গাণিতিক যুক্তি · পাতা ২৮

⚡ এই বিষয়ে কুইক টেস্ট

পাতা ২৮/৫৩ · প্রশ্ন ৫৪১–৫৬০সব উত্তর দেখান

৫৪১. In a simultaneous throw of two dice what is the probability of getting a doublet? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২১)
1. ক1/6
2. খ1/4
3. গ2/3
4. ঘ1/3
সঠিক উত্তর: ক. 1/6
প্রশ্নটা সম্ভাবনার মূল সূত্র যাচাই করছে: সম্ভাবনা মানে অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা ভাগ মোট সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা। ডাবলেট মানে দুটো ছক্কাতেই একই সংখ্যা ওঠা।
একটি ছক্কায় ৬টি ফল হতে পারে, তাই দুটো ছক্কা একসাথে নিক্ষেপ করলে মোট ফল ৬ গুণ ৬, মানে ৩৬টি।
ডাবলেট হতে পারে ছয়ভাবে: এক-এক, দুই-দুই, তিন-তিন, চার-চার, পাঁচ-পাঁচ এবং ছয়-ছয়। তাই সম্ভাবনা ৬ ভাগ ৩৬, অর্থাৎ ১ ভাগ ৬।
ভুল হয় তখন, যখন কেউ মোট ফল ৩৬ না ধরে ক্রম বাদ দিয়ে কম ধরেন। দুটি ছক্কা আলাদা, তাই এক-দুই আর দুই-এক আলাদা ফল; মোট ফল ৩৬-ই।
মনে রাখুন: n টি ছক্কায় সবগুলোতে একই সংখ্যা ওঠার সম্ভাবনা = (১/৬)^(n−১); দুটি ছক্কায় ১/৬, তিনটিতে ১/৩৬।
পুরো পাতা ›
৫৪২. If the ratio of two numbers is 3:4 and their L.C.M is 84, then find the greater number. (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২১)
1. ক28
2. খ34
3. গ82
4. ঘ54
সঠিক উত্তর: ক. 28
দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ অনুপাত ৪ হলে সংখ্যা দুটিকে ৩x আর ৪x ধরা যায়, যেখানে x হলো তাদের গসাগু।
৩ আর ৪ সহমৌলিক, অর্থাৎ ১ ছাড়া কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। তাই ৩x আর ৪x-এর লসাগু হবে ৩ গুণ ৪ গুণ x, মানে ১২x।
১২x সমান ৮৪, তাই x সমান ৭। সংখ্যা দুটি ২১ আর ২৮; বড়টি ২৮। যাচাই: ২১ আর ২৮-এর লসাগু সত্যিই ৮৪।
দ্রুত যাচাই: সংখ্যা দুটি অবশ্যই লসাগুর গুণনীয়ক হবে। অপশনের মধ্যে শুধু ২৮ দিয়েই ৮৪ ভাগ যায়; বাকিগুলো কাছাকাছি দেখালেও ৮৪-এর গুণনীয়ক নয়।
মনে রাখুন: অনুপাতের পদ দুটি সহমৌলিক হলে: x = লসাগু ÷ (পদ দুটির গুণফল); বড় সংখ্যা = ৪ × (৮৪ ÷ ১২) = ২৮।
পুরো পাতা ›
৫৪৩. If selling price is doubled, the profit triples, find the profit percent. (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২১)
1. ক65.5%
2. খ90.5%
3. গ100%
4. ঘ115%
সঠিক উত্তর: গ. 100%
