গাণিতিক যুক্তি · পাতা ২৯

⚡ এই বিষয়ে কুইক টেস্ট

পাতা ২৯/৫৩ · প্রশ্ন ৫৬১–৫৮০সব উত্তর দেখান

৫৬১. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৫% বৃদ্ধি করলে তার ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে? (৪১তম বিসিএস, ২০২১)
1. ক৫%
2. খ১০%
3. গ২০%
4. ঘ২৫%
সঠিক উত্তর: ক. ৫%
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো দৈর্ঘ্য গুণ প্রস্থ। প্রশ্নে শুধু দৈর্ঘ্য বাড়ানোর কথা বলা হয়েছে, প্রস্থ একই থাকছে।
দৈর্ঘ্য ১০০ আর প্রস্থ ১ ধরলে ক্ষেত্রফল ১০০। দৈর্ঘ্য ৫ শতাংশ বাড়লে হয় ১০৫, প্রস্থ ১ থাকায় ক্ষেত্রফলও ১০৫। তাই ক্ষেত্রফল বাড়ল ৫ শতাংশ।
সাধারণ নিয়ম: কোনো গুণফলের একটি উৎপাদক যে হারে বাড়ে, অন্যটি স্থির থাকলে গুণফলও ঠিক সেই হারে বাড়ে।
ফাঁদ হলো দৈর্ঘ্য আর প্রস্থ দুটোই বাড়ানো ধরে নেওয়া। দুটোই ৫ শতাংশ বাড়লে ক্ষেত্রফল বাড়ত ১০ দশমিক দুই পাঁচ শতাংশ, তবু ১০ নয়; আর এই প্রশ্নে প্রস্থের কথাই নেই।
মনে রাখুন: একটি মাত্রা r% বাড়লে ক্ষেত্রফলও r%; দুটো মাত্রাই r% বাড়লে (২r + r²/১০০)%।
পুরো পাতা ›
৫৬২. চিনির মূল্য ১০% কমে যাওয়ায় চিনির ব্যবহার শতকরা কত ভাগ বাড়ালে চিনি বাবদ খরচ একই থাকবে? (৪১তম বিসিএস, ২০২১)
1. ক৮%
2. খ৮(১/৩)%
3. গ১০%
4. ঘ১১(১/৯)%
সঠিক উত্তর: ঘ. ১১(১/৯)%
খরচ সমান দাম গুণ পরিমাণ। খরচ একই রাখতে হলে দাম কমলে পরিমাণ বাড়াতে হয়, কিন্তু শতকরা হার একই থাকে না, কারণ হিসাবের ভিত্তি বদলে যায়।
দাম ১০০ টাকা ধরি, ১০ শতাংশ কমে হয় ৯০ টাকা। আগে ১০০ টাকায় যতটা চিনি পাওয়া যেত, এখন ৯০ টাকাতেই তা পাওয়া যায়; বাকি ১০ টাকায় বাড়তি চিনি কেনা যায়।
বাড়তি অংশ হলো ৯০ এর উপর ১০, মানে নয় ভাগের এক, যা শতকরায় ১১ পূর্ণ নয় ভাগের এক শতাংশ।
ফাঁদ হলো ১০ শতাংশ বেছে নেওয়া। ব্যবহার ১০ শতাংশ বাড়ালে খরচ হয় ১১০ এর ৯০ শতাংশ, মানে ৯৯, যা আগের ১০০ এর চেয়ে ১ কম।
মনে রাখুন: দাম r% কমলে ব্যবহার বাড়াতে হবে r ÷ (১০০ − r) × ১০০%; এখানে ১০ ÷ ৯০ × ১০০ = ১১(১/৯)%।
পুরো পাতা ›
৫৬৩. ৬ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল- (৪১তম বিসিএস, ২০২১)
1. ক২১√৩ বর্গ সে.মি.
2. খ২৩√২ বর্গ সে.মি.
3. গ২৫√৩ বর্গ সে.মি.
4. ঘ২৭√৩ বর্গ সে.মি.
সঠিক উত্তর: ঘ. ২৭√৩ বর্গ সে.মি.
