গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৩০
৫৮১. একটি নৌকা পানির লেভেলে বাঁধা দড়ি দ্বারা একটি ডকের দিকে টানা হয়। নৌকাটি যখন ডক থেকে ১২ ফুট দূরে থাকে, তখন নৌকা থেকে ডক পর্যন্ত দড়ির দৈর্ঘ্য পানির উপর ডকের উচ্চতার দ্বিগুণের চেয়ে ৩ ফুট লম্বা হয়। তাহলে ডকের উচ্চতা কত? (৪৩তম বিসিএস, ২০২১)
- ক৯ ফুট
- খ৮ ফুট
- গ৫ ফুট
- ঘ৪ ফুট
সঠিক উত্তর: গ. ৫ ফুট
প্রশ্নটা পিথাগোরাসের উপপাদ্য দিয়ে একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে সমাধান করতে বলছে। ডকের উচ্চতা খাড়া বাহু, নৌকা থেকে ডকের দূরত্ব ভূমি, আর দড়ি অতিভুজ।
ডকের উচ্চতা h ফুট ধরলে দড়ির দৈর্ঘ্য ২h যোগ ৩ ফুট। পিথাগোরাস অনুযায়ী ১২ এর বর্গ যোগ h এর বর্গ সমান ২h যোগ ৩ এর বর্গ।
বিস্তার করলে ১৪৪ যোগ h এর বর্গ সমান ৪ h এর বর্গ যোগ ১২h যোগ ৯। সাজিয়ে ৩ দিয়ে ভাগ করলে h এর বর্গ যোগ ৪h বিয়োগ ৪৫ সমান শূন্য, মানে h যোগ ৯ গুণ h বিয়োগ ৫ সমান শূন্য। উচ্চতা ঋণাত্মক হয় না, তাই h সমান ৫ ফুট।
যাচাই: দড়ি ১৩ ফুট, আর ৫, ১২, ১৩ একটি পরিচিত পিথাগোরীয় ত্রয়ী। ঋণাত্মক মূল থেকে ৯ সংখ্যাটা আসে, তাই ৯ ফুট বিকল্পটি এখানে ফাঁদ।
মনে রাখুন: বিকল্প বসান: h = ৫ হলে দড়ি ১৩; ৫² + ১২² = ১৬৯ = ১৩²। পরিচিত ত্রয়ী ৫-১২-১৩ চিনলেই হয়।
৫৮২. There is 60% increase in an amount in 6 years at simple interest. What will be the compound interest of taka 12000 after 3 years at the same rate? (জনতা ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২০)
- ক6240
- খ3972
- গ3420
- ঘ4972
সঠিক উত্তর: খ. 3972
প্রশ্নে দুটি ধাপ: আগে সরল সুদের তথ্য থেকে সুদের হার বের করা, তারপর সেই হারে চক্রবৃদ্ধি সুদ হিসাব করা।
সরল সুদে ৬ বছরে আসল ৬০ শতাংশ বেড়েছে, মানে প্রতি বছরে ৬০ ভাগ ৬, অর্থাৎ ১০ শতাংশ। সরল সুদে প্রতি বছর সুদ সমান হয়, তাই সোজা ভাগ করলেই হার মেলে।
চক্রবৃদ্ধিতে প্রতি বছরের সুদ আগের বছরের মোট টাকার উপর হয়। ১২ হাজার টাকায় প্রথম বছর সুদ ১২০০, দ্বিতীয় বছর ১৩ হাজার ২০০-র উপর ১৩২০, তৃতীয় বছর ১৪ হাজার ৫২০-র উপর ১৪৫২। মোট চক্রবৃদ্ধি সুদ ৩৯৭২ টাকা।
ফাঁদ হলো সরল সুদ ধরে ৩৬০০ টাকা পাওয়া, যা অপশনে নেই; আবার ৪৯৭২ রাখা হয়েছে হিসাবে ১ হাজারের ভুল ধরার জন্য।
মনে রাখুন: ১০% হারে ৩ বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = আসলের ৩৩.১%: ১২০০০ × ০.৩৩১ = ৩৯৭২।
