গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৪

⚡ এই বিষয়ে কুইক টেস্ট

পাতা ৪/১৫ · প্রশ্ন ৬১–৮০সব উত্তর দেখান

৬১. 0, 1, 2, 3, 4 অংকগুলি দ্বারা কতগুলি পাঁচ অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে? (৪৫তম বিসিএস, ২০২৩)
1. ক96
2. খ120
3. গ24
4. ঘ144
সঠিক উত্তর: ক. 96
প্রশ্নটা বিন্যাস পরীক্ষা করছে, সঙ্গে একটা শর্ত: পাঁচ অঙ্কের অর্থপূর্ণ সংখ্যা শূন্য দিয়ে শুরু হতে পারে না, কারণ তখন সেটা আসলে চার অঙ্কের সংখ্যা হয়ে যায়। অঙ্ক পুনরাবৃত্তি হবে না ধরে নিতে হয়।
প্রথমে কোনো শর্ত ছাড়া পাঁচটি অঙ্ক সাজানোর উপায় ৫ ফ্যাক্টরিয়াল, মানে ১২০। এর মধ্যে যেগুলোর শুরুতে শূন্য, সেখানে বাকি চারটি অঙ্ক সাজানো যায় ৪ ফ্যাক্টরিয়াল, মানে ২৪ ভাবে।
তাই অর্থপূর্ণ সংখ্যা ১২০ থেকে ২৪ বাদ দিয়ে ৯৬টি। আরেক পথে: প্রথম ঘরে শূন্য বাদে ৪টি অঙ্কের যেকোনো একটি, বাকি চার ঘরে বাকি চারটি অঙ্ক ২৪ ভাবে; ৪ গুণ ২৪ সমান ৯৬।
ফাঁদ হলো ১২০, যেটা শূন্য দিয়ে শুরু হওয়া সাজানোগুলো বাদ না দিলে আসে। ২৪ হলো ঠিক যেগুলো বাদ দিতে হবে তাদের সংখ্যা।
মনে রাখুন: শূন্যসহ n টি ভিন্ন অঙ্কে n অঙ্কের সংখ্যা = (n − ১) × (n − ১)!; এখানে ৪ × ২৪ = ৯৬।
পুরো পাতা ›
৬২. 2log105 + log1036 – log109 =? (৪৪তম বিসিএস, ২০২২)
1. ক2
2. খ100
3. গ37
4. ঘ4.6
সঠিক উত্তর: ক. 2
প্রশ্নটা লগারিদমের তিনটি মৌলিক সূত্র যাচাই করছে। গুণ করা সংখ্যার লগ মানে লগের যোগ, ভাগের লগ মানে লগের বিয়োগ, আর লগের সামনের সহগ উপরে উঠে ঘাত হয়ে যায়।
প্রথমে ২ লগ ৫ কে লিখি লগ ২৫, কারণ ৫ এর বর্গ ২৫। এরপর লগ ৩৬ থেকে লগ ৯ বাদ দেওয়া মানে লগ ৩৬ ভাগ ৯, অর্থাৎ লগ ৪।
এখন লগ ২৫ আর লগ ৪ যোগ করলে হয় লগ ১০০। ভিত্তি ১০ হলে ১০০ হলো ১০ এর বর্গ, তাই লগ ১০০ এর মান ২।
ফাঁদ হলো ১০০ বেছে নেওয়া। ১০০ হলো লগের ভিতরের সংখ্যা, কিন্তু প্রশ্ন চেয়েছে পুরো রাশির মান, যা ২।
মনে রাখুন: লগগুলো মিলিয়ে একটা লগে আনুন: ৫² × ৩৬ ÷ ৯ = ১০০; ভিত্তি ১০ হলে উত্তর শূন্যের সংখ্যা, মানে ২।
পুরো পাতা ›
৬৩. ক্রয়মূল্য বিক্রয়মূল্যের দ্বিগুণ হলে শতকরা লাভ বা ক্ষতির পরিমাণ কত? (৪৪তম বিসিএস, ২০২২)
1. কলাভ ২৫%
2. খক্ষতি ২৫%
3. গলাভ ১০%
4. ঘক্ষতি ৫০%
সঠিক উত্তর: ঘ. ক্ষতি ৫০%
প্রশ্নটা পরীক্ষা করছে লাভ-ক্ষতির হার কোন দামের উপর হিসাব হয়। নিয়ম হলো, লাভ বা ক্ষতির হার সবসময় ক্রয়মূল্যের উপর।
