গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৭

⚡ এই বিষয়ে কুইক টেস্ট

পাতা ৭/১৫ · প্রশ্ন ১২১–১৪০সব উত্তর দেখান

১২১. দুই ব্যক্তি একটি কাজ একত্রে ৮ দিনে করতে পারে। প্রথম ব্যক্তি একা কাজটি ১২ দিনে করতে পারে। দ্বিতীয় ব্যক্তি একা ঐ কাজটি কত দিনে করতে পারবে? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক২০ দিনে
2. খ২৫ দিনে
3. গ২৪ দিনে
4. ঘ৩০ দিনে
সঠিক উত্তর: গ. ২৪ দিনে
কাজের প্রশ্নে দিন নয়, প্রতিদিনের কাজের হার যোগ বিয়োগ হয়। সহজ উপায়: মোট কাজকে এমন একক ধরুন যা সব দিনসংখ্যা দিয়ে ভাগ যায়, তারপর কে দিনে কত একক করে তা দেখুন।
৮ আর ১২ এর লসাগু ২৪, তাই মোট কাজ ২৪ একক ধরি। দুজনে মিলে ৮ দিনে করেন, মানে প্রতিদিন ৩ একক। প্রথম জন একা ১২ দিনে করেন, মানে প্রতিদিন ২ একক।
তাহলে দ্বিতীয় জন প্রতিদিন করেন ৩ বিয়োগ ২, অর্থাৎ ১ একক। ২৪ একক কাজ শেষ করতে তাঁর লাগবে ২৪ দিন।
ফাঁদ হলো ২০, যা ১২ আর ৮ যোগ করে আসে। দিনসংখ্যা সরাসরি যোগ বিয়োগ করা যায় না; যোগ বিয়োগ হয় কাজের হারের।
মনে রাখুন: দ্বিতীয় জনের দিন = (৮ × ১২) ÷ (১২ − ৮) = ৯৬ ÷ ৪ = ২৪।
পুরো পাতা ›
১২২. নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা নয়? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক২৬৩
2. খ২৩৩
3. গ২৫৩
4. ঘ২৪১
সঠিক উত্তর: গ. ২৫৩
কোনো সংখ্যা মৌলিক কি না যাচাই করতে তার বর্গমূল পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো দিয়ে ভাগ করে দেখাই যথেষ্ট। কারণ কোনো সংখ্যার একটা গুণনীয়ক বর্গমূলের বড় হলে অন্যটা অবশ্যই বর্গমূলের ছোট হবে।
এখানে সব সংখ্যা ২৭০ এর নিচে, তাদের বর্গমূল ১৭ এর কম। তাই ২, ৩, ৫, ৭, ১১ আর ১৩ দিয়ে ভাগ যায় কি না দেখলেই চলে।
২৫৩ এ ১১ এর পরীক্ষা খাটান: তিন অঙ্কের সংখ্যায় দুই পাশের অঙ্কের যোগফল মাঝের অঙ্কের সমান হলে সংখ্যাটা ১১ দিয়ে বিভাজ্য। ২ আর ৩ এর যোগফল ৫, মাঝের অঙ্কও ৫। সত্যিই ২৫৩ হলো ১১ গুণ ২৩, তাই এটি মৌলিক নয়।
২৩৩, ২৪১ আর ২৬৩ এর কোনোটাই ২, ৩, ৫, ৭, ১১ বা ১৩ দিয়ে ভাগ যায় না, তাই এরা মৌলিক। বিজোড় দেখে সবগুলোকে মৌলিক ভাবা, বা ৩ এর পরীক্ষায় থেমে যাওয়াই এখানে ফাঁদ।
মনে রাখুন: তিন অঙ্কের সংখ্যায় পাশের দুই অঙ্কের যোগ = মাঝের অঙ্ক হলে ১১ দিয়ে বিভাজ্য: ২৫৩, ১৪৩, ৩৬৩।
পুরো পাতা ›
১২৩. একজন লোক একটি নির্দিষ্ট স্থান A থেকে যাত্রা শুরু করে ১২ কিলোমিটার উত্তর দিকে গেল এবং সেখান থেকে ৫ কিলোমিটার পূর্ব দিকে গেল। যাত্রা শেষে সে A অবস্থান থেকে কত দূরে থাকবে? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক১৭ কি. মি.
