গাণিতিক যুক্তি · পাতা ১৩
২৪১. If x=y=2z and xyz= 256, then x =? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৩)
- ক2
- খ4
- গ8
- ঘNone of these
সঠিক উত্তর: গ. 8
প্রশ্নে তিনটি চলক একে অপরের সাথে বাঁধা: x আর y সমান, আর দুটোই z-এর দ্বিগুণ। এমন প্রশ্নে সব চলককে একটা চলকের ভাষায় লিখে ফেললে সমীকরণ একটাই থাকে, আর সহজে সমাধান হয়।
x সমান ২z হলে z হলো x-এর অর্ধেক। তাহলে xyz মানে x গুণ x গুণ x-এর অর্ধেক, অর্থাৎ x-এর ঘন ভাগ ২।
x-এর ঘন ভাগ ২ সমান ২৫৬, তাই x-এর ঘন ৫১২। ৮ গুণ ৮ গুণ ৮ সমান ৫১২, তাই x সমান ৮। যাচাই: y ৮, z ৪, আর ৮ গুণ ৮ গুণ ৪ সমান ২৫৬।
ফাঁদ হলো ৪। z-এর মান ৪ বের হয়, অনেকে সেটাকেই উত্তর ভেবে বসেন। প্রশ্ন চেয়েছে x-এর মান।
মনে রাখুন: অপশন বসান: x = ৮ হলে z = ৪, আর ৮ × ৮ × ৪ = ২৫৬; সঙ্গে সঙ্গে মিলে যায়।
২৪২. One-third of Ratan's investment in National Savings Certificate is equal to one-half of his investment in FDR. If he has Tk. 1,50,000 as total investment, how much he invested in savings certificate? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৩)
- কTk. 30,000
- খTk. 50,000
- গTk. 60,000
- ঘTk. 90,000
সঠিক উত্তর: ঘ. Tk. 90,000
প্রশ্নটা দুই ভাগের অনুপাত বের করার। “সঞ্চয়পত্রের এক-তৃতীয়াংশ সমান FDR-এর অর্ধেক” কথাটা থেকেই অনুপাত পাওয়া যায়।
সঞ্চয়পত্রকে N আর FDR-কে F ধরলে N ভাগ ৩ সমান F ভাগ ২। দুই দিককে ৬ দিয়ে গুণ করলে ২N সমান ৩F, অর্থাৎ N আর F-এর অনুপাত ৩ অনুপাত ২।
মোট ৫ অংশ সমান ১ লাখ ৫০ হাজার টাকা, তাই এক অংশ ৩০ হাজার। সঞ্চয়পত্রে ৩ অংশ, মানে ৯০ হাজার টাকা; FDR-এ ২ অংশ, মানে ৬০ হাজার টাকা।
মূল ফাঁদ ৬০ হাজার। যার ছোট ভগ্নাংশ (এক-তৃতীয়াংশ) নেওয়া হয়েছে, সেটাই আসলে বড় পরিমাণ; অনুপাত উল্টে ফেললে FDR-এর টাকাকে সঞ্চয়পত্রের টাকা ভেবে ভুল হয়।
মনে রাখুন: “a ভাগের ১/m = b ভাগের ১/n” হলে a : b = m : n। এখানে ৩ : ২, তাই সঞ্চয়পত্র = ১,৫০,০০০ × ৩/৫।
২৪৩. A man bought some eggs of which 10% are rotten. He gives 80% of the remainder to his neighbors. Now he is left out with 36 eggs. How many eggs he bought? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৩)
- ক40
- খ100
- গ200
- ঘ72
সঠিক উত্তর: গ. 200
এখানে শতাংশ পরপর দুবার খাটানো হয়েছে, আর দ্বিতীয় শতাংশ প্রথম ধাপের বাকি অংশের উপর। তাই প্রতিটি ধাপে কত অংশ থাকে তা গুণ করে এগোতে হয়।
