গাণিতিক যুক্তি · পাতা ১৪
২৬১. If x/y = 1/3, then the value of (x² + y²)/(x² − y²) is- (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, সাধারণ) (২০২৩)
- ক-10/9
- খ5/4
- গ-5/3
- ঘ-5/4
সঠিক উত্তর: ঘ. -5/4
অনুপাত দেওয়া থাকলে সবচেয়ে সহজ উপায় হলো অনুপাত অনুযায়ী মান বসিয়ে দেওয়া। x ভাগ y সমান ১ ভাগ ৩, তাই x সমান ১ আর y সমান ৩ ধরে নিলেই চলে, কারণ রাশিটা সমমাত্রিক, অনুপাতই উত্তর ঠিক করে।
লব: x বর্গ যোগ y বর্গ, অর্থাৎ ১ যোগ ৯ সমান ১০। হর: x বর্গ বিয়োগ y বর্গ, অর্থাৎ ১ বিয়োগ ৯ সমান ঋণাত্মক ৮।
১০ কে ঋণাত্মক ৮ দিয়ে ভাগ করলে হয় ঋণাত্মক ৫ ভাগ ৪।
ফাঁদ দুটি: চিহ্ন ভুলে ধনাত্মক ৫ ভাগ ৪ লেখা, অথবা বর্গ না করে সরাসরি x আর y বসানো। x ছোট আর y বড়, তাই হর ঋণাত্মক হবেই।
মনে রাখুন: লব-হর y² দিয়ে ভাগ: (k² + ১)/(k² − ১), k = ১/৩ ⇒ (১০/৯)/(−৮/৯) = −৫/৪।
২৬২. What is the total sum of all the interior angles of a parallelogram? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, সাধারণ) (২০২৩)
- ক180°
- খ240°
- গ360°
- ঘ540°
সঠিক উত্তর: গ. 360°
যেকোনো বহুভুজের অন্তঃকোণের সমষ্টি হলো বাহুর সংখ্যা থেকে ২ বাদ দিয়ে ১৮০ ডিগ্রি দিয়ে গুণ। সামান্তরিকের বাহু ৪টি, তাই ৪ থেকে ২ বাদ দিলে ২, আর ২ গুণ ১৮০ সমান ৩৬০ ডিগ্রি।
কেন এমন? চতুর্ভুজের যেকোনো একটি কর্ণ টানলে এটি দুটি ত্রিভুজে ভাগ হয়। প্রতিটি ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি, তাই মোট ৩৬০ ডিগ্রি।
সামান্তরিক, আয়ত, বর্গ, রম্বস, ট্রাপিজিয়াম, সব চতুর্ভুজেই এই সমষ্টি ৩৬০ ডিগ্রি। ১৮০ ডিগ্রি হলো ত্রিভুজের, আর ৫৪০ ডিগ্রি পঞ্চভুজের।
মনে রাখুন: প্রতিটি বাড়তি বাহু ১৮০° যোগ করে: ত্রিভুজ ১৮০, চতুর্ভুজ ৩৬০, পঞ্চভুজ ৫৪০।
২৬৩. The diameter of the driving wheel of a bus is 140 cm. How many revolutions per minute must the wheel make in order to keep a speed of 66 km per hour? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, সাধারণ) (২০২৩)
- ক200
- খ250
- গ300
- ঘ350
সঠিক উত্তর: খ. 250
চাকা একবার ঘুরলে বাস চাকার পরিধির সমান দূরত্ব এগোয়। তাই প্রতি মিনিটে কত দূর যায়, তাকে পরিধি দিয়ে ভাগ করলেই প্রতি মিনিটে কতবার ঘোরে তা পাওয়া যায়।
পরিধি হলো পাই গুণ ব্যাস। পাই সমান ২২ ভাগ ৭ ধরলে ২২ ভাগ ৭ গুণ ১৪০ সমান ৪৪০ সেন্টিমিটার।
গতি ঘণ্টায় ৬৬ কিলোমিটার, মানে মিনিটে ১ হাজার ১০০ মিটার, বা ১ লাখ ১০ হাজার সেন্টিমিটার। একে ৪৪০ দিয়ে ভাগ করলে ২৫০। তাই চাকা মিনিটে ২৫০ বার ঘুরবে।
