গাণিতিক যুক্তি · পাতা ২

⚡ এই বিষয়ে কুইক টেস্ট

পাতা ২/১৫ · প্রশ্ন ২১–৪০সব উত্তর দেখান

২১. যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ 10% বৃদ্ধি করা হয়, তবে তার ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে? (৪৭তম বিসিএস, ২০২৫)
1. ক20%
2. খ25%
3. গ21%
4. ঘ16%
সঠিক উত্তর: গ. 21%
প্রশ্নটা শতকরা পরিবর্তনের প্রভাব ক্ষেত্রফলে যাচাই করছে। ক্ষেত্রফল দুই মাত্রার, বাহু গুণ বাহু, তাই বাহু ১০ শতাংশ বাড়লে ক্ষেত্রফল দুবার ১০ শতাংশ বাড়ে।
বাহু ১০ মিটার ধরি, ক্ষেত্রফল ১০০ বর্গমিটার। ১০ শতাংশ বাড়লে বাহু ১১ মিটার, ক্ষেত্রফল ১২১ বর্গমিটার। বৃদ্ধি ২১ বর্গমিটার, যা ১০০ এর উপর ২১ শতাংশ।
শর্টকাট সূত্র: দুটি পরপর a শতাংশ আর b শতাংশ বৃদ্ধি মিলে হয় a যোগ b যোগ a আর b এর গুণফলকে ১০০ দিয়ে ভাগ করলে যা হয়। এখানে ১০ যোগ ১০ যোগ ১, মানে ২১ শতাংশ।
ফাঁদ হলো ২০ শতাংশ বিকল্পটি। ১০ আর ১০ যোগ করলে ২০ হয়, কিন্তু বাড়তি অংশের উপরও বৃদ্ধি হয়, সেই ১ শতাংশ বাদ পড়ে যায়।
মনে রাখুন: x% বাড়লে বর্গের ক্ষেত্রফল বাড়ে ২x + x²/১০০; x = ১০ হলে ২০ + ১ = ২১%।
পুরো পাতা ›
২২. 100 টাকা 10% হারে 5 বছরের জন্য বিনিয়োগ করা হলে, সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত? (৪৭তম বিসিএস, ২০২৫)
1. ক10.05 টাকা
2. খ11.05 টাকা
3. গ12.05 টাকা
4. ঘ13.05 টাকা
সঠিক উত্তর: খ. 11.05 টাকা
প্রশ্নটা সরল মুনাফা আর চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য যাচাই করছে। সরল মুনাফায় প্রতি বছর শুধু আসলের উপর মুনাফা হয়; চক্রবৃদ্ধিতে আগের মুনাফার উপরও মুনাফা হয়।
সরল মুনাফা: ১০০ টাকার ১০ শতাংশ মানে বছরে ১০ টাকা, ৫ বছরে ৫০ টাকা।
চক্রবৃদ্ধি: প্রতি বছর মোট টাকা ১ দশমিক এক গুণ হয়। পাঁচ বছর পর ১০০ টাকা হয় ১৬১ দশমিক শূন্য পাঁচ এক টাকা, তাই মুনাফা ৬১ দশমিক শূন্য পাঁচ টাকা প্রায়।
পার্থক্য ৬১ দশমিক শূন্য পাঁচ বিয়োগ ৫০, মানে ১১ দশমিক শূন্য পাঁচ টাকা। বিকল্পগুলো সবই দশমিক শূন্য পাঁচ এ শেষ, তাই আন্দাজে নয়, পুরো হিসাব করতে হবে।
মনে রাখুন: (১.১)⁵ = ১.৬১০৫১ মুখস্থ রাখুন; ১০% হারে ৫ বছরে চক্রবৃদ্ধি মুনাফা আসলের ৬১.০৫১%।
পুরো পাতা ›
২৩. যদি x = √5 + √3 হয়, তবে x³ + 8/x³ এর মান কত? (৪৭তম বিসিএস, ২০২৫)
1. ক18√5
2. খ22√5
3. গ28√5
4. ঘ32√5
সঠিক উত্তর: গ. 28√5