বৃত্তের ভেতরে আঁকা সমবাহু ত্রিভুজের তিন শীর্ষই বৃত্তের উপর থাকে। এমন ত্রিভুজের বাহু হয় ব্যাসার্ধ গুণ বর্গমূল তিন।
কেন এমন: কেন্দ্র থেকে দুই শীর্ষে টানা দুই ব্যাসার্ধ ১২০ ডিগ্রি কোণ তৈরি করে, আর সেই ত্রিভুজ থেকে বাহু হয় ব্যাসার্ধের বর্গমূল তিন গুণ। এখানে ব্যাসার্ধ ৬, তাই বাহু ৬ বর্গমূল তিন সেন্টিমিটার।
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল পেতে বাহুর বর্গকে বর্গমূল তিন দিয়ে গুণ করে চার দিয়ে ভাগ করতে হয়। বাহুর বর্গ ৩৬ গুণ ৩, মানে ১০৮। ১০৮ কে চার দিয়ে ভাগ করলে ২৭, তাই ক্ষেত্রফল ২৭ বর্গমূল তিন বর্গ সেন্টিমিটার।
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলে সবসময় বর্গমূল তিন থাকে, তাই বর্গমূল দুই থাকা বিকল্পটি সঙ্গে সঙ্গে বাদ। দ্রুত পথ: ব্যাসার্ধের বর্গকে তিন বর্গমূল তিন দিয়ে গুণ করে চার দিয়ে ভাগ করুন।
মনে রাখুন: বৃত্তে অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজ: ক্ষেত্রফল = (৩√৩/৪) r² = (৩√৩/৪) × ৩৬ = ২৭√৩।
পুরো পাতা ›
৫৬৪. ΔABC এর ∠A = 40° এবং ∠B = 80°। ∠C এর সমদ্বিখণ্ডক AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করলে ∠CDA = ? (৪১তম বিসিএস, ২০২১)
1. ক১১০°
2. খ১০০°
3. গ৯০°
4. ঘ৮০°
সঠিক উত্তর: ক. ১১০°
প্রশ্নটা ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি আর কোণ সমদ্বিখণ্ডকের ধারণা একসঙ্গে যাচাই করছে। যেকোনো ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল ১৮০ ডিগ্রি।
কোণ A ৪০ আর কোণ B ৮০ ডিগ্রি, তাই কোণ C হলো ১৮০ থেকে ১২০ বাদ, অর্থাৎ ৬০ ডিগ্রি। সমদ্বিখণ্ডক CD এই কোণকে সমান দুই ভাগ করে, তাই কোণ ACD ৩০ ডিগ্রি।
এখন ছোট ত্রিভুজ ACD দেখি। এর কোণ A ৪০, কোণ ACD ৩০, তাই কোণ CDA হলো ১৮০ থেকে ৭০ বাদ, অর্থাৎ ১১০ ডিগ্রি।
পাশের ত্রিভুজ BCD তে কোণ CDB হয় ৭০ ডিগ্রি; দুটো মিলে সরলকোণ ১৮০। কোন ত্রিভুজের কোণ চাওয়া হয়েছে, A এর পাশের না B এর পাশের, তা খেয়াল না করলেই ভুল হয়।
মনে রাখুন: বহিঃস্থ কোণের নিয়মে: ∠CDA = ∠B + ∠BCD = ৮০° + ৩০° = ১১০°।
পুরো পাতা ›
৫৬৫. ৫ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার একটি দল থেকে একজন পুরুষ ও দুইজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে? (৪১তম বিসিএস, ২০২১)
1. ক১০
2. খ১৫
3. গ২৫
4. ঘ৩০
সঠিক উত্তর: ঘ. ৩০
কমিটি গঠনে সদস্যদের ক্রমের কোনো মূল্য নেই, তাই এটা সমাবেশ বা বাছাইয়ের প্রশ্ন। দুটি আলাদা বাছাই একসঙ্গে করতে হলে উপায়গুলো গুণ হয়, যোগ নয়।
৫ জন পুরুষ থেকে ১ জন বাছাই করা যায় ৫ উপায়ে। ৪ জন মহিলা থেকে ২ জনের জোড়া হয় ৬টি: চারজনের প্রত্যেকে বাকি তিনজনের সঙ্গে জোড়া বাঁধে, তাতে ১২, কিন্তু প্রতিটি জোড়া দুবার গোনা, তাই ৬।