ক্রয়মূল্য যদি বিক্রয়মূল্যের দ্বিগুণ হয়, তাহলে কেনা দাম বেশি, বেচা দাম কম; তাই এখানে লাভ নয়, ক্ষতি। ফলে লাভ লেখা দুটো অপশন শুরুতেই বাদ পড়ে।
সহজ করতে বিক্রয়মূল্য ১০০ টাকা ধরি। তাহলে ক্রয়মূল্য ২০০ টাকা, আর ক্ষতি ২০০ থেকে ১০০ বাদ দিয়ে ১০০ টাকা।
ক্ষতি ১০০ টাকা, ক্রয়মূল্য ২০০ টাকার উপর। ১০০ কে ২০০ দিয়ে ভাগ করে ১০০ দিয়ে গুণ করলে ৫০ শতাংশ। অর্থাৎ কেনা দামের ঠিক অর্ধেক হারিয়ে গেছে।
ফাঁদ হলো ক্ষতিকে বিক্রয়মূল্যের উপর হিসাব করা; তাতে ১০০ শতাংশ আসে, যা ভুল। হার সবসময় কেনা দামের উপর।
মনে রাখুন: ক্রয়মূল্য বিক্রয়মূল্যের n গুণ হলে ক্ষতির হার = (n − ১) ÷ n × ১০০%। n = ২ হলে ১ ÷ ২ × ১০০ = ৫০%।
পুরো পাতা ›
৬৪. একটি ফাংশন f: R–>R, f(x) = 2x+1 দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে f-1(2) এর মান কত? (৪৪তম বিসিএস, ২০২২)
1. ক0
2. খ1/2
3. গ5
4. ঘ1
সঠিক উত্তর: খ. 1/2
প্রশ্নটা বিপরীত ফাংশন নিয়ে। এফ ইনভার্স অব ২ মানে হলো: কোন এক্স বসালে এফ এক্স-এর মান ২ হয়? বিপরীত ফাংশন আউটপুট থেকে ইনপুটে ফিরে যায়।
তাই পুরো বিপরীত ফাংশন বের করার দরকার নেই। শুধু ২ এক্স যোগ ১ কে ২-এর সমান ধরে সমীকরণটা সমাধান করলেই হয়।
২ এক্স যোগ ১ সমান ২ থেকে ২ এক্স সমান ১, অর্থাৎ এক্স সমান ১ ভাগ ২, মানে অর্ধেক।
সবচেয়ে সাধারণ ভুল হলো এফ অব ২ বের করে ফেলা: ২ গুণ ২ যোগ ১ সমান ৫। এভাবেই ৫ বিকল্পটা ফাঁদ হিসেবে রাখা হয়েছে।
মনে রাখুন: f(x) = ax + b হলে f⁻¹(y) = (y − b) ÷ a। এখানে (2 − 1) ÷ 2 = 1/2।
পুরো পাতা ›
৬৫. ABC ত্রিভুজে B কোণের পরিমাণ ৪৮° এবং AB = AC। যদি E এবং F AB এবং AC-কে এমনভাবে ছেদ করে যেন EF || BC হয়, তাহলে ∠A + ∠AFE =? (৪৪তম বিসিএস, ২০২২)
1. ক১৩২°
2. খ১৮০°
3. গ১০৮°
4. ঘ১৬০°
সঠিক উত্তর: ক. ১৩২°
প্রশ্নটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ আর সমান্তরাল রেখার কোণ, এই দুই নিয়ম একসাথে পরীক্ষা করছে। দুই বাহু সমান হলে তাদের বিপরীত কোণও সমান, আর সমান্তরাল রেখাকে কোনো রেখা ছেদ করলে অনুরূপ কোণ সমান হয়।
AB আর AC সমান, তাই কোণ B আর কোণ C সমান, দুটোই ৪৮ ডিগ্রি। ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল ১৮০ ডিগ্রি, তাই কোণ A হলো ১৮০ থেকে ৯৬ বাদ দিয়ে ৮৪ ডিগ্রি।
F বিন্দু AC বাহুর উপর, আর EF রেখা BC-এর সমান্তরাল। AC রেখা এখানে ছেদক, তাই কোণ AFE আর কোণ ACB অনুরূপ কোণ, দুটোই ৪৮ ডিগ্রি।
তাহলে কোণ A আর কোণ AFE যোগ করলে ৮৪ আর ৪৮ মিলে ১৩২ ডিগ্রি। অনেকে ছোট ত্রিভুজ AEF-এর তিন কোণ ভেবে ১৮০ ডিগ্রি দাগিয়ে ফেলেন, কিন্তু এখানে চাওয়া হয়েছে মাত্র দুটি কোণের যোগফল।