৫৮৩. A system of equations is shown below: x+l=6 x-m=5 x+p=4 x-q=3 What is the value of l+m+p+q? (জনতা ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২০)
- ক3
- খ2
- গ6
- ঘ5
সঠিক উত্তর: খ. 2
এখানে চারটি সমীকরণ, কিন্তু অজানা রাশি পাঁচটি: x, l, m, p, q। তাই আলাদা করে প্রতিটির মান বের করা যাবে না; চালাকি হলো প্রতিটিকে x দিয়ে প্রকাশ করে যোগ করা, যাতে x কেটে যায়।
প্রথম সমীকরণ থেকে l সমান ৬ বিয়োগ x। দ্বিতীয় থেকে m সমান x বিয়োগ ৫। তৃতীয় থেকে p সমান ৪ বিয়োগ x। চতুর্থ থেকে q সমান x বিয়োগ ৩।
এবার চারটি যোগ করি। দুটোতে বিয়োগ x আর দুটোতে যোগ x, তাই x পুরোপুরি কেটে যায়। থাকে ৬ বিয়োগ ৫ যোগ ৪ বিয়োগ ৩, যা ২।
ফাঁদ হলো চারটি সমীকরণের ডান দিক ৬, ৫, ৪, ৩ সরাসরি যোগ বা বিয়োগ করা। চিহ্নগুলো খেয়াল না করলে ৬ বা ৩ উত্তর আসে।
মনে রাখুন: যেকোনো একটি x ধরে নিন, যেমন x = ০: তখন l = ৬, m = −৫, p = ৪, q = −৩; যোগফল ২।
৫৮৪. What would be the measure of the perimeter of square whose area is equal to 256 sq cm? (জনতা ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২০)
- ক16 cm
- খ36 cm
- গ64 cm
- ঘ256 cm
সঠিক উত্তর: গ. 64 cm
প্রশ্নটা বর্গের ক্ষেত্রফল থেকে পরিসীমা বের করা নিয়ে। বর্গের চারটি বাহু সমান; ক্ষেত্রফল হলো বাহু গুণ বাহু, আর পরিসীমা হলো চার গুণ বাহু।
ক্ষেত্রফল ২৫৬ বর্গ সেন্টিমিটার, তাই বাহু হলো ২৫৬-এর বর্গমূল, অর্থাৎ ১৬ সেন্টিমিটার, কারণ ১৬ গুণ ১৬ সমান ২৫৬।
পরিসীমা চার গুণ ১৬, অর্থাৎ ৬৪ সেন্টিমিটার।
ফাঁদ দুটি: বাহু ১৬ বের করেই থেমে গেলে ১৬ সেন্টিমিটার বেছে নেবেন; আবার ক্ষেত্রফল আর পরিসীমা গুলিয়ে ২৫৬ বেছে নিতে পারেন।
মনে রাখুন: বর্গের পরিসীমা = ৪√ক্ষেত্রফল = ৪ × ১৬ = ৬৪।
৫৮৫. In the figure, if AB=8, BC =6, AC=10 and CD= 9, then AD=? (জনতা ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২০)
- ক12
- খ11
- গ13
- ঘ17
সঠিক উত্তর: ঘ. 17
প্রশ্নটা পিথাগোরাসের উপপাদ্যের। AB ৮, BC ৬ আর AC ১০ দেখেই চিনে নিন: ৬, ৮, ১০ হলো ৩, ৪, ৫ ত্রয়ীর দ্বিগুণ। তাই ABC ত্রিভুজের B কোণটি সমকোণ, আর AC অতিভুজ।
চিত্রে D বিন্দুটি BC রেখাকে C ছাড়িয়ে বাড়িয়ে নেওয়া অংশে আছে। তাহলে BD হয় BC আর CD-এর যোগফল, মানে ৬ যোগ ৯ সমান ১৫।
