গাণিতিক যুক্তি · পাতা ১২

⚡ এই বিষয়ে কুইক টেস্ট

পাতা ১২/৫৩ · প্রশ্ন ২২১–২৪০সব উত্তর দেখান

২২১. If the radius of a circle is reduced by 40%, its circumference is reduced by- (জনতা ব্যাংক: অফিসার, রুরাল ক্রেডিট) (২০২৩)
1. ক60%
2. খ40%
3. গ35%
4. ঘ30%
সঠিক উত্তর: খ. 40%
বৃত্তের পরিধি হলো ২ গুণ পাই গুণ ব্যাসার্ধ। অর্থাৎ পরিধি ব্যাসার্ধের সরল সমানুপাতিক; ব্যাসার্ধ যত শতাংশ কমে, পরিধিও ঠিক তত শতাংশ কমে।
ব্যাসার্ধ ১০০ থেকে ৪০ শতাংশ কমে ৬০ হলে পরিধি ২০০ পাই থেকে ১২০ পাই হয়। কমেছে ৮০ পাই, যা ২০০ পাই এর ৪০ শতাংশ।
ক্ষেত্রফলের ক্ষেত্রে ব্যাপারটা ভিন্ন, কারণ ক্ষেত্রফল ব্যাসার্ধের বর্গের সমানুপাতিক। তখন ৪০ শতাংশ কমালে ক্ষেত্রফল কমত ৬৪ শতাংশ।
ফাঁদ হলো নতুন পরিধি ৬০ শতাংশ দেখে সেটাকেই কমার পরিমাণ ধরা। আবার ক্ষেত্রফলের নিয়ম পরিধিতে খাটালে ৬৪ শতাংশ আসে, যা অপশনেই নেই।
মনে রাখুন: দৈর্ঘ্য-জাতীয় মাপ (পরিধি, পরিসীমা) একই হারে বদলায়; ক্ষেত্রফল বর্গের হারে।
পুরো পাতা ›
২২২. The complement of an angle exceeds the angle by 60°. Then the angle is equal to - (জনতা ব্যাংক: অফিসার, রুরাল ক্রেডিট) (২০২৩)
1. ক15°
2. খ25°
3. গ30°
4. ঘ35°
সঠিক উত্তর: ক. 15°
দুটি কোণের যোগফল ৯০ ডিগ্রি হলে তারা পরস্পরের পূরক কোণ। কোণটি x হলে তার পূরক ৯০ বিয়োগ x।
প্রশ্ন বলছে পূরক কোণটি মূল কোণের চেয়ে ৬০ ডিগ্রি বড়। তাই ৯০ বিয়োগ x বিয়োগ x সমান ৬০, মানে ৯০ বিয়োগ ২x সমান ৬০।
তাহলে ২x সমান ৩০, আর x সমান ১৫ ডিগ্রি। যাচাই: পূরক ৭৫ ডিগ্রি, যা ১৫ এর চেয়ে ৬০ বেশি।
ফাঁদ হলো ৩০ ডিগ্রি: ২x এর মান দেখে থেমে গেলে এই ভুল হয়। আর পূরক কে সম্পূরক, মানে ১৮০ ডিগ্রি, ধরলে উত্তর আসত ৬০।
মনে রাখুন: দুটি সংখ্যার যোগফল ৯০ আর অন্তর ৬০ হলে ছোটটি (৯০ − ৬০) ÷ ২ = ১৫।
পুরো পাতা ›
২২৩. If in ΔABC, AB = 6cm, BC = 12cm and CA = 6√3cm, then the measure of ∠A is (জনতা ব্যাংক: অফিসার, রুরাল ক্রেডিট) (২০২৩)
1. ক30°
2. খ45°
3. গ60°
4. ঘ90°
সঠিক উত্তর: ঘ. 90°
তিন বাহুর দৈর্ঘ্য জানা থাকলে আগে দেখি পিথাগোরাসের সম্পর্ক খাটে কি না। AB ৬, CA ৬ বর্গমূল ৩, আর BC ১২, যা সবচেয়ে বড় বাহু।
AB এর বর্গ ৩৬, CA এর বর্গ ৩৬ গুণ ৩ মানে ১০৮। যোগফল ১৪৪, যা BC এর বর্গ ১৪৪ এর সমান। তাই ত্রিভুজটি সমকোণী।