2. খ১৫ কি. মি.
3. গ১৪ কি. মি.
4. ঘ১৩ কি. মি.
সঠিক উত্তর: ঘ. ১৩ কি. মি.
দিকের প্রশ্নে উত্তর আর পূর্ব দিক পরস্পর লম্ব। তাই উত্তরে যাওয়া পথ আর পূর্বে যাওয়া পথ একটা সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু, আর শুরুর বিন্দু থেকে সোজা দূরত্ব হলো অতিভুজ।
দুই বাহু ১২ আর ৫ কিলোমিটার। এদের বর্গ ১৪৪ আর ২৫, যোগফল ১৬৯।
১৬৯ এর বর্গমূল ১৩। তাই লোকটি A থেকে ১৩ কিলোমিটার দূরে। এটা পরিচিত ৫, ১২, ১৩ পিথাগোরীয় ত্রয়ী।
ফাঁদ হলো ১৭, যা ১২ আর ৫ যোগ করে আসে। সেটা মোট হাঁটা পথ, শুরুর বিন্দু থেকে সোজা দূরত্ব নয়।
মনে রাখুন: ৫-১২-১৩ ত্রয়ী: ১২ আর ৫ দেখলেই ১৩।
পুরো পাতা ›
১২৪. বাস্তব সংখ্যায় |2x-3| ≤ 1 অসমতাটির সমাধান___ (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক1 < x < 2
2. খx ≤ 1 অথবা x ≥ 2
3. গ1 ≤ x ≤ 2
4. ঘ-1 < x < 2
সঠিক উত্তর: গ. 1 ≤ x ≤ 2
পরমমানের অসমতার মূল নিয়ম: কোনো রাশির পরমমান একের সমান বা ছোট হওয়া মানে রাশিটা ঋণাত্মক এক আর ধনাত্মক একের মাঝে, দুই প্রান্তসহ। পরমমান মানে শূন্য থেকে দূরত্ব, আর সেই দূরত্ব একের বেশি নয়।
তাই দুই x বিয়োগ ৩ থাকবে ঋণাত্মক ১ থেকে ধনাত্মক ১ এর মধ্যে। সবখানে ৩ যোগ করলে দুই x থাকে ২ থেকে ৪ এর মধ্যে।
এবার ২ দিয়ে ভাগ করলে x থাকে ১ থেকে ২ এর মধ্যে, ১ আর ২ সহ। যাচাই: x সমান ১ বা ২ বসালে পরমমান ঠিক ১, যা শর্ত মানে।
ফাঁদ দুটি। প্রান্তবিন্দু বাদ দিয়ে খোলা ব্যবধান লেখা, অথবা চিহ্ন উল্টে “বাইরের” সমাধান লেখা; শেষেরটা আসলে পরমমান একের বড় বা সমান হওয়ার সমাধান।
মনে রাখুন: |ax − b| ≤ c হলে x থাকে (b − c)/a থেকে (b + c)/a পর্যন্ত: (৩ − ১)/২ = ১ থেকে (৩ + ১)/২ = ২।
পুরো পাতা ›
১২৫. একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক(√3/2)a²
2. খ(2/3)a²
3. গ(2/√3)a²
4. ঘ(√3/4)a²
সঠিক উত্তর: ঘ. (√3/4)a²
সমবাহু ত্রিভুজের তিন বাহুই a। ক্ষেত্রফল হলো ভূমি গুণ উচ্চতার অর্ধেক, তাই আগে উচ্চতা বের করতে হয়।
শীর্ষ থেকে ভূমিতে লম্ব টানলে ভূমি সমান দুই ভাগ হয়, প্রতিটি a এর অর্ধেক। তখন একটা সমকোণী ত্রিভুজ পাই, যার অতিভুজ a আর ভূমি a এর অর্ধেক। পিথাগোরাসে উচ্চতা আসে a গুণ রুট তিনের অর্ধেক, মানে দুই ভাগের রুট তিন গুণ a।
ক্ষেত্রফল তাহলে ভূমি a আর এই উচ্চতার গুণফলের অর্ধেক, অর্থাৎ চার ভাগের রুট তিন গুণ a এর বর্গ।
