গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৬

⚡ এই বিষয়ে কুইক টেস্ট

পাতা ৬/১৫ · প্রশ্ন ১০১–১২০সব উত্তর দেখান

১০১. একটি নৌকা পানির লেভেলে বাঁধা দড়ি দ্বারা একটি ডকের দিকে টানা হয়। নৌকাটি যখন ডক থেকে ১২ ফুট দূরে থাকে, তখন নৌকা থেকে ডক পর্যন্ত দড়ির দৈর্ঘ্য পানির উপর ডকের উচ্চতার দ্বিগুণের চেয়ে ৩ ফুট লম্বা হয়। তাহলে ডকের উচ্চতা কত? (৪৩তম বিসিএস, ২০২১)
1. ক৯ ফুট
2. খ৮ ফুট
3. গ৫ ফুট
4. ঘ৪ ফুট
সঠিক উত্তর: গ. ৫ ফুট
প্রশ্নটা পিথাগোরাসের উপপাদ্য দিয়ে একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে সমাধান করতে বলছে। ডকের উচ্চতা খাড়া বাহু, নৌকা থেকে ডকের দূরত্ব ভূমি, আর দড়ি অতিভুজ।
ডকের উচ্চতা h ফুট ধরলে দড়ির দৈর্ঘ্য ২h যোগ ৩ ফুট। পিথাগোরাস অনুযায়ী ১২ এর বর্গ যোগ h এর বর্গ সমান ২h যোগ ৩ এর বর্গ।
বিস্তার করলে ১৪৪ যোগ h এর বর্গ সমান ৪ h এর বর্গ যোগ ১২h যোগ ৯। সাজিয়ে ৩ দিয়ে ভাগ করলে h এর বর্গ যোগ ৪h বিয়োগ ৪৫ সমান শূন্য, মানে h যোগ ৯ গুণ h বিয়োগ ৫ সমান শূন্য। উচ্চতা ঋণাত্মক হয় না, তাই h সমান ৫ ফুট।
যাচাই: দড়ি ১৩ ফুট, আর ৫, ১২, ১৩ একটি পরিচিত পিথাগোরীয় ত্রয়ী। ঋণাত্মক মূল থেকে ৯ সংখ্যাটা আসে, তাই ৯ ফুট বিকল্পটি এখানে ফাঁদ।
মনে রাখুন: বিকল্প বসান: h = ৫ হলে দড়ি ১৩; ৫² + ১২² = ১৬৯ = ১৩²। পরিচিত ত্রয়ী ৫-১২-১৩ চিনলেই হয়।
পুরো পাতা ›
১০২. নিচের কোন পূর্ণ সংখ্যাটি ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ২, ৩ ও ৪ অবশিষ্ট থাকে? (৪০তম বিসিএস, ২০১৯)
1. ক৪৮
2. খ৫৪
3. গ৫৮
4. ঘ৬০
সঠিক উত্তর: গ. ৫৮
প্রশ্নটা ভাগশেষের একটি ধরন চিনতে পারছেন কি না তা যাচাই করছে। এখানে প্রতিটি ভাজক থেকে তার ভাগশেষ বাদ দিলে একই সংখ্যা থাকে: ৩ থেকে ১, ৪ থেকে ২, ৫ থেকে ৩, ৬ থেকে ৪ বাদ দিলে প্রতিবার ২।
এর মানে সংখ্যাটির সঙ্গে ২ যোগ করলে সেটা ৩, ৪, ৫, ৬ সবগুলো দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হয়। তাই সংখ্যাটি হলো এদের লসাগু থেকে ২ কম।
৩, ৪, ৫, ৬ এর লসাগু ৬০, তাই সংখ্যাটি ৫৮। মিলিয়ে দেখি: ৫৮ কে ৩ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ ১, ৪ দিয়ে ২, ৫ দিয়ে ৩, ৬ দিয়ে ৪। সব মেলে।
ফাঁদ হলো লসাগু ৬০ নিজেকেই উত্তর ধরে নেওয়া; ৬০ সবগুলো দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য, কোনো ভাগশেষ থাকে না।
মনে রাখুন: ভাজক − ভাগশেষ সব সমান (k) হলে, সংখ্যা = ল.সা.গু. − k। অথবা বিকল্পগুলো ৩ দিয়ে ভাগ করে দেখুন: শুধু ৫৮ তে ভাগশেষ ১।
পুরো পাতা ›