এখন ABD একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার এক বাহু AB ৮ আর অন্য বাহু BD ১৫। অতিভুজ AD-এর বর্গ হয় ৮-এর বর্গ ৬৪ যোগ ১৫-এর বর্গ ২২৫, মানে ২৮৯। ২৮৯-এর বর্গমূল ১৭।
৮, ১৫, ১৭ আরেকটি পরিচিত পিথাগোরীয় ত্রয়ী, মনে রাখলে হিসাব ছাড়াই উত্তর আসে। ফাঁদ হলো AC আর CD দিয়ে সরাসরি সমকোণ ধরে নেওয়া; তাতে উত্তর আসে প্রায় ১৩ দশমিক ৪৫, যা কোনো অপশনে নেই।
মনে রাখুন: পিথাগোরীয় ত্রয়ী মুখস্থ রাখুন: ৩-৪-৫, ৫-১২-১৩, ৮-১৫-১৭, ৭-২৪-২৫। ৮ আর ১৫ দেখলেই অতিভুজ ১৭।
৫৮৬. Mr. Ronaldo can finish a task in 20 days and Mr. Messi can do in 30 days. With help of Mr. Salah, they did the job in 10 days only. Then how many days are necessary to complete the task by Mr. Salah? (জনতা ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২০)
- ক80 days
- খ60 days
- গ50 days
- ঘ70 days
সঠিক উত্তর: খ. 60 days
এটা কাজ ও সময়ের প্রশ্ন। মূল নিয়ম: কেউ কোনো কাজ n দিনে করলে এক দিনে করে কাজের n ভাগের ১ ভাগ। কয়েকজন একসাথে করলে তাদের এক দিনের কাজ যোগ হয়।
Ronaldo এক দিনে করেন ২০ ভাগের ১ ভাগ, Messi করেন ৩০ ভাগের ১ ভাগ। দুজনে মিলে এক দিনে করেন ১২ ভাগের ১ ভাগ, কারণ ৩ ভাগ ৬০ যোগ ২ ভাগ ৬০ সমান ৫ ভাগ ৬০।
তিনজনে মিলে ১০ দিনে শেষ করেছেন, তাই তিনজনের এক দিনের কাজ ১০ ভাগের ১ ভাগ। এখান থেকে দুজনের অংশ বাদ দিলে Salah-এর এক দিনের কাজ: ৬ ভাগ ৬০ বিয়োগ ৫ ভাগ ৬০ সমান ৬০ ভাগের ১ ভাগ। তাই Salah একা লাগবে ৬০ দিন।
ফাঁদ হলো দিনগুলো সরাসরি যোগ-বিয়োগ করা। দিন নয়, এক দিনের কাজ যোগ-বিয়োগ করতে হয়।
মনে রাখুন: মোট কাজকে দিনগুলোর লসাগু (৬০) একক ধরুন; তাহলে ভগ্নাংশ ছাড়াই দিনে কে কত একক করেন বের হয়।
৫৮৭. Kaushik earns Taka 11 for each ticket that he sells and a bonus of Taka 2 per ticket for each ticket he sells over 100. If Kaushik was paid Taka 2400, how many tickets did he sell? (জনতা ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২০)
- ক200
- খ180
- গ220
- ঘ250
সঠিক উত্তর: ক. 200
প্রশ্নটা শর্তসাপেক্ষ আয়ের সমীকরণ। প্রতিটি টিকিটে ১১ টাকা, কিন্তু ১০০টির বেশি যতগুলো বিক্রি করেন, তার প্রতিটিতে বাড়তি ২ টাকা বোনাস।
আগে দেখি ১০০টি বিক্রি করলে কত পান: ১০০ গুণ ১১ সমান ১১০০ টাকা। তিনি পেয়েছেন ২৪০০ টাকা, তাই নিশ্চিতভাবে ১০০টির বেশি বিক্রি করেছেন। বাকি ১৩০০ টাকা এসেছে ১০০-এর পরের টিকিট থেকে।
