এটি ছিল ঘণ্টায় ১৪ কিলোমিটার; এটি ছাড়া উত্তর বের করা যায় না।
স্রোতের অনুকূলে বেগ হলো নৌকা যোগ স্রোত, মানে ১৪ যোগ ৪, ঘণ্টায় ১৮ কিলোমিটার। প্রতিকূলে বেগ ১৪ বিয়োগ ৪, মানে ঘণ্টায় ১০ কিলোমিটার।
ক থেকে খ পর্যন্ত পুরো দূরত্ব d যায় স্রোতের অনুকূলে, আর ফেরার সময় যায় শুধু অর্ধেক, মাঝের বিন্দু গ পর্যন্ত, স্রোতের প্রতিকূলে। তাই d ভাগ ১৮ যোগ d ভাগ ২০ সমান ১৯ ঘণ্টা।
১৮ আর ২০-এর লসাগু ১৮০ নিয়ে হিসাব করলে d গুণ ১৯ ভাগ ১৮০ সমান ১৯, অর্থাৎ d সমান ১৮০ কিলোমিটার। ফেরার পথে পুরো দূরত্ব ধরলে ভুল হয়; প্রশ্নের চাবি হলো মাঝের বিন্দু।
মনে রাখুন: বিকল্প বসিয়ে দেখুন: ১৮০/১৮ + ৯০/১০ = ১০ + ৯ = ১৯ ঘণ্টা।
৭৫৮. Given that, 24 carat gold is pure gold, 18 carat gold is 3/4th of pure gold and 20 carat gold is 5/6th of pure gold, the ratio of the pure gold in 18 carat gold to the pure gold in 20 carat gold is - (সোনালী ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ, মুক্তিযোদ্ধা কোটা) (২০১৯)
- ক5 : 8
- খ10 : 9
- গ8 : 5
- ঘ9 : 10
সঠিক উত্তর: ঘ. 9 : 10
প্রশ্নটা অনুপাতের। প্রশ্নেই বলা আছে, ১৮ ক্যারেট সোনায় খাঁটি সোনা থাকে মোট ওজনের ৪ ভাগের ৩ ভাগ, আর ২০ ক্যারেট সোনায় থাকে ৬ ভাগের ৫ ভাগ। দুটো ভগ্নাংশের অনুপাত বের করলেই উত্তর।
আসলে ক্যারেট মানে ২৪ ভাগের কত ভাগ খাঁটি। ১৮ ভাগ ২৪ মানে ৩ ভাগ ৪, আর ২০ ভাগ ২৪ মানে ৫ ভাগ ৬। তাই অনুপাতটা সরাসরি ১৮ অনুপাত ২০ হিসেবেও লেখা যায়।
১৮ অনুপাত ২০ কে ২ দিয়ে ভাগ করলে হয় ৯ অনুপাত ১০। ভগ্নাংশ দিয়ে করলেও একই: ৩ ভাগ ৪ কে ৫ ভাগ ৬ দিয়ে ভাগ করলে ৩ গুণ ৬, মানে ১৮, ভাগ ৪ গুণ ৫, মানে ২০; অর্থাৎ ৯ ভাগ ১০।
ফাঁদ হলো উল্টো অনুপাত ১০ অনুপাত ৯ বেছে নেওয়া। প্রশ্ন আগে ১৮ ক্যারেটের কথা বলেছে, তাই অনুপাতের প্রথম পদ ১৮ ক্যারেটের।
মনে রাখুন: ক্যারেটের সংখ্যাই খাঁটি সোনার অনুপাত: ১৮ : ২০ = ৯ : ১০; ভগ্নাংশ লাগে না।
৭৫৯. On reducing the entry fee by 35% in a park, the number of people coming to the park increased by 40%, then the percent increase or decrease in the income from the entry fee is - (সোনালী ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ, মুক্তিযোদ্ধা কোটা) (২০১৯)
- ক9% decrease
- খ7% decrease
- গ9% increase
- ঘ5% decrease
সঠিক উত্তর: ক. 9% decrease
প্রশ্নটা পরপর শতকরা পরিবর্তনের। আয় হলো প্রবেশ ফি গুণ লোকসংখ্যা। একটা কমেছে, আরেকটা বেড়েছে; তাই দুটো পরিবর্তন গুণ করে মোট প্রভাব বের করতে হবে, যোগ-বিয়োগ করে নয়।
ফি ৩৫ শতাংশ কমলে নতুন ফি আগের ৬৫ শতাংশ, মানে শূন্য দশমিক ৬৫ গুণ। লোক ৪০ শতাংশ বাড়লে নতুন লোকসংখ্যা আগের ১ দশমিক ৪ গুণ।
নতুন আয় তাই আগের শূন্য দশমিক ৬৫ গুণ ১ দশমিক ৪, মানে শূন্য দশমিক ৯১ গুণ। অর্থাৎ আয় আগের ৯১ শতাংশ, কমেছে ৯ শতাংশ।
সূত্রেও করা যায়: x যোগ y যোগ x গুণ y ভাগ ১০০। এখানে মাইনাস ৩৫ যোগ ৪০ মাইনাস ১৪, মোট মাইনাস ৯। ফাঁদ হলো শুধু ৪০ বিয়োগ ৩৫ করে ৫ শতাংশ বৃদ্ধি ভাবা।
মনে রাখুন: x + y + xy/১০০ = −৩৫ + ৪০ − ১৪ = −৯, মানে ৯% হ্রাস।
৭৬০. Three numbers are added in pairs, the sums so obtained are 20,27 and 23. What are those three numbers? (সোনালী ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ, মুক্তিযোদ্ধা কোটা) (২০১৯)
- ক6,4and 15
- খ9, 11 and 14
- গ8, 12 and 15
- ঘ10, 8 and 17
সঠিক উত্তর: গ. 8, 12 and 15
তিনটি সংখ্যাকে জোড়ায় জোড়ায় যোগ করলে তিনটি যোগফল পাওয়া যায়। এই তিনটি যোগফল একসঙ্গে যোগ করলে প্রতিটি সংখ্যা দুবার করে আসে।
তাই ২০, ২৭ আর ২৩ যোগ করে পাই ৭০, যা তিন সংখ্যার যোগফলের দ্বিগুণ। তিন সংখ্যার যোগফল তাহলে ৩৫।
এখন ৩৫ থেকে প্রতিটি জোড়ার যোগফল বাদ দিলে বাকি সংখ্যাটা বেরিয়ে আসে: ৩৫ বিয়োগ ২৭ হয় ৮, ৩৫ বিয়োগ ২৩ হয় ১২, আর ৩৫ বিয়োগ ২০ হয় ১৫।
যাচাই: ৮ যোগ ১২ হয় ২০, ১২ যোগ ১৫ হয় ২৭, ৮ যোগ ১৫ হয় ২৩। অপশন মিলিয়ে দেখার সময় তিনটি জোড়াই মিলতে হবে; একটি মিললেই হবে না।
মনে রাখুন: জোড়া-যোগফলগুলো যোগ করে ২ দিয়ে ভাগ, তারপর সেখান থেকে প্রতিটি যোগফল বিয়োগ।