১০ শতাংশ পচা হলে ভালো থাকে ৯০ শতাংশ। সেই ভালো ডিমের ৮০ শতাংশ দিয়ে দিলে তার হাতে থাকে ভালো ডিমের ২০ শতাংশ। ৯০ শতাংশের ২০ শতাংশ মানে মোটের ১৮ শতাংশ।
মোটের ১৮ শতাংশ সমান ৩৬টি ডিম, তাই মোট ডিম ৩৬ গুণ ১০০ ভাগ ১৮, মানে ২০০টি। যাচাই: পচা ২০, ভালো ১৮০, দান ১৪৪, থাকে ৩৬।
ফাঁদ হলো ১০০ বা ৭২। ১০০ ধরে হিসাব করলে দান হয় ৭২টি, এই সংখ্যাটি অপশনে রাখা হয়েছে বিভ্রান্ত করতে।
মনে রাখুন: থাকে = মোট × ০.৯ × ০.২ = মোট × ০.১৮। তাই মোট = ৩৬ ÷ ০.১৮ = ২০০।
২৪৪. The sum of the squares of three numbers is 138, while the sum of their products taken two at a time is 131. Their sum is – (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৩)
- ক20
- খ30
- গ40
- ঘCannot be determined
সঠিক উত্তর: ক. 20
প্রশ্নটা একটি পরিচিত সূত্রের: তিনটি সংখ্যার যোগফলের বর্গ সমান তাদের বর্গের যোগফল যোগ দুইগুণ জোড়ায় জোড়ায় গুণফলের যোগফল।
বর্গের যোগফল ১৩৮, আর জোড়ায় জোড়ায় গুণফলের যোগফল ১৩১, যার দ্বিগুণ ২৬২। তাহলে যোগফলের বর্গ ১৩৮ যোগ ২৬২, মানে ৪০০।
৪০০-এর বর্গমূল ২০, তাই সংখ্যা তিনটির যোগফল ২০। সংখ্যাগুলো আলাদাভাবে না জানলেও যোগফল ঠিকই বের হয়।
অনেকে সংখ্যাগুলো আলাদা করে জানা নেই বলে “নির্ণয় করা যায় না” বেছে নেন। গাণিতিকভাবে ঋণাত্মক ২০-ও সম্ভব, কিন্তু অপশনে শুধু ২০ আছে, তাই উত্তর ২০।
মনে রাখুন: যোগফল = √(বর্গের যোগফল + ২ × গুণফলের যোগফল) = √৪০০ = ২০।
২৪৫. The sum of the ages of the father and son is 80 years. If ten years ago the age of father was three times that of his son, find the present age of the son. (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৩)
- ক55
- খ25
- গ15
- ঘ45
সঠিক উত্তর: খ. 25
বয়সের প্রশ্নে বর্তমান বয়সকে চলক ধরে অতীতের তথ্যটাকে সমীকরণে রূপ দিতে হয়। খেয়াল রাখতে হবে, ১০ বছর আগে দুজনের বয়সই ১০ করে কম ছিল।
ছেলের বয়স s ধরলে বাবার বয়স ৮০ বিয়োগ s। ১০ বছর আগে বাবা ছিলেন ৭০ বিয়োগ s, ছেলে ছিল s বিয়োগ ১০।
শর্ত অনুযায়ী ৭০ বিয়োগ s সমান ৩ গুণ s বিয়োগ ১০, মানে ৩s বিয়োগ ৩০। তাহলে ৪s সমান ১০০, অর্থাৎ ছেলের বয়স ২৫ বছর, বাবার ৫৫ বছর। যাচাই: ১০ বছর আগে ৪৫ আর ১৫, আর ৪৫ সত্যিই ১৫-এর তিনগুণ।
অপশনে ৫৫, ১৫ আর ৪৫ রাখা হয়েছে ফাঁদ হিসেবে: এগুলো বাবার বর্তমান বয়স, আর ১০ বছর আগের দুজনের বয়স। প্রশ্ন চেয়েছে ছেলের বর্তমান বয়স।
মনে রাখুন: অপশন যাচাই: ছেলে ২৫ হলে বাবা ৫৫; ১০ বছর আগে ১৫ আর ৪৫, ৪৫ = ৩ × ১৫। মিলে গেল।