১০০-এর পরের প্রতিটি টিকিটে তিনি পান ১১ যোগ ২, মানে ১৩ টাকা। ১৩০০ ভাগ ১৩ সমান ১০০টি টিকিট। তাই মোট টিকিট ১০০ যোগ ১০০, মানে ২০০টি।
ফাঁদ হলো বোনাস সব টিকিটে ধরে নেওয়া, অথবা পুরো ২৪০০ টাকাকে ১১ দিয়ে ভাগ করা। দুটোতেই ভুল সংখ্যা আসে।
মনে রাখুন: অপশন বসিয়ে যাচাই: ২০০ হলে ২০০ × ১১ + ১০০ × ২ = ২২০০ + ২০০ = ২৪০০। মিলে গেল।
৫৮৮. If x= 10 which of the following has the minimum value? (জনতা ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২০)
- কx/2
- খ2 − x
- গ2/x
- ঘ(2 − x)(2 − x)
সঠিক উত্তর: খ. 2 − x
প্রশ্নটা মান বসিয়ে তুলনা করার। x সমান ১০ প্রতিটি রাশিতে বসিয়ে দেখতে হবে কোনটি সবচেয়ে ছোট।
x ভাগ ২ হয় ৫। ২ ভাগ x হয় ২ ভাগ ১০, মানে ০ দশমিক ২। ২ বিয়োগ x হয় ২ বিয়োগ ১০, মানে ঋণাত্মক ৮।
শেষ রাশিটি ২ বিয়োগ x-এর বর্গ, মানে ঋণাত্মক ৮ গুণ ঋণাত্মক ৮, যা ধনাত্মক ৬৪। দুটো ঋণাত্মক সংখ্যার গুণফল সবসময় ধনাত্মক।
ঋণাত্মক সংখ্যা যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যার চেয়ে ছোট, তাই সবচেয়ে ছোট মান ঋণাত্মক ৮। ফাঁদ হলো ০ দশমিক ২-কে সবচেয়ে ছোট ভাবা, কারণ এটা দেখতে ক্ষুদ্র ভগ্নাংশ।
মনে রাখুন: অপশনের মধ্যে কোনো রাশি ঋণাত্মক হলে সেটাই সবচেয়ে ছোট; বর্গ কখনো ঋণাত্মক নয়।
৫৮৯. When 4 is added to 1/2 of a number, the result is 14. What is the number? (জনতা ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২০)
- ক20
- খ21
- গ27
- ঘ35
সঠিক উত্তর: ক. 20
এটা কথাকে সমীকরণে রূপ দেওয়ার প্রশ্ন। সংখ্যাটিকে x ধরলে তার অর্ধেক x ভাগ ২। এর সঙ্গে ৪ যোগ করলে ফল ১৪।
উল্টো দিক থেকে কাজ করি। ১৪ থেকে ৪ বাদ দিলে থাকে ১০, এটাই সংখ্যাটির অর্ধেক। অর্ধেক ১০ হলে পুরো সংখ্যা ১০ গুণ ২, মানে ২০।
যাচাই: ২০-এর অর্ধেক ১০, তার সঙ্গে ৪ যোগ করলে ১৪। মিলে গেছে।
ফাঁদ হলো আগে ১৪-কে দ্বিগুণ করে তারপর ৪ বাদ দেওয়া; তাতে ২৪ আসে। ক্রম উল্টে কাজ করতে হয়: শেষে যা যোগ হয়েছে, আগে সেটাই বাদ দিন।
মনে রাখুন: অপশন বসান: ২০-এর অর্ধেক ১০, যোগ ৪ = ১৪। সঙ্গে সঙ্গে উত্তর।
৫৯০. The difference of two numbers is 11 and one-fifth of their sum is 9. Find the numbers. (জনতা ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২০)
- ক28 and 16
