গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৩

⚡ এই বিষয়ে কুইক টেস্ট

পাতা ৩/১৫ · প্রশ্ন ৪১–৬০সব উত্তর দেখান

৪১. হলে x এর মান কত? (৪৬তম বিসিএস, ২০২৪)
1. ক32
2. খ8
3. গ3
4. ঘ√8
সঠিক উত্তর: ক. 32
প্রশ্নের মূল সমীকরণটি হলো: বর্গমূল ৮ ভিত্তিক লগ এক্স সমান ৩ পূর্ণ ১ ভাগ ৩, মানে ১০ ভাগ ৩। প্রশ্নটা লগারিদমের সংজ্ঞা পরীক্ষা করছে: ভিত্তি এ-তে লগ এক্স সমান এন মানে এক্স সমান এ-এর ঘাত এন।
তাই এক্স সমান বর্গমূল ৮-এর ঘাত ১০ ভাগ ৩। হিসাব সহজ করতে সব কিছু ২-এর ঘাতে লিখি। ৮ হলো ২-এর ঘন, তাই বর্গমূল ৮ হলো ২-এর ঘাত ৩ ভাগ ২।
এখন ঘাতগুলো গুণ হয়: ৩ ভাগ ২ গুণ ১০ ভাগ ৩ সমান ৫। অর্থাৎ এক্স সমান ২-এর ঘাত ৫, মানে ৩২।
ফাঁদ হলো লগের মান আর এক্স গুলিয়ে ফেলা, বা ভিত্তিকেই উত্তর ভেবে নেওয়া; বর্গমূল ৮ আর ৮ বিকল্পগুলো সেভাবেই এসেছে।
মনে রাখুন: লগের প্রশ্নে ভিত্তি আর সংখ্যা দুটোকেই একই মৌলিক সংখ্যার ঘাতে (এখানে ২) লিখলে ঘাত গুণ করেই উত্তর আসে।
পুরো পাতা ›
৪২. একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ ২ সে মি এবং উচ্চতা ৬ সে মি হলে, উহার তলগুলির মোট ক্ষেত্রফল কত? (৪৬তম বিসিএস, ২০২৪)
1. ক১৬π বর্গ সেমি
2. খ৩২π বর্গ সেমি
3. গ৩৬π বর্গ সেমি
4. ঘ৪৮π বর্গ সেমি
সঠিক উত্তর: খ. ৩২π বর্গ সেমি
প্রশ্নটা বেলন বা সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল চাইছে। সমগ্র তল মানে তিনটি অংশ: উপরের বৃত্ত, নিচের বৃত্ত, আর চারপাশের বাঁকা তল।
প্রতিটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল পাই আর বর্গ, মানে ৪ পাই; দুটো মিলে ৮ পাই। বাঁকা তলকে খুলে ফেললে একটা আয়তক্ষেত্র হয়, যার দৈর্ঘ্য বৃত্তের পরিধি, আর প্রস্থ উচ্চতা। পরিধি ২ গুণ পাই গুণ ২, মানে ৪ পাই; একে উচ্চতা ৬ দিয়ে গুণ করলে বাঁকা তল ২৪ পাই।
সব যোগ করলে ৮ পাই যোগ ২৪ পাই, মোট ৩২ পাই বর্গ সেন্টিমিটার। সংক্ষিপ্ত সূত্রেও একই আসে: ২ গুণ পাই গুণ ব্যাসার্ধ, তারপর গুণ ব্যাসার্ধ আর উচ্চতার যোগফল, মানে ২ গুণ পাই গুণ ২ গুণ ৮।
সবচেয়ে সাধারণ ভুল হলো শুধু বাঁকা তল ২৪ পাই বা আয়তন ২৪ পাই নিয়ে থেমে যাওয়া, অথবা দুই প্রান্তের বৃত্ত গুনতে ভুল করা। প্রশ্নে তলগুলির মোট বলা আছে, তাই তিনটি অংশই নিতে হবে।
মনে রাখুন: সমগ্র তল = ২πr(r + h) = ২π × ২ × (২ + ৬) = ৩২π, এক লাইনে।
পুরো পাতা ›
৪৩. কোনো একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের পরিমাণ ২৮° ও ৬২°। ত্রিভুজটি কোন ধরনের? (৪৬তম বিসিএস, ২০২৪)
1. কসমকোণী
2. খসূক্ষ্মকোণী