ভুল হয় সাধারণত একক মেলাতে: কিলোমিটারকে সেন্টিমিটারে আর ঘণ্টাকে মিনিটে নেওয়া দুটোই করতে হবে, আর ব্যাস নয়, পরিধি দিয়ে ভাগ করতে হবে।
মনে রাখুন: ১ km/h = ১০০০০০/৬০ cm/min; ৬৬ × ১০০০০০ ÷ (৬০ × ৪৪০) = ২৫০।
২৬৪. The perimeter of a rectangle is 20 cm. If the length of the rectangle is 6 cm, then its breadth will be. (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, সাধারণ) (২০২৩)
- ক4 cm
- খ6 cm
- গ10 cm
- ঘ14 cm
সঠিক উত্তর: ক. 4 cm
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা হলো দৈর্ঘ্য আর প্রস্থের যোগফলের দ্বিগুণ। পরিসীমা ২০ সেন্টিমিটার হলে দৈর্ঘ্য যোগ প্রস্থ হবে এর অর্ধেক, ১০ সেন্টিমিটার।
দৈর্ঘ্য ৬ সেন্টিমিটার, তাই প্রস্থ ১০ বিয়োগ ৬, অর্থাৎ ৪ সেন্টিমিটার।
ফাঁদ হলো পরিসীমা থেকে সরাসরি দৈর্ঘ্য বাদ দেওয়া, তাতে আসে ১৪; অথবা ২ দিয়ে ভাগ না করে ২০ বিয়োগ ১২ ধরে ৮ বের করা। মনে রাখবেন, পরিসীমায় দৈর্ঘ্য আর প্রস্থ দুবার করে থাকে।
মনে রাখুন: প্রস্থ = পরিসীমা ÷ ২ − দৈর্ঘ্য = ১০ − ৬ = ৪।
২৬৫. A man needs money for 120 days. He asked the banker for a loan and the banker charged Tk. 360 @ 6% per annum. What is the amount of loan? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, সাধারণ) (২০২৩)
- কTk. 15000
- খTk. 16000
- গTk. 18000
- ঘNone of these
সঠিক উত্তর: গ. Tk. 18000
সরল মুনাফার সূত্র: মুনাফা সমান আসল গুণ হার গুণ সময়। এখানে সময় দিনে দেওয়া, তাই একে বছরে নিতে হবে। ব্যাংকারের হিসাবে প্রায়ই বছরকে ৩৬০ দিন ধরা হয়, একে banker's year বা ordinary interest বলে।
৩৬০ দিনের বছরে ১২০ দিন মানে ১ ভাগ ৩ বছর। তাহলে মুনাফা সমান আসল গুণ ৬ শতাংশ গুণ ১ ভাগ ৩, অর্থাৎ আসলের ২ শতাংশ।
আসলের ২ শতাংশ যদি ৩৬০ টাকা হয়, তবে আসল হলো ৩৬০ গুণ ৫০, অর্থাৎ ১৮ হাজার টাকা।
৩৬৫ দিনের বছর ধরলে আসল হয় ১৮ হাজার ২৫০ টাকা, যা অপশনে নেই। তাই অনেকে None of these বেছে নেন; কিন্তু প্রশ্নে banker শব্দটা ইঙ্গিত দেয় ৩৬০ দিনের ব্যাংকিং বছর।
মনে রাখুন: P = I × ১০০ × ৩৬০ ÷ (r × দিন) = ৩৬০ × ১০০ × ৩৬০ ÷ (৬ × ১২০) = ১৮,০০০।
২৬৬. The average monthly income of P and Q is Tk.5050. The average monthly income of Q and R is Tk.6250 and the average monthly income of P and R is Tk.5200. Calculate the monthly income of P. (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, সাধারণ) (২০২৩)
- কTk.4000
- খTk.6100
- গTk.6400
- ঘTk. 16500
সঠিক উত্তর: ক. Tk.4000