প্রতিটি পুরুষের সঙ্গে ৬টি মহিলা-জোড়ার যেকোনোটি যেতে পারে। তাই মোট কমিটি ৫ গুণ ৬, অর্থাৎ ৩০টি।
ফাঁদ হলো পুরুষ আর মহিলার সংখ্যা গুলিয়ে ৫ জন থেকে ২ জন বাছাই করা, যাতে আসে ১০।
মনে রাখুন: স্বাধীন বাছাই একসঙ্গে হলে গুণ: ⁵C₁ × ⁴C₂ = ৩০।
পুরো পাতা ›
৫৬৬. x + 2^(1/3) + 2^(2/3) = 0 হলে, x³ + 6 এর মান কত? (৪১তম বিসিএস, ২০২১)
1. ক4x
2. খ6x
3. গ4
4. ঘ৪
সঠিক উত্তর: খ. 6x
এ ধরনের প্রশ্নে ঘনমূলওয়ালা পদগুলো একপাশে রেখে দুই পাশ ঘন করতে হয়, তাহলে ঘনমূল সরে যায়। সূত্র লাগবে: a যোগ b এর ঘন সমান a এর ঘন যোগ b এর ঘন যোগ তিন ab গুণ a যোগ b।
দুইয়ের তিন ভাগের এক ঘাত মানে ঘনমূল দুই, আর তিন ভাগের দুই ঘাত মানে ঘনমূল চার। সমীকরণ থেকে পাই, ঘনমূল দুই যোগ ঘনমূল চার সমান ঋণাত্মক x।
এবার দুই পাশ ঘন করি। ঘনমূল দুইয়ের ঘন ২, ঘনমূল চারের ঘন ৪, আর দুটির গুণফল ঘনমূল আট, মানে ২। তাই বাম পাশ হয় ২ যোগ ৪ যোগ তিন গুণ ২ গুণ ঋণাত্মক x, অর্থাৎ ৬ বিয়োগ ছয় x। ডান পাশ হয় x এর ঘনের ঋণাত্মক।
তাহলে x এর ঘনের ঋণাত্মক সমান ৬ বিয়োগ ছয় x, অর্থাৎ x এর ঘন যোগ ৬ সমান ছয় x। সংখ্যায় মিলিয়ে দেখা যায়: x প্রায় ঋণাত্মক ২ দশমিক আট পাঁচ, আর দুই পাশই প্রায় ঋণাত্মক ১৭ দশমিক শূন্য আট; অথচ চার x প্রায় ঋণাত্মক ১১ দশমিক চার, তাই সেটা মেলে না।
মনে রাখুন: দুই পাশ ঘন করুন, ৩ab(a + b) পদে ab = ২; ফল x³ + ৬ = ৬x। যাচাই: x ≈ −২.৮৫ বসালে দুই পাশই ≈ −১৭.০৮।
পুরো পাতা ›
৫৬৭. 5ˣ + 8·5ˣ + 16·5ˣ = 1 হলে, x এর মান কত? (৪১তম বিসিএস, ২০২১)
1. ক-3
2. খ-2
3. গ-1
4. ঘ-(1/2)
সঠিক উত্তর: খ. -2
প্রশ্নে বিন্দুগুলো গুণ চিহ্ন: পদ তিনটি হলো পাঁচের x ঘাত, আট গুণ পাঁচের x ঘাত, আর ষোলো গুণ পাঁচের x ঘাত। তিনটিতেই পাঁচের x ঘাত সাধারণ, তাই সেটা বাইরে আনা যায়।
সাধারণ উৎপাদক বের করলে ভেতরে থাকে এক যোগ আট যোগ ষোলো, মানে ২৫। তাই ২৫ গুণ পাঁচের x ঘাত সমান ১, অর্থাৎ পাঁচের x ঘাত সমান পঁচিশ ভাগের এক।
পঁচিশ হলো পাঁচের বর্গ, তাই পঁচিশ ভাগের এক মানে পাঁচের ঘাত ঋণাত্মক ২। ভিত্তি সমান হলে ঘাতও সমান, তাই x সমান ঋণাত্মক ২।
ফাঁদ হলো ঋণাত্মক ঘাতের অর্থ গুলিয়ে ফেলা। পাঁচের ঘাত ঋণাত্মক ১ মানে পাঁচ ভাগের এক; তাকে ২৫ দিয়ে গুণ করলে ১ হয় না, হয় ৫।
মনে রাখুন: সহগ যোগ করুন: ১ + ৮ + ১৬ = ২৫ = ৫²; তাই ৫ˣ = ৫⁻², x = −২।
পুরো পাতা ›
৫৬৮. 5/12, 6/13, 11/24 এবং 3/8 এর মধ্যে বড় ভগ্নাংশটি- (৪১তম বিসিএস, ২০২১)
1. ক5/12
2. খ6/13
3. গ11/24
4. ঘ3/8
সঠিক উত্তর: খ. 6/13