মনে রাখুন: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে ∠A = ১৮০° − ২ × ভূমি-কোণ; আর সমান্তরাল রেখা টানলে ছোট ত্রিভুজের কোণগুলো বড় ত্রিভুজের সমান থাকে। তাই উত্তর = (১৮০° − ২B) + B = ১৮০° − B = ১৩২°।
পুরো পাতা ›
৬৬. যদি log10x = -1 হয়, তাহলে নিচের কোনটি x এর মান? (৪৪তম বিসিএস, ২০২২)
1. ক0.1
2. খ0.01
3. গ1/10000
4. ঘ0.001
সঠিক উত্তর: ক. 0.1
প্রশ্নটা লগারিদমের সংজ্ঞা যাচাই করছে। লগ ভিত্তি ১০ এ x সমান k মানে, ১০ এর ঘাত k করলে x পাওয়া যায়।
এখানে k হলো মাইনাস ১, তাই x সমান ১০ এর ঘাত মাইনাস ১। ঋণাত্মক ঘাত মানে উল্টো, অর্থাৎ ১ ভাগ ১০, যা দশমিকে ০ দশমিক ১।
মনে রাখার সহজ নিয়ম: লগ মাইনাস ১ হলে দশমিকের পরে ১ ঘর, মাইনাস ২ হলে ২ ঘর, মাইনাস ৩ হলে ৩ ঘর।
বাকি বিকল্পগুলো অন্য ঘাতের উত্তর। ০ দশমিক ০১ এর লগ মাইনাস ২, আর ০ দশমিক ০০১ এর লগ মাইনাস ৩; ঘর গুনতে ভুল করলেই এগুলো আসে।
মনে রাখুন: log₁₀x = −n হলে x = 0.00…1, দশমিকের পরে ঠিক n ঘর।
পুরো পাতা ›
৬৭. যদি -5, p,q,16 সমান্তর অনুক্রমে থাকে, তাহলে p ও q এর মান হবে যথাক্রমে – (৪৪তম বিসিএস, ২০২২)
1. ক-2,9
2. খ2,9
3. গ-2,-9
4. ঘ2,-9
সঠিক উত্তর: খ. 2,9
প্রশ্নটা সমান্তর ধারা নিয়ে। সমান্তর ধারায় পাশাপাশি যেকোনো দুই পদের ব্যবধান একই থাকে; এই ব্যবধানকে সাধারণ অন্তর বলে।
এখানে চারটি পদ: ঋণাত্মক ৫, p, q আর ১৬। প্রথম পদ থেকে চতুর্থ পদে যেতে তিনবার সাধারণ অন্তর যোগ করতে হয়। তাই ঋণাত্মক ৫ এর সঙ্গে তিনগুণ সাধারণ অন্তর যোগ করলে ১৬ হবে।
ঋণাত্মক ৫ থেকে ১৬ পর্যন্ত মোট বাড়তি ২১। একে ৩ দিয়ে ভাগ করলে সাধারণ অন্তর ৭।
তাহলে p হলো ঋণাত্মক ৫ যোগ ৭, মানে ২; আর q হলো ২ যোগ ৭, মানে ৯। যাচাই: ৯ এর সঙ্গে ৭ যোগ করলে ১৬, মিলে গেছে।
ফাঁদ হলো চিহ্নে ভুল করা, যেমন p কে ঋণাত্মক ২ ধরা। ধারা ঋণাত্মক ৫ থেকে ১৬ পর্যন্ত বাড়ছে, তাই মাঝের পদগুলো ক্রমশ বড় হবে।
মনে রাখুন: (শেষ পদ − প্রথম পদ) ÷ (পদসংখ্যা − ১) = (১৬ + ৫) ÷ ৩ = ৭; বা অপশন বসিয়ে দেখুন: −৫, ২, ৯, ১৬ এ প্রতিবার ৭ করে বাড়ে।
পুরো পাতা ›
৬৮. i-49 এর মান কত? (৪৪তম বিসিএস, ২০২২)
1. ক-1
2. খi
3. গ1
4. ঘ-i
সঠিক উত্তর: ঘ. -i
প্রশ্নটা জটিল সংখ্যা আই-এর ঘাতের চক্র পরীক্ষা করছে। আই-এর বর্গ ঋণাত্মক ১, ঘন ঋণাত্মক আই, চতুর্থ ঘাত ১; তারপর আবার একই চক্র ঘোরে। তাই যেকোনো ঘাতকে ৪ দিয়ে ভাগ করে ভাগশেষ দেখলেই চলে।