প্রশ্নটা চায় x ঘন যোগ x ঘন ভাগের ৮ এর মান। এটা অনুবন্ধী করণী আর ঘন সূত্রের প্রশ্ন।
x সমান রুট ৫ যোগ রুট ৩। লক্ষ করুন, রুট ৫ যোগ রুট ৩ আর রুট ৫ বিয়োগ রুট ৩ এর গুণফল ৫ বিয়োগ ৩, মানে ২। তাই x ভাগের ২ সমান রুট ৫ বিয়োগ রুট ৩।
তাহলে x যোগ x ভাগের ২ সমান ২ রুট ৫, আর x গুণ x ভাগের ২ সমান ২। সূত্র: a ঘন যোগ b ঘন সমান a যোগ b এর ঘন বিয়োগ ৩ গুণ ab গুণ a যোগ b। এখানে a হলো x, b হলো x ভাগের ২।
২ রুট ৫ এর ঘন ৪০ রুট ৫। বিয়োগ ৩ গুণ ২ গুণ ২ রুট ৫, মানে ১২ রুট ৫। ফল ২৮ রুট ৫।
ফাঁদ হলো ab কে ১ ধরে নেওয়া, যেমন x ভাগের ১ এর প্রশ্নে হয়। এখানে গুণফল ২, তাই ১২ রুট ৫ বাদ দিতে হয়, ৬ রুট ৫ নয়।
মনে রাখুন: x³ + ৮/x³ = (x + ২/x)³ − ৬(x + ২/x); x + ২/x = ২√৫ বসান।
পুরো পাতা ›
২৪. |x - 5| < 2, x ∈ IN অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি? (৪৭তম বিসিএস, ২০২৫)
1. ক(3, 7)
2. খ[3, 7]
3. গ{4, 5, 6}
4. ঘ{3, 4, 5, 6, 7}
সঠিক উত্তর: গ. {4, 5, 6}
প্রশ্নটা পরমমান অসমতা আর সেট লেখার ধরন দুটোই যাচাই করছে। পরমমান x বিয়োগ ৫ ছোট ২ মানে x এর দূরত্ব ৫ থেকে ২ এর কম।
তাই x বিয়োগ ৫ থাকবে ঋণাত্মক ২ আর ২ এর মাঝে, অর্থাৎ x থাকবে ৩ আর ৭ এর মাঝে, ৩ ও ৭ বাদে, কারণ চিহ্নটা ছোট, ছোট অথবা সমান নয়।
কিন্তু x স্বাভাবিক সংখ্যা, মানে শুধু ১, ২, ৩ এর মতো পূর্ণ ধনাত্মক সংখ্যা। ৩ আর ৭ এর মাঝের স্বাভাবিক সংখ্যা ৪, ৫ আর ৬। তাই সমাধান সেট চার, পাঁচ, ছয়।
দুটি ফাঁদ আছে। ব্যবধি দিয়ে লেখা বিকল্প দুটি সব বাস্তব সংখ্যা ধরে, স্বাভাবিক সংখ্যার শর্ত মানে না। আর তিন থেকে সাত পর্যন্ত সেটে ৩ ও ৭ ঢুকে গেছে, যা প্রান্তবিন্দু, সমাধান নয়।
মনে রাখুন: |x − a| < b মানে a থেকে b দূরত্বের ভেতরে: (a − b, a + b), প্রান্ত বাদ।
পুরো পাতা ›
২৫. যদি 5x³ - 2x² + x + k = 0 এর একটি উৎপাদক (x - 3) হয়, তাহলে k এর মান কত? (৪৭তম বিসিএস, ২০২৫)
1. ক50
2. খ60
3. গ– 120
4. ঘ- 60
সঠিক উত্তর: গ. – 120
প্রশ্নটা উৎপাদক উপপাদ্য যাচাই করছে। x বিয়োগ a যদি কোনো বহুপদীর উৎপাদক হয়, তাহলে x এর জায়গায় a বসালে বহুপদীর মান শূন্য হয়।
এখানে উৎপাদক x বিয়োগ ৩, তাই x সমান ৩ বসিয়ে মান শূন্য ধরতে হবে। ৫ গুণ ৩ এর ঘন মানে ৫ গুণ ২৭, অর্থাৎ ১৩৫। বিয়োগ ২ গুণ ৩ এর বর্গ মানে ১৮। যোগ ৩, যোগ k।
১৩৫ বিয়োগ ১৮ যোগ ৩ সমান ১২০। তাই ১২০ যোগ k সমান শূন্য, আর k সমান ঋণাত্মক ১২০।