১০৩. পনির ও তপনের আয়ের অনুপাত ৪: ৩। তপন ও রবিনের আয়ের অনুপাত ৫ : ৪। পনিরের আয় ১২০ টাকা হলে, রবিনের আয় কত? (৪০তম বিসিএস, ২০১৯)
1. ক৩৬ টাকা
2. খ১২ টাকা
3. গ৭২ টাকা
4. ঘ৮৪ টাকা
সঠিক উত্তর: গ. ৭২ টাকা
এটা ধারাবাহিক অনুপাতের প্রশ্ন। দুটি অনুপাতে তপন সাধারণ, তাই দুই অনুপাতে তপনের অংশ সমান করে নিলে পনির, তপন আর রবিনকে একটি অনুপাতে লেখা যায়।
প্রথম অনুপাতে তপন ৩, দ্বিতীয়টিতে ৫। দুটোকেই ১৫ বানাই: পনির ও তপন ২০ অনুপাত ১৫, আর তপন ও রবিন ১৫ অনুপাত ১২। তাই তিনজনের অনুপাত ২০, ১৫ আর ১২।
পনিরের ২০ ভাগ সমান ১২০ টাকা, তাই এক ভাগ ৬ টাকা। রবিনের ১২ ভাগ মানে ১২ গুণ ৬, অর্থাৎ ৭২ টাকা। তপনের আয় দাঁড়ায় ৯০ টাকা।
শিকলের মতো গুণ করেও মেলানো যায়: ১২০ এর চার ভাগের তিন হলো তপনের ৯০, আর ৯০ এর পাঁচ ভাগের চার হলো রবিনের ৭২। মাঝের ব্যক্তিকে সমান না করে দুই প্রান্ত সরাসরি মেলানো যায় না।
মনে রাখুন: রবিন = ১২০ × ৩/৪ × ৪/৫ = ৭২। দুটো অনুপাত শিকলের মতো গুণ করুন।
পুরো পাতা ›
১০৪. ৪৫০ টাকা বার্ষিক ৬% সুদে কত বছরে সুদে- আসলে ৫৫৮ টাকা হবে? (৪০তম বিসিএস, ২০১৯)
1. ক৩ বছরে
2. খ৪ বছরে
3. গ৫ বছরে
4. ঘ৬ বছরে
সঠিক উত্তর: খ. ৪ বছরে
সরল সুদে প্রতি বছর একই পরিমাণ সুদ হয়, কারণ সুদ শুধু আসলের উপর হিসাব হয়। তাই মোট সুদকে এক বছরের সুদ দিয়ে ভাগ করলেই বছর পাওয়া যায়।
সুদে-আসলে ৫৫৮ টাকা আর আসল ৪৫০ টাকা, তাই মোট সুদ ১০৮ টাকা। ৪৫০ টাকার ৬ শতাংশ হলো ২৭ টাকা, এটাই এক বছরের সুদ।
১০৮ কে ২৭ দিয়ে ভাগ করলে ৪। অর্থাৎ ৪ বছরে সুদে-আসলে ৫৫৮ টাকা হবে। মিলিয়ে দেখি: ২৭ গুণ ৪ সমান ১০৮।
সূত্রে বললে, সময় সমান সুদ গুণ ১০০, তাকে আসল আর হারের গুণফল দিয়ে ভাগ। মনে রাখুন, সূত্রে বসানোর আগে সুদে-আসল থেকে আসল বাদ দিয়ে শুধু সুদটুকু নিতে হবে।
মনে রাখুন: সময় = (সুদ × ১০০) ÷ (আসল × হার) = (১০৮ × ১০০) ÷ (৪৫০ × ৬) = ৪।
পুরো পাতা ›
১০৫. একটি মোটর সাইকেল ১২% ক্ষতিতে বিক্রি করা হল। যদি বিক্রয় মূল্য ১২০০ টাকা বেশি হতো, তাহলে ৮% লাভ হত। মোটর সাইকেলের ক্রয় মূল্য – (৪০তম বিসিএস, ২০১৯)
1. ক৬০০০ টাকা
2. খ৫০০০ টাকা
3. গ৪০০০ টাকা
4. ঘ৮০০০ টাকা
সঠিক উত্তর: ক. ৬০০০ টাকা
লাভ আর ক্ষতির হার দুটোই ক্রয়মূল্যের উপর হিসাব হয়। তাই ১২ শতাংশ ক্ষতি থেকে ৮ শতাংশ লাভে যেতে বিক্রয়মূল্য বাড়াতে হয় ক্রয়মূল্যের মোট ২০ শতাংশ।
ক্রয়মূল্য ১০০ ধরলে ১২ শতাংশ ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য ৮৮, আর ৮ শতাংশ লাভে ১০৮। দুটির পার্থক্য ২০, অর্থাৎ ক্রয়মূল্যের ২০ শতাংশ।
প্রশ্নে এই পার্থক্য ১২০০ টাকা। ২০ শতাংশ যদি ১২০০ টাকা হয়, তবে ১০০ শতাংশ হবে তার পাঁচ গুণ, মানে ৬০০০ টাকা।