সমকোণটি থাকে বৃহত্তম বাহুর বিপরীতে। BC এর বিপরীত শীর্ষ হলো A, তাই কোণ A সমান ৯০ ডিগ্রি।
এটি আসলে ৩০, ৬০, ৯০ ত্রিভুজ, যার বাহুর অনুপাত ১ অনুপাত বর্গমূল ৩ অনুপাত ২। তাই ৩০ বা ৬০ ডিগ্রিও এর কোণ, কিন্তু সেগুলো B আর C তে; A তে নয়।
মনে রাখুন: বাহু ৬ : ৬√৩ : ১২ = ১ : √৩ : ২, তাই ৩০-৬০-৯০ ত্রিভুজ; বৃহত্তম বাহুর বিপরীতে ৯০°।
পুরো পাতা ›
২২৪. If x + 1/x = 2, then x + 1/x is equal to (জনতা ব্যাংক: অফিসার, রুরাল ক্রেডিট) (২০২৩)
1. ক64
2. খ14
3. গ8
4. ঘ2
সঠিক উত্তর: ঘ. 2
প্রশ্নে চাওয়া রাশির ঘাত সম্ভবত ছাপায় হারিয়ে গেছে; তবে উত্তর তাতে বদলায় না। x যোগ ১ ভাগ x সমান ২ থেকে x এর মান বের করা যায়।
দুই দিক x দিয়ে গুণ করলে x এর বর্গ যোগ ১ সমান ২x, মানে x বিয়োগ ১ এর বর্গ সমান শূন্য। তাই x সমান ১।
x সমান ১ হলে x এর যেকোনো ঘাত ১, আর ১ ভাগ x এর যেকোনো ঘাতও ১। তাই x এর ঘাত n যোগ ১ ভাগ x এর ঘাত n সবসময় ২।
ফাঁদ হলো সূত্র খাটিয়ে বড় সংখ্যা বানানো। যেমন ঘনের সূত্রে ২ এর ঘন বিয়োগ ৩ গুণ ২ সমান ২-ই আসে; ৮ বা ৬৪ আসে সূত্রের শুধু প্রথম অংশ নিলে।
মনে রাখুন: x + ১/x = ২ মানেই x = ১; তখন x এর যেকোনো ঘাত যোগ তার উল্টো = ২।
পুরো পাতা ›
২২৫. An investor earns 3% return on (1/4)th of his capital, 5% on (2/3)rd and 11% on the reminder. What is the average rate of return he earns on his total capital? (জনতা ব্যাংক: অফিসার, রুরাল ক্রেডিট) (২০২৩)
1. ক5%
2. খ5.5%
3. গ10%
4. ঘ10.5%
সঠিক উত্তর: ক. 5%
এটি ভারযুক্ত গড়ের প্রশ্ন। মোট মূলধনের যে অংশে যে হারে আয়, সেই অংশ গুণ হার যোগ করলেই গড় হার আসে।
বাকি অংশ হলো ১ বিয়োগ ১ ভাগ ৪ বিয়োগ ২ ভাগ ৩, মানে ১ ভাগ ১২। সহজ করতে মূলধন ১২০০ টাকা ধরি: ৩০০ টাকায় ৩ শতাংশ, ৮০০ টাকায় ৫ শতাংশ, ১০০ টাকায় ১১ শতাংশ।
আয় হয় ৯ যোগ ৪০ যোগ ১১, মোট ৬০ টাকা। ১২০০ টাকায় ৬০ টাকা মানে ৫ শতাংশ।
ফাঁদ হলো তিনটি হার সাধারণ গড় করা, ৩ যোগ ৫ যোগ ১১ ভাগ ৩, প্রায় ৬ দশমিক ৩৩ শতাংশ; প্রতিটি হারের ওজন আলাদা।
মনে রাখুন: গড় হার = ৩ × ১/৪ + ৫ × ২/৩ + ১১ × ১/১২ = (৯ + ৪০ + ১১) ÷ ১২ = ৫%।
পুরো পাতা ›
২২৬. If x is an integer, then which of the following statements about x² − x − 1 is true? (জনতা ব্যাংক: অফিসার, রুরাল ক্রেডিট) (২০২৩)
1. কIt is always odd
2. খIt is always even.
3. গIt is always positive.