ফাঁদ হলো চিহ্ন। x বিয়োগ ৩ দেখে কেউ কেউ ঋণাত্মক ৩ বসিয়ে ফেলেন। উৎপাদক x বিয়োগ a হলে বসাতে হয় ধনাত্মক a।
মনে রাখুন: উৎপাদক (x − a) মানে f(a) = ০; ধ্রুবক k সবসময় বাকি পদগুলোর মানের ঋণাত্মক।
পুরো পাতা ›
২৬. নিচের সিরিজের ফাঁকা যায়গায় কোন সংখ্যা হবে? 243, 81, ___ , 9, 3, 1 (৪৭তম বিসিএস, ২০২৫)
1. ক9
2. খ27
3. গ12
4. ঘ6
সঠিক উত্তর: খ. 27
এটা গুণোত্তর ধারার প্রশ্ন। পদগুলো দ্রুত ছোট হচ্ছে, তাই পার্থক্য নয়, অনুপাত দেখতে হবে।
২৪৩ থেকে ৮১ এ যেতে ৩ দিয়ে ভাগ, ৯ থেকে ৩ আর ৩ থেকে ১ এও ৩ দিয়ে ভাগ। প্রতিটি পদ আগের পদের ৩ ভাগের ১।
তাই ফাঁকা পদ ৮১ কে ৩ দিয়ে ভাগ, মানে ২৭। যাচাই: ২৭ কে ৩ দিয়ে ভাগ করলে ৯, যা পরের পদ।
আসলে সব পদই ৩ এর ঘাত: ৩ এর পঞ্চম ঘাত ২৪৩ থেকে শূন্য ঘাত ১ পর্যন্ত। মাঝে ৩ এর ঘন, অর্থাৎ ২৭ ই বাদ পড়েছে।
মনে রাখুন: ২৪৩ = ৩⁵ চিনলেই ধারাটা ৩⁵, ৩⁴, ৩³, ৩², ৩¹, ৩⁰।
পুরো পাতা ›
২৭. যদি logₓ324 = 4 হয়, তবে x এর মান কত? (৪৭তম বিসিএস, ২০২৫)
1. ক3√2
2. খ4√2
3. গ5√2
4. ঘ√2
সঠিক উত্তর: ক. 3√2
প্রশ্নটা লগারিদমের সংজ্ঞা যাচাই করছে। x ভিত্তিতে ৩২৪ এর লগ ৪ মানে x এর চতুর্থ ঘাত সমান ৩২৪।
চতুর্থ ঘাত মানে বর্গের বর্গ। তাই x এর বর্গ হবে ৩২৪ এর বর্গমূল, মানে ১৮। আবার x হবে ১৮ এর বর্গমূল।
১৮ সমান ৯ গুণ ২, তাই ১৮ এর বর্গমূল ৩ রুট ২। অতএব x সমান ৩ রুট ২। লগের ভিত্তি ধনাত্মক হতে হয়, তাই ঋণাত্মক মান বাদ।
যাচাই: ৩ রুট ২ এর বর্গ ১৮, ১৮ এর বর্গ ৩২৪। মিলে গেল। বাকি বিকল্পগুলোর চতুর্থ ঘাত ৩২৪ থেকে অনেক দূরে।
মনে রাখুন: বিকল্পের বর্গ নিন: (৩√২)² = ১৮, আর ১৮² = ৩২৪; এক নজরে মিলে যায়।
পুরো পাতা ›
২৮. একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 27 এবং 9, তাহলে ধারাটির দশম পদ কত? (৪৭তম বিসিএস, ২০২৫)
1. ক1/3
2. খ1/525
3. গ1/729
4. ঘ1/615
সঠিক উত্তর: গ. 1/729
প্রশ্নটা গুণোত্তর ধারার n তম পদের সূত্র যাচাই করছে। n তম পদ সমান প্রথম পদ গুণ অনুপাতের n বিয়োগ ১ তম ঘাত।
প্রথম পদ ২৭, দ্বিতীয় পদ ৯, তাই অনুপাত ২৭ ভাগের ৯, মানে ৩ ভাগের ১। দশম পদে অনুপাতের ঘাত হবে ৯, কারণ প্রথম পদ থেকে দশম পদে ৯টি ধাপ।
২৭ হলো ৩ এর ঘন, আর ৩ ভাগের ১ এর নবম ঘাত মানে হরে ৩ এর নবম ঘাত। তাই দশম পদ ৩ এর ঘনকে ৩ এর নবম ঘাত দিয়ে ভাগ, মানে ৩ এর ষষ্ঠ ঘাতের বিপরীত, অর্থাৎ ৭২৯ ভাগের ১।
