গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৩৯
৭৬১. Two numbers are in the ratio 3 : 7 . If 6 be added to each of them, then they are in the ratio 5 : 9 Find the numbers? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক9 and 21
- খ11 and 17
- গ7 and 17
- ঘ12 and 23
সঠিক উত্তর: ক. 9 and 21
প্রশ্নটি অনুপাতে একই সংখ্যা যোগ করলে নতুন অনুপাত দেখে মূল সংখ্যা বের করার। সংখ্যা দুটি ৩x আর ৭x ধরে সমীকরণ গঠন করতে হয়।
প্রত্যেকটির সাথে ৬ যোগ করলে অনুপাত হয় ৫ : ৯। তাই ৩x যোগ ৬ ভাগ ৭x যোগ ৬ সমান ৫ ভাগ ৯।
আড়গুণ করলে ২৭x যোগ ৫৪ সমান ৩৫x যোগ ৩০, অর্থাৎ ৮x সমান ২৪, তাই x সমান ৩। সংখ্যা দুটি ৯ আর ২১।
যাচাই: ৯ যোগ ৬ সমান ১৫ আর ২১ যোগ ৬ সমান ২৭; ১৫ : ২৭ সরল করলে ৫ : ৯। অপশন থেকে দ্রুত বাছাই করতে আগে দেখুন কোন জোড়া ৩ : ৭ অনুপাতে আছে; এখানে শুধু ৯ ও ২১।
মনে রাখুন: অপশনগুলোর মধ্যে শুধু ৯ ও ২১ জোড়াটি ৩ : ৭ অনুপাতে; বাকিগুলো প্রথম শর্তই মানে না।
৭৬২. 28√? + 1426 = ¾ of 2872 (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক576
- খ1296
- গ676
- ঘ1444
সঠিক উত্তর: গ. 676
প্রশ্নটি সরলীকরণে অজানা মান বের করার। প্রশ্নের লেখায় চিহ্ন হারিয়ে গেছে; আসল প্রশ্ন হলো: ২৮ গুণ প্রশ্নবোধকের বর্গমূল যোগ ১৪২৬ সমান ২৮৭২ এর ৪ ভাগের ৩ ভাগ।
প্রথমে ডান পাশ: ২৮৭২ এর ৪ ভাগের ৩ ভাগ হলো ২১৫৪। এখান থেকে ১৪২৬ বিয়োগ করলে থাকে ৭২৮।
তাহলে ২৮ গুণ বর্গমূল সমান ৭২৮, অর্থাৎ বর্গমূল সমান ৭২৮ ভাগ ২৮, যা ২৬। প্রশ্নবোধকের মান ২৬ এর বর্গ, মানে ৬৭৬।
ফাঁদ হলো বর্গমূলের মান ২৬ পেয়ে বর্গ করতে ভুলে যাওয়া, অথবা কাছাকাছি বর্গসংখ্যা যেমন ৫৭৬ বা ১৪৪৪ বেছে নেওয়া। এ ধরনের প্রশ্নে শেষে অবশ্যই বর্গ করুন।
মনে রাখুন: অপশনগুলো সব বর্গসংখ্যা (২৪², ৩৬², ২৬², ৩৮²); ২৮ × ২৬ = ৭২৮ মিলে যায়, তাই ৬৭৬।
৭৬৩. A bag contains 50 P, 25 P and 10 P coins in the ratio 5 : 9 : 4 amounting to TK. 206 .Find the number of coins of each type respectively . (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক360, 160, 200
- খ160, 360, 200
- গ200, 160, 300
- ঘ200, 360 , 160
সঠিক উত্তর: ঘ. 200, 360 , 160
প্রশ্নটি মুদ্রার সংখ্যার অনুপাত থেকে প্রতিটির সংখ্যা বের করার। মূল কথা: সংখ্যার অনুপাত আর টাকার মূল্যের অনুপাত এক নয়; প্রতিটি মুদ্রার দাম দিয়ে গুণ করে মোট টাকা মেলাতে হয়।
৫০ পয়সা, ২৫ পয়সা আর ১০ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা ৫x, ৯x আর ৪x ধরি। টাকায় এদের মূল্য হলো ৫x গুণ ০ দশমিক ৫০, ৯x গুণ ০ দশমিক ২৫ আর ৪x গুণ ০ দশমিক ১০।
যোগ করলে ২ দশমিক ৫x যোগ ২ দশমিক ২৫x যোগ ০ দশমিক ৪x, মানে ৫ দশমিক ১৫x। এটি ২০৬ টাকার সমান, তাই x সমান ৪০।
মুদ্রার সংখ্যা: ৫০ পয়সার ২০০টি, ২৫ পয়সার ৩৬০টি, ১০ পয়সার ১৬০টি। ফাঁদ হলো সঠিক সংখ্যাগুলো ভুল ক্রমে সাজানো অপশন বেছে নেওয়া; অনুপাত ৫ : ৯ : ৪ এর ক্রম মিলিয়ে দেখুন।