4. ঘIt is even when x is even and odd when x is odd
সঠিক উত্তর: ক. It is always odd
রাশিটিকে লিখি x গুণ x বিয়োগ ১, তারপর বিয়োগ ১। x আর x বিয়োগ ১ পরপর দুটি পূর্ণসংখ্যা।
পরপর দুটি পূর্ণসংখ্যার একটি অবশ্যই জোড়, তাই তাদের গুণফল সবসময় জোড়। জোড় থেকে ১ বিয়োগ করলে সবসময় বিজোড় হয়।
উদাহরণ: x সমান ০ হলে মান ঋণাত্মক ১, x সমান ১ হলেও ঋণাত্মক ১, x সমান ২ হলে ১, x সমান ৩ হলে ৫। সবই বিজোড়।
এই উদাহরণ থেকেই দেখা যায় রাশিটি সবসময় ধনাত্মক নয়, কারণ x সমান ০ বা ১ এ মান ঋণাত্মক। আর x জোড় বা বিজোড় যা-ই হোক, ফল বিজোড়।
মনে রাখুন: x(x − ১) সবসময় জোড়; তাই x² − x ± বিজোড় = বিজোড়।
পুরো পাতা ›
২২৭. x2y + xy2 এবং x2 + xy রাশিদ্বয়ের ল.সা.গু এবং গ.সা.গু এর গুণফল কত? (৪৫তম বিসিএস, ২০২৩)
1. কx2y2(x + y)
2. খxy(x2 + y2)
3. গx2y(x + y)2
4. ঘxy2(x2 + y)
সঠিক উত্তর: গ. x2y(x + y)2
প্রশ্নটা ল.সা.গু আর গ.সা.গু-এর একটা মৌলিক ধর্ম পরীক্ষা করছে: দুটি রাশির ল.সা.গু আর গ.সা.গু-এর গুণফল সবসময় রাশি দুটির গুণফলের সমান।
তাই আলাদা করে ল.সা.গু বা গ.সা.গু বের করার দরকারই নেই। প্রথম রাশি x বর্গ y যোগ x y বর্গ, উৎপাদকে ভাঙলে হয় xy গুণ x যোগ y। দ্বিতীয় রাশি x বর্গ যোগ xy, ভাঙলে হয় x গুণ x যোগ y।
এই দুটো গুণ করলে পাই x বর্গ y গুণ x যোগ y-এর বর্গ। যাচাই করতে চাইলে দেখুন, গ.সা.গু x গুণ x যোগ y, আর ল.সা.গু xy গুণ x যোগ y; এদের গুণফলও একই।
ফাঁদ হলো প্রথম অপশন, যেখানে x যোগ y মাত্র একবার আছে। দুই রাশিতেই x যোগ y উৎপাদক আছে, তাই গুণফলে সেটা দুবার আসবে।
মনে রাখুন: রাশি দুটিকে সরাসরি গুণ করুন; ল.সা.গু বা গ.সা.গু আলাদা বের করতে হবে না।
পুরো পাতা ›
২২৮. যদি x : y = 2 : 3 এবং y : z = 5 : 7 হয়, তবে x : y : z = ? (৪৫তম বিসিএস, ২০২৩)
1. ক6 : 9 : 14
2. খ10 : 15 : 21
3. গ2 : 5 : 7
4. ঘ3 : 5 : 7
সঠিক উত্তর: খ. 10 : 15 : 21
প্রশ্নটা দুটি অনুপাত জুড়ে একটি ধারাবাহিক অনুপাত বানানো যাচাই করছে। দুটো অনুপাতে মিল আছে শুধু y তে, তাই y এর মান দুই জায়গায় সমান করতে হবে।
প্রথম অনুপাতে y হলো ৩, দ্বিতীয়তে ৫। ৩ আর ৫ এর লসাগু ১৫। তাই প্রথম অনুপাতকে ৫ দিয়ে গুণ করে পাই ১০ অনুপাত ১৫, আর দ্বিতীয়টিকে ৩ দিয়ে গুণ করে পাই ১৫ অনুপাত ২১।
এখন y দুই জায়গাতেই ১৫, তাই x অনুপাত y অনুপাত z হলো ১০ অনুপাত ১৫ অনুপাত ২১।