দুজন করে গড় দেওয়া থাকলে আগে প্রতিটি জোড়ার মোট বের করি। P আর Q মিলে ১০ হাজার ১০০, Q আর R মিলে ১২ হাজার ৫০০, P আর R মিলে ১০ হাজার ৪০০ টাকা।
তিনটি যোগ করলে প্রত্যেকে দুবার করে আসে: মোট ৩৩ হাজার। তাই P, Q, R তিনজনের মোট আয় এর অর্ধেক, ১৬ হাজার ৫০০ টাকা।
P-এর আয় পেতে তিনজনের মোট থেকে Q আর R-এর মোট বাদ দিই: ১৬ হাজার ৫০০ বিয়োগ ১২ হাজার ৫০০ সমান ৪ হাজার টাকা।
ফাঁদ হলো ১৬ হাজার ৫০০ কেই উত্তর ধরা; এটা তিনজনের মোট আয়, P-এর একার নয়।
মনে রাখুন: P = (P+Q) + (P+R) − (Q+R) এর অর্ধেক = (১০,১০০ + ১০,৪০০ − ১২,৫০০) ÷ ২ = ৪,০০০।
২৬৭. The present ratio of students to teachers at a certain school is 30 to 1. If the number of students were to increase by 50 and that of teachers were to increase by 5, the ratio of students to teachers would then be 25 to 1. What is the present number of teachers? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, সাধারণ) (২০২৩)
- ক8
- খ10
- গ12
- ঘ15
সঠিক উত্তর: ঘ. 15
অনুপাত ৩০ অনুপাত ১ মানে শিক্ষক যদি T জন হন, ছাত্র ৩০ গুণ T জন। পরিবর্তনের পর ছাত্র হয় ৩০T যোগ ৫০, শিক্ষক T যোগ ৫, আর অনুপাত দাঁড়ায় ২৫ অনুপাত ১।
তাই ৩০T যোগ ৫০ সমান ২৫ গুণ, T যোগ ৫। ডান দিক খুললে ২৫T যোগ ১২৫।
দুই দিক মেলালে ৫T সমান ৭৫, অর্থাৎ T সমান ১৫। এখন শিক্ষক ১৫ জন, ছাত্র ৪৫০ জন। যাচাই: ৫০০ জন ছাত্র আর ২০ জন শিক্ষক, অনুপাত ২৫ অনুপাত ১।
অপশন বসিয়ে যাচাই করাও দ্রুত পথ: যে সংখ্যায় ৩০ গুণ যোগ ৫০, আর সংখ্যা যোগ ৫ এর ২৫ গুণ মেলে, সেটাই উত্তর।
মনে রাখুন: অপশন যাচাই: T = ১৫ ⇒ ৪৫০ + ৫০ = ৫০০, ১৫ + ৫ = ২০, ৫০০/২০ = ২৫।
২৬৮. A worker was hired for 7 days. Each day, he was paid Tk. 10 more than what he was paid for the previous day of work. The total amount he was paid in the first 4 days of work equaled the total amount he was paid in the last 3 days. What was his starting pay? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, সাধারণ) (২০২৩)
- কTk. 90
- খTk.138
- গTk. 150
- ঘTk. 160
সঠিক উত্তর: ক. Tk. 90
প্রথম দিনের মজুরি a টাকা ধরি। প্রতিদিন ১০ টাকা করে বাড়ে, তাই সাত দিনের মজুরি a, a যোগ ১০, a যোগ ২০, এভাবে সপ্তম দিনে a যোগ ৬০।
প্রথম ৪ দিনের মোট: ৪a যোগ ০, ১০, ২০, ৩০ মিলিয়ে ৬০, অর্থাৎ ৪a যোগ ৬০। শেষ ৩ দিনের মোট: ৩a যোগ ৪০, ৫০, ৬০ মিলিয়ে ১৫০, অর্থাৎ ৩a যোগ ১৫০।
দুটো সমান ধরলে ৪a যোগ ৬০ সমান ৩a যোগ ১৫০, তাই a সমান ৯০। প্রথম দিনের মজুরি ৯০ টাকা।