ভগ্নাংশ তুলনার দুই উপায়: দশমিকে রূপান্তর, অথবা আড়াআড়ি গুণ। দুটো ভগ্নাংশ খুব কাছাকাছি হলে আড়াআড়ি গুণই সবচেয়ে নিরাপদ।
আট ভাগের তিন মানে ০ দশমিক তিন সাত পাঁচ, আর বারো ভাগের পাঁচ প্রায় ০ দশমিক চার এক সাত; দুটোই অর্ধেকের বেশ নিচে। বাকি দুটি, তেরো ভাগের ছয় আর চব্বিশ ভাগের এগারো, দুটোই অর্ধেকের খুব কাছে।
এই দুটি আড়াআড়ি গুণ করি: ছয় গুণ চব্বিশ সমান ১৪৪, আর এগারো গুণ তেরো সমান ১৪৩। ১৪৪ বড়, তাই তেরো ভাগের ছয় বড়।
আরেক চোখে দেখা যায়: তেরো ভাগের ছয় অর্ধেকের চেয়ে ছাব্বিশ ভাগের এক কম, আর চব্বিশ ভাগের এগারো অর্ধেকের চেয়ে চব্বিশ ভাগের এক কম। ছাব্বিশ ভাগের এক ছোট, তাই তেরো ভাগের ছয় অর্ধেকের বেশি কাছে, মানে বড়। ফাঁদ হলো বড় লব আর হর দেখে চব্বিশ ভাগের এগারোকে বড় ভাবা।
মনে রাখুন: অর্ধেক থেকে দূরত্ব দেখুন: ৬/১৩ = ১/২ − ১/২৬, ১১/২৪ = ১/২ − ১/২৪; দূরত্ব কম মানে বড়।
পুরো পাতা ›
৫৬৯. a + b = 7 এবং ab = 12 হলে, 1/a² + 1/b² এর মান কত? (৪১তম বিসিএস, ২০২১)
1. ক3/25
2. খ25/144
3. গ31/144
4. ঘ11/49
সঠিক উত্তর: খ. 25/144
প্রশ্নটা চাইছে a এর বর্গের বিপরীত আর b এর বর্গের বিপরীতের যোগফল। দুটিকে এক হরে আনলে লব হয় a এর বর্গ যোগ b এর বর্গ, আর হর হয় ab এর বর্গ।
a এর বর্গ যোগ b এর বর্গ সমান a যোগ b এর বর্গ বিয়োগ দুই ab। এখানে ৭ এর বর্গ ৪৯, দুই ab সমান ২৪, তাই লব ২৫। হর ১২ এর বর্গ, মানে ১৪৪।
তাই মান একশো চুয়াল্লিশ ভাগের পঁচিশ। মিলিয়েও দেখা যায়: যোগফল ৭ আর গুণফল ১২ এমন দুটি সংখ্যা হলো ৩ আর ৪; নয় ভাগের এক যোগ ষোলো ভাগের এক সমান একশো চুয়াল্লিশ ভাগের পঁচিশ।
ফাঁদ হলো হরে a যোগ b এর বর্গ, মানে ৪৯ বসানো। সঠিক হর হলো ab এর বর্গ, অর্থাৎ ১৪৪।
মনে রাখুন: a = ৩, b = ৪ (যোগ ৭, গুণ ১২) বসান: ১/৯ + ১/১৬ = ২৫/১৪৪।
পুরো পাতা ›
৫৭০. বার্ষিক ১০% মুনাফায় ৮০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত? (৪১তম বিসিএস, ২০২১)
1. ক৯৪০ টাকা
2. খ৯৬০ টাকা
3. গ৯৬৮ টাকা
4. ঘ৯৮০ টাকা
সঠিক উত্তর: গ. ৯৬৮ টাকা
চক্রবৃদ্ধিতে প্রতি বছরের মুনাফা পরের বছর আসলের সঙ্গে যোগ হয়, তাই দ্বিতীয় বছরে মুনাফার উপরও মুনাফা হয়। চক্রবৃদ্ধি মূলধন মানে মুনাফাসহ মোট টাকা।
প্রথম বছর ৮০০ টাকার ১০ শতাংশ, মানে ৮০ টাকা মুনাফা; বছর শেষে ৮৮০ টাকা। দ্বিতীয় বছর ৮৮০ টাকার ১০ শতাংশ, মানে ৮৮ টাকা; বছর শেষে ৯৬৮ টাকা।
সূত্রেও একই: আসলকে এক আর হারের যোগফলের বর্গ দিয়ে গুণ। ১ দশমিক এক এর বর্গ ১ দশমিক দুই এক, আর ৮০০ কে তা দিয়ে গুণ করলে ৯৬৮।
ফাঁদ হলো সরল মুনাফার হিসাব: দুই বছরে ৮০ করে মোট ১৬০ যোগ করলে আসে ৯৬০। চক্রবৃদ্ধিতে দ্বিতীয় বছরের বাড়তি ৮ টাকা আসে প্রথম বছরের মুনাফার উপর মুনাফা থেকে।