সবচেয়ে বড় ফাঁদ হলো সংখ্যাগুলো পাশাপাশি বসিয়ে ২ অনুপাত ৫ অনুপাত ৭ লেখা; এতে y একবার ৩ আর একবার ৫ থেকে যায়।
মনে রাখুন: x:y:z = (2×5) : (3×5) : (3×7) = 10:15:21। প্রথমটির প্রথম দুই পদকে দ্বিতীয়টির প্রথম পদ দিয়ে, আর শেষ পদকে প্রথমটির দ্বিতীয় পদ দিয়ে গুণ।
পুরো পাতা ›
২২৯. জাহিদ সাহেবের বেতন 10% কমানোর পর হ্রাসকৃত বেতন 10% বাড়ানো হলে তার কতটুকু ক্ষতি হল? (৪৫তম বিসিএস, ২০২৩)
1. ক0%
2. খ1%
3. গ5%
4. ঘ10%
সঠিক উত্তর: খ. 1%
প্রশ্নটা পরপর দুটি শতকরা পরিবর্তন নিয়ে। মূল কথা: প্রতিটি শতকরা পরিবর্তন হয় তার ঠিক আগের মানের উপর, মূল মানের উপর নয়।
বেতন ১০০ টাকা ধরি। ১০ শতাংশ কমলে হয় ৯০ টাকা। এবার বৃদ্ধি হবে এই ৯০ টাকার উপর; ৯০ এর ১০ শতাংশ হলো ৯ টাকা, তাই নতুন বেতন ৯৯ টাকা।
শুরু ১০০, শেষে ৯৯; তাই ক্ষতি ১ টাকা, অর্থাৎ ১ শতাংশ।
সবচেয়ে বড় ফাঁদ হলো ১০ শতাংশ কমা আর ১০ শতাংশ বাড়াকে কাটাকাটি ভেবে শূন্য শতাংশ বলা। কমানো হয়েছে বড় ভিত্তি ১০০ থেকে, বাড়ানো হয়েছে ছোট ভিত্তি ৯০ থেকে, তাই পুরোটা ফেরত আসে না।
মনে রাখুন: x% কমে পরে x% বাড়লে (বা উল্টো) মোট ক্ষতি x² ÷ ১০০ শতাংশ: ১০² ÷ ১০০ = ১%।
পুরো পাতা ›
২৩০. (x + 5)2 = x2 + bx + c সমীকরণে b ও c এর মান কত হলে সমীকরণটি অভেদ হবে? (৪৫তম বিসিএস, ২০২৩)
1. ক3, 10
2. খ10, 15
3. গ15, 25
4. ঘ10, 25
সঠিক উত্তর: ঘ. 10, 25
অভেদ মানে এমন সমীকরণ যা এক্স-এর সব মানের জন্য সত্য। তাই দুই পাশের রাশিকে পুরোপুরি একই হতে হবে: এক্স স্কয়ারের সহগ, এক্স-এর সহগ আর ধ্রুবক পদ, প্রতিটা আলাদাভাবে মিলতে হবে।
বাম পাশ খুলি। এক্স যোগ ৫-এর বর্গ সমান এক্স স্কয়ার যোগ ২ গুণ ৫ গুণ এক্স যোগ ৫-এর বর্গ, অর্থাৎ এক্স স্কয়ার যোগ ১০ এক্স যোগ ২৫।
এবার ডান পাশের এক্স স্কয়ার যোগ বি এক্স যোগ সি-এর সাথে মেলাই। এক্স-এর সহগ মিলিয়ে বি সমান ১০, ধ্রুবক পদ মিলিয়ে সি সমান ২৫।
অনেকে মাঝের পদে ২ দিয়ে গুণ করতে ভুলে বি সমান ৫ ধরেন, বা ধ্রুবক পদে ৫-এর বর্গ ঠিকমতো না নিয়ে ভুল সংখ্যা লেখেন। মনে রাখুন, মাঝের পদ হলো ২ গুণ এক্স গুণ ৫, আর শেষ পদ ৫-এর বর্গ, মানে ২৫।
মনে রাখুন: (x + k)² = x² + bx + c অভেদ হলে সবসময় b = 2k, c = k²।
পুরো পাতা ›
২৩১. নিচের কোনটি সরলরেখার সমীকরণ? (৪৫তম বিসিএস, ২০২৩)
1. কx/y = y/2
2. খx2 + y = 1
3. গx/y = 1/2
4. ঘx = 1/y
সঠিক উত্তর: গ. x/y = 1/2
প্রশ্নটা পরীক্ষা করছে কোন সমীকরণের লেখচিত্র সরলরেখা। নিয়ম হলো, সরল করার পর x আর y দুটোর ঘাতই এক হলে, আর x গুণ y বা ভগ্নাংশে চলক না থাকলে, সেটা সরলরেখা।