ফাঁদ হলো দুই ভাগের রুট তিন গুণ a এর বর্গ। দুই ভাগের রুট তিন গুণ a আসলে উচ্চতা; উচ্চতাকে a দিয়ে গুণ করে অর্ধেক না নিলে এই দ্বিগুণ মানটা আসে।
মনে রাখুন: সমবাহু ত্রিভুজ: উচ্চতা (√৩/২)a, ক্ষেত্রফল (√৩/৪)a²; দুটো একসাথে মুখস্থ রাখুন।
পুরো পাতা ›
১২৬. মিঃ রেজা তাঁর সম্পদের 12% স্ত্রীকে, 58% ছেলেকে এবং অবশিষ্ট 720000/- টাকা মেয়েকে দিলেন। তার সম্পদের মোট মূল্য কত? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক2400000 Tk
2. খ2000000 Tk
3. গ1600000 Tk
4. ঘ1200000 Tk
সঠিক উত্তর: ক. 2400000 Tk
এটা শতকরার উল্টো হিসাব: অংশের মান জানা, পুরোটা বের করতে হবে। কৌশল হলো পুরো সম্পদকে একশো শতাংশ ধরে দেখা, জানা টাকাটা কত শতাংশ।
স্ত্রী পেলেন ১২ শতাংশ আর ছেলে ৫৮ শতাংশ, মোট ৭০ শতাংশ। বাকি ৩০ শতাংশ পেল মেয়ে, আর তার মান ৭ লাখ ২০ হাজার টাকা।
৩০ শতাংশ যদি ৭ লাখ ২০ হাজার হয়, তবে ১০ শতাংশ ২ লাখ ৪০ হাজার, আর একশো শতাংশ ২৪ লাখ টাকা। যাচাই: ২৪ লাখের ৩০ শতাংশ ঠিক ৭ লাখ ২০ হাজার।
ফাঁদ হলো ১২ লাখ। ৭ লাখ ২০ হাজার হলো ১২ লাখের ৬০ শতাংশ, ৩০ শতাংশ নয়; মেয়ের অংশ ঠিক কত শতাংশ, সেটা আগে নিশ্চিত করুন।
মনে রাখুন: মোট = অবশিষ্ট টাকা × ১০০ ÷ অবশিষ্ট শতাংশ = ৭২০০০০ × ১০০ ÷ ৩০ = ২৪ লাখ।
পুরো পাতা ›
১২৭. x = √3+√2 হলে, x³+(1/x³) (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক3√2
2. খ18√3
3. গ12√3
4. ঘ8
সঠিক উত্তর: খ. 18√3
এ ধরনের প্রশ্নে চাবি হলো x আর x ভাগের এক এর যোগফল বের করা। ঘনের যোগফল সেই যোগফলের মাধ্যমেই লেখা যায়, তাই x এর ঘন সরাসরি হিসাব করার দরকার নেই।
রুট তিন যোগ রুট দুই এর উল্টো বের করতে অনুবন্ধী, মানে রুট তিন বিয়োগ রুট দুই, দিয়ে লব হর গুণ করি। হর হয় তিন বিয়োগ দুই, মানে ১। তাই x ভাগের এক হলো রুট তিন বিয়োগ রুট দুই, আর যোগফল দুই রুট তিন; রুট দুই অংশ কেটে যায়।
সূত্র অনুযায়ী ঘনের যোগফল হলো যোগফলের ঘন থেকে তিন গুণ যোগফল বাদ। দুই রুট তিনের ঘন চব্বিশ রুট তিন, আর তিন গুণ দুই রুট তিন হলো ছয় রুট তিন। বিয়োগ করলে আঠারো রুট তিন।
রুট দুই যোগফলে কেটে যায় বলে উত্তরে রুট দুই থাকতে পারে না, আর উত্তর মূলদ সংখ্যাও নয়। এই দুই পর্যবেক্ষণেই তিন রুট দুই আর ৮ বাদ পড়ে।
মনে রাখুন: x + ১/x = a হলে x³ + ১/x³ = a³ − ৩a; a = ২√৩ বসালে ২৪√৩ − ৬√৩ = ১৮√৩।
পুরো পাতা ›
১২৮. logₓ(1/8) = -2 হলে, x = কত? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক2
2. খ√2
3. গ2√2
4. ঘ4
সঠিক উত্তর: গ. 2√2