২৪৬. The monthly incomes of two persons are in the ratio 4:5 and their monthly expenditures are in the ratio of 7:9. If each saves BDT 50 per month, find their monthly income. (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৩)
- ক400 and 600
- খ400 and 500
- গ500 and 400
- ঘNone of these
সঠিক উত্তর: খ. 400 and 500
আয় বিয়োগ ব্যয় সমান সঞ্চয়। আয়ের অনুপাত আর ব্যয়ের অনুপাত আলাদা, তাই দুটোর জন্য আলাদা গুণক ধরতে হয়: আয় ৪x ও ৫x, ব্যয় ৭y ও ৯y।
দুজনেই ৫০ টাকা জমায়, তাই ৪x বিয়োগ ৭y সমান ৫০, আর ৫x বিয়োগ ৯y সমান ৫০। প্রথমটিকে ৯ দিয়ে আর দ্বিতীয়টিকে ৭ দিয়ে গুণ করে বিয়োগ করলে x সমান ১০০।
তাহলে আয় ৪০০ ও ৫০০ টাকা। যাচাই: ব্যয় ৩৫০ ও ৪৫০, যার অনুপাত ৭ অনুপাত ৯, আর দুজনেরই সঞ্চয় ৫০ টাকা।
“৫০০ and ৪০০” অপশনে একই সংখ্যা উল্টো ক্রমে আছে; প্রথম ব্যক্তির আয় ছোট, কারণ অনুপাত ৪ অনুপাত ৫। তাই ক্রমও মিলতে হবে।
মনে রাখুন: অপশন যাচাই সবচেয়ে দ্রুত: ৪০০ ও ৫০০ থেকে ৫০ করে বাদ দিলে ৩৫০ : ৪৫০ = ৭ : ৯।
২৪৭. Simple interest on a certain sum at the rate of 4.5% p.a. for 4 years and 6 years differs by BDT 216. The sum is- (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৩)
- কBDT 2100
- খBDT 2400
- গBDT 1800
- ঘNone of these
সঠিক উত্তর: খ. BDT 2400
সরল মুনাফা প্রতি বছর সমান হয়। তাই ৪ বছর আর ৬ বছরের মুনাফার পার্থক্য আসলে ২ বছরের মুনাফা।
২ বছরের মুনাফা ২১৬ টাকা হলে ১ বছরের মুনাফা ১০৮ টাকা। বছরে ৪ দশমিক ৫ শতাংশ হারে ১০৮ টাকা মুনাফা হলে আসল হবে ১০৮ গুণ ১০০ ভাগ ৪ দশমিক ৫, মানে ২৪০০ টাকা।
যাচাই: ২৪০০ টাকার ৪ দশমিক ৫ শতাংশ ১০৮ টাকা; ৬ বছরে ৬৪৮, ৪ বছরে ৪৩২, পার্থক্য ২১৬।
অনেকে ২১৬-কে পুরো ৪ বা ৬ বছরের মুনাফা ধরে হিসাব করেন, তখন ভুল আসল আসে। পার্থক্য মানেই অতিরিক্ত ২ বছর।
মনে রাখুন: আসল = পার্থক্য × ১০০ ÷ (হার × বছরের পার্থক্য) = ২১৬ × ১০০ ÷ ৯ = ২৪০০।
২৪৮. If the product of three consecutive integers is 210, then the sum of integers is . (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৩)
- ক14
- খ15
- গ18
- ঘ21
সঠিক উত্তর: গ. 18
তিনটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার গুণফল দেওয়া থাকলে সংখ্যাগুলো গুণফলের ঘনমূলের কাছাকাছি থাকে। ২১০-এর ঘনমূল ৬-এর সামান্য কম, তাই মাঝের সংখ্যাটি ৬ হওয়ার কথা।
৫ গুণ ৬ গুণ ৭ সমান ২১০, তাই সংখ্যা তিনটি ৫, ৬ ও ৭। এদের যোগফল ১৮।