মিলিয়ে দেখি: ৬০০০ টাকার মোটর সাইকেল ৫২৮০ টাকায় বেচলে ১২ শতাংশ ক্ষতি; ১২০০ টাকা বেশি, মানে ৬৪৮০ টাকায় বেচলে ৮ শতাংশ লাভ। মনে রাখুন, ক্ষতি থেকে লাভে যেতে দুই হার যোগ হয়, বিয়োগ নয়।
মনে রাখুন: ক্রয়মূল্য = টাকার পার্থক্য × ১০০ ÷ (ক্ষতির হার + লাভের হার) = ১২০০ × ১০০ ÷ ২০ = ৬০০০।
পুরো পাতা ›
১০৬. ((0.9)³ + (0.4)³)/(0.9 + 0.4) এর মান কত? (৪০তম বিসিএস, ২০১৯)
1. ক0.36
2. খ0.51
3. গ0.81
4. ঘ0.61
সঠিক উত্তর: ঘ. 0.61
প্রশ্নটা ঘনের যোগফলের সূত্র চেনা যাচাই করছে। a এর ঘন যোগ b এর ঘন সমান a যোগ b, গুণ a এর বর্গ বিয়োগ ab যোগ b এর বর্গ। তাই ঘন দুটির যোগফলকে a যোগ b দিয়ে ভাগ করলে থাকে a এর বর্গ বিয়োগ ab যোগ b এর বর্গ।
এখানে a সমান ০ দশমিক নয়, b সমান ০ দশমিক চার। a এর বর্গ ০ দশমিক আট এক, ab সমান ০ দশমিক তিন ছয়, আর b এর বর্গ ০ দশমিক এক ছয়।
তাহলে মান হলো ০ দশমিক আট এক থেকে ০ দশমিক তিন ছয় বাদ দিয়ে ০ দশমিক এক ছয় যোগ, অর্থাৎ ০ দশমিক ছয় এক। সরাসরি ঘন করেও মেলানো যায়: ঘন দুটির যোগফল ০ দশমিক সাত নয় তিন, তাকে ১ দশমিক তিন দিয়ে ভাগ করলে ০ দশমিক ছয় এক।
ফাঁদ হলো সূত্রের একটা অংশ নিয়েই থেমে যাওয়া: শুধু a এর বর্গ নিলে আসে ০ দশমিক আট এক, আর শুধু ab নিলে ০ দশমিক তিন ছয়; দুটোই বিকল্পে রাখা আছে।
মনে রাখুন: (a³ + b³)/(a + b) = a² − ab + b²; ঘন না করে সরাসরি সূত্রে বসান।
পুরো পাতা ›
১০৭. 3x – 2 > 2x – 1 এর সমাধান সেট কোনটি ? (৪০তম বিসিএস, ২০১৯)
1. ক[1,∞)
2. খ(1,∞)
3. গ[1/2,∞)
4. ঘ(-1,∞)
সঠিক উত্তর: খ. (1,∞)
এটা রৈখিক অসমতার প্রশ্ন, সঙ্গে ব্যবধির বন্ধনীর অর্থ। অসমতা সমীকরণের মতোই সমাধান হয়; শুধু ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে চিহ্ন উল্টে যায়।
৩x বিয়োগ ২ বড় ২x বিয়োগ ১। দুই পাশ থেকে ২x বাদ দিলে x বিয়োগ ২ বড় ঋণাত্মক ১, তারপর দুই পাশে ২ যোগ করলে x বড় ১।
x এখানে ১ এর চেয়ে বড়, ১ এর সমান নয়। এমন সেটে ১ এর পাশে গোল বন্ধনী বসে, যার অর্থ ১ বাদ। তাই সমাধান সেট হলো ১ থেকে অসীম পর্যন্ত খোলা ব্যবধি।
বড় ফাঁদ হলো তৃতীয় বন্ধনী, যা ১ কে সেটে ঢুকিয়ে দেয়। কিন্তু x সমান ১ বসালে দুই পাশই ১ হয়, আর ১ নিজের চেয়ে বড় নয়।
মনে রাখুন: > বা < হলে গোল বন্ধনী ( ), ≥ বা ≤ হলে তৃতীয় বন্ধনী [ ]।
পুরো পাতা ›
১০৮. 6x² – 7x – 4 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ে প্রকৃতি কোনটি? (৪০তম বিসিএস, ২০১৯)
1. কবাস্তব ও সমান
2. খবাস্তব ও অসমান
3. গঅবাস্তব
4. ঘপূর্ণ বর্গ সংখ্যা