ফাঁদ হলো ঘাত ১০ ধরে ফেলা। তাহলে উত্তর আসে ২১৮৭ ভাগের ১, যা নেই। আর ৩ ভাগের ১ বিকল্পটি আসলে পঞ্চম পদ, অথবা শুধু অনুপাত।
মনে রাখুন: সব পদ ৩ এর ঘাত: ৩³ থেকে শুরু করে প্রতি পদে ঘাত ১ কমে; দশম পদে ঘাত ৩ − ৯ = −৬।
পুরো পাতা ›
২৯. একটি বৃত্তস্থ বর্গের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 সে.মি. হলে, ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত? (৪৭তম বিসিএস, ২০২৫)
1. কπ
2. খ2π
3. গ√2π
4. ঘ2√2π
সঠিক উত্তর: খ. 2π
প্রশ্নটা বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গের ধর্ম যাচাই করছে। বর্গের চারটি কোণ বৃত্তের উপর থাকলে বর্গের কর্ণই বৃত্তের ব্যাস, কারণ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ।
বাহু ২ সেন্টিমিটার হলে কর্ণ হলো বাহু গুণ রুট ২, মানে ২ রুট ২ সেন্টিমিটার। এটাই ব্যাস, তাই ব্যাসার্ধ রুট ২ সেন্টিমিটার।
বৃত্তের ক্ষেত্রফল পাই গুণ ব্যাসার্ধের বর্গ। রুট ২ এর বর্গ ২, তাই ক্ষেত্রফল ২ পাই বর্গ সেন্টিমিটার।
দুটি ফাঁদ আছে। বাহুর অর্ধেককে ব্যাসার্ধ ধরলে, যা আসলে বর্গের ভেতরে আঁকা বৃত্তের ব্যাসার্ধ, উত্তর আসে পাই। আর ২ রুট ২ পাই হলো এই বৃত্তের পরিধি, ক্ষেত্রফল নয়।
মনে রাখুন: বৃত্তস্থ বর্গে r² = বাহু² ÷ ২; এখানে ৪ ÷ ২ = ২, ক্ষেত্রফল ২π।
পুরো পাতা ›
৩০. 4 জন তাঁতী 4 দিনে 4টি মাদুর তৈরি করতে পারে। একই হারে 8 জন তাঁতী 8 দিনে কতটি মাদুর তৈরি করতে পারবে? (৪৭তম বিসিএস, ২০২৫)
1. ক8টি
2. খ12টি
3. গ16টি
4. ঘ20টি
সঠিক উত্তর: গ. 16টি
এটা লোক, দিন আর কাজের সমানুপাতের প্রশ্ন। তৈরি জিনিসের সংখ্যা লোকের সংখ্যা আর দিনের সংখ্যা দুটোরই সমানুপাতিক।
৪ জন ৪ দিনে ৪টি মাদুর বানায়, তাই ১ জন ৪ দিনে ১টি বানায়। মানে একজন তাঁতী ৪ দিনে একটি মাদুর।
৮ দিনে একজন বানাবে ২টি। ৮ জন হলে ৮ গুণ ২, মানে ১৬টি মাদুর।
ফাঁদ হলো ৮টি বিকল্পটি। সবগুলো সংখ্যা ৪ থেকে ৮ হয়েছে দেখে মনে হয় উত্তরও ৮। কিন্তু লোক দ্বিগুণ আর দিনও দ্বিগুণ, তাই কাজ হয় ৪ গুণ।
মনে রাখুন: মাদুর = ৪ × (৮/৪) × (৮/৪) = ৪ × ২ × ২ = ১৬।
পুরো পাতা ›
৩১. (0, 0) এবং (3, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ কোনটি? (৪৭তম বিসিএস, ২০২৫)
1. কy = x
2. খy = 3x
3. গy = x + 3
4. ঘy = 3x + 3
সঠিক উত্তর: ক. y = x
প্রশ্নটা দুটি বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ যাচাই করছে। সরলরেখার সাধারণ রূপ y সমান mx যোগ c, যেখানে m ঢাল আর c হলো y অক্ষের ছেদক।