3. গস্থূলকোণী
4. ঘসমদ্বিবাহু সমকোণী
সঠিক উত্তর: ক. সমকোণী
প্রশ্নটা ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি আর কোণ অনুযায়ী ত্রিভুজের শ্রেণিবিভাগ যাচাই করছে। যেকোনো ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল ১৮০ ডিগ্রি।
দুই কোণ ২৮ আর ৬২ ডিগ্রি, যোগফল ৯০ ডিগ্রি। তাই তৃতীয় কোণ ১৮০ বিয়োগ ৯০, মানে ৯০ ডিগ্রি।
একটি কোণ ঠিক ৯০ ডিগ্রি হলে ত্রিভুজ সমকোণী। সব কোণ ৯০ এর কম হলে সূক্ষ্মকোণী, একটি ৯০ এর বেশি হলে স্থূলকোণী।
ফাঁদ হলো সমদ্বিবাহু সমকোণী। এর জন্য বাকি দুই কোণ সমান, মানে ৪৫ আর ৪৫ ডিগ্রি হতে হতো; এখানে ২৮ আর ৬২ সমান নয়।
মনে রাখুন: দুই কোণের যোগফল ঠিক 90° হলে তৃতীয়টি সমকোণ; 90° এর কম হলে তৃতীয়টি স্থূলকোণ।
পুরো পাতা ›
৪৪. 4 সেমি বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রে পরিলিখিত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত? (৪৬তম বিসিএস, ২০২৪)
1. ক8π বর্গসেমি
2. খ6π বর্গসেমি
3. গ4π বর্গসেমি
4. ঘ2√2 π বর্গসেমি
সঠিক উত্তর: ক. 8π বর্গসেমি
প্রশ্নটা বর্গের পরিলিখিত বৃত্ত নিয়ে, অর্থাৎ যে বৃত্ত বর্গের চারটি শীর্ষবিন্দু ছুঁয়ে যায়। এমন বৃত্তের ব্যাস হলো বর্গের কর্ণ।
৪ সেন্টিমিটার বাহুর বর্গের কর্ণ হলো বাহু গুণ রুট দুই, মানে চার রুট দুই সেন্টিমিটার। তাই ব্যাসার্ধ তার অর্ধেক, দুই রুট দুই সেন্টিমিটার।
বৃত্তের ক্ষেত্রফল হলো পাই গুণ ব্যাসার্ধের বর্গ। দুই রুট দুই এর বর্গ হলো ৪ গুণ ২, মানে ৮। তাই ক্ষেত্রফল ৮ পাই বর্গ সেন্টিমিটার।
সবচেয়ে বড় ফাঁদ হলো অন্তর্লিখিত বৃত্ত, যা বর্গের চার বাহু ছোঁয়। তার ব্যাস বাহুর সমান, ব্যাসার্ধ ২, ক্ষেত্রফল ৪ পাই। আরেকটি ফাঁদ হলো ব্যাসার্ধের বর্গ না করে দুই রুট দুই পাই লিখে ফেলা।
মনে রাখুন: বর্গের পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × বাহু² ÷ ২ = π × ১৬ ÷ ২ = ৮π।
পুরো পাতা ›
৪৫. CONIC শব্দটির অক্ষরগুলো নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা কত? (৪৬তম বিসিএস, ২০২৪)
1. ক24
2. খ40
3. গ60
4. ঘ120
সঠিক উত্তর: গ. 60
প্রশ্নটা পুনরাবৃত্ত অক্ষরসহ বিন্যাসের নিয়ম পরীক্ষা করছে। এন সংখ্যক জিনিস সাজানোর উপায় এন ফ্যাক্টোরিয়াল, কিন্তু কোনো জিনিস একাধিকবার থাকলে সেগুলোর নিজেদের মধ্যে অদলবদল নতুন বিন্যাস তৈরি করে না।
তাই নিয়ম হলো: মোট অক্ষরের ফ্যাক্টোরিয়ালকে প্রতিটি পুনরাবৃত্ত অক্ষরের সংখ্যার ফ্যাক্টোরিয়াল দিয়ে ভাগ করা।