সঠিক উত্তর: খ. বাস্তব ও অসমান
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি ঠিক করে নিশ্চায়ক, যা b এর বর্গ বিয়োগ চার গুণ a গুণ c। নিশ্চায়ক ধনাত্মক হলে মূল বাস্তব ও অসমান, শূন্য হলে বাস্তব ও সমান, ঋণাত্মক হলে অবাস্তব।
এখানে a সমান ৬, b সমান ঋণাত্মক ৭, c সমান ঋণাত্মক ৪। b এর বর্গ ৪৯। চার গুণ a গুণ c হলো ঋণাত্মক ৯৬, তাই নিশ্চায়ক ৪৯ যোগ ৯৬, মানে ১৪৫।
১৪৫ শূন্যের চেয়ে বড়, তাই মূল দুটি বাস্তব ও অসমান। আরও সূক্ষ্মভাবে, ১৪৫ পূর্ণবর্গ নয়, কারণ ১২ এর বর্গ ১৪৪ আর ১৩ এর বর্গ ১৬৯; তাই মূল দুটি অমূলদ।
ফাঁদ হলো c এর ঋণাত্মক চিহ্ন হারিয়ে ফেলা। তখন নিশ্চায়ক হয় ৪৯ বিয়োগ ৯৬, যা ঋণাত্মক, আর ভুল করে অবাস্তব উত্তর আসে।
মনে রাখুন: a আর c এর চিহ্ন বিপরীত হলে (ac < ০) নিশ্চায়ক সবসময় ধনাত্মক; হিসাব না করেই মূল বাস্তব ও অসমান।
পুরো পাতা ›
১০৯. যদি x⁴ – x² + 1 = 0 হয়, তবে, x³ + 1/x³ = কত? (৪০তম বিসিএস, ২০১৯)
1. ক৩
2. খ২
3. গ১
4. ঘ০
সঠিক উত্তর: ঘ. ০
প্রশ্নটা x এর মান বের না করেই বীজগণিতের সূত্র দিয়ে রাশির মান বের করা যাচাই করছে। কৌশল হলো সমীকরণকে x এর বর্গ দিয়ে ভাগ করা।
সুবিধার জন্য ১ কে x দিয়ে ভাগ করা রাশিটিকে y বলি, তাহলে x গুণ y সমান ১। সমীকরণটিকে x এর বর্গ দিয়ে ভাগ করলে পাই x এর বর্গ বিয়োগ ১ যোগ y এর বর্গ সমান শূন্য, অর্থাৎ x এর বর্গ যোগ y এর বর্গ সমান ১।
এখন x এর ঘন যোগ y এর ঘন সমান x যোগ y, গুণ x এর বর্গ বিয়োগ xy যোগ y এর বর্গ। দ্বিতীয় বন্ধনীতে x এর বর্গ যোগ y এর বর্গ হলো ১, আর xy হলো ১; তাই বন্ধনীর মান শূন্য। ফলে পুরো রাশির মান শূন্য।
আরেক পথ: সমীকরণটিকে x এর বর্গ যোগ ১ দিয়ে গুণ করলে x এর ষষ্ঠ ঘাত যোগ ১ সমান শূন্য হয়, সেখান থেকেও একই উত্তর আসে। ফাঁদ হলো x এর বর্গ যোগ y এর বর্গ সমান ১ পেয়ে সেটাকেই উত্তর ধরা; প্রশ্ন চেয়েছে ঘনের যোগফল।
মনে রাখুন: x⁴ − x² + ১ = ০ কে (x² + ১) দিয়ে গুণ করলে x⁶ = −১; তখন x³ + ১/x³ = (x⁶ + ১)/x³ = ০।
পুরো পাতা ›
১১০. x^(x√x) = (x√x)^x হয়, তবে x এর মান কত? (৪০তম বিসিএস, ২০১৯)
1. ক3/2
2. খ4/9
3. গ9/4
4. ঘ2/3
সঠিক উত্তর: গ. 9/4
এটা সূচকের সমীকরণ। দুই পাশের ভিত্তি একই করে নিলে ঘাতগুলো সমান করে দেওয়া যায়; এখানে দুই পাশেরই ভিত্তি হবে x।
বাম পাশে ভিত্তি x, ঘাত x গুণ বর্গমূল x। ডান পাশে x গুণ বর্গমূল x মানে x এর ঘাত দুই ভাগের তিন; তার উপর আবার x ঘাত, তাই ডান পাশ হয় x এর ঘাত দুই ভাগের তিন x।
এবার ঘাত সমান করি: x গুণ বর্গমূল x সমান দুই ভাগের তিন x। দুই পাশ x দিয়ে ভাগ করলে বর্গমূল x সমান দুই ভাগের তিন, আর বর্গ করলে x সমান চার ভাগের নয়।