মনে রাখুন: ১০% হারে ২ বছরে মোট বৃদ্ধি ২১% (১০ + ১০ + ১); ৮০০ এর ২১% = ১৬৮, তাই ৯৬৮।
পুরো পাতা ›
৫৭১. log₂(log_√e e²) = ? (৪১তম বিসিএস, ২০২১)
1. ক-2
2. খ-1
3. গ1
4. ঘ2
সঠিক উত্তর: ঘ. 2
এখানে একটি লগের ভেতরে আরেকটি লগ। আগে ভেতরেরটা বের করতে হবে, তারপর বাইরেরটা।
ভেতরের লগের ভিত্তি বর্গমূল e, আর সংখ্যাটি e এর বর্গ। বর্গমূল e মানে e এর ঘাত দুই ভাগের এক। প্রশ্ন হলো, এটাকে কত ঘাত করলে e এর বর্গ হয়। উত্তর ৪, কারণ দুই ভাগের এক গুণ ৪ সমান ২।
এবার বাইরের লগ: ২ ভিত্তিতে ৪ এর লগ। ২ এর বর্গ ৪, তাই মান ২।
ফাঁদ হলো ভেতরের লগের ভিত্তি বর্গমূল e এর বদলে শুধু e ধরা। তখন ভেতরে আসে ২, আর বাইরে ২ ভিত্তিতে ২ এর লগ সমান ১। ঋণাত্মক উত্তর দুটি অসম্ভব, কারণ ১ এর চেয়ে বড় সংখ্যার লগ ২ ভিত্তিতে ধনাত্মক।
মনে রাখুন: log_(aᵐ) (aⁿ) = n/m; এখানে ২ ÷ ১/২ = ৪, তারপর log₂ ৪ = ২।
পুরো পাতা ›
৫৭২. একটি অনুষ্ঠানে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারবে। যদি করমর্দনের সংখ্যা ৩০০ হয়, তাহলে ঐ অনুষ্ঠানে কতজন লোক ছিল? (৪৩তম বিসিএস, ২০২১)
1. ক২৪
2. খ২৫
3. গ৩০
4. ঘ৬০
সঠিক উত্তর: খ. ২৫
প্রত্যেকে প্রত্যেকের সঙ্গে একবার করমর্দন মানে প্রতিটি জোড়া একবার। n জন লোক থেকে জোড়া হয় n গুণ n বিয়োগ ১, তার অর্ধেক।
কেন অর্ধেক: প্রত্যেকে বাকি সবার সঙ্গে হাত মেলান, কিন্তু ক আর খ এর করমর্দন ক এর দিক থেকে একবার আর খ এর দিক থেকে একবার, মোট দুবার গোনা হয়।
এখানে সেই অর্ধেক সমান ৩০০, তাই n গুণ n বিয়োগ ১ সমান ৬০০। পরপর দুটি সংখ্যা যাদের গুণফল ৬০০, তারা ২৫ আর ২৪। তাই অনুষ্ঠানে লোক ছিলেন ২৫ জন।
ফাঁদ হলো ২৪ বেছে নেওয়া, কারণ ২৪ সংখ্যাটিও গুণফলে আছে। কিন্তু ২৪ জন হলে করমর্দন হয় ২৭৬টি, ৩০০ নয়।
মনে রাখুন: √৬০০ ≈ ২৪.৫; তার ঠিক উপরের পূর্ণসংখ্যা ২৫ = n।
পুরো পাতা ›
৫৭৩. A এবং B দুটি ঘটনা যেন, P(A) = 1/2, P(A∪B) = 3/4, P(Bᶜ) = 5/8 হলে, P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = কত? (৪৩তম বিসিএস, ২০২১)
1. ক1/8
2. খ1/6
3. গ1/4
4. ঘ1/2
সঠিক উত্তর: গ. 1/4
প্রশ্নটা সম্ভাবনার পূরক ঘটনা আর ডি মরগানের সূত্র যাচাই করছে। A নয় এবং B নয়, এই দুটো একসাথে ঘটা মানে A বা B কোনোটাই না ঘটা।
ডি মরগানের সূত্র বলে, A এর পূরক আর B এর পূরকের ছেদ সমান A ও B এর সংযোগের পূরক। তাই সম্ভাবনাটা হলো ১ বিয়োগ A অথবা B ঘটার সম্ভাবনা।
A অথবা B ঘটার সম্ভাবনা দেওয়া আছে ৪ ভাগের ৩। তাই উত্তর ১ বিয়োগ ৪ ভাগের ৩, মানে ৪ ভাগের ১। B এর পূরকের সম্ভাবনা বা A এর সম্ভাবনা এখানে কাজেই লাগে না।