ধরি ক্রয়মূল্য C, বিক্রয়মূল্য S আর লাভ P। তাহলে S বিয়োগ C সমান P। বিক্রয়মূল্য দ্বিগুণ হলে নতুন লাভ ২S বিয়োগ C, আর সেটি আগের লাভের তিন গুণ।
দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে প্রথমটি বাদ দিলে পাই S সমান ২P। তাহলে C সমান S বিয়োগ P, মানে P। অর্থাৎ ক্রয়মূল্য আর লাভ সমান।
লাভ ক্রয়মূল্যের সমান হলে লাভের হার ১০০ শতাংশ। সংখ্যা দিয়ে দেখি: ১০০ টাকায় কিনে ২০০ টাকায় বেচলে লাভ ১০০; ৪০০ টাকায় বেচলে লাভ ৩০০, ঠিক তিন গুণ।
ফাঁদ হলো লাভ তিন গুণ শুনে হার আন্দাজ করা। মূল কথা: ক্রয়মূল্য বদলায় না, তাই বিক্রয়মূল্যের বাড়তি অংশ পুরোটাই লাভে যোগ হয়।
মনে রাখুন: বিক্রয়মূল্য n গুণ হলে লাভ m গুণ হলে লাভের হার = (n − ১) ÷ (m − n) × ১০০ = ১ ÷ ১ × ১০০ = ১০০%।
পুরো পাতা ›
৫৪৪. x^(−3) − 0.001 = 0 হলে x² = ? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২১)
1. ক100
2. খ1/100
3. গ10
4. ঘ1/10
সঠিক উত্তর: ক. 100
এখানে ঋণাত্মক সূচকের নিয়ম যাচাই হচ্ছে। x-এর ঘাত মাইনাস ৩ মানে ১ ভাগ x-এর ঘন। আর প্রশ্ন x নয়, x-এর বর্গ জানতে চেয়েছে।
সমীকরণ থেকে x-এর ঘাত মাইনাস ৩ সমান ০.০০১, আর ০.০০১ হলো ১ ভাগ ১০০০, মানে ১০-এর ঘাত মাইনাস ৩। দুই পাশ উল্টে লিখলে x-এর ঘন সমান ১০০০।
১০০০-এর ঘনমূল ১০, তাই x সমান ১০। এখন x-এর বর্গ সমান ১০ গুণ ১০, মানে ১০০।
ফাঁদ দুটি। x বের করেই থেমে গেলে উত্তর আসে ১০, যা অপশনে আছে। আবার মাইনাস চিহ্ন খেয়াল না করে x-এর ঘন সমান ০.০০১ ধরলে x আসে ১ ভাগ ১০, আর তার বর্গ ১ ভাগ ১০০।
মনে রাখুন: x^(−n) = ১০^(−n) হলে x = ১০; তারপর প্রশ্ন যে ঘাত চায় (এখানে x²) সেটা বসান।
পুরো পাতা ›
৫৪৫. P is a point lying on the line segment AB. Which of the following relations is applicable for all time? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২১)
1. কAP = PB
2. খAB > AP
3. গAB > AP + PB
4. ঘAP > PB
সঠিক উত্তর: খ. AB > AP
রেখাংশ AB-এর উপর P বিন্দু থাকলে P রেখাংশটিকে দুই টুকরো করে: AP আর PB। তাই সবসময় AB সমান AP যোগ PB।
দুটো টুকরোরই দৈর্ঘ্য আছে, তাই পুরো AB যেকোনো একটি টুকরোর চেয়ে বড়। ফলে AB বড় AP সবসময় সত্য।
AP সমান PB হয় কেবল P মধ্যবিন্দু হলে। AP বড় PB হয় কেবল P যখন B-এর দিকে বেশি সরে থাকে। এগুলো কিছু অবস্থায় খাটে, সব অবস্থায় নয়।
সবচেয়ে বড় ফাঁদ হলো AB বড় AP যোগ PB। এটা ত্রিভুজ অসমতার মতো শোনায়, কিন্তু বিন্দু রেখার উপর থাকলে যোগফল ঠিক সমান হয়, বড় বা ছোট নয়।