x বাই y সমান ১ বাই ২ থেকে আড়গুণন করলে পাই y সমান ২x। এটা একঘাত সমীকরণ, যার ঢাল ২। তাই এটাই সরলরেখা।
বাকিগুলো দেখি। x বাই y সমান y বাই ২ থেকে আসে y বর্গ সমান ২x, এটা পরাবৃত্ত। x বর্গ যোগ y সমান ১ থেকেও পরাবৃত্ত। আর x সমান ১ বাই y মানে xy সমান ১, এটা আয়তাকার অধিবৃত্ত।
ফাঁদ হলো প্রথম অপশন, কারণ দুটো ভগ্নাংশ দেখতে তৃতীয়টার মতো। কিন্তু আড়গুণন করলেই y বর্গ বেরিয়ে আসে, তাই সবসময় আগে সরল করে ঘাত দেখুন।
মনে রাখুন: সরল করার পর কোনো পদে x², y² বা xy থাকলে সেটা সরলরেখা নয়।
পুরো পাতা ›
২৩২. p + q = 5 এবং p – q = 3 হলে p2 + q2 এর মান কত? (৪৫তম বিসিএস, ২০২৩)
1. ক8
2. খ17
3. গ19
4. ঘ34
সঠিক উত্তর: খ. 17
প্রশ্নটা বীজগণিতের দুটি বর্গের সূত্র একসাথে ব্যবহার যাচাই করছে। p যোগ q এর বর্গ আর p বিয়োগ q এর বর্গ যোগ করলে মাঝের ২pq কাটাকাটি হয়ে যায়, থাকে p বর্গ যোগ q বর্গ এর দ্বিগুণ।
তাই p বর্গ যোগ q বর্গ সমান দুই বর্গের যোগফলের অর্ধেক। এখানে ৫ এর বর্গ ২৫, ৩ এর বর্গ ৯; যোগফল ৩৪, অর্ধেক ১৭।
যাচাই করতে চাইলে সরাসরি সমাধানও সহজ: দুই সমীকরণ যোগ করে p সমান ৪, বিয়োগ করে q সমান ১। তাহলে ১৬ যোগ ১ সমান ১৭।
ফাঁদ হলো ৩৪ বেছে নেওয়া, মানে অর্ধেক করতে ভুলে যাওয়া। আর ৮ আসে বর্গ না করে শুধু ৫ আর ৩ যোগ করলে।
মনে রাখুন: দুই সমীকরণ যোগ-বিয়োগ করে p = 4, q = 1; তারপর 16 + 1 = 17।
পুরো পাতা ›
২৩৩. যদি log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হয়, তবে- (৪৫তম বিসিএস, ২০২৩)
1. কa + b = 1
2. খa – b = 1
3. গa = b
4. ঘa2 – b2 = 1
সঠিক উত্তর: ক. a + b = 1
প্রশ্নটা লগারিদমের গুণের সূত্র যাচাই করছে: দুটি লগ যোগ করলে ভেতরের রাশি দুটো গুণ হয়ে যায়।
বাম দিকে আছে লগ a ভাগ b আর লগ b ভাগ a। এদের যোগফল হলো লগ এর ভেতরে a ভাগ b গুণ b ভাগ a, যা কাটাকাটি হয়ে ১। আর লগ ১ সবসময় শূন্য। তাই a আর b যা-ই হোক, বাম দিক সবসময় শূন্য।
তাহলে ডান দিকের লগ a যোগ b কেও শূন্য হতে হবে। লগ শূন্য হয় কেবল তখনই, যখন ভেতরের রাশি ১। তাই a যোগ b সমান ১।
ফাঁদ হলো a সমান b বেছে নেওয়া। বাম দিক a ও b এর যেকোনো মানেই শূন্য হয়, তাই এখান থেকে a আর b সমান হওয়ার কোনো শর্ত আসে না।
মনে রাখুন: log x + log(১/x) সবসময় ০; তাই ডান দিকের লগের ভেতরের রাশিটাই ১ হবে।
পুরো পাতা ›