- খ28 and 17
- গ28 and 18
- ঘ28 and 19
সঠিক উত্তর: খ. 28 and 17
দুটি সংখ্যার যোগফল আর বিয়োগফল জানা থাকলে সংখ্যা দুটি সহজেই বের হয়। এখানে বিয়োগফল ১১, আর যোগফলের ৫ ভাগের ১ ভাগ ৯।
যোগফলের পাঁচ ভাগের এক ভাগ ৯ হলে পুরো যোগফল ৯ গুণ ৫, মানে ৪৫।
বড় সংখ্যা হলো যোগফল আর বিয়োগফলের যোগের অর্ধেক: ৪৫ যোগ ১১ সমান ৫৬, অর্ধেক ২৮। ছোট সংখ্যা হলো যোগফল থেকে বিয়োগফল বাদ দিয়ে অর্ধেক: ৪৫ বিয়োগ ১১ সমান ৩৪, অর্ধেক ১৭।
সব অপশনে ২৮ আছে, তাই আসল পরীক্ষা দ্বিতীয় সংখ্যায়। ২৮ আর ১৬-এর পার্থক্য ১২, এটা ফাঁদ; পার্থক্য ১১ হতে হলে দ্বিতীয়টি ১৭।
মনে রাখুন: সব অপশনে ২৮ থাকলে শুধু দেখুন ২৮ থেকে ১১ কম কোনটি: ১৭। যাচাই: ২৮ + ১৭ = ৪৫, যার ১/৫ = ৯।
৫৯১. If aˣ = b, bʸ = c and cᶻ = a, then the value of xyz is: (জনতা ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২০)
- ক-1
- খ1
- গ1/abc
- ঘabc
সঠিক উত্তর: খ. 1
প্রশ্নটা সূচকের নিয়মের। মূল সূত্র: কোনো ঘাতকে আবার ঘাতে তুললে সূচকগুলো গুণ হয়, মানে a-এর x ঘাতের y ঘাত সমান a-এর xy ঘাত।
a-এর x ঘাত সমান b। এখন b-এর জায়গায় এটা বসাই c-এর সমীকরণে: c সমান b-এর y ঘাত, মানে a-এর xy ঘাত।
আবার a সমান c-এর z ঘাত, তাই a সমান a-এর xyz ঘাত। বাম দিকের a আসলে a-এর ১ ঘাত। ভিত্তি এক হলে সূচক সমান হয়, তাই xyz সমান ১।
ফাঁদ হলো abc বা ১ ভাগ abc বেছে নেওয়া, কারণ প্রশ্নে a, b, c আছে। কিন্তু ঘুরে আবার a-তে ফিরে আসায় সব কেটে যায়, থাকে শুধু ১।
মনে রাখুন: চক্রাকারে a থেকে b, b থেকে c, c থেকে আবার a হলে সূচকগুলোর গুণফল সবসময় ১।
৫৯২. The length of the sides of a triangle are in the ratio of 3 to 5 to 6. If the perimeter of the triangle is 70, what is the length of the longest side? (জনতা ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২০)
- ক26
- খ35
- গ25
- ঘ30
সঠিক উত্তর: ঘ. 30
এটা অনুপাতে ভাগের প্রশ্ন। তিন বাহুর অনুপাত ৩ অনুপাত ৫ অনুপাত ৬, মানে পরিসীমা মোট ৩ যোগ ৫ যোগ ৬, অর্থাৎ ১৪ ভাগে ভাগ হয়েছে।
পরিসীমা ৭০, তাই এক ভাগের মান ৭০ ভাগ ১৪, মানে ৫।
সবচেয়ে বড় বাহু ৬ ভাগ, তাই ৬ গুণ ৫ সমান ৩০। বাকি দুটি বাহু ১৫ আর ২৫, তিনটি মিলিয়ে ৭০।
ফাঁদ হলো ২৫ বেছে নেওয়া, যা আসলে মাঝের বাহু। আরেকটি ফাঁদ ৩৫, যা পরিসীমার অর্ধেক মাত্র।