মনে রাখুন: রেখাংশের উপরের বিন্দুতে সবসময়: পুরো = অংশ + অংশ, তাই পুরো যেকোনো অংশের চেয়ে বড়।
পুরো পাতা ›
৫৪৬. How many degrees does a minute hand move in 20 minutes? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২১)
1. ক180°
2. খ20°
3. গ80°
4. ঘ120°
সঠিক উত্তর: ঘ. 120°
মিনিটের কাঁটা ৬০ মিনিটে পুরো এক বৃত্ত, মানে ৩৬০ ডিগ্রি ঘোরে। তাই প্রতি মিনিটে ঘোরে ৩৬০ ভাগ ৬০, অর্থাৎ ৬ ডিগ্রি।
২০ মিনিটে ঘোরে ২০ গুণ ৬, মানে ১২০ ডিগ্রি। এটি পুরো বৃত্তের তিন ভাগের এক ভাগ, কারণ ২০ মিনিট এক ঘণ্টার তিন ভাগের এক ভাগ।
ঘণ্টার কাঁটার সাথে গুলিয়ে ফেলবেন না: ঘণ্টার কাঁটা প্রতি মিনিটে মাত্র আধা ডিগ্রি ঘোরে, তাই ২০ মিনিটে ঘোরে ১০ ডিগ্রি।
সাধারণ ভুল হলো মিনিটের সংখ্যাকেই ডিগ্রি ধরে ২০ ডিগ্রি বলা, অথবা অর্ধেক ঘণ্টার মান ১৮০ ডিগ্রি বেছে নেওয়া।
মনে রাখুন: মিনিটের কাঁটা = মিনিট × ৬°, ঘণ্টার কাঁটা = মিনিট × ০.৫°।
পুরো পাতা ›
৫৪৭. What will be the difference between simple and compound interest at 10% on a sum of TK. 5000 after 5 years? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২১)
1. ক45
2. খ152
3. গ252
4. ঘ552
সঠিক উত্তর: ঘ. 552
সরল সুদে প্রতি বছর একই পরিমাণ সুদ: ৫০০০ টাকার ১০ শতাংশ ৫০০ টাকা, তাই ৫ বছরে ২৫০০ টাকা।
চক্রবৃদ্ধিতে প্রতি বছর আগের সুদের উপরও সুদ হয়। চক্রবৃদ্ধি মূলধন হয় ৫০০০ গুণ ১.১-এর ঘাত ৫। ১.১-এর ঘাত ৫ সমান ১.৬১০৫১, তাই মূলধন দাঁড়ায় ৮০৫২ টাকা ৫৫ পয়সা, আর চক্রবৃদ্ধি সুদ ৩০৫২ টাকা ৫৫ পয়সা।
পার্থক্য ৩০৫২.৫৫ বিয়োগ ২৫০০, মানে ৫৫২ টাকা ৫৫ পয়সা। অপশনে পূর্ণ টাকায় ৫৫২ দেওয়া আছে।
ফাঁদ: দুই বছরের পার্থক্যের সহজ সূত্র, মানে মূলধন গুণ হারের বর্গ, পাঁচ বছরে খাটে না। তিন বা তার বেশি বছরে পুরো চক্রবৃদ্ধি হিসাব করতে হয়।
মনে রাখুন: ১.১-এর ঘাতগুলো মুখস্থ রাখুন: ১.২১, ১.৩৩১, ১.৪৬৪১, ১.৬১০৫১; তাহলে ১০% হারের যেকোনো চক্রবৃদ্ধি দ্রুত হয়।
পুরো পাতা ›
৫৪৮. If one star equals four circles and three circles equal four diamonds, then what is the ratio of star to diamond? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২১)
1. ক14 : 3
2. খ16 : 3
3. গ17 : 3
4. ঘ19 : 3
সঠিক উত্তর: খ. 16 : 3
এখানে একক বদলের কৌশল লাগে। ১টি তারা সমান ৪টি বৃত্ত, আর ৩টি বৃত্ত সমান ৪টি ডায়মন্ড।