CONIC শব্দে অক্ষর ৫টি: সি, ও, এন, আই, সি; এর মধ্যে সি আছে ২ বার। তাই বিন্যাস সংখ্যা ৫ ফ্যাক্টোরিয়াল ভাগ ২ ফ্যাক্টোরিয়াল, মানে ১২০ ভাগ ২, সমান ৬০।
সবচেয়ে বড় ফাঁদ ১২০: দুটো সি একই অক্ষর, এটা না দেখে সরাসরি ৫ ফ্যাক্টোরিয়াল লিখে ফেলা।
মনে রাখুন: বিন্যাস = n! ÷ (p! × q! × …), যেখানে p, q পুনরাবৃত্ত অক্ষরের সংখ্যা।
পুরো পাতা ›
৪৬. একটি থলিতে 5টি নীল, 10টি সাদা, 20টি কালো বল আছে। দৈব চয়নের মাধ্যমে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা কত? (৪৬তম বিসিএস, ২০২৪)
1. ক3/10
2. খ5/7
3. গ7/5
4. ঘ7/10
সঠিক উত্তর: খ. 5/7
প্রশ্নটা সম্ভাবনার মূল সংজ্ঞা পরীক্ষা করছে: অনুকূল ফলাফলের সংখ্যাকে মোট ফলাফলের সংখ্যা দিয়ে ভাগ।
থলিতে মোট বল ৫ যোগ ১০ যোগ ২০, মানে ৩৫টি। সাদা না হওয়া মানে নীল অথবা কালো, তাই অনুকূল বল ৫ যোগ ২০, মানে ২৫টি।
সম্ভাবনা ২৫ ভাগ ৩৫, সরল করলে ৫ ভাগ ৭। অন্য পথে: সাদা হওয়ার সম্ভাবনা ১০ ভাগ ৩৫, মানে ২ ভাগ ৭; সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা ১ থেকে সেটা বাদ, মানে ৫ ভাগ ৭।
মনে রাখুন, সম্ভাবনা কখনো ১-এর বেশি হতে পারে না, তাই ৭ ভাগ ৫ সরাসরি বাদ। আর ৩ ভাগ ১০ বা ৭ ভাগ ১০ হতেই পারে না, কারণ মোট বল ৩৫, তাই সরল করার পর হর হবে ৩৫, ৭, ৫ বা ১; কখনো ১০ নয়।
মনে রাখুন: “না হওয়ার” সম্ভাবনা = ১ − হওয়ার সম্ভাবনা: ১ − ১০/৩৫ = ৫/৭।
পুরো পাতা ›
৪৭. একজন মহিলা বলছেন, 'আপনি যদি আমার নিজের বয়সকে উল্টে দেন তাহলে তা আমার স্বামীর বয়সকে নির্দেশ করে। তিনি আমার থেকে বয়সে বড় এবং আমাদের বয়সের পার্থক্য আমাদের মোট বয়সের যোগফলের এগারো ভাগের একভাগ।' মহিলার বয়স কত? (৪৬তম বিসিএস, ২০২৪)
1. ক২৩ বছর
2. খ৩৪ বছর
3. গ৪৫ বছর
4. ঘকোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর: গ. ৪৫ বছর
প্রশ্নটা অঙ্ক উল্টানো দুই অঙ্কের সংখ্যার ধর্ম যাচাই করছে। মহিলার বয়স দশকের অঙ্ক a আর এককের অঙ্ক b হলে তাঁর বয়স ১০a যোগ b, আর স্বামীর বয়স ১০b যোগ a।
এমন দুই সংখ্যার পার্থক্য সবসময় ৯ গুণ অঙ্কদ্বয়ের পার্থক্য, আর যোগফল সবসময় ১১ গুণ অঙ্কদ্বয়ের যোগফল। শর্ত বলছে পার্থক্য সমান যোগফলের ১১ ভাগের ১ ভাগ, মানে ৯ গুণ b বিয়োগ a সমান a যোগ b।
এ থেকে ৮b সমান ১০a, অর্থাৎ a অনুপাত b সমান ৪ অনুপাত ৫। এক অঙ্কের অঙ্ক হিসেবে একমাত্র সমাধান a সমান ৪, b সমান ৫। তাই মহিলার বয়স ৪৫, স্বামীর ৫৪।
যাচাই: পার্থক্য ৯, যোগফল ৯৯, আর ৯৯ এর ১১ ভাগের ১ ভাগ ৯। ২৩ বা ৩৪ নিলেও পার্থক্য ৯ হয়, কিন্তু যোগফল ৫৫ বা ৭৭, যার ১১ ভাগের ১ ভাগ ৯ নয়; এখানেই ফাঁদ।