ফাঁদ হলো ৮ ভাগের ১ বিকল্পটি। এটা আসলে A ও B দুটোই ঘটার সম্ভাবনা, যা অন্য সূত্র দিয়ে বের হয়; প্রশ্ন চেয়েছে দুটোর কোনোটাই না ঘটার সম্ভাবনা।
মনে রাখুন: “A নয় এবং B নয়” দেখলেই ১ থেকে P(A ∪ B) বিয়োগ করুন; অন্য তথ্য লাগে না।
পুরো পাতা ›
৫৭৪. বাস্তব সংখ্যায় 1/(3x – 5) < 1/3 অসমতাটির সমাধান- (৪৩তম বিসিএস, ২০২১)
1. ক– ∞ < x < 5/3
2. খ8/3 < x < ∞
3. গ– ∞ < x < 5/2 অথবা 8/3 < x < ∞
4. ঘ– ∞ < x < 5/2 এবং 8/3 < x < ∞
সঠিক উত্তর: গ. – ∞ < x < 5/2 অথবা 8/3 < x < ∞
প্রশ্নটা ভগ্নাংশযুক্ত অসমতা যাচাই করছে। এখানে আসল কৌশল: হরের চিহ্ন না জেনে দুই পাশ হর দিয়ে গুণ করা যায় না, কারণ ঋণাত্মক দিয়ে গুণ করলে অসমতার চিহ্ন উল্টে যায়। তাই দুই ভাগে ভাবতে হয়।
প্রথম ভাগ: ৩x বিয়োগ ৫ ধনাত্মক হলে, মানে x যখন ৩ ভাগের ৫ এর চেয়ে বড়। তখন উল্টো করে নিলে ৩x বিয়োগ ৫ কে ৩ এর চেয়ে বড় হতে হবে, অর্থাৎ x হবে ৩ ভাগের ৮ এর চেয়ে বড়।
দ্বিতীয় ভাগ: ৩x বিয়োগ ৫ ঋণাত্মক হলে, মানে x যখন ৩ ভাগের ৫ এর চেয়ে ছোট। তখন বাম পাশটা ঋণাত্মক, আর ঋণাত্মক সংখ্যা সবসময় ৩ ভাগের ১ এর চেয়ে ছোট। তাই এই পুরো অংশই সমাধান।
দুই ভাগ মিলিয়ে উত্তর: x ৩ ভাগের ৫ এর চেয়ে ছোট অথবা x ৩ ভাগের ৮ এর চেয়ে বড়। বিকল্পে ৩ ভাগের ৫ এর জায়গায় ভুল করে ২ ভাগের ৫ ছাপা হয়েছে; তবু অথবা দিয়ে দুই অংশ জোড়া একমাত্র এই বিকল্পটি।
সবচেয়ে সাধারণ ভুল হলো সরাসরি হর দিয়ে গুণ করে শুধু x ৩ ভাগের ৮ এর চেয়ে বড়, এই অংশটা নেওয়া। তাতে ঋণাত্মক হরের পুরো অংশটা হারিয়ে যায়।
মনে রাখুন: হরে চলক থাকলে আগে দেখুন হর ঋণাত্মক হলে কী হয়; ঋণাত্মক ভগ্নাংশ যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যার চেয়ে ছোট।
পুরো পাতা ›
৫৭৫. একদল গরু প্রতিবার সমান সংখ্যায় ভাগ হয়ে তিন পথে গমন করে, সাত ঘাটে পানি পান করে, নয়টি বৃক্ষের নিচে ঘুমায় এবং বারো জন গোয়ালা সমান সংখ্যক গরুর দুধ দোয়ায়; তাহলে গরুর সংখ্যা কত? (৪৩তম বিসিএস, ২০২১)
1. ক522
2. খ252
3. গ225
4. ঘ155
সঠিক উত্তর: খ. 252
প্রশ্নটা ল সা গু চিনতে পারছেন কিনা যাচাই করছে। গরুগুলো তিন পথে, সাত ঘাটে, নয় গাছের নিচে আর বারো গোয়ালার মধ্যে সমান ভাগে ভাগ হয়। তাই গরুর সংখ্যা ৩, ৭, ৯ আর ১২ সবগুলো দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য।
এমন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো এদের লসাগু। মৌলিক উৎপাদকে ভাঙি: ৯ হলো ৩ এর বর্গ, ১২ হলো ২ এর বর্গ গুণ ৩, আর ৭ নিজেই মৌলিক। প্রত্যেক মৌলিকের সবচেয়ে বড় ঘাত নিলে পাই ৪ গুণ ৯ গুণ ৭, মানে ২৫২।
বিকল্পগুলো যাচাই করলেও একই উত্তর আসে: শুধু ২৫২ ই চারটি সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে ভাগ যায়।