আরেকভাবে: ২১০ কে মৌলিক উৎপাদকে ভাঙলে ২, ৩, ৫, ৭। এদের মিলিয়ে পাশাপাশি তিনটি সংখ্যা বানানো যায় শুধু ৫, ৬ (২ গুণ ৩) ও ৭।
ঋণাত্মক ৫, ৬, ৭ নিলে গুণফল ঋণাত্মক ২১০ হয়, তাই সেটা চলে না। ১৫ বা ২১ হলো পাশের তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল, যাদের গুণফল ১২০ বা ৩৩৬।
মনে রাখুন: মাঝের সংখ্যা ≈ ∛গুণফল; যোগফল = ৩ × মাঝের সংখ্যা = ৩ × ৬ = ১৮।
২৪৯. In a right triangle, the length of one of the legs is 3 and the length of the hypotenuse is 5. What is the length of the other leg? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৩)
- ক4
- খ8
- গ16
- ঘNone of these
সঠিক উত্তর: ক. 4
সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য খাটে: অতিভুজের বর্গ সমান অন্য দুই বাহুর বর্গের যোগফল।
অতিভুজ ৫, এক বাহু ৩। তাহলে অন্য বাহুর বর্গ ২৫ বিয়োগ ৯, মানে ১৬। ১৬-এর বর্গমূল ৪, তাই অন্য বাহু ৪।
৩, ৪, ৫ হলো সবচেয়ে পরিচিত পিথাগোরীয় ত্রয়ী; এর গুণিতকও কাজ করে, যেমন ৬, ৮, ১০ বা ৯, ১২, ১৫। এগুলো মনে রাখলে হিসাব ছাড়াই উত্তর দেওয়া যায়।
১৬ অপশনটা ফাঁদ: এটা অন্য বাহুর বর্গ, বর্গমূল নিতে ভুলে গেলে এটাই আসে। ৮ আসে ৫ আর ৩ যোগ করে ফেললে।
মনে রাখুন: ৩-৪-৫ ত্রয়ী মুখস্থ রাখুন; ৩ আর ৫ দেখলেই অন্যটি ৪।
২৫০. If x = a + 1/a and y = a − 1/a, then x⁴ + y⁴ − 2x²y² = ? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৩)
- ক4
- খ8
- গ16
- ঘNone of the above
সঠিক উত্তর: গ. 16
রাশিটি দেখতে বড়, কিন্তু x-এর চতুর্থ ঘাত যোগ y-এর চতুর্থ ঘাত বিয়োগ দুই x বর্গ y বর্গ আসলে একটি পূর্ণবর্গ: x বর্গ বিয়োগ y বর্গ, তার পুরোটার বর্গ।
x বর্গ বিয়োগ y বর্গ সমান x যোগ y গুণ x বিয়োগ y। x যোগ y সমান ২a, আর x বিয়োগ y সমান ২ ভাগ a। এদের গুণফল ৪, কারণ a কাটাকাটি হয়ে যায়।
তাহলে পুরো রাশি সমান ৪-এর বর্গ, মানে ১৬। উত্তর a-এর মানের উপর নির্ভর করে না।
ফাঁদ হলো ৪: x বর্গ বিয়োগ y বর্গ বের করেই অনেকে থেমে যান, শেষে বর্গ করতে ভুলে যান।
মনে রাখুন: a = ১ বসান: x = ২, y = ০; তখন রাশি = ২⁴ = ১৬।
২৫১. The present ratio of students to teachers at a certain school is 30 to 1. If the student enrollment were to increase by 50 students and the number of teachers were to increase by 5, the ratio of students to teachers would then be 25 to 1. What is the present number of teachers? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৩)
- ক8
- খ10
- গ12
- ঘ15
সঠিক উত্তর: ঘ. 15