রেখাটি মূলবিন্দু শূন্য শূন্য দিয়ে যায়, তাই x শূন্য হলে y শূন্য; মানে c সমান শূন্য।
ঢাল m পেতে y এর পরিবর্তনকে x এর পরিবর্তন দিয়ে ভাগ করি। y বেড়েছে ৩, x-ও বেড়েছে ৩; ৩ কে ৩ দিয়ে ভাগ করলে ১। তাই সমীকরণ y সমান x।
সহজ যাচাই: দুটি বিন্দুতেই x আর y সমান, তাই রেখাটা y সমান x। যেসব বিকল্পে যোগ ৩ আছে, সেগুলো মূলবিন্দু দিয়ে যায় না, আর y সমান ৩x এ x ৩ হলে y ৯ হয়।
মনে রাখুন: বিকল্পে দুটি বিন্দু বসান: (০, ০) আর (৩, ৩) দুটোতেই যে সমীকরণ সত্য, সেটাই উত্তর।
পুরো পাতা ›
৩২. যদি nC12 = nC8 হয়, তবে 22Cn এর মান কত? (৪৭তম বিসিএস, ২০২৫)
1. ক230
2. খ231
3. গ232
4. ঘ233
সঠিক উত্তর: খ. 231
প্রশ্নটা সমাবেশের একটি মৌলিক ধর্ম যাচাই করছে: n টি জিনিস থেকে r টি বাছাই করার উপায় আর বাকি n বিয়োগ r টি বাদ রাখার উপায় একই। তাই n থেকে r বাছাই সমান n থেকে n বিয়োগ r বাছাই।
এখন n থেকে ১২ টি বাছাই আর n থেকে ৮ টি বাছাই সমান। ১২ আর ৮ আলাদা, তাই সমান হওয়ার একমাত্র উপায় হলো ১২ যোগ ৮ সমান n, অর্থাৎ n হলো ২০।
তাহলে চাওয়া হয়েছে ২২ থেকে ২০ টি বাছাই, যা ২২ থেকে ২ টি বাছাইয়ের সমান। এটা ২২ গুণ ২১, তারপর ২ দিয়ে ভাগ, মানে ২৩১।
ফাঁদ হলো ২২ থেকে ২০ সরাসরি গুণতে বসে সময় নষ্ট করা বা ভুল করা। বড় r দেখলে আগে n বিয়োগ r করে ছোট সংখ্যায় নিয়ে আসুন।
মনে রাখুন: nCa = nCb এবং a ≠ b হলে n = a + b। তারপর nCr কে nC(n−r) বানিয়ে ছোট দিক থেকে গুণুন।
পুরো পাতা ›
৩৩. A = {x ∈ IN : 2 < x ≤ 6} এবং B = {x ∈ IN : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8} হলে A ∩ B এর মান কত? (৪৭তম বিসিএস, ২০২৫)
1. ক{3, 2}
2. খ{4, 6}
3. গ{5, 6}
4. ঘ{4, 8}
সঠিক উত্তর: খ. {4, 6}
প্রশ্নটা সেটের ছেদ যাচাই করছে। দুটি সেটের ছেদ মানে যে উপাদানগুলো দুই সেটেই আছে, শুধু সেগুলো।
সেট A তে আছে এমন স্বাভাবিক সংখ্যা যা ২ এর বড় এবং ৬ এর সমান বা ছোট। ২ নিজে বাদ, ৬ নিজে আছে: তাই A হলো ৩, ৪, ৫ ও ৬।
সেট B তে আছে ৮ পর্যন্ত জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা: ২, ৪, ৬ ও ৮। দুই তালিকা মিলিয়ে দেখলে দুটোতেই আছে শুধু ৪ আর ৬, তাই ছেদ হলো ৪ ও ৬।
ফাঁদ হলো চিহ্ন খেয়াল না করা। ২ এর পরে আছে কঠোর ছোট চিহ্ন, তাই ২ সেট A তে নেই; ৩ আবার জোড় নয়, তাই B তে নেই। আর ৮ জোড় হলেও ৬ এর বড়, তাই A তে নেই।