ফাঁদ হলো ৫২২ আর ২২৫ বিকল্প দুটি, যারা ২৫২ এর অঙ্কগুলোই এলোমেলো করে বানানো। দুটোই ৯ দিয়ে ভাগ যায়, কিন্তু ৭ দিয়ে যায় না।
মনে রাখুন: ৯ ও ১২ এর লসাগু ৩৬, তারপর ৩৬ × ৭ = ২৫২; ৩ আলাদা করে ধরার দরকার নেই, ৯ এর মধ্যেই আছে।
পুরো পাতা ›
৫৭৬. 5x – x² – 6 > 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক? (৪৩তম বিসিএস, ২০২১)
1. কx > 3, x < 2
2. খ2 > x > 3
3. গx < 2
4. ঘ2 < x < 3
সঠিক উত্তর: ঘ. 2 < x < 3
প্রশ্নটা দ্বিঘাত অসমতা যাচাই করছে। প্রথমে x এর বর্গের সহগ ধনাত্মক করে নিতে হয়; পুরো অসমতাকে ঋণাত্মক এক দিয়ে গুণ করলে চিহ্ন উল্টে যায়।
৫x বিয়োগ x এর বর্গ বিয়োগ ৬ শূন্যের চেয়ে বড়, এটা উল্টে লিখলে হয় x এর বর্গ বিয়োগ ৫x যোগ ৬ শূন্যের চেয়ে ছোট। উৎপাদকে ভাঙলে x বিয়োগ ২ আর x বিয়োগ ৩ এর গুণফল শূন্যের চেয়ে ছোট।
দুটি রাশির গুণফল ঋণাত্মক হয় তখনই যখন একটি ধনাত্মক আর অন্যটি ঋণাত্মক। সেটা ঘটে x যখন ২ আর ৩ এর মাঝখানে। উদাহরণ: x সমান আড়াই হলে মূল রাশি ৪ ভাগের ১, ধনাত্মক।
ফাঁদ হলো চিহ্ন উল্টাতে ভুলে যাওয়া। তাহলে উত্তর আসে x ৩ এর বড় অথবা ২ এর ছোট, মানে x ৩ এর বড় আর ২ এর ছোট লেখা বিকল্পটি; কিন্তু সেটা উল্টো অংশ।
মনে রাখুন: x² এর সহগ ধনাত্মক হলে: “< ০” মানে মূল দুটির ভেতরে, “> ০” মানে বাইরে।
পুরো পাতা ›
৫৭৭. 4ˣ + 4¹⁻ˣ = 4 হলে, x = কত? (৪৩তম বিসিএস, ২০২১)
1. ক1/4
2. খ1/3
3. গ1/2
4. ঘ1
সঠিক উত্তর: গ. 1/2
প্রশ্নটা সূচকের সমীকরণ যাচাই করছে। আসল সমীকরণ: ৪ এর ঘাত x যোগ ৪ এর ঘাত এক বিয়োগ x সমান ৪। দ্বিতীয় পদটি ৪ কে ৪ এর ঘাত x দিয়ে ভাগ, কারণ সূচক বিয়োগ হলে ভাগ হয়।
৪ এর ঘাত x কে y ধরি। তাহলে সমীকরণ হয় y যোগ y ভাগের ৪ সমান ৪। দুই পাশ y দিয়ে গুণ করলে y এর বর্গ বিয়োগ ৪y যোগ ৪ সমান শূন্য, যা আসলে y বিয়োগ ২ এর বর্গ।
তাই y সমান ২, মানে ৪ এর ঘাত x সমান ২। ২ হলো ৪ এর বর্গমূল, অর্থাৎ ৪ এর ঘাত ২ ভাগের ১। তাই x সমান ২ ভাগের ১।
যাচাই: x অর্ধেক হলে দুই পদই ২, যোগফল ৪। বাকি বিকল্প বসালে যোগফল ৪ এর চেয়ে বেশি আসে; যেমন x সমান ১ হলে ৪ যোগ ১, মানে ৫।
মনে রাখুন: বিকল্প বসিয়ে দেখুন: aˣ + a¹⁻ˣ ক্ষুদ্রতম হয় যখন দুই পদ সমান, অর্থাৎ x = ১/২।
পুরো পাতা ›
৫৭৮. 1/4 – 1/6 + 1/9 – 2/7 + ………. ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত? (৪৩তম বিসিএস, ২০২১)
1. কS∞ = 20/3
2. খS∞ = 3/20
3. গS∞ = 20
4. ঘS∞ = 3
সঠিক উত্তর: খ. S∞ = 3/20
প্রশ্নটা অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি যাচাই করছে। প্রশ্নে চতুর্থ পদ ৭ ভাগের ২ ছাপা হয়েছে, আসলে হবে ২৭ ভাগের ২; তাহলেই ধারাটি গুণোত্তর।