মনে রাখুন: বিকল্প যাচাই: উল্টে যোগফল বের করে 11 দিয়ে ভাগ করুন; ভাগফল যেটায় পার্থক্যের (9) সমান, সেটাই উত্তর।
পুরো পাতা ›
৪৮. একটি সভায় ১৫ জন লোক রয়েছে এবং তারা সকলেই সভা শেষে একে অপরের সাথে করমর্দন করে। মোট কতটি করমর্দন হবে? (৪৬তম বিসিএস, ২০২৪)
1. ক২১০
2. খ১০৫
3. গ২২৫
4. ঘ১৯৬
সঠিক উত্তর: খ. ১০৫
প্রশ্নটা জোড়া গোনার, অর্থাৎ সমাবেশের প্রশ্ন। প্রতিটি করমর্দন মানে দুজন মানুষের একটি জোড়া, আর একই জোড়ায় করমর্দন একবারই হয়।
প্রত্যেকে বাকি ১৪ জনের সঙ্গে হাত মেলায়। তাই ১৫ গুণ ১৪, মানে ২১০ টি হাত মেলানো গোনা যায়।
কিন্তু এভাবে প্রতিটি করমর্দন দুবার গোনা হয়েছে: ক এর দিক থেকে একবার, খ এর দিক থেকে আরেকবার। তাই ২ দিয়ে ভাগ করলে আসল সংখ্যা ১০৫।
সাধারণ সূত্র: n জন থাকলে করমর্দন n গুণ n বিয়োগ ১, তারপর ২ দিয়ে ভাগ। ফাঁদ হলো ২ দিয়ে ভাগ করতে ভুলে গিয়ে ২১০ বেছে নেওয়া।
মনে রাখুন: n জনে করমর্দন = n(n − ১) ÷ ২ = ১৫ × ১৪ ÷ ২ = ১০৫।
পুরো পাতা ›
৪৯. x2y + xy2 এবং x2 + xy রাশিদ্বয়ের ল.সা.গু এবং গ.সা.গু এর গুণফল কত? (৪৫তম বিসিএস, ২০২৩)
1. কx2y2(x + y)
2. খxy(x2 + y2)
3. গx2y(x + y)2
4. ঘxy2(x2 + y)
সঠিক উত্তর: গ. x2y(x + y)2
প্রশ্নটা ল.সা.গু আর গ.সা.গু-এর একটা মৌলিক ধর্ম পরীক্ষা করছে: দুটি রাশির ল.সা.গু আর গ.সা.গু-এর গুণফল সবসময় রাশি দুটির গুণফলের সমান।
তাই আলাদা করে ল.সা.গু বা গ.সা.গু বের করার দরকারই নেই। প্রথম রাশি x বর্গ y যোগ x y বর্গ, উৎপাদকে ভাঙলে হয় xy গুণ x যোগ y। দ্বিতীয় রাশি x বর্গ যোগ xy, ভাঙলে হয় x গুণ x যোগ y।
এই দুটো গুণ করলে পাই x বর্গ y গুণ x যোগ y-এর বর্গ। যাচাই করতে চাইলে দেখুন, গ.সা.গু x গুণ x যোগ y, আর ল.সা.গু xy গুণ x যোগ y; এদের গুণফলও একই।
ফাঁদ হলো প্রথম অপশন, যেখানে x যোগ y মাত্র একবার আছে। দুই রাশিতেই x যোগ y উৎপাদক আছে, তাই গুণফলে সেটা দুবার আসবে।
মনে রাখুন: রাশি দুটিকে সরাসরি গুণ করুন; ল.সা.গু বা গ.সা.গু আলাদা বের করতে হবে না।
পুরো পাতা ›
৫০. যদি x : y = 2 : 3 এবং y : z = 5 : 7 হয়, তবে x : y : z = ? (৪৫তম বিসিএস, ২০২৩)
1. ক6 : 9 : 14
2. খ10 : 15 : 21
3. গ2 : 5 : 7
4. ঘ3 : 5 : 7
সঠিক উত্তর: খ. 10 : 15 : 21
প্রশ্নটা দুটি অনুপাত জুড়ে একটি ধারাবাহিক অনুপাত বানানো যাচাই করছে। দুটো অনুপাতে মিল আছে শুধু y তে, তাই y এর মান দুই জায়গায় সমান করতে হবে।
প্রথম অনুপাতে y হলো ৩, দ্বিতীয়তে ৫। ৩ আর ৫ এর লসাগু ১৫। তাই প্রথম অনুপাতকে ৫ দিয়ে গুণ করে পাই ১০ অনুপাত ১৫, আর দ্বিতীয়টিকে ৩ দিয়ে গুণ করে পাই ১৫ অনুপাত ২১।