মনে রাখুন: ছেদের প্রশ্নে দুই সেট তালিকা করে লিখুন, তারপর যেগুলো দুই জায়গাতেই আছে শুধু সেগুলো নিন।
পুরো পাতা ›
৩৪. একটি ব্যাগে 2টি লাল, 3টি সবুজ এবং 2টি নীল বল আছে। যদি দৈবভাবে 2টি বল নেওয়া হয়, তাহলে বল দুটির কোনটিই নীল না হওয়ার সম্ভাবনা কত? (৪৭তম বিসিএস, ২০২৫)
1. ক10/21
2. খ11/21
3. গ2/7
4. ঘ5/7
সঠিক উত্তর: ক. 10/21
প্রশ্নটা সমাবেশ দিয়ে সম্ভাবনা হিসাব যাচাই করছে। একসাথে দুটি বল তোলা মানে ক্রম নয়, বাছাই; তাই অনুকূল বাছাই কে মোট বাছাই দিয়ে ভাগ করতে হবে।
মোট বল ৭টি। ৭টি থেকে যেকোনো ২টি বাছাই করা যায় ২১ উপায়ে। নীল নয় এমন বল লাল ২টি আর সবুজ ৩টি মিলে ৫টি; এগুলো থেকে ২টি বাছাই ১০ উপায়ে।
তাই কোনোটিই নীল না হওয়ার সম্ভাবনা ২১ ভাগের ১০। অন্যভাবে: প্রথমটি নীল না হওয়ার সম্ভাবনা ৭ ভাগের ৫, তারপর দ্বিতীয়টিও নীল না হওয়ার সম্ভাবনা ৬ ভাগের ৪; গুণ করলেও ২১ ভাগের ১০।
ফাঁদ হলো ২১ ভাগের ১১ বিকল্প। এটা উল্টো ঘটনা, মানে অন্তত একটি নীল হওয়ার সম্ভাবনা। আরেক ফাঁদ ৭ ভাগের ৫, যা মাত্র একটি বল নীল না হওয়ার সম্ভাবনা।
মনে রাখুন: সরাসরি গুণ: ৫/৭ × ৪/৬ = ১০/২১। “কোনোটিই নয়” এর প্রশ্নে শুধু বাকি বলগুলো থেকে বাছাই করুন।
পুরো পাতা ›
৩৫. নিচের কোন ভগ্নাংশটি ২/৩ হতে বড়? (৪৬তম বিসিএস, ২০২৪)
1. ক৩৩/৫০
2. খ৮/১১
3. গ৩/৫
4. ঘ১৩/২৭
সঠিক উত্তর: খ. ৮/১১
প্রশ্নটা ভগ্নাংশের তুলনা যাচাই করছে। দুটি ভগ্নাংশ তুলনার সবচেয়ে নিরাপদ উপায় আড়গুণন: a ভাগ b আর c ভাগ d তুলনায় a গুণ d আর b গুণ c তুলনা করুন।
২ ভাগ ৩ এর সাথে ৮ ভাগ ১১ তুলনা করি: ৮ গুণ ৩ সমান ২৪, আর ১১ গুণ ২ সমান ২২। ২৪ বড়, তাই ৮ ভাগ ১১ বড়।
দশমিকেও দেখা যায়: ২ ভাগ ৩ প্রায় ০ দশমিক ৬৬৭, আর ৮ ভাগ ১১ প্রায় ০ দশমিক ৭২৭।
ফাঁদ হলো ৩৩ ভাগ ৫০, যা ০ দশমিক ৬৬, মানে ২ ভাগ ৩ এর খুব কাছে কিন্তু সামান্য ছোট। আড়গুণনে ৯৯ বনাম ১০০, তাই এটি ছোট।
মনে রাখুন: লবের ৩ গুণ যদি হরের ২ গুণের চেয়ে বড় হয়, তবেই ভগ্নাংশটি 2/3 এর চেয়ে বড়।
পুরো পাতা ›
৩৬. বার্ষিক ৫% হার মুনাফায় ৪০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত? (৪৬তম বিসিএস, ২০২৪)
1. ক৪৪০ টাকা
2. খ৪৪১ টাকা
3. গ৪৪৫ টাকা
4. ঘ৪৫০ টাকা
সঠিক উত্তর: খ. ৪৪১ টাকা