তাহলে ১টি বৃত্ত সমান ৪ ভাগ ৩টি ডায়মন্ড। ১টি তারা মানে ৪টি বৃত্ত, অর্থাৎ ৪ গুণ ৪ ভাগ ৩, মানে ১৬ ভাগ ৩টি ডায়মন্ড।
অতএব মানের দিক থেকে তারা অনুপাত ডায়মন্ড ১৬ অনুপাত ৩।
ফাঁদ: কেউ কেউ সংখ্যাগুলো যোগ করে ফেলেন, বা বৃত্তকে ডায়মন্ডে নিতে ৪ ভাগ ৩-এর বদলে ৩ ভাগ ৪ দিয়ে গুণ করেন। এক একক থেকে আরেক এককে যেতে সবসময় সঠিক দিকের গুণ লাগে।
মনে রাখুন: দুটো সমতা গুণ করুন: (তারা/বৃত্ত) × (বৃত্ত/ডায়মন্ড) = ৪ × ৪/৩ = ১৬/৩।
পুরো পাতা ›
৫৪৯. If Q/P = 1/4, what is the value of (P+Q)/(P−Q)? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২১)
1. ক5/3
2. খ2/3
3. গ3/5
4. ঘ3/4
সঠিক উত্তর: ক. 5/3
Q ভাগ P সমান ১ ভাগ ৪ মানে P হলো Q-এর চার গুণ। সহজ করতে P সমান ৪ আর Q সমান ১ ধরা যায়, কারণ উত্তর শুধু অনুপাতের উপর নির্ভর করে।
তাহলে P যোগ Q সমান ৫ এবং P বিয়োগ Q সমান ৩; চাওয়া মান ৫ ভাগ ৩।
বীজগণিতে লব ও হর দুটোকেই P দিয়ে ভাগ করলে পাই ১ যোগ ১ ভাগ ৪, ভাগ ১ বিয়োগ ১ ভাগ ৪; মানে ৫ ভাগ ৪ ভাগ ৩ ভাগ ৪, অর্থাৎ ৫ ভাগ ৩।
ফাঁদ: ভাগফল উল্টে লিখলে আসে ৩ ভাগ ৫, আর P বিয়োগ Q-কে P দিয়ে ভাগ করলে আসে ৩ ভাগ ৪। প্রশ্নে কোনটা লবে, কোনটা হরে, তা খেয়াল করুন।
মনে রাখুন: Q/P = a/b হলে (P + Q)/(P − Q) = (b + a)/(b − a) = (৪ + ১)/(৪ − ১) = ৫/৩।
পুরো পাতা ›
৫৫০. What is the sum of two consecutive even numbers the difference of whose squares is 84? (পরপর দুটি জোড় সংখ্যার বর্গের পার্থক্য ৮৪ হলে, সংখ্যা দুটির যোগফল কত?) (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২১)
1. ক48
2. খ58
3. গ42
4. ঘ46
সঠিক উত্তর: গ. 42
পরপর দুটি জোড় সংখ্যা মানে x আর x যোগ ২। বর্গের পার্থক্য হলো x যোগ ২-এর বর্গ বিয়োগ x-এর বর্গ।
a-এর বর্গ বিয়োগ b-এর বর্গ সমান a যোগ b গুণ a বিয়োগ b। এখানে a বিয়োগ b সমান ২, তাই বর্গের পার্থক্য সমান ২ গুণ সংখ্যা দুটির যোগফল।
অতএব ২ গুণ যোগফল সমান ৮৪, যোগফল ৪২। সংখ্যা দুটি ২০ আর ২২; যাচাই: ৪৮৪ বিয়োগ ৪০০ সমান ৮৪।
ফাঁদ: ৮৪-কে ২ দিয়ে ভাগ করতে ভুলে যাওয়া, অথবা সংখ্যা দুটি খুঁজতে গিয়ে যোগফলের বদলে একটি সংখ্যাকেই উত্তর ভাবা।
মনে রাখুন: পরপর জোড় বা বিজোড় সংখ্যার বর্গের পার্থক্য = ২ × যোগফল; পরপর স্বাভাবিক সংখ্যার ক্ষেত্রে = যোগফল।
পুরো পাতা ›
৫৫১. One fifth of a number is equal to 5/8 of another number. If 35 is added to the first number, it becomes four times of the second number. The second number is - (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২১)