এখন y দুই জায়গাতেই ১৫, তাই x অনুপাত y অনুপাত z হলো ১০ অনুপাত ১৫ অনুপাত ২১।
সবচেয়ে বড় ফাঁদ হলো সংখ্যাগুলো পাশাপাশি বসিয়ে ২ অনুপাত ৫ অনুপাত ৭ লেখা; এতে y একবার ৩ আর একবার ৫ থেকে যায়।
মনে রাখুন: x:y:z = (2×5) : (3×5) : (3×7) = 10:15:21। প্রথমটির প্রথম দুই পদকে দ্বিতীয়টির প্রথম পদ দিয়ে, আর শেষ পদকে প্রথমটির দ্বিতীয় পদ দিয়ে গুণ।
পুরো পাতা ›
৫১. জাহিদ সাহেবের বেতন 10% কমানোর পর হ্রাসকৃত বেতন 10% বাড়ানো হলে তার কতটুকু ক্ষতি হল? (৪৫তম বিসিএস, ২০২৩)
1. ক0%
2. খ1%
3. গ5%
4. ঘ10%
সঠিক উত্তর: খ. 1%
প্রশ্নটা পরপর দুটি শতকরা পরিবর্তন নিয়ে। মূল কথা: প্রতিটি শতকরা পরিবর্তন হয় তার ঠিক আগের মানের উপর, মূল মানের উপর নয়।
বেতন ১০০ টাকা ধরি। ১০ শতাংশ কমলে হয় ৯০ টাকা। এবার বৃদ্ধি হবে এই ৯০ টাকার উপর; ৯০ এর ১০ শতাংশ হলো ৯ টাকা, তাই নতুন বেতন ৯৯ টাকা।
শুরু ১০০, শেষে ৯৯; তাই ক্ষতি ১ টাকা, অর্থাৎ ১ শতাংশ।
সবচেয়ে বড় ফাঁদ হলো ১০ শতাংশ কমা আর ১০ শতাংশ বাড়াকে কাটাকাটি ভেবে শূন্য শতাংশ বলা। কমানো হয়েছে বড় ভিত্তি ১০০ থেকে, বাড়ানো হয়েছে ছোট ভিত্তি ৯০ থেকে, তাই পুরোটা ফেরত আসে না।
মনে রাখুন: x% কমে পরে x% বাড়লে (বা উল্টো) মোট ক্ষতি x² ÷ ১০০ শতাংশ: ১০² ÷ ১০০ = ১%।
পুরো পাতা ›
৫২. (x + 5)2 = x2 + bx + c সমীকরণে b ও c এর মান কত হলে সমীকরণটি অভেদ হবে? (৪৫তম বিসিএস, ২০২৩)
1. ক3, 10
2. খ10, 15
3. গ15, 25
4. ঘ10, 25
সঠিক উত্তর: ঘ. 10, 25
অভেদ মানে এমন সমীকরণ যা এক্স-এর সব মানের জন্য সত্য। তাই দুই পাশের রাশিকে পুরোপুরি একই হতে হবে: এক্স স্কয়ারের সহগ, এক্স-এর সহগ আর ধ্রুবক পদ, প্রতিটা আলাদাভাবে মিলতে হবে।
বাম পাশ খুলি। এক্স যোগ ৫-এর বর্গ সমান এক্স স্কয়ার যোগ ২ গুণ ৫ গুণ এক্স যোগ ৫-এর বর্গ, অর্থাৎ এক্স স্কয়ার যোগ ১০ এক্স যোগ ২৫।
এবার ডান পাশের এক্স স্কয়ার যোগ বি এক্স যোগ সি-এর সাথে মেলাই। এক্স-এর সহগ মিলিয়ে বি সমান ১০, ধ্রুবক পদ মিলিয়ে সি সমান ২৫।
অনেকে মাঝের পদে ২ দিয়ে গুণ করতে ভুলে বি সমান ৫ ধরেন, বা ধ্রুবক পদে ৫-এর বর্গ ঠিকমতো না নিয়ে ভুল সংখ্যা লেখেন। মনে রাখুন, মাঝের পদ হলো ২ গুণ এক্স গুণ ৫, আর শেষ পদ ৫-এর বর্গ, মানে ২৫।
মনে রাখুন: (x + k)² = x² + bx + c অভেদ হলে সবসময় b = 2k, c = k²।
পুরো পাতা ›
৫৩. নিচের কোনটি সরলরেখার সমীকরণ? (৪৫তম বিসিএস, ২০২৩)
1. কx/y = y/2
2. খx2 + y = 1
3. গx/y = 1/2