সাধারণ অনুপাত বের করি: দ্বিতীয় পদকে প্রথম পদ দিয়ে ভাগ, মানে ঋণাত্মক ৬ ভাগের ১ কে ৪ ভাগের ১ দিয়ে ভাগ, পাই ঋণাত্মক ৩ ভাগের ২। অনুপাতের মান একের চেয়ে ছোট, তাই অসীম সমষ্টি আছে।
সূত্র: অসীম সমষ্টি পেতে প্রথম পদকে এক বিয়োগ অনুপাত দিয়ে ভাগ করতে হয়। এক বিয়োগ ঋণাত্মক ৩ ভাগের ২ হলো ৩ ভাগের ৫। তাই সমষ্টি ৪ ভাগের ১ কে ৩ ভাগের ৫ দিয়ে ভাগ, মানে ২০ ভাগের ৩।
ফাঁদ হলো ২০ ভাগের ৩ উল্টে ৩ ভাগের ২০ লিখে ফেলা, অর্থাৎ ভাগ করার জায়গায় গুণ করা। আরেকটা ভুল: অনুপাতের ঋণাত্মক চিহ্ন বাদ দিলে উত্তর আসে ৪ ভাগের ৩, যা কোনো বিকল্পেই নেই।
মনে রাখুন: S∞ = a/(১ − r); r ঋণাত্মক হলে হরে যোগ হয়ে যায়, তাই সমষ্টি প্রথম পদের চেয়েও ছোট হয়।
পুরো পাতা ›
৫৭৯. একটি কোণের মান তার সম্পূরক কোণের মানের অর্ধেকের সমান। কোণটির মান কত? (৪৩তম বিসিএস, ২০২১)
1. ক৩০°
2. খ৬০°
3. গ৯০°
4. ঘ১২০°
সঠিক উত্তর: খ. ৬০°
প্রশ্নটা সম্পূরক কোণের সংজ্ঞা যাচাই করছে। দুটি কোণের যোগফল ১৮০ ডিগ্রি হলে তারা পরস্পর সম্পূরক; ৯০ ডিগ্রি হলে পূরক।
কোণটি x হলে তার সম্পূরক ১৮০ বিয়োগ x। শর্ত: x সমান সম্পূরকের অর্ধেক। তাই ২x সমান ১৮০ বিয়োগ x, মানে ৩x সমান ১৮০, আর x সমান ৬০ ডিগ্রি।
সহজে ভাবুন: কোণটি ১ ভাগ হলে সম্পূরক ২ ভাগ, মোট ৩ ভাগ মিলে ১৮০ ডিগ্রি। তাই এক ভাগ হলো ৬০ ডিগ্রি। যাচাই: ৬০ এর সম্পূরক ১২০, যার অর্ধেক ৬০।
ফাঁদ হলো সম্পূরকের বদলে পূরক ধরা। তাহলে ৩ ভাগ হয় ৯০ ডিগ্রি আর উত্তর আসে ৩০ ডিগ্রি। আর ১২০ ডিগ্রি হলো উল্টো সম্পর্ক: সেটা তার সম্পূরকের দ্বিগুণ।
মনে রাখুন: কোণ = সম্পূরকের ১/n হলে কোণ = ১৮০ ÷ (n + ১); এখানে ১৮০ ÷ ৩ = ৬০।
পুরো পাতা ›
৫৮০. x = √4 + √3 হলে, x³ + 1/x³ এর মান কত? (৪৩তম বিসিএস, ২০২১)
1. ক5√3
2. খ52
3. গ5√2
4. ঘ2√5
সঠিক উত্তর: খ. 52
প্রশ্নটা অনুবন্ধী করণী আর ঘন রাশির সূত্র যাচাই করছে। প্রথমে লক্ষ করুন, রুট ৪ মানে ২, তাই x সমান ২ যোগ রুট ৩।
x এর বিপরীত, মানে x ভাগের এক, বের করতে লব হরকে ২ বিয়োগ রুট ৩ দিয়ে গুণ করি। হর হয় ৪ বিয়োগ ৩, মানে ১। তাই x ভাগের এক সমান ২ বিয়োগ রুট ৩, আর দুটো যোগ করলে রুট ৩ কেটে গিয়ে পাই ৪।
এখন সূত্র: x এর ঘন যোগ x এর ঘনের বিপরীত সমান, x যোগ x ভাগের এক এর ঘন বিয়োগ ৩ গুণ x যোগ x ভাগের এক। মান বসালে ৪ এর ঘন ৬৪, বিয়োগ ৩ গুণ ৪ মানে ১২, ফল ৫২।
যোগফল ৪ একটি মূলদ সংখ্যা, তাই উত্তরেও কোনো রুট থাকতে পারে না। রুটওয়ালা বিকল্পগুলো এভাবেই এক নজরে বাদ যায়।
মনে রাখুন: x + ১/x = p হলে x³ + ১/x³ = p³ − ৩p; p = ৪ বসালেই ৫২।
পুরো পাতা ›

পরের পাতা: প্রশ্ন ৫৮১–৬০০ ›