অনুপাত বদলের প্রশ্নে বর্তমান সংখ্যাকে একটি চলক দিয়ে লিখে নতুন অনুপাতের সমীকরণ বানাতে হয়।
শিক্ষক t জন হলে বর্তমান ছাত্র ৩০t জন। ছাত্র ৫০ আর শিক্ষক ৫ বাড়লে অনুপাত হয় ২৫ অনুপাত ১, তাই ৩০t যোগ ৫০ সমান ২৫ গুণ t যোগ ৫।
৩০t যোগ ৫০ সমান ২৫t যোগ ১২৫, তাই ৫t সমান ৭৫, অর্থাৎ t সমান ১৫। যাচাই: ছাত্র ৪৫০, পরে ৫০০; শিক্ষক পরে ২০; ৫০০ ভাগ ২০ সমান ২৫।
অপশন বসিয়েও দ্রুত মেলানো যায়: শুধু ১৫ বসালেই নতুন অনুপাত ঠিক ২৫ হয়। ৮, ১০ বা ১২ বসালে অনুপাত ২৫-এর কম আসে, কারণ শিক্ষক বাড়ার প্রভাব তখন বেশি পড়ে।
মনে রাখুন: অপশন যাচাই: t = ১৫ হলে (৪৫০ + ৫০) ÷ (১৫ + ৫) = ৫০০ ÷ ২০ = ২৫।
২৫২. A worker was hired for 7 days. Each day, he was paid Tk. 10 more than what he was paid for the previous day of work. The total amount he was paid in the first 4 days of work equaled the total amount he was paid in the last 3 days. What was his starting pay? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৩)
- কTk. 90
- খTk. 138
- গTk. 150
- ঘTk. 160
সঠিক উত্তর: ক. Tk. 90
প্রতিদিন মজুরি ১০ টাকা করে বাড়ে, তাই মজুরিগুলো একটি সমান্তর ধারা: a, a যোগ ১০, a যোগ ২০, এভাবে সপ্তম দিনে a যোগ ৬০।
প্রথম ৪ দিনের মোট ৪a যোগ ৬০ (০, ১০, ২০, ৩০ যোগ করে)। শেষ ৩ দিনের মোট ৩a যোগ ১৫০ (৪০, ৫০, ৬০ যোগ করে)।
দুটো সমান হলে ৪a যোগ ৬০ সমান ৩a যোগ ১৫০, তাই a সমান ৯০। যাচাই: ৯০ যোগ ১০০ যোগ ১১০ যোগ ১২০ সমান ৪২০, আর ১৩০ যোগ ১৪০ যোগ ১৫০-ও ৪২০।
১৫০ অপশনটা শেষ দিনের মজুরি, আর ১৩৮ বা ১৬০ কোনো হিসাব থেকে আসে না। প্রশ্ন চেয়েছে প্রথম দিনের মজুরি।
মনে রাখুন: ৪a + ৬০ = ৩a + ১৫০ ⇒ a = ১৫০ − ৬০ = ৯০।
২৫৩. The average daily wage of 10 workers is Tk.400. If the lowest wage is Tk.300, then what is the possible maximum wage? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৩)
- ক800
- খ1000
- গ1200
- ঘ1300
সঠিক উত্তর: ঘ. 1300
গড় থেকে মোট বের করা যায়: ১০ জনের গড় ৪০০ টাকা, তাই মোট মজুরি ৪০০০ টাকা।
একজনের মজুরি সর্বোচ্চ করতে হলে বাকি ৯ জনের মজুরি যতটা সম্ভব কম রাখতে হবে। সবচেয়ে কম মজুরি ৩০০ টাকা, তাই বাকি ৯ জনের প্রত্যেকে ৩০০ পেলে তাদের মোট ২৭০০ টাকা।
তাহলে একজনের সম্ভাব্য সর্বোচ্চ মজুরি ৪০০০ বিয়োগ ২৭০০, মানে ১৩০০ টাকা।
ফাঁদ হলো ১০০০: অনেকে ১০ জনকেই ৩০০ ধরে ৪০০০ থেকে ৩০০০ বাদ দেন। কিন্তু যিনি সর্বোচ্চ পান তিনি এই ১০ জনেরই একজন, তাই কম মজুরি পাবেন বাকি ৯ জন।