ঘাত এখানে ঋণাত্মক ৪৯। ঋণাত্মক ঘাত মানে উল্টো: আই-এর ঘাত ঋণাত্মক ৪৯ সমান ১ ভাগ আই-এর ঘাত ৪৯।
৪৯ কে ৪ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ ১, তাই আই-এর ঘাত ৪৯ সমান আই। তাহলে উত্তর ১ ভাগ আই। লব ও হরকে আই দিয়ে গুণ করলে হয় আই ভাগ ঋণাত্মক ১, অর্থাৎ ঋণাত্মক আই।
ফাঁদ হলো ঋণাত্মক চিহ্নটা খেয়াল না করে শুধু আই-এর ঘাত ৪৯ বের করা। তাতে উত্তর আসে আই, যেটা ভুল বিকল্প।
মনে রাখুন: iⁿ-এর জন্য n-কে ৪ দিয়ে ভাগ করুন; ঋণাত্মক n হলে ভাগশেষ ঠিক করতে ৪-এর গুণিতক যোগ করুন: −49 + 52 = 3, আর i³ = −i।
পুরো পাতা ›
৬৯. ১৮ এবং ৭২ এর গুণোত্তর গড় কোনটি? (৪৪তম বিসিএস, ২০২২)
1. ক৪৫
2. খ১২৯৩
3. গ৩৬
4. ঘ৪
সঠিক উত্তর: গ. ৩৬
প্রশ্নটা গুণোত্তর গড়ের সংজ্ঞা পরীক্ষা করছে। দুটি ধনাত্মক সংখ্যার গুণোত্তর গড় হলো তাদের গুণফলের বর্গমূল, আর সমান্তর গড় হলো যোগফলের অর্ধেক।
১৮ আর ৭২ গুণ করলে হয় ১২৯৬। ১২৯৬-এর বর্গমূল ৩৬, কারণ ৩৬ গুণ ৩৬ সমান ১২৯৬। তাই গুণোত্তর গড় ৩৬।
যাচাইয়ের সহজ উপায়: ১৮, ৩৬, ৭২ একটা গুণোত্তর ধারা, প্রতিবার ২ গুণ হচ্ছে। গুণোত্তর গড় সবসময় দুই সংখ্যার মাঝে এমনভাবে বসে যেন অনুপাত সমান থাকে।
ফাঁদ হলো ৪৫, যা আসলে সমান্তর গড়: ১৮ আর ৭২ যোগ করে ২ দিয়ে ভাগ। আর ১২৯৩ দেখতে গুণফল ১২৯৬-এর মতো, বর্গমূল নিতে ভুলে গেলে চোখ সেদিকে যায়।
মনে রাখুন: একটি সংখ্যা অন্যটির পূর্ণবর্গ গুণিতক হলে (৭২ = ১৮ × ৪) সরাসরি ছোট সংখ্যা × √৪ = ১৮ × ২ = ৩৬।
পুরো পাতা ›
৭০. 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … + n সংখ্যক পদের যোগফল হবে – (৪৪তম বিসিএস, ২০২২)
1. ক0
2. খ1
3. গ[1+(-1)n]
4. ঘ(1/2)[1-(-1)n]
সঠিক উত্তর: ঘ. (1/2)[1-(-1)n]
প্রশ্নটা পর্যায়ক্রমে চিহ্ন বদলানো ধারার যোগফল যাচাই করছে। ধারাটি ১, মাইনাস ১, ১, মাইনাস ১ এভাবে চলে, তাই প্রতি দুই পদে যোগফল শূন্য হয়ে যায়।
ফলে পদসংখ্যা n জোড় হলে যোগফল ০, আর বিজোড় হলে শেষে একটা ১ বেঁচে থাকে, তাই যোগফল ১।
এই দুই অবস্থা এক সূত্রে আনতে মাইনাস ১ এর ঘাত n ব্যবহার করি। n জোড় হলে মাইনাস ১ এর ঘাত n হয় ১, বিজোড় হলে মাইনাস ১। তাই অর্ধেক গুণ, এক বিয়োগ মাইনাস ১ এর ঘাত n, জোড়ে দেয় ০ আর বিজোড়ে দেয় ১।
ফাঁদ হলো এক যোগ মাইনাস ১ এর ঘাত n বিকল্পটি। এটা জোড়ে ২ আর বিজোড়ে ০ দেয়, মানে ঠিক উল্টো এবং দ্বিগুণ। শুধু ০ বা শুধু ১ সব n এর জন্য ঠিক নয়।
মনে রাখুন: n = 1 আর n = 2 বসিয়ে বিকল্প যাচাই করুন: যেটা 1 আর 0 দেয় সেটাই উত্তর।
পুরো পাতা ›