1. ক40
2. খ50
3. গ60
4. ঘ70
সঠিক উত্তর: ক. 40
ধরি প্রথম সংখ্যা a, দ্বিতীয় সংখ্যা b। প্রথম শর্ত: a-এর পাঁচ ভাগের এক ভাগ সমান b-এর আট ভাগের পাঁচ ভাগ। তাই a সমান ২৫ ভাগ ৮ গুণ b।
দ্বিতীয় শর্ত: a-এর সাথে ৩৫ যোগ করলে তা b-এর চার গুণ হয়। তাই ২৫ ভাগ ৮ b যোগ ৩৫ সমান ৪b।
৪b বিয়োগ ২৫ ভাগ ৮ b সমান ৭ ভাগ ৮ b, আর সেটা ৩৫। তাই b সমান ৩৫ গুণ ৮ ভাগ ৭, মানে ৪০। প্রথম সংখ্যা ১২৫; যাচাই: ১২৫ যোগ ৩৫ সমান ১৬০, যা ৪০-এর চার গুণ।
দ্রুত উপায় হলো অপশন যাচাই: a পূর্ণসংখ্যা হতে হলে b-কে ৮ দিয়ে বিভাজ্য হতে হবে। অপশনের মধ্যে শুধু ৪০ এই শর্ত মানে।
মনে রাখুন: অপশন বসান: b = ৪০ হলে a = ১২৫, আর ১২৫ + ৩৫ = ১৬০ = ৪ × ৪০; সাথে সাথে মিলে যায়।
পুরো পাতা ›
৫৫২. Which is the correct factor analysis of x² − 2xy − z² + 2yz? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২১)
1. ক(x-z)(x-2y+z)
2. খ(x-y)(x-y-2z)
3. গ(x+z)(x-y+z)
4. ঘ(x-y)(2x-y+z)
সঠিক উত্তর: ক. (x-z)(x-2y+z)
উৎপাদকে বিশ্লেষণে পদগুলো জোড়ায় সাজানোই কৌশল। x-এর বর্গ আর z-এর বর্গ একসাথে, এবং মাইনাস ২xy আর প্লাস ২yz একসাথে রাখি।
x-এর বর্গ বিয়োগ z-এর বর্গ সমান x যোগ z গুণ x বিয়োগ z। আর মাইনাস ২xy যোগ ২yz থেকে মাইনাস ২y সাধারণ নিলে থাকে x বিয়োগ z।
এখন দুই অংশেই x বিয়োগ z সাধারণ। ফল দাঁড়ায় x বিয়োগ z গুণ x বিয়োগ ২y যোগ z, যা প্রথম অপশন।
যাচাইয়ের সহজ উপায়: x-এর জায়গায় z বসালে পুরো রাশির মান শূন্য হয়, তাই x বিয়োগ z অবশ্যই একটি উৎপাদক। শুধু প্রথম অপশনেই এটি আছে।
মনে রাখুন: সন্দেহের উৎপাদকের মূল বসিয়ে দেখুন: x = z দিলে রাশি শূন্য হয়, তাই (x − z) উৎপাদক।
পুরো পাতা ›
৫৫৩. If a, b, c are the lengths of the sides of a triangle, then which of the following is true? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২১)
1. কa + b > c
2. খa + b = c
3. গa − b < c
4. ঘa + b < c
5. ঙকোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর: ঙ. কোনোটিই নয়
ত্রিভুজের বাহু নিয়ে মূল নিয়ম হলো ত্রিভুজ অসমতা: যেকোনো দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড়। তাই a যোগ b বড় c সবসময় সত্য।
এই নিয়ম থেকে আরেকটি সত্য আসে: যেকোনো দুই বাহুর পার্থক্য তৃতীয় বাহুর চেয়ে ছোট। b যোগ c বড় a থেকে সরাসরি পাই a বিয়োগ b ছোট c। তাই তৃতীয় অপশনও সবসময় সত্য।