4. ঘx = 1/y
সঠিক উত্তর: গ. x/y = 1/2
প্রশ্নটা পরীক্ষা করছে কোন সমীকরণের লেখচিত্র সরলরেখা। নিয়ম হলো, সরল করার পর x আর y দুটোর ঘাতই এক হলে, আর x গুণ y বা ভগ্নাংশে চলক না থাকলে, সেটা সরলরেখা।
x বাই y সমান ১ বাই ২ থেকে আড়গুণন করলে পাই y সমান ২x। এটা একঘাত সমীকরণ, যার ঢাল ২। তাই এটাই সরলরেখা।
বাকিগুলো দেখি। x বাই y সমান y বাই ২ থেকে আসে y বর্গ সমান ২x, এটা পরাবৃত্ত। x বর্গ যোগ y সমান ১ থেকেও পরাবৃত্ত। আর x সমান ১ বাই y মানে xy সমান ১, এটা আয়তাকার অধিবৃত্ত।
ফাঁদ হলো প্রথম অপশন, কারণ দুটো ভগ্নাংশ দেখতে তৃতীয়টার মতো। কিন্তু আড়গুণন করলেই y বর্গ বেরিয়ে আসে, তাই সবসময় আগে সরল করে ঘাত দেখুন।
মনে রাখুন: সরল করার পর কোনো পদে x², y² বা xy থাকলে সেটা সরলরেখা নয়।
পুরো পাতা ›
৫৪. p + q = 5 এবং p – q = 3 হলে p2 + q2 এর মান কত? (৪৫তম বিসিএস, ২০২৩)
1. ক8
2. খ17
3. গ19
4. ঘ34
সঠিক উত্তর: খ. 17
প্রশ্নটা বীজগণিতের দুটি বর্গের সূত্র একসাথে ব্যবহার যাচাই করছে। p যোগ q এর বর্গ আর p বিয়োগ q এর বর্গ যোগ করলে মাঝের ২pq কাটাকাটি হয়ে যায়, থাকে p বর্গ যোগ q বর্গ এর দ্বিগুণ।
তাই p বর্গ যোগ q বর্গ সমান দুই বর্গের যোগফলের অর্ধেক। এখানে ৫ এর বর্গ ২৫, ৩ এর বর্গ ৯; যোগফল ৩৪, অর্ধেক ১৭।
যাচাই করতে চাইলে সরাসরি সমাধানও সহজ: দুই সমীকরণ যোগ করে p সমান ৪, বিয়োগ করে q সমান ১। তাহলে ১৬ যোগ ১ সমান ১৭।
ফাঁদ হলো ৩৪ বেছে নেওয়া, মানে অর্ধেক করতে ভুলে যাওয়া। আর ৮ আসে বর্গ না করে শুধু ৫ আর ৩ যোগ করলে।
মনে রাখুন: দুই সমীকরণ যোগ-বিয়োগ করে p = 4, q = 1; তারপর 16 + 1 = 17।
পুরো পাতা ›
৫৫. যদি log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হয়, তবে- (৪৫তম বিসিএস, ২০২৩)
1. কa + b = 1
2. খa – b = 1
3. গa = b
4. ঘa2 – b2 = 1
সঠিক উত্তর: ক. a + b = 1
প্রশ্নটা লগারিদমের গুণের সূত্র যাচাই করছে: দুটি লগ যোগ করলে ভেতরের রাশি দুটো গুণ হয়ে যায়।
বাম দিকে আছে লগ a ভাগ b আর লগ b ভাগ a। এদের যোগফল হলো লগ এর ভেতরে a ভাগ b গুণ b ভাগ a, যা কাটাকাটি হয়ে ১। আর লগ ১ সবসময় শূন্য। তাই a আর b যা-ই হোক, বাম দিক সবসময় শূন্য।
তাহলে ডান দিকের লগ a যোগ b কেও শূন্য হতে হবে। লগ শূন্য হয় কেবল তখনই, যখন ভেতরের রাশি ১। তাই a যোগ b সমান ১।
ফাঁদ হলো a সমান b বেছে নেওয়া। বাম দিক a ও b এর যেকোনো মানেই শূন্য হয়, তাই এখান থেকে a আর b সমান হওয়ার কোনো শর্ত আসে না।
মনে রাখুন: log x + log(১/x) সবসময় ০; তাই ডান দিকের লগের ভেতরের রাশিটাই ১ হবে।