মনে রাখুন: বৃহত্তম বাহু = পরিসীমা × (বড় অনুপাত ÷ অনুপাতের যোগফল) = ৭০ × ৬/১৪ = ৩০।
৫৯৩. P sells a product to Q and makes a profit of 25%. Q sells it to R at a loss of 20%. If R buys it for Tk. 140, what price did p pay for it? (জনতা ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২০)
- কTk. 211
- খTk. 169
- গTk. 140
- ঘTk. 139
সঠিক উত্তর: গ. Tk. 140
এটা ক্রমিক লাভ-ক্ষতির প্রশ্ন, শেষ দাম থেকে পেছনে যেতে হবে। মনে রাখুন, লাভ বা ক্ষতির হার সবসময় বিক্রেতার কেনা দামের উপর।
Q, R-এর কাছে ২০ শতাংশ ক্ষতিতে বেচেছে। মানে Q-এর কেনা দামের ৮০ শতাংশ হলো ১৪০ টাকা। তাই Q-এর কেনা দাম ১৪০ ভাগ ০ দশমিক ৮, মানে ১৭৫ টাকা।
Q এটা P-এর কাছ থেকে ১৭৫ টাকায় কিনেছে, আর P ২৫ শতাংশ লাভ করেছে। মানে P-এর কেনা দামের ১২৫ শতাংশ হলো ১৭৫। তাই P-এর কেনা দাম ১৭৫ ভাগ ১ দশমিক ২৫, মানে ১৪০ টাকা।
মজার ব্যাপার, P আর R একই দাম দিয়েছে, কারণ ১ দশমিক ২৫ গুণ ০ দশমিক ৮ সমান ঠিক ১। অনেকে ভাবেন শেষ দাম ১৪০ বলে উত্তর ১৪০ হতে পারে না; কিন্তু হিসাব বলে পারে।
মনে রাখুন: সরাসরি: P-এর দাম = ১৪০ ÷ (১.২৫ × ০.৮০) = ১৪০ ÷ ১ = ১৪০।
৫৯৪. A garden of 100 meter length and 60 meter width has a walkway of 2 meter width on every side. What is the area of the garden, in square meters, excluding the walkway? (জনতা ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২০)
- ক5376
- খ5576
- গ2556
- ঘ7874
সঠিক উত্তর: ক. 5376
এখানে হাঁটার রাস্তা বাগানের ভেতরে, চার পাশ ঘিরে ২ মিটার চওড়া। প্রশ্ন চেয়েছে রাস্তা বাদ দিয়ে বাকি বাগানের ক্ষেত্রফল।
রাস্তা দুই পাশেই থাকে, তাই দৈর্ঘ্য থেকে বাদ যায় ২ যোগ ২, মানে ৪ মিটার, আর প্রস্থ থেকেও ৪ মিটার। ভেতরের অংশের দৈর্ঘ্য হয় ৯৬ মিটার আর প্রস্থ ৫৬ মিটার।
ক্ষেত্রফল ৯৬ গুণ ৫৬, মানে ৫৩৭৬ বর্গমিটার।
ফাঁদ হলো প্রতি দিক থেকে মাত্র ২ মিটার বাদ দেওয়া, যেন রাস্তা এক পাশে। দুই পাশে রাস্তা থাকায় প্রতিটি মাপ থেকে দ্বিগুণ, মানে ৪ মিটার কমে।
মনে রাখুন: ভেতরে চারপাশে w চওড়া রাস্তা: বাকি অংশ = (দৈর্ঘ্য − ২w) × (প্রস্থ − ২w)।
৫৯৫. Which one is true for the mathematical expression (2ⁿ + 2ⁿ⁻¹) ÷ (2ⁿ⁺¹ − 2ⁿ)? (জনতা ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২০)
- ক3/2
- খ2/3
- গ1
- ঘ2/30
সঠিক উত্তর: ক. 3/2