যাচাই: প্রথম ৪ দিন ৯০, ১০০, ১১০, ১২০, মোট ৪২০। শেষ ৩ দিন ১৩০, ১৪০, ১৫০, মোটও ৪২০। মিলে গেছে।
মনে রাখুন: প্রথম ৪ দিনে একটা a বেশি, শেষ ৩ দিনে বাড়তি টাকা ১৫০ − ৬০ = ৯০; তাই a = ৯০।
২৬৯. A man sells 2 commodities for Tk. 4000 each, neither losing nor gaining in the deal. If he sold one commodity at a gain 25% then what is the cost price of another commodity? (এক ব্যক্তি দুটি পণ্য প্রতিটি ৪,০০০ টাকায় বিক্রি করেন, এতে তাঁর কোনো লাভ বা ক্ষতি কিছুই হয় না। তিনি যদি একটি পণ্য ২৫% লাভে বিক্রি করে থাকেন, তবে অন্য পণ্যটির ক্রয়মূল্য কত?) (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, সাধারণ) (২০২৩)
- কTk. 3200
- খTk. 4800
- গTk. 4000
- ঘTk. 3600
সঠিক উত্তর: খ. Tk. 4800
দুটি পণ্যই ৪ হাজার টাকা করে বিক্রি, মোট বিক্রয়মূল্য ৮ হাজার টাকা। লাভ বা ক্ষতি কিছুই হয়নি, তাই দুটির মোট ক্রয়মূল্যও ৮ হাজার টাকা।
প্রথম পণ্যে ২৫ শতাংশ লাভ মানে ক্রয়মূল্যের ১২৫ শতাংশ হলো ৪ হাজার টাকা। তাই ক্রয়মূল্য ৪ হাজারকে ১ দশমিক ২৫ দিয়ে ভাগ করে ৩ হাজার ২০০ টাকা।
অন্য পণ্যের ক্রয়মূল্য তাহলে ৮ হাজার বিয়োগ ৩ হাজার ২০০, অর্থাৎ ৪ হাজার ৮০০ টাকা। এই পণ্যে আসলে ৮০০ টাকা ক্ষতি হয়েছে, যা প্রথম পণ্যের ৮০০ টাকা লাভ পুষিয়ে দিয়েছে।
ফাঁদ হলো ৩ হাজার ২০০ টাকাকে উত্তর ধরা; সেটা প্রথম পণ্যের ক্রয়মূল্য। আরেকটা ভুল হলো ৪ হাজারের ২৫ শতাংশ, মানে ১ হাজার বাদ দিয়ে ৩ হাজার ধরা; লাভের হার বিক্রয়মূল্যের উপর নয়, ক্রয়মূল্যের উপর।
মনে রাখুন: লাভ-ক্ষতি শূন্য হলে মোট ক্রয় = মোট বিক্রয়; অন্যটির ক্রয় = ৮,০০০ − ৪,০০০ × ১০০/১২৫।
২৭০. Find the number of zeroes in 10 x 20 x 30x……x 1000. (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, সাধারণ) (২০২৩)
- ক100
- খ124
- গ130
- ঘ154
সঠিক উত্তর: খ. 124
গুণফলের শেষে কয়টি শূন্য, তা নির্ভর করে কয়টি ১০ তৈরি হয়, মানে কয়টি ২ আর ৫ জোড়া বাঁধে। এখানে প্রতিটি পদ ১০ এর গুণিতক, তাই আগে প্রতিটি থেকে একটা ১০ আলাদা করি।
১০, ২০, ৩০ থেকে ১০০০ পর্যন্ত মোট ১০০টি পদ। প্রতিটিকে ১০ গুণ k লেখা যায়, k হলো ১ থেকে ১০০। তাই গুণফল সমান ১০ এর ঘাত ১০০ গুণ ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সব সংখ্যার গুণফল, অর্থাৎ ১০০ ফ্যাক্টরিয়াল।
১০ এর ঘাত ১০০ থেকে আসে ১০০টি শূন্য। ১০০ ফ্যাক্টরিয়ালে শূন্য গুনতে ৫-এর গুণিতক গুনি: ১০০ ভাগ ৫ সমান ২০, আর ১০০ ভাগ ২৫ সমান ৪; মোট ২৪টি। সব মিলিয়ে ১০০ যোগ ২৪ সমান ১২৪টি শূন্য।