পুরো পাতা ›
৫৬. 1/√3, – 1, √3, ……… ধারটির পঞ্চম পদ কত? (৪৫তম বিসিএস, ২০২৩)
1. ক– √3
2. খ9
3. গ– 9√3
4. ঘ3√3
সঠিক উত্তর: ঘ. 3√3
প্রথমে চিনতে হবে ধারাটা সমান্তর না গুণোত্তর। পরপর দুই পদের পার্থক্য সমান নয়, কিন্তু অনুপাত সমান; তাই এটি গুণোত্তর ধারা।
সাধারণ অনুপাত হলো দ্বিতীয় পদকে প্রথম পদ দিয়ে ভাগ করা: ঋণাত্মক ১ কে ১ ভাগ বর্গমূল ৩ দিয়ে ভাগ করলে পাই ঋণাত্মক বর্গমূল ৩। তৃতীয় পদ বর্গমূল ৩ কে দ্বিতীয় পদ দিয়ে ভাগ করেও একই অনুপাত আসে।
এবার প্রতিবার ঋণাত্মক বর্গমূল ৩ দিয়ে গুণ করে এগোই। তৃতীয় পদ বর্গমূল ৩, চতুর্থ পদ ঋণাত্মক ৩, পঞ্চম পদ ৩ বর্গমূল ৩।
অনুপাত ঋণাত্মক হলে পদগুলোর চিহ্ন একবার ধনাত্মক, একবার ঋণাত্মক করে বদলায়। বিজোড় অবস্থানের পদ, মানে প্রথম, তৃতীয়, পঞ্চম, সব ধনাত্মক; তাই ঋণাত্মক চিহ্নের বিকল্পগুলো শুরুতেই বাদ।
মনে রাখুন: n-তম পদ = a·rⁿ⁻¹: (1/√3) × (−√3)⁴ = (1/√3) × 9 = 3√3।
পুরো পাতা ›
৫৭. যদি 1 + tan2θ = 4 এবং θ < 90° হয়, θ = ? (৪৫তম বিসিএস, ২০২৩)
1. ক30°
2. খ45°
3. গ60°
4. ঘ0°
সঠিক উত্তর: গ. 60°
প্রশ্নটা ত্রিকোণমিতির একটা অভেদ পরীক্ষা করছে: ১ যোগ tan বর্গ থিটা সমান sec বর্গ থিটা। এটা মনে থাকলে অঙ্কটা দুই লাইনের।
তাহলে sec বর্গ থিটা সমান ৪, মানে sec থিটা সমান ২। থিটা ৯০ ডিগ্রির কম, তাই ঋণাত্মক মান বাদ। sec থিটা ২ মানে cos থিটা ১ বাই ২, আর cos ৬০ ডিগ্রি ঠিক ১ বাই ২।
অন্য পথেও যাওয়া যায়: tan বর্গ থিটা সমান ৩, তাই tan থিটা রুট ৩, যা tan ৬০ ডিগ্রি। দুই পথেই উত্তর ৬০ ডিগ্রি।
ফাঁদ হলো ৩০ ডিগ্রি, কারণ sin ৩০ ডিগ্রিও ১ বাই ২। কিন্তু এখানে cos থিটা ১ বাই ২, তাই কোণ ৬০ ডিগ্রি।
মনে রাখুন: সরাসরি: tan²θ = ৪ − ১ = ৩, tanθ = √৩, θ = ৬০°।
পুরো পাতা ›
৫৮. একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাস 12 cm হলে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত? (৪৫তম বিসিএস, ২০২৩)
1. ক4π
2. খ3π
3. গ2π
4. ঘπ
সঠিক উত্তর: গ. 2π
প্রশ্নটা বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য বের করা যাচাই করছে। চাপের দৈর্ঘ্য হলো পুরো পরিধির সেই অংশ, যতটা অংশ কেন্দ্রের কোণ পুরো ৩৬০ ডিগ্রির।
ব্যাস ১২ সেন্টিমিটার, তাই ব্যাসার্ধ ৬, আর পুরো পরিধি ২ গুণ পাই গুণ ব্যাসার্ধ, মানে ১২ পাই। ৬০ ডিগ্রি হলো ৩৬০ ডিগ্রির ৬ ভাগের ১ ভাগ।
তাই চাপের দৈর্ঘ্য ১২ পাই এর ৬ ভাগের ১ ভাগ, মানে ২ পাই সেন্টিমিটার। রেডিয়ানে ভাবলেও একই: ৬০ ডিগ্রি সমান পাই ভাগ ৩, আর ৬ গুণ পাই ভাগ ৩ সমান ২ পাই।