a যোগ b সমান c হলে তিনটি শীর্ষবিন্দু এক রেখায় পড়ে যায়, ত্রিভুজ হয় না। আর a যোগ b ছোট c হলে বাহু দুটো তৃতীয় বাহুর দুই প্রান্ত পর্যন্ত পৌঁছায়ই না।
যেহেতু দুটি অপশন সঠিক, প্রশ্নটি ত্রুটিপূর্ণ। তবে পরীক্ষায় এমন প্রশ্নে মূল নিয়ম হিসেবে a যোগ b বড় c-ই সাধারণত প্রত্যাশিত।
মনে রাখুন: তিনটি দৈর্ঘ্যে ত্রিভুজ হবে কি না দেখতে শুধু ছোট দুটির যোগফল বড়টির চেয়ে বেশি কি না যাচাই করুন।
পুরো পাতা ›
৫৫৪. If x and y are negative integers and x-y=1, what is the least possible value for xy? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২১)
1. ক-2
2. খ-3
3. গ3
4. ঘ2
সঠিক উত্তর: ঘ. 2
x আর y দুটোই ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং x বিয়োগ y সমান ১, তাই x সমান y যোগ ১। x-কেও ঋণাত্মক হতে হবে, তাই y হবে মাইনাস ২ বা তার চেয়ে ছোট।
দুটি ঋণাত্মক সংখ্যার গুণফল সবসময় ধনাত্মক। তাই মাইনাস ২ বা মাইনাস ৩ গুণফল হতেই পারে না।
গুণফল সবচেয়ে ছোট হবে যখন সংখ্যা দুটি শূন্যের সবচেয়ে কাছে: x সমান মাইনাস ১, y সমান মাইনাস ২, গুণফল ২। এরপর মাইনাস ২ ও মাইনাস ৩ নিলে ৬, তারপর ১২; মান কেবল বাড়তেই থাকে।
ফাঁদ: least শব্দ দেখে ঋণাত্মক উত্তর খোঁজা। মনে রাখুন, ঋণাত্মক গুণ ঋণাত্মক সমান ধনাত্মক।
মনে রাখুন: পার্থক্য ১ এমন দুটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার ন্যূনতম গুণফল: (−১)(−২) = ২।
পুরো পাতা ›
৫৫৫. If two non-zero positive integers p and q are such that p=4q and p<8, then q=? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২১)
1. ক1
2. খ2
3. গ± 3
4. ঘ5
সঠিক উত্তর: ক. 1
p সমান ৪q এবং দুটোই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তাই p অবশ্যই ৪-এর গুণিতক: ৪, ৮, ১২ ইত্যাদি।
শর্ত হলো p ছোট ৮। ৪-এর গুণিতকের মধ্যে ৮-এর চেয়ে ছোট কেবল ৪। তাই p সমান ৪ আর q সমান ১।
q সমান ২ হলে p সমান ৮, যা ৮-এর চেয়ে ছোট নয়; শর্ত ভেঙে যায়। ছোট আর ছোট-বা-সমান এক নয়, এটাই প্রধান ফাঁদ।
প্লাস মাইনাস ৩ বাদ, কারণ q ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা; আর q সমান ৫ হলে p সমান ২০।
মনে রাখুন: ৪q < ৮ ⇒ q < ২; ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যায় উত্তর একটাই, ১।
পুরো পাতা ›