ফাঁদ হলো শুধু ১০০টি শূন্য গোনা, অর্থাৎ ১০০ ফ্যাক্টরিয়ালের ভেতরের শূন্যগুলো ভুলে যাওয়া। আবার ২৫, ৫০, ৭৫, ১০০ থেকে আসা বাড়তি ৫ বাদ দিলে ২০ আসে, যা ভুল।
মনে রাখুন: n! এ শূন্য = n/৫ + n/২৫ + n/১২৫ … (পূর্ণসংখ্যা অংশ)। এখানে ১০০ + ১০০! এর ২৪ = ১২৪।
২৭১. The total number obtained by a student in Physics, Chemistry and Mathematics together is 120 more than the marks obtained by him in Chemistry. What is the average mark obtained by him in Physics and Mathematics together? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, সাধারণ) (২০২৩)
- ক40
- খ60
- গ120
- ঘCannot be determined
সঠিক উত্তর: খ. 60
ধরি Physics, Chemistry আর Mathematics এর নম্বর P, C আর M। তিন বিষয়ের মোট, Chemistry-এর চেয়ে ১২০ বেশি; অর্থাৎ P যোগ C যোগ M সমান C যোগ ১২০।
দুই পাশ থেকে C বাদ দিলে থাকে P যোগ M সমান ১২০। অর্থাৎ Physics আর Mathematics মিলে ১২০ নম্বর।
দুই বিষয়ের গড় তাই ১২০ ভাগ ২, অর্থাৎ ৬০।
ফাঁদ হলো Chemistry-এর নম্বর জানা নেই বলে Cannot be determined বেছে নেওয়া। কিন্তু C দুই পাশে থাকায় কেটে যায়, তার মান লাগে না। আরেকটা ভুল হলো ১২০ কেই গড় ধরা।
মনে রাখুন: ‘মোট, একটি বিষয়ের চেয়ে x বেশি’ মানে বাকি বিষয়গুলোর যোগফল x।
২৭২. In a factory, there are workers, executives and clerks. 58% of the employees are workers, 660 are executives and the remaining 264 employees are clerks. How many employees are there in the factory? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, সাধারণ) (২০২৩)
- ক1500
- খ2000
- গ2200
- ঘ2500
সঠিক উত্তর: গ. 2200
কর্মীরা মোটের ৫৮ শতাংশ, তাই বাকি দুই দল, executive আর clerk মিলে মোটের ৪২ শতাংশ।
executive ৬৬০ জন আর clerk ২৬৪ জন, মোট ৯২৪ জন। অর্থাৎ মোটের ৪২ শতাংশ সমান ৯২৪।
মোট কর্মচারী তাই ৯২৪ কে ৪২ দিয়ে ভাগ করে ১০০ দিয়ে গুণ, অর্থাৎ ২ হাজার ২০০ জন। যাচাই: ২ হাজার ২০০ জনের ৫৮ শতাংশ ১ হাজার ২৭৬ জন কর্মী; সঙ্গে ৯২৪ যোগ করলে ২ হাজার ২০০।
ফাঁদ হলো ৯২৪ কে ৫৮ শতাংশের সঙ্গে মেলানো; বাকি অংশ ৪২ শতাংশ, ৫৮ নয়।
মনে রাখুন: অবশিষ্ট শতাংশ দিয়ে অবশিষ্ট সংখ্যা ভাগ: ৯২৪ ÷ ০.৪২ = ২,২০০।
২৭৩. Salam earns Tk. 8.50 per hour on days other than Friday and twice the rate on Friday. Last week he worked a total of 50 hours including 8 hours on Friday. What is his earning for the week? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, সাধারণ) (২০২৩)