লগের সংজ্ঞা: x ভিত্তিক লগে কোনো সংখ্যার মান k হলে, x এর ঘাত k সমান সেই সংখ্যা। তাই প্রথমেই লগের সমীকরণকে ঘাতের সমীকরণে বদলান।
এখানে x এর ঘাত ঋণাত্মক ২ সমান আট ভাগের এক। ঋণাত্মক ঘাত মানে উল্টো, তাই x এর বর্গের উল্টো সমান আট ভাগের এক, অর্থাৎ x এর বর্গ ৮।
৮ এর বর্গমূল দুই রুট দুই। লগের ভিত্তি সবসময় ধনাত্মক, তাই ঋণাত্মক মূল বাদ, x সমান দুই রুট দুই।
ফাঁদ হলো ২। আট ভাগের এক দেখে অনেকে ২ এর ঘাত ভাবেন, কিন্তু ২ ভিত্তিক লগে আট ভাগের এক এর মান ঋণাত্মক ৩, ঋণাত্মক ২ নয়।
মনে রাখুন: বিকল্প বসিয়ে দেখুন: (২√২)² = ৮, তাই (২√২)⁻² = ১/৮।
পুরো পাতা ›
১২৯. 2ˣ + 2¹⁻ˣ = 3 হলে, x = কত? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক(1,2)
2. খ(0,2)
3. গ(1,3)
4. ঘ(0,1)
সঠিক উত্তর: ঘ. (0,1)
সমীকরণটি হলো ২ এর ঘাত x যোগ ২ এর ঘাত এক বিয়োগ x সমান ৩। এ ধরনের সূচক সমীকরণে কৌশল হলো একটা ঘাতকে নতুন চলক ধরে দ্বিঘাত সমীকরণ বানানো।
২ এর ঘাত এক বিয়োগ x মানে ২ কে ২ এর ঘাত x দিয়ে ভাগ। তাই ২ এর ঘাত x কে y ধরলে সমীকরণ হয় y যোগ y ভাগের দুই সমান ৩, অর্থাৎ y এর বর্গ বিয়োগ তিন y যোগ ২ সমান শূন্য।
এটা ভাঙলে y বিয়োগ ১ আর y বিয়োগ ২ এর গুণফল শূন্য, তাই y হয় ১ নয়তো ২। ২ এর ঘাত x সমান ১ হলে x শূন্য, আর ২ হলে x এক। বিকল্পে এই দুটি মান একসাথে দেখানো, তাই উত্তর শূন্য ও এক।
ফাঁদ হলো এক ও দুই, যা আসলে y এর মান, x এর নয়। x সমান ২ বসালে বাম পক্ষ হয় সাড়ে চার, ৩ নয়।
মনে রাখুন: বিকল্প বসান: x = ০ এ ১ + ২ = ৩, x = ১ এ ২ + ১ = ৩; দুটোই খাটে।
পুরো পাতা ›
১৩০. একটি কোণের মান তার পূরক কোণের মানের অর্ধেকের সমান। কোণটির মান কত? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক60°
2. খ45°
3. গ30°
4. ঘ25°
সঠিক উত্তর: গ. 30°
দুটি কোণের যোগফল ৯০ ডিগ্রি হলে তারা পরস্পরের পূরক কোণ, আর ১৮০ ডিগ্রি হলে সম্পূরক কোণ। এখানে কোণ আর তার পূরক মিলে ৯০ ডিগ্রি।
কোণটি পূরক কোণের অর্ধেক। তাই কোণটিকে এক ভাগ ধরলে পূরক কোণ দুই ভাগ, আর দুটো মিলে তিন ভাগ।
তিন ভাগ সমান ৯০ ডিগ্রি হলে এক ভাগ ৩০ ডিগ্রি। তাই কোণটি ৩০ ডিগ্রি, আর তার পূরক ৬০ ডিগ্রি; সত্যিই ৩০ হলো ৬০ এর অর্ধেক।
ফাঁদ হলো ৬০ ডিগ্রি। ওটা পূরক কোণ, কোণটি নিজে নয়। “কার অর্ধেক কে”, সেটা উল্টে গেলেই এই ভুল হয়।
মনে রাখুন: কোণ = পূরকের ১/n হলে কোণ = ৯০° ÷ (n + ১) = ৯০° ÷ ৩ = ৩০°।
পুরো পাতা ›