৭১. একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি কোণ ১৬৮°। এর বাহুসংখ্যা কতগুলো হবে? (৪৪তম বিসিএস, ২০২২)
1. ক৩০
2. খ২০
3. গ১৮
4. ঘ১০
সঠিক উত্তর: ক. ৩০
প্রশ্নটা সুষম বহুভুজের কোণ ও বাহুর সম্পর্ক যাচাই করছে। সবচেয়ে সহজ পথ অন্তঃকোণ দিয়ে নয়, বহিঃকোণ দিয়ে।
প্রতিটি শীর্ষে অন্তঃকোণ আর বহিঃকোণ মিলে একটি সরলরেখা, মানে ১৮০ ডিগ্রি। তাই প্রতিটি বহিঃকোণ ১৮০ থেকে ১৬৮ বাদ দিয়ে ১২ ডিগ্রি।
যেকোনো বহুভুজের সব বহিঃকোণের যোগফল সবসময় ৩৬০ ডিগ্রি, বাহু যত বেশিই হোক। সুষম বহুভুজে সব বহিঃকোণ সমান, তাই বাহুর সংখ্যা ৩৬০ ভাগ ১২, মানে ৩০।
অন্তঃকোণের সূত্র দিয়েও করা যায়, কিন্তু তাতে সমীকরণ লাগে আর সময় বেশি যায়। পরীক্ষার হলে বহিঃকোণের পথটাই নিরাপদ।
মনে রাখুন: বাহুর সংখ্যা = ৩৬০ ÷ (১৮০ − অন্তঃকোণ) = ৩৬০ ÷ ১২ = ৩০।
পুরো পাতা ›
৭২. একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ২ সে.মি. এবং উচ্চতা x সে.মি. হলে, x এর মান কোনটি? (৪৪তম বিসিএস, ২০২২)
1. ক√2
2. খ√3
3. গ২
4. ঘ৩
সঠিক উত্তর: খ. √3
সমবাহু ত্রিভুজের এক শীর্ষ থেকে বিপরীত বাহুর উপর লম্ব টানলে সেটি বাহুটাকে ঠিক সমান দুই ভাগে ভাগ করে। ফলে দুটি সমকোণী ত্রিভুজ পাওয়া যায়, যেখানে পিথাগোরাসের উপপাদ্য খাটে।
এখানে প্রতিটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ পুরো বাহু, ২ সেন্টিমিটার; ভূমি অর্ধেক বাহু, ১ সেন্টিমিটার; আর লম্বটাই উচ্চতা।
তাহলে উচ্চতার বর্গ সমান ২-এর বর্গ বিয়োগ ১-এর বর্গ, মানে ৪ বিয়োগ ১ সমান ৩। উচ্চতা হলো বর্গমূল ৩ সেন্টিমিটার।
সাধারণ সূত্রটাও মনে রাখুন: সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা হলো বর্গমূল ৩ ভাগ ২ গুণ বাহু। বাহু ২ বসালে সরাসরি বর্গমূল ৩ আসে। অনেকে ভূমি অর্ধেক করতে ভুলে যান, তখন হিসাব গুলিয়ে যায়।
মনে রাখুন: সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = (√3/2) × বাহু। বাহু 2 হলে উচ্চতা √3।
পুরো পাতা ›
৭৩. যদি 4√x3 = 2 হয়, তাহলে x3/2 =? (৪৪তম বিসিএস, ২০২২)
1. ক8
2. খ16
3. গ4
4. ঘ64
সঠিক উত্তর: গ. 4
প্রশ্নটা সূচক আর মূলের সম্পর্ক পরীক্ষা করছে। এখানে ধরা হয়েছে x ঘন-এর চতুর্থ মূল ২। কোনো কিছুর চতুর্থ মূল ২ হলে সেই জিনিসটি ২-এর চতুর্থ ঘাত, মানে ১৬।
তাই x ঘন সমান ১৬। এখন x-এর ঘাত তিন বাই দুই মানে x ঘন-এর বর্গমূল। কারণ তিন বাই দুই ঘাত মানে আগে ঘন, তারপর বর্গমূল।
১৬-এর বর্গমূল ৪, তাই উত্তর ৪। পুরো পথটা হলো: মূল সরাতে দুই পাশে ঘাত দাও, তারপর চাওয়া ঘাতটা মূল আকারে লেখো।