ফাঁদ হলো বর্গমূল x এর মান দুই ভাগের তিন পেয়েই থেমে যাওয়া; সেটা বর্গমূলের মান, x নয়। শেষ ধাপে বর্গ করতে হবে।
মনে রাখুন: x = ৯/৪ বসিয়ে দেখুন: √x = ৩/২, x√x = ২৭/৮, আর ৩x/২ = ২৭/৮। মিলে গেল।
পুরো পাতা ›
১১১. কোন শর্তে logₐ1 = 0 ? (৪০তম বিসিএস, ২০১৯)
1. কa > 0, a ≠ 1
2. খa ≠ 0 , a > 1
3. গa > 0 , a = 1
4. ঘa ≠ 1, a < 0
সঠিক উত্তর: ক. a > 0, a ≠ 1
প্রশ্নটা লগারিদমের ভিত্তির শর্ত যাচাই করছে। a ভিত্তিতে কোনো সংখ্যার লগ মানে a কে কত ঘাত করলে সংখ্যাটি পাওয়া যায়।
যেকোনো সংখ্যার শূন্য ঘাত ১, তাই a ভিত্তিতে ১ এর লগ সবসময় শূন্য, যদি ভিত্তিটি বৈধ হয়। এখন প্রশ্ন হলো, বৈধ ভিত্তি কোনগুলো।
ভিত্তি ধনাত্মক হতে হবে, কারণ ঋণাত্মক ভিত্তির ভগ্নাংশ ঘাত বাস্তব সংখ্যায় সংজ্ঞায়িত নয়। আবার ভিত্তি ১ হতে পারবে না, কারণ ১ এর যেকোনো ঘাতই ১; তাই ১ ভিত্তিতে লগ কোনো নির্দিষ্ট মান দেয় না। শর্ত তাই a শূন্যের চেয়ে বড় এবং a সমান ১ নয়।
ফাঁদ হলো a বড় ১ শর্তটি, যা শুনতে ঠিক মনে হয়। কিন্তু দুই ভাগের এক এর মতো শূন্য আর ১ এর মাঝের ভিত্তিও বৈধ, আর সেখানেও ১ এর লগ শূন্য।
মনে রাখুন: ভিত্তির শর্ত মুখস্থ রাখুন: a > ০, a ≠ ১; আর লগের ভেতরের সংখ্যাটি অবশ্যই ধনাত্মক।
পুরো পাতা ›
১১২. চিত্রে ∠PQR = 55°, ∠LRN = 90° এবং PQ || MR, PQ = PR হলে, ∠NRP এর মান নিচের কোনটি? (৪০তম বিসিএস, ২০১৯)
1. ক90°
2. খ55°
3. গ45°
4. ঘ35°
সঠিক উত্তর: ঘ. 35°
এই প্রশ্নের সঙ্গে মূল পরীক্ষায় একটি চিত্র ছিল, যা এখানে নেই। উত্তরের সঙ্গে মেলে এমন চিত্র ধরে নিই: QR বাহুকে R এর পরে L পর্যন্ত বাড়ানো, R দিয়ে PQ এর সমান্তরাল RM টানা, আর RN রেখা RL এর উপর লম্ব।
PQ সমান PR, তাই ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু, আর সমান বাহুর বিপরীত কোণ সমান। তাই কোণ PRQ সমান কোণ PQR, মানে ৫৫ ডিগ্রি।
RN রেখা সরলরেখা QL এর উপর লম্ব, তাই কোণ QRN ৯০ ডিগ্রি। RP রেখা এই কোণের ভেতরে, তাই কোণ NRP সমান ৯০ বিয়োগ ৫৫, অর্থাৎ ৩৫ ডিগ্রি।
সমান্তরাল রেখা দিয়ে মিলিয়ে দেখা যায়: অনুরূপ কোণ MRL ৫৫ ডিগ্রি, কোণ PRM ৭০ ডিগ্রি, আর RN সেটাকে ৩৫ আর ৩৫ এ সমান দুই ভাগ করে। বিকল্পের ৯০ আর ৫৫ হলো চিত্রের অন্য দুটি কোণ, চাওয়া কোণটি নয়।
মনে রাখুন: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে সমান বাহুর বিপরীত কোণ সমান; তারপর লম্বের ৯০° থেকে ৫৫° বাদ।
পুরো পাতা ›
১১৩. cos(nπ/2) অনুক্রমটির চতুর্থ পদ কোনটি? (৪০তম বিসিএস, ২০১৯)
1. ক-1
2. খ1
3. গ1/2
4. ঘ0