প্রশ্নটা সূচকের সরলীকরণ। কৌশল হলো লব আর হরের প্রতিটি পদ থেকে সবচেয়ে ছোট ঘাতটি সাধারণ উৎপাদক হিসেবে বের করা।
লবে ২-এর n ঘাত হলো ২ গুণ ২-এর n বিয়োগ ১ ঘাত। তাই লব হয় ২-এর n বিয়োগ ১ ঘাত গুণ ২ যোগ ১, মানে ৩ গুণ ২-এর n বিয়োগ ১ ঘাত।
হরে ২-এর n যোগ ১ ঘাত হলো ২ গুণ ২-এর n ঘাত। তাই হর হয় ২-এর n ঘাত গুণ ২ বিয়োগ ১, মানে শুধু ২-এর n ঘাত।
এখন ৩ গুণ ২-এর n বিয়োগ ১ ঘাতকে ২-এর n ঘাত দিয়ে ভাগ করলে থাকে ৩ ভাগ ২। n যা-ই হোক, ফল একই থাকে। ফাঁদ হলো উল্টে ২ ভাগ ৩ লেখা।
মনে রাখুন: n-এর একটা সহজ মান বসান, যেমন n = ১: (২ + ১) ÷ (৪ − ২) = ৩/২।
৫৯৬. 2³⁰ + 2³⁰ + 2³⁰ + 2³⁰ = ? (জনতা ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২০)
- ক8¹²⁰
- খ8³⁰
- গ2³²
- ঘ2³⁰
সঠিক উত্তর: গ. 2³²
প্রশ্নটা সূচকের যোগ। একই রাশি চারবার যোগ করা মানে রাশিটিকে ৪ দিয়ে গুণ করা। তাই উত্তর ৪ গুণ ২-এর ৩০ ঘাত।
৪ আসলে ২-এর বর্গ। আর একই ভিত্তির ঘাত গুণ করলে সূচক যোগ হয়। তাই ২-এর ২ ঘাত গুণ ২-এর ৩০ ঘাত সমান ২-এর ৩২ ঘাত।
মনে রাখুন, যোগ করলে সূচক যোগ হয় না। ঘাতগুলো যোগ করলে শুধু সহগ বাড়ে, পরে সেটাকে ঘাতে রূপান্তর করতে হয়।
ফাঁদ হলো ৮-এর ১২০ ঘাত বা ৮-এর ৩০ ঘাত, যেখানে ভিত্তি ২ চারবার যোগ করে ৮ আর সূচক চারবার যোগ করে ১২০ ধরা হয়েছে। এ দুটো যোগ নয়, গুণের ভুল নিয়ম।
মনে রাখুন: ২ⁿ যতবার যোগ করবেন, সেটা ২-এর ঘাত হলে সূচকে যোগ হয়: চারবার মানে +২, আটবার মানে +৩।
৫৯৭. 40% of 200 is what percent of 160? (জনতা ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২০)
- ক20%
- খ80%
- গ60%
- ঘ50%
সঠিক উত্তর: ঘ. 50%
প্রশ্নটা দুই ধাপের শতকরা। প্রথমে ২০০-এর ৪০ শতাংশ বের করি, তারপর দেখি সেটা ১৬০-এর কত শতাংশ।
২০০-এর ৪০ শতাংশ মানে ২০০ গুণ ৪০ ভাগ ১০০, যা ৮০।
এখন ৮০ হলো ১৬০-এর কত শতাংশ: ৮০ ভাগ ১৬০ গুণ ১০০, মানে ৫০ শতাংশ। ৮০ হলো ১৬০-এর ঠিক অর্ধেক।
ফাঁদ হলো প্রথম ধাপের ফল ৮০-কেই উত্তর ভেবে নেওয়া। ৮০ সংখ্যা, শতাংশ নয়।
মনে রাখুন: সরাসরি: (৪০ × ২০০) ÷ ১৬০ = ৫০%।
৫৯৮. What is the value of 'n' if (8-3) (8-n)=? (জনতা ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২০)
- ক-3
- খ8
- গ
- ঘ-5
- ঙকোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর: ঙ. কোনোটিই নয়