মনে রাখুন: সর্বোচ্চ = মোট − (n − ১) × সর্বনিম্ন = ৪০০০ − ৯ × ৩০০ = ১৩০০।
২৫৪. A batsman makes a score of 80 runs in the 16th innings and increases average by 3. What is his average after 16th innings? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৩)
- ক25
- খ29
- গ32
- ঘ35
সঠিক উত্তর: ঘ. 35
গড়ের প্রশ্নে মোট রান সবসময় গড় গুণ ইনিংস সংখ্যা। ১৬তম ইনিংসের পর গড় A হলে আগে ১৫ ইনিংসে গড় ছিল A বিয়োগ ৩।
১৫ ইনিংসের মোট রান ১৫ গুণ A বিয়োগ ৩, তার সাথে ৮০ যোগ করলে ১৬ ইনিংসের মোট, যা ১৬A-এর সমান। সমাধান করলে A সমান ৮০ বিয়োগ ৪৫, মানে ৩৫।
কারণটা সহজভাবে: ৮০ রানের মধ্যে নতুন গড় পরিমাণ রান রাখা হয় এই ইনিংসের জন্য, আর বাড়তি অংশ দিয়ে আগের ১৫ ইনিংসের প্রতিটির গড় ৩ করে বাড়ানো হয়। ১৫ গুণ ৩ সমান ৪৫, তাই নতুন গড় ৮০ বিয়োগ ৪৫ সমান ৩৫।
ফাঁদ হলো ৩২: এটা ১৬তম ইনিংসের আগের গড়। প্রশ্ন চেয়েছে ১৬তম ইনিংসের পরের গড়।
মনে রাখুন: নতুন গড় = নতুন ইনিংসের রান − আগের ইনিংস সংখ্যা × বৃদ্ধি = ৮০ − ১৫ × ৩ = ৩৫।
২৫৫. After filling the car's fuel tank, a driver drove from P to Q and then to R. He used 2/5th portion of the fuel driving from P to Q. If she used another 7 liters to drive from Q to R and still had 1/4th of the tank left, how many liters does the tank hold? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৩)
- ক12
- খ18
- গ20
- ঘ21
সঠিক উত্তর: গ. 20
পুরো ট্যাংককে ১ ধরে প্রতিটি অংশের ভগ্নাংশ যোগ করলে ১ হতে হবে: P থেকে Q-তে খরচ, Q থেকে R-এ খরচ আর বাকি জ্বালানি।
P থেকে Q-তে খরচ ৫ ভাগের ২ ভাগ, আর শেষে থাকে ৪ ভাগের ১ ভাগ। এই দুই মিলে ২০ ভাগের ১৩ ভাগ। তাহলে Q থেকে R-এ খরচ হয়েছে ২০ ভাগের ৭ ভাগ।
এই ২০ ভাগের ৭ ভাগই ৭ লিটার, তাই ১ ভাগ ১ লিটার, আর পুরো ট্যাংক ২০ লিটার। যাচাই: ৮ লিটার যোগ ৭ লিটার যোগ ৫ লিটার সমান ২০।
অনেকে ৭ লিটারকে ৫ ভাগের ২ ভাগ বা ৪ ভাগের ১ ভাগের সাথে মিলিয়ে ফেলেন। ৭ লিটার মাঝের অংশ, যা বাকি দুটো বাদ দিয়ে পাওয়া যায়।
মনে রাখুন: ৭ ÷ (১ − ২/৫ − ১/৪) = ৭ ÷ ৭/২০ = ২০ লিটার।
২৫৬. A merchant has 1000 kg of sugar, part of which he sells at 8% and the remaining at 18% profit. He gains 14% on the whole. Find the quantity of sugar that he sold at 18% profit. (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৩)
- ক400 kg
- খ560 kg
- গ600 kg
- ঘ640 kg
সঠিক উত্তর: গ. 600 kg