- কTk. 340
- খTk. 398
- গTk. 408
- ঘTk. 493
সঠিক উত্তর: ঘ. Tk. 493
সালাম শুক্রবার ছাড়া অন্য দিনে ঘণ্টায় সাড়ে ৮ টাকা পান, আর শুক্রবার তার দ্বিগুণ, ঘণ্টায় ১৭ টাকা। মোট ৫০ ঘণ্টার মধ্যে ৮ ঘণ্টা শুক্রবারে, তাই বাকি দিনগুলোতে ৪২ ঘণ্টা।
সাধারণ দিনে আয়: ৪২ গুণ সাড়ে ৮, অর্থাৎ ৩৫৭ টাকা। শুক্রবারে আয়: ৮ গুণ ১৭, অর্থাৎ ১৩৬ টাকা।
সপ্তাহের মোট আয় ৩৫৭ যোগ ১৩৬, অর্থাৎ ৪৯৩ টাকা।
ফাঁদ হলো ৫০ ঘণ্টাকেই সাধারণ হারে গুণ করে আবার শুক্রবারের দ্বিগুণ যোগ করা, অথবা পুরো ৫০ ঘণ্টা সাড়ে ৮ টাকায় গুণ করে ৪২৫ টাকা বের করা। শুক্রবারের ঘণ্টা আগে আলাদা করতে হবে।
মনে রাখুন: ৫০ × ৮.৫ + ৮ × ৮.৫ (শুক্রবারের বাড়তি) = ৪২৫ + ৬৮ = ৪৯৩।
২৭৪. A train 240 m long passes a pole in 24 seconds. How long will it take to pass a platform 650 m long? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, সাধারণ) (২০২৩)
- ক80 Sec
- খ89 Sec
- গ90 Sec
- ঘ95 Sec
সঠিক উত্তর: খ. 89 Sec
খুঁটি বা পোল পার হতে ট্রেনকে শুধু নিজের দৈর্ঘ্য পার করতে হয়। ২৪০ মিটার ২৪ সেকেন্ডে, তাই গতি সেকেন্ডে ১০ মিটার।
প্ল্যাটফর্ম পার হতে ট্রেনকে নিজের দৈর্ঘ্য আর প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য দুটোই পার করতে হয়, কারণ ইঞ্জিন প্ল্যাটফর্মে ঢোকা থেকে শেষ বগি বেরিয়ে যাওয়া পর্যন্ত সময় গোনা হয়। মোট দূরত্ব ২৪০ যোগ ৬৫০, অর্থাৎ ৮৯০ মিটার।
সময় হলো ৮৯০ ভাগ ১০, অর্থাৎ ৮৯ সেকেন্ড।
ফাঁদ হলো শুধু প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য ধরা; তাতে আসে ৬৫ সেকেন্ড। অথবা আন্দাজে ৯০ সেকেন্ডের মতো গোল সংখ্যা বেছে নেওয়া।
মনে রাখুন: সময় = (ট্রেন + প্ল্যাটফর্ম) ÷ গতি = ৮৯০ ÷ ১০ = ৮৯ সেকেন্ড।
২৭৫. 2¹² + 2¹² + 2¹² + 2¹² = ? (বাংলাদেশ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২২)
- ক2⁸
- খ2¹⁴
- গ2¹⁶
- ঘ2⁴⁸
সঠিক উত্তর: খ. 2¹⁴
প্রশ্নে ঘাতগুলো ছাপার সময় হারিয়ে গেছে; আসলে প্রশ্নটি হলো ২ এর ঘাত ১২, এমন চারটি পদের যোগফল কত। এটি সূচকের নিয়মের প্রশ্ন।
একই জিনিস চারবার যোগ করা মানে সেটিকে ৪ দিয়ে গুণ করা। তাই যোগফল হলো ৪ গুণ ২ এর ঘাত ১২।
এখন ৪ কে লিখি ২ এর ঘাত ২। একই ভিত্তির ঘাত গুণ করলে সূচকগুলো যোগ হয়: ২ যোগ ১২ সমান ১৪। তাই উত্তর ২ এর ঘাত ১৪।
ফাঁদ হলো ২ এর ঘাত ৪৮: অনেকে চারটি ১২ যোগ করে ৪৮ বানিয়ে ফেলেন। কিন্তু যোগ করলে সূচক যোগ হয় না; সূচক যোগ হয় কেবল গুণ করলে।
মনে রাখুন: n টি একই পদ aᵐ যোগ করলে n × aᵐ; n যদি a এর ঘাত হয়, সূচক যোগ করুন। যেমন ৮ টি ২¹⁰ যোগ = ২¹³।