সঠিক উত্তর: খ. 1
অনুক্রমের n তম পদ দেওয়া থাকলে নির্দিষ্ট কোনো পদ পেতে শুধু n এর জায়গায় সেই সংখ্যা বসাতে হয়। চতুর্থ পদের জন্য n সমান ৪।
n সমান ৪ বসালে কোণটি হয় দুই ভাগের চার পাই, মানে দুই পাই। দুই পাই হলো পুরো এক চক্কর, ৩৬০ ডিগ্রি, আর তার কোসাইন ১।
পুরো অনুক্রমটা দেখলে ছন্দটা বোঝা যায়: n সমান ১ এ কোসাইন ৯০ ডিগ্রি, মানে শূন্য; n সমান ২ এ কোসাইন ১৮০ ডিগ্রি, মানে ঋণাত্মক ১; n সমান ৩ এ আবার শূন্য; n সমান ৪ এ ১। এরপর এই চারটি মান বারবার ঘুরে আসে।
ফাঁদ হলো দ্বিতীয় পদের ঋণাত্মক ১ অথবা প্রথম ও তৃতীয় পদের শূন্যকে চতুর্থ পদ ভেবে বসা। আর দুই ভাগের এক এই অনুক্রমে কখনোই আসে না, কারণ এই কোণগুলোতে কোসাইনের মান শুধু শূন্য, ১ বা ঋণাত্মক ১।
মনে রাখুন: nπ/২ এ কোসাইনের চক্র: ০, −১, ০, ১; প্রতি ৪ পদে ফিরে আসে।
পুরো পাতা ›
১১৪. ৬ জন খেলোয়াড়কে সমান সংখ্যক দুইটি দলে কত ভাবে বিভক্ত করা যায়? (৪০তম বিসিএস, ২০১৯)
1. ক১০
2. খ২০
3. গ৬০
4. ঘ১২০
সঠিক উত্তর: ক. ১০
প্রশ্নটা সমাবেশের, সঙ্গে একটা সূক্ষ্ম বিষয়: দল দুটির কোনো আলাদা নাম নেই। ৬ জন থেকে ৩ জন বাছাই করলেই একটি দল ঠিক হয়, বাকি ৩ জন আপনা থেকেই অন্য দল।
৬ জন থেকে ৩ জন বাছাইয়ের উপায় ২০। কিন্তু খেয়াল করুন: ক, খ, গ কে বাছাই করলে যে ভাগ হয়, ঘ, ঙ, চ কে বাছাই করলেও ঠিক সেই একই ভাগ হয়, শুধু দুই দলের জায়গা বদলায়।
তাই প্রতিটি ভাগ দুবার গোনা হয়েছে। ২০ কে ২ দিয়ে ভাগ করলে প্রকৃত ভাগের সংখ্যা ১০।
ফাঁদ হলো ২০ বেছে নেওয়া। দল দুটির আলাদা নাম থাকলে, যেমন লাল দল আর নীল দল, তখনই উত্তর ২০ হতো।
মনে রাখুন: ২n জনকে নামহীন দুই সমান দলে ভাগ: ²ⁿCₙ ÷ ২। এখানে ⁶C₃ ÷ ২ = ১০।
পুরো পাতা ›
১১৫. .১×.০১×.০০১ = ? (৪০তম বিসিএস, ২০১৯)
1. ক১.০০০১
2. খ.১০০০১
3. গ.০০০০১
4. ঘ০.০০০০০১
সঠিক উত্তর: ঘ. ০.০০০০০১
দশমিক গুণের নিয়ম: আগে দশমিক বাদ দিয়ে সাধারণ সংখ্যার মতো গুণ করি, তারপর সবগুলো সংখ্যার দশমিকের পরের ঘর যোগ করে গুণফলে ততঘর দশমিক বসাই।
এখানে দশমিক বাদ দিলে ১ গুণ ১ গুণ ১, মানে ১। দশমিকের পরের ঘর: প্রথমটিতে ১ ঘর, দ্বিতীয়টিতে ২ ঘর, তৃতীয়টিতে ৩ ঘর, মোট ৬ ঘর।
তাই ১ এর আগে পাঁচটি শূন্য বসিয়ে দশমিকের পর মোট ৬ ঘর পূরণ করতে হবে: শূন্য দশমিক শূন্য শূন্য শূন্য শূন্য শূন্য এক। ভগ্নাংশে বললে, দশ ভাগের এক, একশো ভাগের এক আর এক হাজার ভাগের এক গুণ করলে হয় দশ লক্ষ ভাগের এক।
সাধারণ ভুল হলো ঘর গুনতে কম করা: দশমিকের পর পাঁচ ঘর বসালে উত্তর হয় প্রকৃত মানের দশ গুণ। আরেকটা সহজ যাচাই: একের চেয়ে ছোট সংখ্যাগুলো গুণ করলে গুণফল প্রতিটির চেয়েই ছোট হয়।