দুই হারে বিক্রি করে গড় একটি হার পাওয়া গেলে মিশ্রণ বা অ্যালিগেশন পদ্ধতিতে দুই অংশের অনুপাত বের হয়।
গড় লাভ ১৪ শতাংশ। ১৮ শতাংশ থেকে ১৪ দূরত্ব ৪, আর ১৪ থেকে ৮ দূরত্ব ৬। নিয়ম হলো, যে হারের দিকে গড়টা বেশি ঝুঁকে, সেই অংশ বেশি; তাই ৮ শতাংশের অংশ অনুপাত ১৮ শতাংশের অংশ সমান ৪ অনুপাত ৬।
মোট ১০ অংশ সমান ১০০০ কেজি, তাই ১৮ শতাংশ লাভে বিক্রি হয়েছে ৬ অংশ, মানে ৬০০ কেজি। যাচাই: ৪০০ গুণ ৮ যোগ ৬০০ গুণ ১৮ সমান ১৪০০০, যা ১০০০ গুণ ১৪।
ফাঁদ হলো ৪০০ কেজি: অনুপাত উল্টে বসালে ৮ শতাংশের অংশটাকে ১৮ শতাংশের অংশ ভেবে ভুল হয়।
মনে রাখুন: ১৮% অংশ = মোট × (গড় − ছোট হার) ÷ (বড় হার − ছোট হার) = ১০০০ × ৬/১০ = ৬০০।
২৫৭. The average weight of A, B and C is 45 kg. If the average weight of A and B is 40 kg and that of B and C is 43 kg, then the weight of B is . (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৩)
- ক17 kg
- খ31 kg
- গ20 kg
- ঘNone of these
সঠিক উত্তর: খ. 31 kg
গড় দেওয়া থাকলে আগে মোট বের করতে হয়। তিনজনের গড় ৪৫ কেজি, তাই A, B, C-এর মোট ১৩৫ কেজি।
A ও B-এর গড় ৪০, তাই A যোগ B সমান ৮০। B ও C-এর গড় ৪৩, তাই B যোগ C সমান ৮৬।
এই দুই যোগফল যোগ করলে A যোগ C যোগ দুইবার B, মানে ১৬৬। এখান থেকে তিনজনের মোট ১৩৫ বাদ দিলে একবার বাড়তি গোনা B থাকে: ৩১ কেজি। যাচাই: A ৪৯, C ৫৫।
অনেকে গড়গুলো সরাসরি যোগ-বিয়োগ করেন (৪০ যোগ ৪৩ বিয়োগ ৪৫), তখন ৩৮ আসে। গড় নয়, মোট নিয়ে হিসাব করতে হয়।
মনে রাখুন: B = (দুই জোড়ার মোট যোগ) − তিনজনের মোট = ৮০ + ৮৬ − ১৩৫ = ৩১।
২৫৮. In a class, 120 students are male and 100 students are female. 25% of male students and 20% of female students are engineering students. 20% of the male engineering students and 25% of the female engineering students passed the final exam. What percentage of engineering students passed the exam? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, সাধারণ) (২০২৩)
- ক10%
- খ16%
- গ22%
- ঘ25%
সঠিক উত্তর: গ. 22%
প্রশ্নে কয়েক স্তরের শতাংশ আছে, তাই ধাপে ধাপে সংখ্যায় রূপান্তর করাই নিরাপদ। প্রথমে বের করি কতজন ইঞ্জিনিয়ারিংয়ের ছাত্র, তারপর তাদের মধ্যে কতজন পাস করেছে।
১২০ জন ছেলের ২৫ শতাংশ মানে ৩০ জন, আর ১০০ জন মেয়ের ২০ শতাংশ মানে ২০ জন। মোট ইঞ্জিনিয়ারিং ছাত্রছাত্রী ৫০ জন।
৩০ জন ছেলের ২০ শতাংশ মানে ৬ জন পাস, আর ২০ জন মেয়ের ২৫ শতাংশ মানে ৫ জন পাস। মোট পাস ১১ জন। ১১ কে ৫০ দিয়ে ভাগ করে ১০০ দিয়ে গুণ করলে ২২ শতাংশ।