প্রশ্নটা চক্রবৃদ্ধি মুনাফার মূল ধারণা যাচাই করছে: প্রতি বছরের শেষে মুনাফা আসলের সঙ্গে যোগ হয়ে যায়, আর পরের বছর মুনাফা হয় এই বাড়া মূলধনের উপর।
প্রথম বছর ৪০০ টাকার ৫ শতাংশ, মানে ২০ টাকা মুনাফা; মূলধন হয় ৪২০ টাকা।
দ্বিতীয় বছর মুনাফা হয় ৪২০ টাকার উপর; ৪২০ এর ৫ শতাংশ হলো ২১ টাকা। তাই ২ বছর শেষে চক্রবৃদ্ধি মূলধন ৪২০ যোগ ২১, মানে ৪৪১ টাকা।
সূত্রে লিখলে: আসলকে এক দশমিক শূন্য পাঁচ দিয়ে দুবার গুণ করা। ৪০০ গুণ এক দশমিক এক শূন্য দুই পাঁচ সমান ৪৪১।
ফাঁদ হলো ৪৪০ টাকা। এটা সরল মুনাফার উত্তর, যেখানে দুই বছরই ৪০০ টাকার উপর ২০ টাকা করে ধরা হয়। চক্রবৃদ্ধিতে দ্বিতীয় বছরে সুদের উপরও সুদ যোগ হয়, সেই বাড়তি ১ টাকাই পার্থক্য।
মনে রাখুন: ২ বছরে চক্রবৃদ্ধি ও সরল মুনাফার পার্থক্য = P × (r ÷ ১০০)² = ৪০০ × ০.০০২৫ = ১; তাই সরলের ৪৪০ + ১ = ৪৪১।
পুরো পাতা ›
৩৭. ১০০ হতে বড় দুইটি পূর্ণসংখ্যার যোগফল ৩০০ হলে, সংখ্যা দুইটির অনুপাত কত? (৪৬তম বিসিএস, ২০২৪)
1. ক১ : ৯
2. খ২ : ৫
3. গ২ : ৩
4. ঘ৩ : ৫
সঠিক উত্তর: গ. ২ : ৩
দুটো শর্ত একসাথে মানতে হবে: দুটি সংখ্যাই ১০০-এর বড় পূর্ণসংখ্যা, আর যোগফল ৩০০। একটা ১০০-এর বড় হলে অন্যটা ২০০-এর ছোট, তাই দুটো সংখ্যাই ১০১ থেকে ১৯৯-এর মধ্যে।
এখন প্রতিটি বিকল্প অনুপাত দিয়ে ৩০০ কে ভাগ করে দেখি। অনুপাত ক অনুপাত খ হলে প্রথম সংখ্যা ৩০০ গুণ ক ভাগ ক যোগ খ।
২ অনুপাত ৩ হলে অংশ মোট ৫, প্রতি অংশ ৬০। সংখ্যা দুটি ১২০ ও ১৮০; দুটোই ১০০-এর বড় পূর্ণসংখ্যা, শর্ত পূরণ হয়।
১ অনুপাত ৯ দিলে ৩০ ও ২৭০, প্রথমটা ১০০-এর ছোট। ২ অনুপাত ৫-এ মোট অংশ ৭, আর ৩ অনুপাত ৫-এ মোট অংশ ৮; ৩০০ কে ৭ বা ৮ দিয়ে নিঃশেষে ভাগ করা যায় না, তাই পূর্ণসংখ্যা আসে না। পূর্ণসংখ্যার শর্তটা অনেকেই চোখ এড়িয়ে যান।
মনে রাখুন: অনুপাতের অংশের যোগফল দিয়ে ৩০০ ভাগ যায় কি না আগে দেখুন; ৭ ও ৮ দিয়ে যায় না, তাই ২ : ৫ ও ৩ : ৫ সঙ্গে সঙ্গে বাদ।
পুরো পাতা ›
৩৮. x2 – 7x + 12 ≤ 0 এর সমাধান সেট – (৪৬তম বিসিএস, ২০২৪)
1. ক(- ∞, 3]
2. খ(3, 4)
3. গ[3, 4]
4. ঘ[4, ∞)
সঠিক উত্তর: গ. [3, 4]
প্রশ্নটা দ্বিঘাত অসমতার সমাধান পরীক্ষা করছে। নিয়ম: দুটি গুণনীয়কের গুণফল শূন্যের কম বা সমান হয় যখন একটা ধনাত্মক আর অন্যটা ঋণাত্মক, অথবা কোনো একটা শূন্য।
x বর্গ বিয়োগ ৭x যোগ ১২ ভাঙলে হয় x বিয়োগ ৩ গুণ x বিয়োগ ৪। মূল দুটি ৩ আর ৪। সংখ্যারেখা এই দুই বিন্দুতে তিন ভাগ হয়।