২৭৬. Which of the following is not equal to 0.0675? (বাংলাদেশ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২২)
- ক67.5 × 10⁻³
- খ6.75 × 10⁻²
- গ0.675 × 10⁻¹
- ঘ0.00675 × 10²
সঠিক উত্তর: ঘ. 0.00675 × 10²
প্রশ্নটি দশমিক বিন্দু সরানোর নিয়ম যাচাই করে। ১০ এর ঋণাত্মক ঘাত দিয়ে গুণ করলে দশমিক বিন্দু বাঁয়ে সরে, ধনাত্মক ঘাত দিয়ে গুণ করলে ডানে সরে; যত ঘাত, তত ঘর।
৬৭ দশমিক ৫ কে ১০ এর ঘাত মাইনাস ৩ দিয়ে গুণ করলে বিন্দু তিন ঘর বাঁয়ে যায়: শূন্য দশমিক শূন্য ছয় সাত পাঁচ। ৬ দশমিক ৭৫ কে ১০ এর ঘাত মাইনাস ২ দিয়ে গুণ করলে দুই ঘর বাঁয়ে: একই সংখ্যা। শূন্য দশমিক ছয় সাত পাঁচ কে ১০ এর ঘাত মাইনাস ১ দিয়ে গুণ করলেও একই।
কিন্তু শূন্য দশমিক শূন্য শূন্য ছয় সাত পাঁচ কে ১০ এর ঘাত ২ দিয়ে গুণ করলে বিন্দু দুই ঘর ডানে যায়: শূন্য দশমিক ছয় সাত পাঁচ। এটি প্রদত্ত সংখ্যার ১০ গুণ, তাই সমান নয়।
দ্রুত মেলানোর উপায়: প্রতিটিতে বিন্দু কোথায় যাবে শুধু সেটা গুনুন। ফাঁদ হলো সব অপশনে একই অঙ্ক ছয় সাত পাঁচ দেখে সবগুলোকে সমান ভাবা; আসল পার্থক্য সূচকের চিহ্নে।
মনে রাখুন: ০.০৬৭৫ এর আগে দশমিকের পর একটি শূন্য। ১০ এর ধনাত্মক ঘাত দিয়ে গুণ করে এর সমান পেতে হলে মূল সংখ্যা আরও ছোট হতে হবে; এখানে ১০² দিলে বড় হয়ে যায়।
২৭৭. If (3x+2y)=8 and (2x-2y)=2, then find the value of (4-3x) (বাংলাদেশ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২২)
- ক1.5
- খ3
- গ-2
- ঘ-2.5
সঠিক উত্তর: গ. -2
এটি দুই চলকের সরল সমীকরণ। লক্ষ করুন, দুই সমীকরণে y এর সহগ ধনাত্মক ২ ও ঋণাত্মক ২; তাই দুটি যোগ করলেই y বাদ পড়ে যায়।
যোগ করলে ৩x যোগ ২x সমান ৫x, আর ডানে ৮ যোগ ২ সমান ১০। তাই ৫x সমান ১০, অর্থাৎ x সমান ২।
প্রশ্ন y চায়নি, চেয়েছে ৪ বিয়োগ ৩x। x এর মান বসালে ৪ বিয়োগ ৬, মানে ঋণাত্মক ২।
ফাঁদ হলো ধনাত্মক মান বেছে নেওয়া বা y বের করে থেমে যাওয়া। প্রশ্নের শেষ অংশ, অর্থাৎ কোন রাশির মান চেয়েছে, সেটা আবার পড়ে নিন।
মনে রাখুন: সহগ সমান কিন্তু চিহ্ন উল্টো হলে সরাসরি যোগ করুন; একটি চলক এক লাইনেই বাদ পড়ে।
২৭৮. In a group of buffaloes and ducks, the number of legs is 24 more than twice the number of heads. What is the number of buffaloes? (বাংলাদেশ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২২)
- ক12
- খ10
- গ8
- ঘ6
সঠিক উত্তর: ক. 12
এটি মাথা ও পায়ের প্রশ্ন। প্রতিটি প্রাণীর মাথা একটি; মহিষের পা ৪টি, হাঁসের পা ২টি।