১৩১. ∆ABC এ ∠B=90°, যদি AC=2AB হয় তবে, ∠C এর মান কত? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক45°
2. খ22.5°
3. গ30°
4. ঘ60°
সঠিক উত্তর: গ. 30°
সমকোণী ত্রিভুজে সমকোণের বিপরীত বাহু হলো অতিভুজ, সবচেয়ে বড় বাহু। এখানে কোণ B সমকোণ, তাই AC অতিভুজ।
কোণ C এর বিপরীত বাহু AB। কোনো কোণের সাইন হলো বিপরীত বাহুকে অতিভুজ দিয়ে ভাগ। AC যেহেতু AB এর দ্বিগুণ, তাই সাইন C হলো দুই ভাগের এক।
যে কোণের সাইন দুই ভাগের এক, সেটি ৩০ ডিগ্রি। মনে রাখার নিয়ম: ৩০, ৬০, ৯০ ত্রিভুজে ৩০ ডিগ্রির বিপরীত বাহু অতিভুজের অর্ধেক।
ফাঁদ হলো ৬০ ডিগ্রি, যা আসলে কোণ A। AB বাহুটা কোণ A এর সংলগ্ন, আর কোণ C এর বিপরীতে; কোন বাহু কোন কোণের বিপরীতে, আগে ঠিক করে নিন।
মনে রাখুন: অতিভুজ কোনো বাহুর দ্বিগুণ হলে সেই বাহুর বিপরীত কোণ ৩০°।
পুরো পাতা ›
১৩২. সেট A = {x: x Fibonacci সংখ্যা এবং x²<64} হলে, P(A) এর উপাদান কয়টি? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক128
2. খ32
3. গ64
4. ঘ256
সঠিক উত্তর: খ. 32
কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে তার শক্তি সেটে, অর্থাৎ সব উপসেটের সেটে, উপাদান থাকে ২ এর ঘাত n টি। তাই আগে A তে কয়টি উপাদান, সেটা নিখুঁতভাবে গুনতে হবে।
x এর বর্গ ৬৪ এর ছোট মানে x, ৮ এর ছোট। ফিবোনাচ্চি ধারা শূন্য, এক, এক, দুই, তিন, পাঁচ, আট, এভাবে চলে; প্রতিটি পদ আগের দুটি পদের যোগফল। ৮ এর ছোট পদগুলো শূন্য, এক, দুই, তিন আর পাঁচ।
সেটে একই উপাদান একবারই গোনা হয়, তাই ধারায় দুবার আসা ১ সেটে একবার। A তে উপাদান ৫টি, আর শক্তি সেটে ২ এর ঘাত পাঁচ, অর্থাৎ ৩২টি।
এখানে শূন্যকে ফিবোনাচ্চি সংখ্যা ধরা হয়েছে, যা আধুনিক সংজ্ঞায় প্রচলিত। শূন্য বাদ দিলে উত্তর হতো ১৬, যা বিকল্পে নেই। আর ১ কে দুবার গুনলে আসে ৬৪, এটাই মূল ফাঁদ।
মনে রাখুন: n উপাদানের সেটের উপসেট ২ⁿ টি; ২⁵ = ৩২, ২⁶ = ৬৪, ২⁷ = ১২৮, ২⁸ = ২৫৬।
পুরো পাতা ›
১৩৩. ৩০ থেকে ৪০ পর্যন্ত সংখ্যা থেকে যে কোন একটিকে ইচ্ছেমত নিলে সে সংখ্যাটি মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক5/11
2. খ1/2
3. গ3/5
4. ঘ6/11
সঠিক উত্তর: ক. 5/11
“অথবা” থাকলে দুই ঘটনার অনুকূল ফলাফল একসাথে গুনতে হয়, তবে কোনো সংখ্যা দুই দলেই থাকলে তাকে একবারই গুনতে হবে। তারপর মোট সংখ্যা দিয়ে ভাগ।
৩০ থেকে ৪০ পর্যন্ত, দুই প্রান্তসহ, মোট ১১টি সংখ্যা। এর মধ্যে মৌলিক শুধু ৩১ আর ৩৭; ৩৩, ৩৯ তিন দিয়ে আর ৩২, ৩৪, ৩৬, ৩৮ দুই দিয়ে বিভাজ্য।