৫৫৬. If (1/5)^(3y) = 0.008, then find (0.25)^y = ? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২১)
1. ক0.75
2. খ-0.75
3. গ0.25
4. ঘ0.0
সঠিক উত্তর: গ. 0.25
প্রথমে ০.০০৮-কে ১ ভাগ ৫-এর ঘাত হিসেবে চিনতে হবে। ০.০০৮ হলো ৮ ভাগ ১০০০, মানে ১ ভাগ ১২৫, আর ১২৫ হলো ৫-এর ঘন। তাই ০.০০৮ সমান ১ ভাগ ৫-এর ঘাত ৩।
তাহলে ১ ভাগ ৫-এর ঘাত ৩y সমান ১ ভাগ ৫-এর ঘাত ৩। ভিত্তি এক হলে ঘাতও সমান: ৩y সমান ৩, অর্থাৎ y সমান ১।
এখন ০.২৫-এর ঘাত ১ মানে ০.২৫ নিজেই।
ফাঁদ: ঘাতের ৩y-কে শুধু y ভেবে y সমান ৩ ধরে ফেলা, অথবা ধনাত্মক ভিত্তির ঘাতের মান ঋণাত্মক বা শূন্য ধরে নেওয়া।
মনে রাখুন: ০.২ = ১/৫, ০.০৪ = (১/৫)², ০.০০৮ = (১/৫)³; দশমিককে ভগ্নাংশে বদলে ঘাত মেলান।
পুরো পাতা ›
৫৫৭. ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর একটি দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নেওয়া হলে সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা- (৪১তম বিসিএস, ২০২১)
1. ক১/২২
2. খ১/৬৪
3. গ১/৬০
4. ঘ২/৬৫
সঠিক উত্তর: ক. ১/২২
সম্ভাবনা মানে অনুকূল ফলাফলের সংখ্যাকে মোট ফলাফলের সংখ্যা দিয়ে ভাগ। এখানে মোট ফলাফল ৪৪০, আর অনুকূল ফলাফল হলো ১ থেকে ৪৪০ এর মধ্যে বর্গসংখ্যা কয়টি।
বর্গসংখ্যা হলো ১ এর বর্গ, ২ এর বর্গ, এভাবে। ২০ এর বর্গ ৪০০, যা ৪৪০ এর মধ্যে; কিন্তু ২১ এর বর্গ ৪৪১, যা ৪৪০ ছাড়িয়ে যায়। তাই বর্গসংখ্যা ২০টি।
সম্ভাবনা তাই চারশো চল্লিশ ভাগের বিশ। লব ও হর দুটোকেই ২০ দিয়ে ভাগ করলে হয় বাইশ ভাগের এক।
সতর্ক থাকুন: ৪৪০ এর বর্গমূল প্রায় ২১, কিন্তু ২১ এর বর্গ সীমার এক ঘর বাইরে। আর বাকি বিকল্পগুলো নিলে বর্গসংখ্যার সংখ্যা পূর্ণসংখ্যাই হয় না।
মনে রাখুন: ১ থেকে N এ বর্গসংখ্যা = √N এর পূর্ণসংখ্যা অংশ; √৪৪০ ≈ ২০.৯৮ ⇒ ২০টি।
পুরো পাতা ›
৫৫৮. ০.১২ + ০.০০১২ + ০.০০০০১২ + …….. ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল- (৪১তম বিসিএস, ২০২১)
1. ক৪/৩৩
2. খ৪/৯৯
3. গ১১২/৯৯
4. ঘ১৪/৯৯
সঠিক উত্তর: ক. ৪/৩৩
এটা অসীম গুণোত্তর ধারা: প্রতিটি পদ আগের পদকে একই সংখ্যা দিয়ে গুণ করে পাওয়া যায়। সাধারণ অনুপাত ১ এর চেয়ে ছোট হলে অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল হয় প্রথম পদকে এক বিয়োগ সাধারণ অনুপাত দিয়ে ভাগ।
প্রথম পদ ০ দশমিক এক দুই। দ্বিতীয় পদ ০ দশমিক শূন্য শূন্য এক দুই, যা প্রথম পদের একশো ভাগের এক। তাই সাধারণ অনুপাত একশো ভাগের এক।