প্রশ্নটা সূচকের গুণের নিয়ম পরীক্ষা করছে: একই ভিত্তির দুটি ঘাত গুণ করলে সূচক যোগ হয়। যেমন ৮-এর ঋণাত্মক ৩ ঘাত গুণ ৮-এর ঋণাত্মক n ঘাত সমান ৮-এর ঋণাত্মক ৩ বিয়োগ n ঘাত।
এরপর ডান পাশে যে মান দেওয়া থাকে, সেটাকেও ৮-এর ঘাতে লিখে দুই পাশের সূচক সমান করতে হয়। যেমন ডান পাশ ১ হলে ১ সমান ৮-এর শূন্য ঘাত, তাই ঋণাত্মক ৩ বিয়োগ n সমান শূন্য, আর n সমান ঋণাত্মক ৩।
এই প্রশ্নের ছাপা রূপে ডান পাশের মান আর তৃতীয় অপশনটি হারিয়ে গেছে, তাই নিশ্চিত উত্তর বলা যাচ্ছে না। মূল প্রশ্ন পেলে ওপরের নিয়মে এক লাইনেই সমাধান হবে।
মনে রাখুন: সূচকের সমীকরণে দুই পাশ একই ভিত্তিতে আনুন, তারপর শুধু সূচক মিলিয়ে নিন।
৫৯৯. If 1/y = 3½, then 1/(y + 2) = ? (জনতা ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২০)
- ক7/16
- খ2/7
- গ2/11
- ঘ2/16
সঠিক উত্তর: ক. 7/16
প্রশ্নটা ভগ্নাংশের। ১ ভাগ y দেওয়া আছে মিশ্র ভগ্নাংশে, ৩ পূর্ণ ১ ভাগ ২। আগে এটাকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে নিই: ৭ ভাগ ২।
১ ভাগ y যদি ৭ ভাগ ২ হয়, তবে y হলো এর উল্টো, মানে ২ ভাগ ৭।
এখন y যোগ ২ হয় ২ ভাগ ৭ যোগ ১৪ ভাগ ৭, মানে ১৬ ভাগ ৭। এর উল্টো, অর্থাৎ ১ ভাগ y যোগ ২, হলো ৭ ভাগ ১৬।
ফাঁদ হলো ২ ভাগ ৭ বেছে নেওয়া, যা আসলে শুধু y-এর মান। আরেকটি ভুল ১ ভাগ y-এর সঙ্গে সরাসরি ২ যোগ করা।
মনে রাখুন: উত্তরের লবে ৭ থাকবেই, কারণ y-এর হর ৭; একমাত্র ৭/১৬-তেই লব ৭।
৬০০. Mr. X lost a wallet containing Tk. 120. He had only notes of Tk. 2 and Tk. 5 denominations in the wallet. If the total number of notes was 30, how many Tk. 5 denomination notes did he have? (জনতা ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২০)
- ক15
- খ16
- গ18
- ঘ20
সঠিক উত্তর: ঘ. 20
এটা দুই অজানার নোটের প্রশ্ন। মোট নোট ৩০টি আর মোট টাকা ১২০। কেবল ২ টাকা আর ৫ টাকার নোট আছে।
ধরে নিই সব ৩০টি নোটই ২ টাকার। তাহলে মোট হতো ৬০ টাকা। কিন্তু আছে ১২০ টাকা, মানে ৬০ টাকা বেশি।
একটি ২ টাকার নোট বদলে ৫ টাকার নোট করলে মোট বাড়ে ৩ টাকা। ৬০ টাকা বাড়াতে হলে বদলাতে হবে ৬০ ভাগ ৩, মানে ২০টি নোট। তাই ৫ টাকার নোট ২০টি, আর ২ টাকার নোট ১০টি।
যাচাই: ২০ গুণ ৫ সমান ১০০, আর ১০ গুণ ২ সমান ২০, মোট ১২০। ফাঁদ হলো ১৫, মানে অর্ধেক অর্ধেক ধরে নেওয়া; তাতে মোট হয় মাত্র ১০৫ টাকা।
মনে রাখুন: (মোট টাকা − মোট নোট × ছোট নোট) ÷ (বড় − ছোট) = (১২০ − ৬০) ÷ ৩ = ২০।