২৩৪. 1/√3, – 1, √3, ……… ধারটির পঞ্চম পদ কত? (৪৫তম বিসিএস, ২০২৩)
1. ক– √3
2. খ9
3. গ– 9√3
4. ঘ3√3
সঠিক উত্তর: ঘ. 3√3
প্রথমে চিনতে হবে ধারাটা সমান্তর না গুণোত্তর। পরপর দুই পদের পার্থক্য সমান নয়, কিন্তু অনুপাত সমান; তাই এটি গুণোত্তর ধারা।
সাধারণ অনুপাত হলো দ্বিতীয় পদকে প্রথম পদ দিয়ে ভাগ করা: ঋণাত্মক ১ কে ১ ভাগ বর্গমূল ৩ দিয়ে ভাগ করলে পাই ঋণাত্মক বর্গমূল ৩। তৃতীয় পদ বর্গমূল ৩ কে দ্বিতীয় পদ দিয়ে ভাগ করেও একই অনুপাত আসে।
এবার প্রতিবার ঋণাত্মক বর্গমূল ৩ দিয়ে গুণ করে এগোই। তৃতীয় পদ বর্গমূল ৩, চতুর্থ পদ ঋণাত্মক ৩, পঞ্চম পদ ৩ বর্গমূল ৩।
অনুপাত ঋণাত্মক হলে পদগুলোর চিহ্ন একবার ধনাত্মক, একবার ঋণাত্মক করে বদলায়। বিজোড় অবস্থানের পদ, মানে প্রথম, তৃতীয়, পঞ্চম, সব ধনাত্মক; তাই ঋণাত্মক চিহ্নের বিকল্পগুলো শুরুতেই বাদ।
মনে রাখুন: n-তম পদ = a·rⁿ⁻¹: (1/√3) × (−√3)⁴ = (1/√3) × 9 = 3√3।
পুরো পাতা ›
২৩৫. যদি 1 + tan2θ = 4 এবং θ < 90° হয়, θ = ? (৪৫তম বিসিএস, ২০২৩)
1. ক30°
2. খ45°
3. গ60°
4. ঘ0°
সঠিক উত্তর: গ. 60°
প্রশ্নটা ত্রিকোণমিতির একটা অভেদ পরীক্ষা করছে: ১ যোগ tan বর্গ থিটা সমান sec বর্গ থিটা। এটা মনে থাকলে অঙ্কটা দুই লাইনের।
তাহলে sec বর্গ থিটা সমান ৪, মানে sec থিটা সমান ২। থিটা ৯০ ডিগ্রির কম, তাই ঋণাত্মক মান বাদ। sec থিটা ২ মানে cos থিটা ১ বাই ২, আর cos ৬০ ডিগ্রি ঠিক ১ বাই ২।
অন্য পথেও যাওয়া যায়: tan বর্গ থিটা সমান ৩, তাই tan থিটা রুট ৩, যা tan ৬০ ডিগ্রি। দুই পথেই উত্তর ৬০ ডিগ্রি।
ফাঁদ হলো ৩০ ডিগ্রি, কারণ sin ৩০ ডিগ্রিও ১ বাই ২। কিন্তু এখানে cos থিটা ১ বাই ২, তাই কোণ ৬০ ডিগ্রি।
মনে রাখুন: সরাসরি: tan²θ = ৪ − ১ = ৩, tanθ = √৩, θ = ৬০°।
পুরো পাতা ›
২৩৬. একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাস 12 cm হলে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত? (৪৫তম বিসিএস, ২০২৩)
1. ক4π
2. খ3π
3. গ2π
4. ঘπ
সঠিক উত্তর: গ. 2π
প্রশ্নটা বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য বের করা যাচাই করছে। চাপের দৈর্ঘ্য হলো পুরো পরিধির সেই অংশ, যতটা অংশ কেন্দ্রের কোণ পুরো ৩৬০ ডিগ্রির।
ব্যাস ১২ সেন্টিমিটার, তাই ব্যাসার্ধ ৬, আর পুরো পরিধি ২ গুণ পাই গুণ ব্যাসার্ধ, মানে ১২ পাই। ৬০ ডিগ্রি হলো ৩৬০ ডিগ্রির ৬ ভাগের ১ ভাগ।
তাই চাপের দৈর্ঘ্য ১২ পাই এর ৬ ভাগের ১ ভাগ, মানে ২ পাই সেন্টিমিটার। রেডিয়ানে ভাবলেও একই: ৬০ ডিগ্রি সমান পাই ভাগ ৩, আর ৬ গুণ পাই ভাগ ৩ সমান ২ পাই।