মাথার দ্বিগুণ মানে প্রত্যেক প্রাণীকে ২টি করে পা দেওয়া। হাঁসের ক্ষেত্রে এতে সব পা গোনা হয়ে যায়, কিন্তু প্রতিটি মহিষের ২টি পা বাকি থাকে।
তাই বাড়তি ২৪টি পা আসছে শুধু মহিষ থেকে, প্রতিটি থেকে ২টি করে। ২৪ ভাগ ২ সমান ১২, অর্থাৎ মহিষ ১২টি।
লক্ষ করুন, হাঁস কয়টি তা জানার দরকারই নেই। ফাঁদ হলো ২৪ কে ৪ দিয়ে ভাগ করে ৬ বলা; বাড়তি পা মহিষপ্রতি ২টি, ৪টি নয়।
মনে রাখুন: বাড়তি পা ÷ (৪ − ২) = চার পেয়ে প্রাণীর সংখ্যা।
২৭৯. An employee may claim Tk. 7 for each kilometer when he travels by taxi and Tk. 6 for each kilometer when he drives his own car. If in one week he claimed Tk. 900 for traveling 135 km, how many kilometers did he travel by taxi? (বাংলাদেশ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২২)
- ক90 km
- খ100 km
- গ110 km
- ঘ120 km
সঠিক উত্তর: ক. 90 km
এটি মিশ্রণ ধরনের প্রশ্ন: মোট দূরত্ব ১৩৫ কিলোমিটার, দুই হারে দাবি, মোট দাবি ৯০০ টাকা।
ধরি সব পথই নিজের গাড়িতে গেছেন। তাহলে দাবি হতো ১৩৫ গুণ ৬, মানে ৮১০ টাকা। কিন্তু দাবি করেছেন ৯০০ টাকা, অর্থাৎ ৯০ টাকা বেশি।
ট্যাক্সিতে প্রতি কিলোমিটারে ১ টাকা বেশি পাওয়া যায়। তাই ৯০ টাকা বেশি মানে ৯০ কিলোমিটার ট্যাক্সিতে গেছেন, বাকি ৪৫ কিলোমিটার নিজের গাড়িতে।
যাচাই: ৯০ গুণ ৭ সমান ৬৩০, ৪৫ গুণ ৬ সমান ২৭০, মোট ৯০০। ফাঁদ হলো নিজের গাড়ির দূরত্ব ৪৫ বা অন্য অপশন বেছে নেওয়া।
মনে রাখুন: (মোট দাবি − মোট দূরত্ব × কম হার) ÷ হারের পার্থক্য = বেশি হারের দূরত্ব: (৯০০ − ৮১০) ÷ ১ = ৯০।
২৮০. A school has a total of 90 students. There are 30 students taking Physics, 25 taking English, and 13 taking both. Approximately what percentage of the students is taking either Physics or English? (বাংলাদেশ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২২)
- ক32%
- খ36%
- গ47%
- ঘ51%
সঠিক উত্তর: গ. 47%
প্রশ্নটি দুই সেটের সংযোগ নিয়ে: Physics অথবা English, অন্তত একটি নিচ্ছে এমন ছাত্র কতজন।
দুটি দল যোগ করলে যারা দুটোই নিচ্ছে তারা দুবার গোনা হয়। তাই ৩০ যোগ ২৫ থেকে উভয় বিষয়ের ১৩ জন একবার বাদ দিতে হবে: ৪২ জন।
মোট ছাত্র ৯০। ৪২ কে ৯০ দিয়ে ভাগ করে ১০০ দিয়ে গুণ করলে হয় প্রায় ৪৬ দশমিক ৬৭ শতাংশ, যা কাছাকাছি ৪৭ শতাংশ।
ফাঁদ হলো ১৩ বাদ না দিয়ে ৫৫ জন ধরা, তাতে আসে প্রায় ৬১ শতাংশ; অথবা শুধু একটি বিষয়ের হিসাব করা। Physics একা নিলে ৩০ ভাগ ৯০ মানে প্রায় ৩৩ শতাংশ।
মনে রাখুন: অথবা মানে সংযোগ: যোগ করো, উভয়টা একবার বাদ দাও। তারপর মোট দিয়ে ভাগ।