মনে রাখুন: দশমিকের ঘর যোগ করুন: ১ + ২ + ৩ = ৬ ঘর, তাই ০.০০০০০১।
পুরো পাতা ›
১১৬. 4 জন মহিলা ও 6 জন পুরুষের মধ্য থেকে 4 সদস্যবিশিষ্ট একটি উপ-কমিটি গঠন করতে হবে যাতে 1 জন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদাই উপস্থিত থাকেন। কত প্রকারে ঐ কমিটি গঠন করা যেতে পারে? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক210
2. খ304
3. গ84
4. ঘ120
সঠিক উত্তর: গ. 84
কমিটি গঠনে ক্রম লাগে না, তাই এটা সমাবেশের প্রশ্ন। কোনো নির্দিষ্ট ব্যক্তি সবসময় থাকবেন বললে তাকে আগেই কমিটিতে বসিয়ে দিন; তখন আসনও এক কমে, বাছাইয়ের লোকও এক কমে।
মোট লোক ৪ জন মহিলা আর ৬ জন পুরুষ, অর্থাৎ ১০ জন। নির্দিষ্ট পুরুষকে বসানোর পর বাকি আসন ৩টি, আর বাছাই করতে হবে বাকি ৯ জন থেকে।
৯ জন থেকে ৩ জন বাছাইয়ের উপায় হলো ৯ গুণ ৮ গুণ ৭ কে ৩ গুণ ২ গুণ ১ দিয়ে ভাগ, মানে ৫০৪ কে ৬ দিয়ে ভাগ, অর্থাৎ ৮৪।
ফাঁদ দুটি। শর্ত ভুলে ১০ জন থেকে ৪ জন নিলে আসে ২১০। আর আসন ৩টি ঠিক ধরে নির্দিষ্ট লোককে বাছাইয়ের তালিকায় রেখে দিলে আসে ১২০।
মনে রাখুন: নির্দিষ্ট k জন সবসময় থাকলে: ⁽ⁿ⁻ᵏ⁾C₍ᵣ₋ₖ₎ = ⁹C₃ = ৮৪।
পুরো পাতা ›
১১৭. টাকায় 5টি মার্বেল বিক্রয় করায় 12% ক্ষতি হয়। 10% লাভ করতে হলে টাকায় কয়টি বিক্রয় করতে হবে? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক4 টি
2. খ3 টি
3. গ2 টি
4. ঘকোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর: ক. 4 টি
এখানে দাম নয়, এক টাকায় কয়টা বিক্রি করতে হবে সেটা চাওয়া হয়েছে। মূল কথা: টাকার পরিমাণ এক থাকলে বিক্রির সংখ্যা আর প্রতিটির বিক্রয়মূল্য ব্যস্তানুপাতিক; প্রতিটির দাম বাড়াতে চাইলে টাকায় কম সংখ্যা দিতে হয়।
প্রতিটির ক্রয়মূল্য একশো ধরি। ১২ শতাংশ ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য ৮৮, আর ১০ শতাংশ লাভ করতে বিক্রয়মূল্য হতে হবে ১১০।
৮৮ দামে টাকায় ৫টি দেওয়া যায়। ১১০ দামে দিতে হবে ৫ গুণ ৮৮, মানে ৪৪০, তাকে ১১০ দিয়ে ভাগ, অর্থাৎ ৪টি।
ফাঁদ হলো দাম বাড়াতে গিয়ে সংখ্যা কমাতে ভুলে যাওয়া বা বেশি কমিয়ে ফেলা। টাকায় ৩টি বা ২টি দিলে লাভ ১০ শতাংশের অনেক বেশি হয়ে যায়।
মনে রাখুন: নতুন সংখ্যা = পুরনো সংখ্যা × (১০০ − ক্ষতি) ÷ (১০০ + লাভ) = ৫ × ৮৮ ÷ ১১০ = ৪।
পুরো পাতা ›
১১৮. দুটি সংখ্যা অনুপাত 2:3 এবং গ. সা. গু. 4 হলে বৃহত্তর সংখ্যাটি কত? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক6
2. খ12
3. গ8
4. ঘ16
সঠিক উত্তর: খ. 12