ফাঁদ হলো ব্যাস ১২ কেই ব্যাসার্ধ ধরে নেওয়া। তখন উত্তর আসে ৪ পাই, যা দ্বিগুণ।
মনে রাখুন: চাপ = rθ (θ রেডিয়ানে) = 6 × π/3 = 2π।
পুরো পাতা ›
২৩৭. একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 1 : 2√2 : 3 হলে এর বৃহত্তম কোণটির মান কত? (৪৫তম বিসিএস, ২০২৩)
1. ক30°
2. খ60°
3. গ80°
4. ঘ90°
সঠিক উত্তর: ঘ. 90°
প্রশ্নটা পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিপরীত রূপ যাচাই করছে: ছোট দুই বাহুর বর্গের যোগফল যদি বড় বাহুর বর্গের সমান হয়, তাহলে ত্রিভুজটি সমকোণী।
বাহুগুলো ১, দুই রুট দুই এবং ৩। ছোট বাহু ১ এর বর্গ ১। দুই রুট দুই এর বর্গ হলো ৪ গুণ ২, মানে ৮। দুটো যোগ করলে ৯।
বড় বাহু ৩ এর বর্গও ৯। দুটো মিলে গেছে, তাই ত্রিভুজটি সমকোণী। বৃহত্তম কোণ থাকে বৃহত্তম বাহুর বিপরীতে, আর সেটাই ৯০ ডিগ্রি।
নিয়মটা আরও কাজে লাগে: ছোট দুই বাহুর বর্গের যোগফল বড়টির বর্গের চেয়ে বেশি হলে সব কোণ সূক্ষ্ম, কম হলে বড় কোণটি স্থূল।
ফাঁদ হলো ৩০ বা ৬০ ডিগ্রি বেছে নেওয়া। এগুলো আরেকটি পরিচিত সমকোণী ত্রিভুজের কোণ, যার বাহুর অনুপাত এক, রুট তিন আর দুই। তা ছাড়া যেকোনো ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ কখনো ৬০ ডিগ্রির কম হয় না, আর ঠিক ৬০ হয় কেবল সমবাহু ত্রিভুজে।
মনে রাখুন: বড় বাহুর বর্গ = বাকি দুই বাহুর বর্গের যোগফল হলেই কোণ ৯০°; ১ + ৮ = ৯ দেখলেই উত্তর।
পুরো পাতা ›
২৩৮. 29 থেকে 38 পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোনো একটিকে ইচ্ছামত বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা কত? (৪৫তম বিসিএস, ২০২৩)
1. ক1/2
2. খ1/3
3. গ3/10
4. ঘ7/10
সঠিক উত্তর: গ. 3/10
সম্ভাবনা মানে অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা ভাগ মোট ফলাফলের সংখ্যা। তাই দুটো জিনিস গুনতে হবে: মোট কয়টি সংখ্যা, আর তার মধ্যে কয়টি মৌলিক।
২৯ থেকে ৩৮ পর্যন্ত দুই প্রান্তসহ মোট সংখ্যা ৩৮ বিয়োগ ২৯ যোগ ১, মানে ১০টি।
মৌলিক সংখ্যা যাচাই করতে বর্গমূল পর্যন্ত মৌলিক দিয়ে ভাগ করে দেখাই যথেষ্ট; এখানে ২, ৩ আর ৫ দিয়ে ভাগ যায় কি না দেখলেই হয়। তাতে মৌলিক পাওয়া যায় ২৯, ৩১ ও ৩৭, মোট ৩টি।
তাই সম্ভাবনা ৩ ভাগ ১০। ফাঁদ হলো মোট সংখ্যা ৯ ধরা, অথবা ৩৩ বা ৩৫-কে মৌলিক ভাবা; ৩৩ তে ৩ আর ৩৫ এ ৫ দিয়ে ভাগ যায়।
মনে রাখুন: ১০০-এর নিচের মৌলিক সংখ্যা মুখস্থ রাখুন: ২০-এর ঘরে ২৩, ২৯; ৩০-এর ঘরে ৩১, ৩৭।