সাধারণ ভুল হলো x ঘন সমান ১৬ পেয়ে সেখানেই থেমে ১৬ দাগানো। আবার কেউ ১৬-কে ২ দিয়ে ভাগ করে ৮ ধরেন, যা ঘাতের নিয়মের সঙ্গে মেলে না।
মনে রাখুন: x^(৩/২) = (x^(৩/৪))², আর x^(৩/৪) = ২ দেওয়া; তাই উত্তর ২² = ৪।
পুরো পাতা ›
৭৪. P(A) = 1/3, P(B) = 3/4 হলে A ও B স্বাধীন হলে P(AUB) এর মান কত? (৪৪তম বিসিএস, ২০২২)
1. ক3/ 4
2. খ1/3
3. গ5/6
4. ঘএর কোনটি নয়।
সঠিক উত্তর: গ. 5/6
প্রশ্নটা সম্ভাবনার যোগের সূত্র আর স্বাধীন ঘটনার ধারণা যাচাই করছে। A অথবা B ঘটার সম্ভাবনা হলো দুটির সম্ভাবনার যোগফল থেকে দুটো একসাথে ঘটার সম্ভাবনা বাদ।
বাদ দিতে হয় কারণ যোগ করার সময় দুটো একসাথে ঘটার অংশ দুইবার গোনা হয়ে যায়। আর A ও B স্বাধীন হলে একসাথে ঘটার সম্ভাবনা হলো দুটির গুণফল।
এখানে একসাথে ঘটার সম্ভাবনা ১ ভাগ ৩ গুণ ৩ ভাগ ৪, মানে ১ ভাগ ৪। তাহলে উত্তর ১ ভাগ ৩ যোগ ৩ ভাগ ৪ বিয়োগ ১ ভাগ ৪, যা ৫ ভাগ ৬।
সরাসরি যোগ করলে আসে ১৩ ভাগ ১২, যা ১ এর চেয়ে বড়; সম্ভাবনা কখনো ১ ছাড়ায় না, তাই এটা দেখলেই বুঝবেন বাদ দিতে ভুলেছেন।
মনে রাখুন: স্বাধীন হলে P(A∪B) = 1 − (1 − P(A))(1 − P(B)) = 1 − (2/3)(1/4) = 1 − 1/6 = 5/6।
পুরো পাতা ›
৭৫. বাস্তব সংখ্যায় | 3x+2 | < 7 অসমতাটির সমাধান: (৪৪তম বিসিএস, ২০২২)
1. ক-3 < x < 3
2. খ-5/3 < x < 5/3
3. গ-3 < x < 5/3
4. ঘ5/3 < x < -5/3
সঠিক উত্তর: গ. -3 < x < 5/3
প্রশ্নটা পরমমান সহ অসমতা নিয়ে। কোনো রাশির পরমমান ৭ এর চেয়ে ছোট মানে রাশিটি সংখ্যারেখায় শূন্য থেকে ৭ ঘরের কম দূরে; অর্থাৎ সেটি ঋণাত্মক ৭ আর ধনাত্মক ৭ এর মাঝখানে।
তাই লিখি: ঋণাত্মক ৭ এর চেয়ে বড় এবং ৭ এর চেয়ে ছোট হবে ৩x যোগ ২। এবার তিন অংশ থেকেই ২ বাদ দিলে ৩x থাকে ঋণাত্মক ৯ আর ৫ এর মাঝে।
তিন অংশকেই ৩ দিয়ে ভাগ করি। ৩ ধনাত্মক, তাই অসমতার দিক বদলায় না। ফল: x থাকে ঋণাত্মক ৩ আর ৫ ভাগ ৩ এর মাঝে।
ফাঁদ হলো ২ কে শুধু ডান দিক থেকে বাদ দিয়ে পরমমান চিহ্নের ভেতরে ৩x কে ৫ এর চেয়ে ছোট ধরা। তাতে আসে ঋণাত্মক ৫ ভাগ ৩ থেকে ৫ ভাগ ৩, যা দ্বিতীয় অপশন। আসলে ২ বাদ দিতে হয় তিন অংশ থেকেই, তাই সমাধানের সীমা দুদিকে সমান নয়।
মনে রাখুন: অপশন যাচাই: x = −২ বসালে |−৪| < ৭ সত্য, কিন্তু x = ২ বসালে |৮| < ৭ মিথ্যা। −২ রাখে অথচ ২ রাখে না, এমন অপশন শুধু তৃতীয়টি।
পুরো পাতা ›
৭৬. 6a2bcএবং 4a3b2c2-এর সংখ্যা সহগের গ.সা.গু. নিচের কোনটি? (৪৪তম বিসিএস, ২০২২)
1. কa2bc