দুটি সংখ্যার অনুপাত দুই অনুপাত তিন মানে সংখ্যা দুটি কোনো একটা সংখ্যার দুই গুণ আর তিন গুণ। সেই সাধারণ সংখ্যাটাকে k ধরলে সংখ্যা দুটি দুই k আর তিন k।
২ আর ৩ এর মধ্যে ১ ছাড়া কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই, অর্থাৎ এরা সহমৌলিক। তাই দুই k আর তিন k এর গসাগু ঠিক k।
গসাগু ৪ দেওয়া আছে, তাই k সমান ৪। সংখ্যা দুটি ৮ আর ১২; বৃহত্তর সংখ্যা ১২। যাচাই: ৮ আর ১২ এর অনুপাত দুই অনুপাত তিন, গসাগু ৪।
ফাঁদ হলো ৮, যা ছোট সংখ্যাটি। প্রশ্ন বৃহত্তর সংখ্যা চেয়েছে।
মনে রাখুন: অনুপাতের পদ সহমৌলিক হলে: সংখ্যা = অনুপাতের পদ × গ.সা.গু.; বড়টা ৩ × ৪ = ১২।
পুরো পাতা ›
১১৯. একটি সমান্তর অনুক্রমে 5ম পদটি 18 এবং প্রথম 5টি পদের যোগফল 75 হলে প্রথম পদটি কত? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক2
2. খ10
3. গ4
4. ঘ12
সঠিক উত্তর: ঘ. 12
সমান্তর ধারার যোগফলের একটা কাজের সূত্র: পদসংখ্যাকে প্রথম আর শেষ পদের যোগফল দিয়ে গুণ করে ২ দিয়ে ভাগ। কারণ সমান্তর ধারায় পদগুলোর গড়, প্রথম আর শেষ পদের গড়ের সমান।
এখানে প্রথম ৫টি পদের শেষ পদ হলো পঞ্চম পদ, মানে ১৮। যোগফল ৭৫ কে ৫ দিয়ে ভাগ করলে গড় ১৫। তাই প্রথম আর শেষ পদের যোগফল ১৫ এর দ্বিগুণ, অর্থাৎ ৩০।
প্রথম পদ যোগ ১৮ সমান ৩০, তাই প্রথম পদ ১২। যাচাই: সাধারণ অন্তর ১ দশমিক ৫, পদগুলো ১২, সাড়ে ১৩, ১৫, সাড়ে ১৬, ১৮; যোগফল ৭৫।
এখানে সাধারণ অন্তর বের করার দরকারই নেই। প্রথম পদ, শেষ পদ আর যোগফলের সম্পর্কটা মনে রাখলেই এক লাইনে উত্তর আসে।
মনে রাখুন: গড় = ৭৫ ÷ ৫ = ১৫ = মধ্যপদ (৩য় পদ); ১৮ থেকে ১৫ এ ৩ কম, তাই প্রথম পদ ১৫ থেকে আরও ৩ কম, ১২।
পুরো পাতা ›
১২০. ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যা সমূহের যোগফল কত? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক৪৯৯৯
2. খ৫৫০১
3. গ৫০৫০
4. ঘ৫০০১
সঠিক উত্তর: গ. ৫০৫০
১ থেকে n পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার যোগফলের সূত্র হলো n গুণ n যোগ এক, তারপর ২ দিয়ে ভাগ। সূত্রটা কোথা থেকে আসে, সেটা জানলে আর ভুলবেন না।
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোকে দুই প্রান্ত থেকে জোড়া বাঁধুন: ১ আর ১০০, ২ আর ৯৯, ৩ আর ৯৮। প্রতিটি জোড়ার যোগফল ১০১, আর জোড়া হয় মোট ৫০টি।
তাই যোগফল ৫০ গুণ ১০১, অর্থাৎ ৫০৫০। সূত্রেও একই: ১০০ গুণ ১০১ কে ২ দিয়ে ভাগ করলে ৫০৫০।
বিকল্পের বাকি সংখ্যাগুলো কাছাকাছি রাখা হয়েছে বিভ্রান্ত করতে। যোগফল অবশ্যই ১০১ এর গুণিতক হবে; এই একটা যাচাইয়েই বাকি তিনটি বাদ পড়ে।
মনে রাখুন: n(n + ১) ÷ ২: ১০০ × ১০১ ÷ ২ = ৫০৫০।
পুরো পাতা ›

পরের পাতা: প্রশ্ন ১২১–১৪০ ›