পুরো পাতা ›
২৩৯. 0, 1, 2, 3, 4 অংকগুলি দ্বারা কতগুলি পাঁচ অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে? (৪৫তম বিসিএস, ২০২৩)
1. ক96
2. খ120
3. গ24
4. ঘ144
সঠিক উত্তর: ক. 96
প্রশ্নটা বিন্যাস পরীক্ষা করছে, সঙ্গে একটা শর্ত: পাঁচ অঙ্কের অর্থপূর্ণ সংখ্যা শূন্য দিয়ে শুরু হতে পারে না, কারণ তখন সেটা আসলে চার অঙ্কের সংখ্যা হয়ে যায়। অঙ্ক পুনরাবৃত্তি হবে না ধরে নিতে হয়।
প্রথমে কোনো শর্ত ছাড়া পাঁচটি অঙ্ক সাজানোর উপায় ৫ ফ্যাক্টরিয়াল, মানে ১২০। এর মধ্যে যেগুলোর শুরুতে শূন্য, সেখানে বাকি চারটি অঙ্ক সাজানো যায় ৪ ফ্যাক্টরিয়াল, মানে ২৪ ভাবে।
তাই অর্থপূর্ণ সংখ্যা ১২০ থেকে ২৪ বাদ দিয়ে ৯৬টি। আরেক পথে: প্রথম ঘরে শূন্য বাদে ৪টি অঙ্কের যেকোনো একটি, বাকি চার ঘরে বাকি চারটি অঙ্ক ২৪ ভাবে; ৪ গুণ ২৪ সমান ৯৬।
ফাঁদ হলো ১২০, যেটা শূন্য দিয়ে শুরু হওয়া সাজানোগুলো বাদ না দিলে আসে। ২৪ হলো ঠিক যেগুলো বাদ দিতে হবে তাদের সংখ্যা।
মনে রাখুন: শূন্যসহ n টি ভিন্ন অঙ্কে n অঙ্কের সংখ্যা = (n − ১) × (n − ১)!; এখানে ৪ × ২৪ = ৯৬।
পুরো পাতা ›
২৪০. If two jeans and three shirts cost Tk. 4000 and three jeans and two shirts costs Tk. 3500, than how much does a jeans cost? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৩)
1. কTk. 500
2. খTk. 1, 000
3. গTk. 1,500
4. ঘTk. 2,000
সঠিক উত্তর: ক. Tk. 500
প্রশ্নটা দুই চলকের সরল সমীকরণ। ধরি একটি জিন্সের দাম j টাকা আর একটি শার্টের দাম s টাকা। তাহলে ২টি জিন্স আর ৩টি শার্টে ২ j যোগ ৩ s সমান ৪০০০, আর ৩টি জিন্স আর ২টি শার্টে ৩ j যোগ ২ s সমান ৩৫০০।
দ্রুত কৌশল: দুটো সমীকরণ যোগ করলে ৫ j যোগ ৫ s সমান ৭৫০০, অর্থাৎ একটি জিন্স আর একটি শার্টের দাম একসঙ্গে ১৫০০ টাকা।
এবার প্রথম সমীকরণ থেকে দ্বিতীয়টি বিয়োগ করলে s বিয়োগ j সমান ৫০০, অর্থাৎ শার্ট জিন্সের চেয়ে ৫০০ টাকা বেশি দামি। যোগফল ১৫০০ আর পার্থক্য ৫০০ হলে, শার্ট ১০০০ টাকা আর জিন্স ৫০০ টাকা।
যাচাই: ২ গুণ ৫০০ যোগ ৩ গুণ ১০০০ সমান ৪০০০, আর ৩ গুণ ৫০০ যোগ ২ গুণ ১০০০ সমান ৩৫০০। দুটোই মিলে যায়। ১০০০ টাকা শার্টের দাম, তাই সেটা বেছে নেওয়াই প্রধান ফাঁদ।
মনে রাখুন: সহগ উল্টাপাল্টা (২,৩ ও ৩,২) থাকলে যোগ করে যোগফল, বিয়োগ করে পার্থক্য বের করুন; তারপর (১৫০০ − ৫০০) ÷ ২ = ৫০০।
পুরো পাতা ›

পরের পাতা: প্রশ্ন ২৪১–২৬০ ›