2. খ2a2bc
3. গ2a2b2c2
4. ঘকোনটিই নয়
সঠিক উত্তর: ঘ. কোনটিই নয়
প্রশ্নের মূল শব্দ হলো সংখ্যা সহগ। একটি বীজগাণিতিক পদে অক্ষরগুলোর আগে যে সংখ্যা থাকে সেটাই সংখ্যা সহগ। প্রথম পদে সংখ্যা সহগ ৬, দ্বিতীয় পদে ৪।
৬ ও ৪-এর গসাগু হলো ২, কারণ দুটোকেই নিঃশেষে ভাগ করে এমন সবচেয়ে বড় সংখ্যা ২। কিন্তু বিকল্পগুলোর কোনোটিতেই শুধু ২ নেই।
বিকল্পের রাশিগুলো সব অক্ষরসহ লেখা, যেগুলো সংখ্যা সহগ নয়। তাই সঠিক উত্তর কোনটিই নয়।
ফাঁদ হলো পুরো রাশি দুটির গসাগু বের করে ফেলা। পুরো রাশির গসাগু হতো ২ এ স্কয়ার বি সি, যেটা দ্বিতীয় বিকল্প। প্রশ্ন কী চাইছে, শব্দ ধরে ধরে পড়ুন।
মনে রাখুন: ‘সংখ্যা সহগ’ দেখলেই অক্ষর বাদ দিয়ে শুধু সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু. নিন।
পুরো পাতা ›
৭৭. ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর একটি দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নেওয়া হলে সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা- (৪১তম বিসিএস, ২০২১)
1. ক১/২২
2. খ১/৬৪
3. গ১/৬০
4. ঘ২/৬৫
সঠিক উত্তর: ক. ১/২২
সম্ভাবনা মানে অনুকূল ফলাফলের সংখ্যাকে মোট ফলাফলের সংখ্যা দিয়ে ভাগ। এখানে মোট ফলাফল ৪৪০, আর অনুকূল ফলাফল হলো ১ থেকে ৪৪০ এর মধ্যে বর্গসংখ্যা কয়টি।
বর্গসংখ্যা হলো ১ এর বর্গ, ২ এর বর্গ, এভাবে। ২০ এর বর্গ ৪০০, যা ৪৪০ এর মধ্যে; কিন্তু ২১ এর বর্গ ৪৪১, যা ৪৪০ ছাড়িয়ে যায়। তাই বর্গসংখ্যা ২০টি।
সম্ভাবনা তাই চারশো চল্লিশ ভাগের বিশ। লব ও হর দুটোকেই ২০ দিয়ে ভাগ করলে হয় বাইশ ভাগের এক।
সতর্ক থাকুন: ৪৪০ এর বর্গমূল প্রায় ২১, কিন্তু ২১ এর বর্গ সীমার এক ঘর বাইরে। আর বাকি বিকল্পগুলো নিলে বর্গসংখ্যার সংখ্যা পূর্ণসংখ্যাই হয় না।
মনে রাখুন: ১ থেকে N এ বর্গসংখ্যা = √N এর পূর্ণসংখ্যা অংশ; √৪৪০ ≈ ২০.৯৮ ⇒ ২০টি।
পুরো পাতা ›
৭৮. ০.১২ + ০.০০১২ + ০.০০০০১২ + …….. ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল- (৪১তম বিসিএস, ২০২১)
1. ক৪/৩৩
2. খ৪/৯৯
3. গ১১২/৯৯
4. ঘ১৪/৯৯
সঠিক উত্তর: ক. ৪/৩৩
এটা অসীম গুণোত্তর ধারা: প্রতিটি পদ আগের পদকে একই সংখ্যা দিয়ে গুণ করে পাওয়া যায়। সাধারণ অনুপাত ১ এর চেয়ে ছোট হলে অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল হয় প্রথম পদকে এক বিয়োগ সাধারণ অনুপাত দিয়ে ভাগ।
প্রথম পদ ০ দশমিক এক দুই। দ্বিতীয় পদ ০ দশমিক শূন্য শূন্য এক দুই, যা প্রথম পদের একশো ভাগের এক। তাই সাধারণ অনুপাত একশো ভাগের এক।