৫ এর গুণিতক ৩০, ৩৫ আর ৪০, মোট ৩টি। এদের কোনোটি মৌলিক নয়, তাই দুই দলে মিল নেই। অনুকূল সংখ্যা ২ যোগ ৩, মোট ৫টি, আর সম্ভাবনা এগারো ভাগের পাঁচ।
ভুল হয় মোট সংখ্যা ১০ ধরলে, কারণ ৪০ বিয়োগ ৩০ সমান ১০; কিন্তু দুই প্রান্তসহ গুনলে ১১। প্রান্ত বাদ পড়লে মৌলিক বা গুণিতকও বাদ পড়ে যায়।
মনে রাখুন: a থেকে b পর্যন্ত দুই প্রান্তসহ সংখ্যা b − a + ১ টি; এখানে ১১।
পুরো পাতা ›
১৩৪. কোন আসল 3 বছরের মুনাফা-আসলে 5500 টাকা হয়। মুনাফা আসলের 3/8 অংশ হলে, মুনাফার হার কত? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক10%
2. খ12.5%
3. গ15%
4. ঘ12%
সঠিক উত্তর: খ. 12.5%
প্রশ্নটা সরল মুনাফার হার বের করতে বলছে। সরল মুনাফায় মুনাফা সমান আসল গুণ হার গুণ সময়, তাই হার পেতে মুনাফাকে আসল আর সময়ের গুণফল দিয়ে ভাগ করতে হয়।
মুনাফা আসলের আট ভাগের তিন, তাই মুনাফা-আসল হলো আসলের আট ভাগের এগারো। আসলকে ৮ ভাগ ধরলে মুনাফা-আসল ১১ ভাগ, যা ৫৫০০ টাকা; তাই এক ভাগ ৫০০ টাকা, আসল ৪০০০ টাকা আর মুনাফা ১৫০০ টাকা।
তিন বছরে ১৫০০ টাকা মানে বছরে ৫০০ টাকা। ৪০০০ টাকায় বছরে ৫০০ টাকা মুনাফা হলো ১২ দশমিক পাঁচ শতাংশ। আরও দ্রুত পথ: আট ভাগের তিন মানে ৩৭ দশমিক পাঁচ শতাংশ, তাকে তিন বছরে ভাগ করলে বছরে ১২ দশমিক পাঁচ শতাংশ।
ফাঁদ হলো সময় দিয়ে ভাগ করতে ভুলে যাওয়া, অথবা মুনাফা-আসলের উপর হার ধরা। হার সবসময় আসলের উপর, আর এক বছরের জন্য।
মনে রাখুন: হার = (মুনাফার ভগ্নাংশ ÷ সময়) × ১০০ = (৩/৮ ÷ ৩) × ১০০ = ১২.৫%। ৫৫০০ টাকার তথ্য আসলে লাগেই না।
পুরো পাতা ›
১৩৫. A = হলে, P(A)এর সদস্য সংখ্যা কত? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক8
2. খ7
3. গ6
4. ঘ3
সঠিক উত্তর: ক. 8
শক্তি সেট মানে কোনো সেটের সব উপসেট নিয়ে গঠিত সেট, ফাঁকা সেট আর সেটটা নিজেও তার মধ্যে থাকে।
n সদস্যের সেটের প্রতিটা সদস্যের জন্য দুটো পথ: উপসেটে থাকবে, নয়তো থাকবে না। তাই মোট উপসেট ২ গুণ ২ গুণ ২ এভাবে n বার, মানে ২ এর ঘাত n।
প্রশ্নপাঠে সেট A এর সদস্যগুলো হারিয়ে গেছে, কিন্তু উত্তরটা শক্তি সেটের সদস্যসংখ্যা, যা অবশ্যই ২ এর কোনো ঘাত। বিকল্পগুলোর মধ্যে কেবল ৮ হলো ২ এর ঘাত, ২ এর ঘন; তাই A তিন সদস্যের আর উত্তর ৮।
ফাঁদ হলো ৭, যা ফাঁকা সেট বাদ দিয়ে উপসেট গুনলে আসে। আর ৩ হলো A এর নিজের সদস্যসংখ্যা, শক্তি সেটের নয়।
মনে রাখুন: শক্তি সেটের সদস্যসংখ্যা সবসময় ২ এর ঘাত: ১, ২, ৪, ৮, ১৬...