ফাঁদ হলো শতাংশগুলো সরাসরি গড় করা, যেমন ২০ আর ২৫ এর গড় সাড়ে ২২, বা পুরো ক্লাস ২২০ জনের উপর হিসাব করে ৫ শতাংশ পাওয়া। প্রশ্ন চেয়েছে শুধু ইঞ্জিনিয়ারিং ছাত্রদের মধ্যে পাসের হার।
মনে রাখুন: (০.২ × ৩০ + ০.২৫ × ২০) ÷ ৫০ = ১১/৫০ = ২২%; সবসময় ভিত্তি সংখ্যা (৫০) ঠিক রাখুন।
২৫৯. The area of the floor of an auditorium is 600 sq. meter. How many unbroken tiles of dimension 10 x 30 cm³ will be required to cover the floor completely? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, সাধারণ) (২০২৩)
- ক200
- খ15000
- গ10000
- ঘ20000
সঠিক উত্তর: ঘ. 20000
মেঝে ঢাকতে কয়টি টাইল লাগবে, তা পাওয়া যায় মেঝের ক্ষেত্রফলকে একটি টাইলের ক্ষেত্রফল দিয়ে ভাগ করে। কিন্তু আগে দুটো ক্ষেত্রফল একই এককে আনতে হবে।
১ বর্গমিটার সমান ১০০ গুণ ১০০, অর্থাৎ ১০ হাজার বর্গসেন্টিমিটার। তাই ৬০০ বর্গমিটার মানে ৬০ লাখ বর্গসেন্টিমিটার। একটি টাইলের ক্ষেত্রফল ১০ গুণ ৩০, অর্থাৎ ৩০০ বর্গসেন্টিমিটার।
৬০ লাখকে ৩০০ দিয়ে ভাগ করলে ২০ হাজার। তাই ২০ হাজার টাইল লাগবে। প্রশ্নে টাইলের মাপের সঙ্গে ঘন সেন্টিমিটার লেখা আছে, কিন্তু দৈর্ঘ্য গুণ প্রস্থ দেওয়ায় এটা আসলে বর্গসেন্টিমিটার; এটা ছাপার ভুল।
সাধারণ ভুল হলো বর্গমিটারকে বর্গসেন্টিমিটারে নিতে ১০০ দিয়ে গুণ করা; আসলে ১০০ এর বর্গ, মানে ১০ হাজার দিয়ে গুণ করতে হয়। ১০০ দিয়ে গুণ করলে উত্তর আসে ২০০, যা একটি অপশন।
মনে রাখুন: m² থেকে cm²: ১০⁴ দিয়ে গুণ। ৬০০ × ১০⁴ ÷ ৩০০ = ২ × ১০⁴।
২৬০. The average daily wage of 10 workers is Tk. 400 If the lowest wage is Tk.300, then what is the possible maximum wage? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, সাধারণ) (২০২৩)
- ক1300
- খ1200
- গ1000
- ঘ800
সঠিক উত্তর: ক. 1300
গড় থেকে মোট বের করাই প্রথম কাজ: ১০ জনের গড় মজুরি ৪০০ টাকা হলে মোট মজুরি ৪ হাজার টাকা।
একজনের মজুরি সর্বোচ্চ করতে হলে বাকিদের মজুরি যত কম সম্ভব রাখতে হবে। সর্বনিম্ন মজুরি ৩০০ টাকা, তাই বাকি ৯ জনের প্রত্যেককে ৩০০ টাকা ধরি; তাদের মোট ২ হাজার ৭০০ টাকা।
৪ হাজার থেকে ২ হাজার ৭০০ বাদ দিলে থাকে ১ হাজার ৩০০ টাকা। এটাই একজনের সম্ভাব্য সর্বোচ্চ মজুরি।
ফাঁদ হলো শুধু একজনকে ৩০০ ধরে বাকি ৮ জনকে ৪০০ ধরা; তাতে সর্বোচ্চটা কমে যায়। সর্বোচ্চ বের করতে বাকি সবাইকে সর্বনিম্নে নামাতে হবে।
মনে রাখুন: সর্বোচ্চ = মোট − (বাকি সবার সর্বনিম্ন) = ৪,০০০ − ৯ × ৩০০ = ১,৩০০।