এক থেকে একশো ভাগের এক বাদ দিলে থাকে একশো ভাগের নিরানব্বই। যোগফল তাই ০ দশমিক এক দুই কে একশো ভাগের নিরানব্বই দিয়ে ভাগ, অর্থাৎ নিরানব্বই ভাগের বারো, যা সরল করলে তেত্রিশ ভাগের চার।
আরেকভাবে দেখা যায়: পদগুলো যোগ করলে পাই ০ দশমিক এক দুই এক দুই, এভাবে চলতে থাকা পৌনঃপুনিক দশমিক, যার মান নিরানব্বই ভাগের বারো। ফাঁদ হলো নিরানব্বই ভাগের চোদ্দ, যা আসলে ০ দশমিক এক চার এক চার এর মান।
মনে রাখুন: ধারাটি আসলে ০.১২১২... পৌনঃপুনিক দশমিক = ১২/৯৯ = ৪/৩৩।
পুরো পাতা ›
৫৫৯. √-8 × √-2 = কত? (৪১তম বিসিএস, ২০২১)
1. ক4
2. খ4i
3. গ-4
4. ঘ-4i
সঠিক উত্তর: গ. -4
প্রশ্নটা কাল্পনিক সংখ্যার একটা গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম যাচাই করছে। ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল লেখা হয় i দিয়ে, যেখানে i এর বর্গ ঋণাত্মক ১।
ঋণাত্মক ৮ এর বর্গমূল হলো দুই বর্গমূল দুই গুণ i, আর ঋণাত্মক ২ এর বর্গমূল হলো বর্গমূল দুই গুণ i। গুণ করলে পাই দুই, গুণ বর্গমূল দুই, গুণ বর্গমূল দুই, গুণ i এর বর্গ।
বর্গমূল দুই গুণ বর্গমূল দুই সমান ২, তাই সংখ্যার অংশ ৪। i এর বর্গ ঋণাত্মক ১, তাই উত্তর ঋণাত্মক ৪।
বড় ফাঁদ হলো দুটি বর্গমূল এক করে ঋণাত্মক ৮ গুণ ঋণাত্মক ২, মানে ১৬ এর বর্গমূল ৪ লেখা। দুটি সংখ্যাই ঋণাত্মক হলে বর্গমূলের গুণফল আর গুণফলের বর্গমূল সমান হয় না। আগে i বের করে আনুন, তারপর গুণ করুন।
মনে রাখুন: দুটোই ঋণাত্মক হলে √(−a) × √(−b) = −√(ab); এখানে −√১৬ = −৪।
পুরো পাতা ›
৫৬০. |x – 2| < 3 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3x + 5 < n হবে? (৪১তম বিসিএস, ২০২১)
1. কm = 1, n = 10
2. খm = 2, n = 20
3. গm = 3, n = 30
4. ঘm = 4, n = 40
সঠিক উত্তর: খ. m = 2, n = 20
পরম মানের অসমতাকে দুই দিকের সীমায় ভাঙতে হয়। x বিয়োগ ২ এর পরম মান ৩ এর চেয়ে ছোট মানে x বিয়োগ ২ আছে ঋণাত্মক ৩ আর ধনাত্মক ৩ এর মাঝে।
তিন অংশেই ২ যোগ করলে x আছে ঋণাত্মক ১ আর ৫ এর মাঝে। এবার তিন অংশকেই ৩ দিয়ে গুণ করলে ৩x আছে ঋণাত্মক ৩ আর ১৫ এর মাঝে।
তিন অংশেই ৫ যোগ করলে ৩x যোগ ৫ আছে ২ আর ২০ এর মাঝে। তাই m সমান ২ আর n সমান ২০।
ভুল এড়াতে মনে রাখুন, যোগ বা গুণ তিন অংশে একসঙ্গে করতে হয়। সহজ যাচাই: x এর দুই সীমা ঋণাত্মক ১ আর ৫ সরাসরি ৩x যোগ ৫ এ বসালেই ২ আর ২০ পাওয়া যায়।
মনে রাখুন: x এর দুই সীমা সরাসরি বসান: x = −১ হলে ৩x + ৫ = ২, x = ৫ হলে ২০।
পুরো পাতা ›

পরের পাতা: প্রশ্ন ৫৬১–৫৮০ ›