পুরো পাতা ›
১৩৬. 12টি পুস্তক থেকে 5টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 2টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক252
2. খ792
3. গ224
4. ঘ120
সঠিক উত্তর: ঘ. 120
এটা শর্তযুক্ত বাছাইয়ের প্রশ্ন। যে জিনিস সর্বদা থাকবে, তাকে আগেই বেছে রাখুন; তারপর বাকি জায়গা বাকি জিনিস থেকে পূরণ করুন।
২টি বই সবসময় থাকবে, তাই সেগুলো নিয়ে রাখি। এখন বাকি থাকে ১০টি বই, আর বাছতে হবে ৫ বিয়োগ ২, মানে ৩টি।
১০টি থেকে ৩টি বাছাই: ১০ গুণ ৯ গুণ ৮ কে ৩ গুণ ২ গুণ ১ দিয়ে ভাগ, মানে ৭২০ ভাগ ৬, অর্থাৎ ১২০।
৭৯২ আসে শর্ত ভুলে ১২টি থেকে ৫টি বাছলে, আর ২৫২ আসে বাকি ১০টি থেকে পুরো ৫টি বাছলে; দুটোই সাধারণ ভুল।
মনে রাখুন: নির্দিষ্ট k টি থাকলে ⁿ⁻ᵏCᵣ₋ₖ: ¹⁰C₃ = ১২০।
পুরো পাতা ›
১৩৭. আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী -২০১৫ সালের জুলাই মাসের ২য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট ৫ দিন। ঐ সপ্তাহে বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভবনা কত? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক1
2. খ5/7
3. গ2/7
4. ঘ1/7
সঠিক উত্তর: গ. 2/7
সম্ভাবনা মানে অনুকূল ঘটনার সংখ্যা ভাগ মোট সমান সম্ভাব্য ঘটনার সংখ্যা। এখানে মোট ঘটনা সপ্তাহের ৭ দিন।
৭ দিনের ৫ দিন বৃষ্টি হয়েছে, তাই বৃষ্টি হয়নি ২ দিন। কোন দিনগুলোতে বৃষ্টি হয়েছে জানা নেই, তাই প্রতিটা দিনের সমান সুযোগ।
বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার জন্য বুধবারকে ওই ২ দিনের একটা হতে হবে। তাই সম্ভাবনা সাত ভাগের দুই।
ফাঁদ হলো সাত ভাগের পাঁচ, যা বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা। প্রশ্নে “না হওয়ার” শব্দটা খেয়াল করুন; দুটো যোগ করলে সবসময় ১ হয়।
মনে রাখুন: না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ − হওয়ার সম্ভাবনা = ১ − ৫/৭ = ২/৭।
পুরো পাতা ›
১৩৮. ৩৫০ টাকা দরে ৩ কেজি মিষ্টি কিনে ৪ টাকা হারে ভ্যাট দিলে মোট কত ভ্যাট দিতে হবে? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক১৪ টাকা
2. খ৪২ টাকা
3. গ১২ টাকা
4. ঘ১০৫ টাকা
সঠিক উত্তর: খ. ৪২ টাকা
প্রশ্নটা ভ্যাট বা মূল্য সংযোজন কর হিসাব যাচাই করছে। ভ্যাট ধরা হয় মোট বিক্রয়মূল্যের উপর, আর “৪ টাকা হারে” মানে প্রতি ১০০ টাকায় ৪ টাকা, অর্থাৎ ৪ শতাংশ।