এক থেকে একশো ভাগের এক বাদ দিলে থাকে একশো ভাগের নিরানব্বই। যোগফল তাই ০ দশমিক এক দুই কে একশো ভাগের নিরানব্বই দিয়ে ভাগ, অর্থাৎ নিরানব্বই ভাগের বারো, যা সরল করলে তেত্রিশ ভাগের চার।
আরেকভাবে দেখা যায়: পদগুলো যোগ করলে পাই ০ দশমিক এক দুই এক দুই, এভাবে চলতে থাকা পৌনঃপুনিক দশমিক, যার মান নিরানব্বই ভাগের বারো। ফাঁদ হলো নিরানব্বই ভাগের চোদ্দ, যা আসলে ০ দশমিক এক চার এক চার এর মান।
মনে রাখুন: ধারাটি আসলে ০.১২১২... পৌনঃপুনিক দশমিক = ১২/৯৯ = ৪/৩৩।
পুরো পাতা ›
৭৯. √-8 × √-2 = কত? (৪১তম বিসিএস, ২০২১)
1. ক4
2. খ4i
3. গ-4
4. ঘ-4i
সঠিক উত্তর: গ. -4
প্রশ্নটা কাল্পনিক সংখ্যার একটা গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম যাচাই করছে। ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল লেখা হয় i দিয়ে, যেখানে i এর বর্গ ঋণাত্মক ১।
ঋণাত্মক ৮ এর বর্গমূল হলো দুই বর্গমূল দুই গুণ i, আর ঋণাত্মক ২ এর বর্গমূল হলো বর্গমূল দুই গুণ i। গুণ করলে পাই দুই, গুণ বর্গমূল দুই, গুণ বর্গমূল দুই, গুণ i এর বর্গ।
বর্গমূল দুই গুণ বর্গমূল দুই সমান ২, তাই সংখ্যার অংশ ৪। i এর বর্গ ঋণাত্মক ১, তাই উত্তর ঋণাত্মক ৪।
বড় ফাঁদ হলো দুটি বর্গমূল এক করে ঋণাত্মক ৮ গুণ ঋণাত্মক ২, মানে ১৬ এর বর্গমূল ৪ লেখা। দুটি সংখ্যাই ঋণাত্মক হলে বর্গমূলের গুণফল আর গুণফলের বর্গমূল সমান হয় না। আগে i বের করে আনুন, তারপর গুণ করুন।
মনে রাখুন: দুটোই ঋণাত্মক হলে √(−a) × √(−b) = −√(ab); এখানে −√১৬ = −৪।
পুরো পাতা ›
৮০. |x – 2| < 3 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3x + 5 < n হবে? (৪১তম বিসিএস, ২০২১)
1. কm = 1, n = 10
2. খm = 2, n = 20
3. গm = 3, n = 30
4. ঘm = 4, n = 40
সঠিক উত্তর: খ. m = 2, n = 20
পরম মানের অসমতাকে দুই দিকের সীমায় ভাঙতে হয়। x বিয়োগ ২ এর পরম মান ৩ এর চেয়ে ছোট মানে x বিয়োগ ২ আছে ঋণাত্মক ৩ আর ধনাত্মক ৩ এর মাঝে।
তিন অংশেই ২ যোগ করলে x আছে ঋণাত্মক ১ আর ৫ এর মাঝে। এবার তিন অংশকেই ৩ দিয়ে গুণ করলে ৩x আছে ঋণাত্মক ৩ আর ১৫ এর মাঝে।
তিন অংশেই ৫ যোগ করলে ৩x যোগ ৫ আছে ২ আর ২০ এর মাঝে। তাই m সমান ২ আর n সমান ২০।
ভুল এড়াতে মনে রাখুন, যোগ বা গুণ তিন অংশে একসঙ্গে করতে হয়। সহজ যাচাই: x এর দুই সীমা ঋণাত্মক ১ আর ৫ সরাসরি ৩x যোগ ৫ এ বসালেই ২ আর ২০ পাওয়া যায়।
মনে রাখুন: x এর দুই সীমা সরাসরি বসান: x = −১ হলে ৩x + ৫ = ২, x = ৫ হলে ২০।
পুরো পাতা ›

পরের পাতা: প্রশ্ন ৮১–১০০ ›