৩-এর কম x নিলে দুটো গুণনীয়কই ঋণাত্মক, গুণফল ধনাত্মক। ৪-এর বেশি নিলে দুটোই ধনাত্মক, গুণফল ধনাত্মক। শুধু ৩ আর ৪-এর মাঝে একটা ঋণাত্মক, গুণফল ঋণাত্মক। যেমন ৩ দশমিক ৫ বসালে মান হয় ঋণাত্মক শূন্য দশমিক ২৫।
চিহ্নে সমান আছে, তাই ৩ আর ৪ নিজেরাও সমাধান; এজন্য বন্ধনী বন্ধ, মানে তৃতীয় বন্ধনী। ফাঁদ হলো খোলা বন্ধনী ৩ থেকে ৪, যেটা সমান চিহ্ন না থাকলে ঠিক হতো।
মনে রাখুন: x² এর সহগ ধনাত্মক হলে “≤ ০” এর সমাধান সবসময় দুই মূলের মাঝখানে, আর “≥ ০” হলে বাইরে।
পুরো পাতা ›
৩৯. x2 + y2 + z2 = 2, xy + yz + zx = 1 হলে, (x + 2y)2 + (y + 2z)2 + (z + 2x)2 এর মান- (৪৬তম বিসিএস, ২০২৪)
1. ক12
2. খ19
3. গ16
4. ঘ14
সঠিক উত্তর: ঘ. 14
প্রশ্নটা বর্গের সূত্র দিয়ে রাশি বিস্তার করে দেওয়া মানে বসানো যাচাই করছে। প্রতিটি বন্ধনী a যোগ ২b এর বর্গ, যা a বর্গ যোগ ৪ab যোগ ৪b বর্গ।
তিনটি বন্ধনী বিস্তার করলে x বর্গ, y বর্গ, z বর্গ প্রত্যেকে একবার ১ গুণ আর একবার ৪ গুণ আসে, মোট ৫ গুণ। আর xy, yz, zx প্রত্যেকে ৪ গুণ করে আসে।
তাই পুরো রাশি সমান ৫ গুণ বর্গগুলোর যোগফল যোগ ৪ গুণ গুণফলগুলোর যোগফল। মান বসালে ৫ গুণ ২ যোগ ৪ গুণ ১, মানে ১০ যোগ ৪ সমান ১৪।
ভুল সাধারণত হয় বর্গের সহগ ৪ ভুলে গিয়ে, অথবা মাঝের পদের ২ গুণ ২ সমান ৪ না ধরে শুধু ২ ধরে। তখন ১২ বা অন্য মান আসে।
মনে রাখুন: চক্রাকার (x+ky)² + (y+kz)² + (z+kx)² = (1+k²)(x²+y²+z²) + 2k(xy+yz+zx); এখানে k = 2, তাই 5 × 2 + 4 × 1 = 14।
পুরো পাতা ›
৪০. 3x – y = 3, 5x + y = 21 হলে (x, y) এর মান- (৪৬তম বিসিএস, ২০২৪)
1. ক(2, 5)
2. খ(2, 6)
3. গ(3, 5)
4. ঘ(3, 6)
সঠিক উত্তর: ঘ. (3, 6)
প্রশ্নটা দুই চলকের সরল সমীকরণ জোট সমাধান নিয়ে। দ্রুততম পদ্ধতি অপনয়ন: এমনভাবে যোগ বা বিয়োগ করা যাতে একটি চলক বাদ পড়ে।
প্রথম সমীকরণে y বিয়োগ, দ্বিতীয়টিতে y যোগ। তাই দুই সমীকরণ যোগ করলে y কাটাকাটি হয়ে যায়: ৩x যোগ ৫x হয় ৮x, আর ৩ যোগ ২১ হয় ২৪। ফলে ৮x সমান ২৪, তাই x সমান ৩।
x এর মান প্রথম সমীকরণে বসাই: ৩ গুণ ৩ মানে ৯, ৯ বিয়োগ y সমান ৩, তাই y সমান ৬।
যাচাই করুন দুটো সমীকরণেই: ৯ বিয়োগ ৬ সমান ৩, আর ১৫ যোগ ৬ সমান ২১। দুটোই মেলে। তৃতীয় অপশনে x ঠিক থাকায় অনেকে ধরা খান, কিন্তু সেখানে y ভুল।
মনে রাখুন: অপশন বসিয়ে দেখা: (৩, ৬) দিলে ৯ − ৬ = ৩ এবং ১৫ + ৬ = ২১, দুটোই মেলে।
পুরো পাতা ›

পরের পাতা: প্রশ্ন ৪১–৬০ ›