আগে মোট দাম: প্রতি কেজি ৩৫০ টাকা, ৩ কেজির দাম ১০৫০ টাকা।
এবার ১০৫০ টাকার ৪ শতাংশ: ১০৫০ কে ৪ দিয়ে গুণ করে ১০০ দিয়ে ভাগ, মানে ৪২ টাকা।
১৪ টাকা হলো মাত্র ১ কেজির ভ্যাট, আর ১২ টাকা আসে কেজিপ্রতি ৪ টাকা ধরে নিলে। শতকরা হার মোট দামের উপর বসাতে হয়।
মনে রাখুন: প্রতি ১০০ তে ৪ মানে প্রতি ১০০০ এ ৪০ আর ৫০ এ ২: ১০৫০ এ ৪২।
পুরো পাতা ›
১৩৯. যদি তেলের মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পায় তবে তেলের ব্যবহার শতকরা কত কমালে তেল বাবদ ব্যয় বৃদ্ধি পাবে না? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক১৬%
2. খ২০%
3. গ২৫%
4. ঘ২৪%
সঠিক উত্তর: খ. ২০%
এটা দাম আর ব্যবহারের প্রশ্ন, যেখানে মোট ব্যয় স্থির রাখতে হবে। ব্যয় সমান দাম গুণ পরিমাণ, তাই দাম বাড়লে পরিমাণ কমাতে হয়।
ধরি আগে ১০০ ইউনিট তেল লাগত, আর দাম ছিল ১০০। দাম ২৫ শতাংশ বেড়ে ১২৫ হলে, আগের সমান টাকায় পাওয়া যায় আগের পরিমাণের একশো পঁচিশ ভাগের একশো, মানে পাঁচ ভাগের চার অংশ, অর্থাৎ ৮০ ইউনিট।
তাই ব্যবহার ১০০ থেকে ৮০ তে নামাতে হবে, মানে ২০ শতাংশ কমাতে হবে। হিসাবটা হলো বৃদ্ধি ২৫ কে নতুন দাম ১২৫ দিয়ে ভাগ, গুণ ১০০।
বড় ফাঁদ হলো ২৫ শতাংশ, কারণ মনে হয় যত বাড়ল ততই কমাতে হবে। কিন্তু কমানোর হিসাব হয় নতুন বড় দামের উপর, তাই শতাংশ কম আসে।
মনে রাখুন: দাম r% বাড়লে ব্যবহার কমাতে হয় r ÷ (১০০ + r) × ১০০ = ২৫ ÷ ১২৫ × ১০০ = ২০%।
পুরো পাতা ›
১৪০. দুটি সংখ্যার গুণফল ৩৩৮০ এবং গ. সা. গু ১৩। সংখ্যা দুটির ল. সা. গু. কত? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক২৬০
2. খ৭৮০
3. গ১৩০
4. ঘ৪৯০
সঠিক উত্তর: ক. ২৬০
প্রশ্নটা গসাগু আর লসাগুর মৌলিক সম্পর্ক যাচাই করছে: দুটি সংখ্যার গুণফল সমান তাদের গসাগু গুণ লসাগু।
তাই লসাগু সমান গুণফল ভাগ গসাগু, মানে ৩৩৮০ ভাগ ১৩, অর্থাৎ ২৬০।
যাচাই: সংখ্যা দুটো যেমন ৫২ আর ৬৫ হতে পারে; গুণফল ৩৩৮০, গসাগু ১৩, আর লসাগু ২৬০।
দ্রুত বাদ দেওয়ার উপায়: লসাগু অবশ্যই গসাগুর গুণিতক, তাই ১৩ দিয়ে ভাগ যেতে হবে; ৪৯০ ভাগ যায় না। ১৩০ বা ৭৮০ কে ১৩ দিয়ে গুণ করলে ৩৩৮০ আসে না।
মনে রাখুন: লসাগু = গুণফল ÷ গসাগু; ৩৩৮০ ÷ ১৩ = ২৬০।
পুরো পাতা ›

পরের পাতা: প্রশ্ন ১৪১–১৬০ ›