ফাঁদ হলো ব্যাস ১২ কেই ব্যাসার্ধ ধরে নেওয়া। তখন উত্তর আসে ৪ পাই, যা দ্বিগুণ।
মনে রাখুন: চাপ = rθ (θ রেডিয়ানে) = 6 × π/3 = 2π।
পুরো পাতা ›
৫৯. একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 1 : 2√2 : 3 হলে এর বৃহত্তম কোণটির মান কত? (৪৫তম বিসিএস, ২০২৩)
1. ক30°
2. খ60°
3. গ80°
4. ঘ90°
সঠিক উত্তর: ঘ. 90°
প্রশ্নটা পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিপরীত রূপ যাচাই করছে: ছোট দুই বাহুর বর্গের যোগফল যদি বড় বাহুর বর্গের সমান হয়, তাহলে ত্রিভুজটি সমকোণী।
বাহুগুলো ১, দুই রুট দুই এবং ৩। ছোট বাহু ১ এর বর্গ ১। দুই রুট দুই এর বর্গ হলো ৪ গুণ ২, মানে ৮। দুটো যোগ করলে ৯।
বড় বাহু ৩ এর বর্গও ৯। দুটো মিলে গেছে, তাই ত্রিভুজটি সমকোণী। বৃহত্তম কোণ থাকে বৃহত্তম বাহুর বিপরীতে, আর সেটাই ৯০ ডিগ্রি।
নিয়মটা আরও কাজে লাগে: ছোট দুই বাহুর বর্গের যোগফল বড়টির বর্গের চেয়ে বেশি হলে সব কোণ সূক্ষ্ম, কম হলে বড় কোণটি স্থূল।
ফাঁদ হলো ৩০ বা ৬০ ডিগ্রি বেছে নেওয়া। এগুলো আরেকটি পরিচিত সমকোণী ত্রিভুজের কোণ, যার বাহুর অনুপাত এক, রুট তিন আর দুই। তা ছাড়া যেকোনো ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ কখনো ৬০ ডিগ্রির কম হয় না, আর ঠিক ৬০ হয় কেবল সমবাহু ত্রিভুজে।
মনে রাখুন: বড় বাহুর বর্গ = বাকি দুই বাহুর বর্গের যোগফল হলেই কোণ ৯০°; ১ + ৮ = ৯ দেখলেই উত্তর।
পুরো পাতা ›
৬০. 29 থেকে 38 পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোনো একটিকে ইচ্ছামত বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা কত? (৪৫তম বিসিএস, ২০২৩)
1. ক1/2
2. খ1/3
3. গ3/10
4. ঘ7/10
সঠিক উত্তর: গ. 3/10
সম্ভাবনা মানে অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা ভাগ মোট ফলাফলের সংখ্যা। তাই দুটো জিনিস গুনতে হবে: মোট কয়টি সংখ্যা, আর তার মধ্যে কয়টি মৌলিক।
২৯ থেকে ৩৮ পর্যন্ত দুই প্রান্তসহ মোট সংখ্যা ৩৮ বিয়োগ ২৯ যোগ ১, মানে ১০টি।
মৌলিক সংখ্যা যাচাই করতে বর্গমূল পর্যন্ত মৌলিক দিয়ে ভাগ করে দেখাই যথেষ্ট; এখানে ২, ৩ আর ৫ দিয়ে ভাগ যায় কি না দেখলেই হয়। তাতে মৌলিক পাওয়া যায় ২৯, ৩১ ও ৩৭, মোট ৩টি।
তাই সম্ভাবনা ৩ ভাগ ১০। ফাঁদ হলো মোট সংখ্যা ৯ ধরা, অথবা ৩৩ বা ৩৫-কে মৌলিক ভাবা; ৩৩ তে ৩ আর ৩৫ এ ৫ দিয়ে ভাগ যায়।
মনে রাখুন: ১০০-এর নিচের মৌলিক সংখ্যা মুখস্থ রাখুন: ২০-এর ঘরে ২৩, ২৯; ৩০-এর ঘরে ৩১, ৩৭।
পুরো পাতা ›

পরের পাতা: প্রশ্ন ৬১–৮০ ›