মনে রাখুন: অপশন যাচাই: ২০০ × ০.৫০ + ৩৬০ × ০.২৫ + ১৬০ × ০.১০ = ১০০ + ৯০ + ১৬ = ২০৬ টাকা।
৭৬৪. Painter A can paint a house in 16 days, and painter B can do the same work in 20 days. With the help of painter C, they paint the house in 8 days only. Then, Painter C alone can do this task in (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক80 Days
- খ85 Days
- গ79 Days
- ঘ76 Days
সঠিক উত্তর: ক. 80 Days
প্রশ্নটি একসাথে কাজ করার সমস্যা। মূল নিয়ম: প্রত্যেকের এক দিনের কাজ যোগ করলে সবার একসাথে এক দিনের কাজ পাওয়া যায়। তাই C এর এক দিনের কাজ হলো মোট দৈনিক কাজ থেকে A ও B এর দৈনিক কাজ বিয়োগ।
তিনজন মিলে ৮ দিনে শেষ করে, তাই একসাথে দিনে করে পুরো কাজের ৮ ভাগের ১ ভাগ। A করে ১৬ ভাগের ১ ভাগ, B করে ২০ ভাগের ১ ভাগ।
ল.সা.গু. ৮০ ধরে হিসাব সহজ: মোট দৈনিক ১০ ভাগ ৮০, A এর ৫ ভাগ ৮০, B এর ৪ ভাগ ৮০। বাকি থাকে ১ ভাগ ৮০, যা C এর দৈনিক কাজ।
তাই C একা ৮০ দিনে কাজটি শেষ করবে। ফাঁদ হলো দিনের সংখ্যাগুলো সরাসরি যোগ-বিয়োগ করা; কাজের সমস্যায় সবসময় দৈনিক হার, মানে দিনের উল্টো, নিয়ে হিসাব করতে হয়।
মনে রাখুন: C = ১ ÷ (১/৮ − ১/১৬ − ১/২০) = ৮০ দিন। মোট কাজকে ল.সা.গু. ধরলে ভগ্নাংশ লাগে না।
৭৬৫. A and B start at the same time with speeds of 40 km/hr and 50 km/hr respectively. If in covering the journey A takes 15 minutes longer than B, the total distance of the journey is (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক46 km
- খ48 km
- গ50 km
- ঘ52 km
সঠিক উত্তর: গ. 50 km
প্রশ্নটি গতিবেগ ও সময়ের পার্থক্য থেকে দূরত্ব বের করার। একই দূরত্ব দুজন দুই বেগে গেলে সময়ের পার্থক্য হয় দূরত্ব ভাগ ধীর বেগ বিয়োগ দূরত্ব ভাগ দ্রুত বেগ।
এখানে A এর বেগ ঘণ্টায় ৪০ কিলোমিটার, B এর ৫০ কিলোমিটার, আর A ১৫ মিনিট বেশি সময় নেয়। ১৫ মিনিট মানে ঘণ্টার ৪ ভাগের ১ ভাগ; একক মেলানো জরুরি।
তাই দূরত্ব ভাগ ৪০ বিয়োগ দূরত্ব ভাগ ৫০ সমান ১ ভাগ ৪। বাম পাশ সরল করলে দূরত্ব ভাগ ২০০, তাই দূরত্ব সমান ৫০ কিলোমিটার।
যাচাই: A এর লাগে ৫০ ভাগ ৪০, মানে ১ ঘণ্টা ১৫ মিনিট; B এর লাগে ঠিক ১ ঘণ্টা। পার্থক্য ১৫ মিনিট। ফাঁদ হলো ১৫ মিনিটকে ঘণ্টায় না বদলে সরাসরি ১৫ বসানো।
মনে রাখুন: দূরত্ব = বেগের গুণফল × সময়ের পার্থক্য ÷ বেগের পার্থক্য = ৪০ × ৫০ × ১/৪ ÷ ১০ = ৫০ কিমি।
৭৬৬. A person borrows Tk. 5,000 for 2 years at 4% p.a. simple interest. He immediately lends it to another person at 25/4 % per annum for 2 years. Find his gain in the transaction per year. (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- কTk. 112.50
- খTk. 167.50
- গTk. 150
- ঘTk. 225
সঠিক উত্তর: ক. Tk. 112.50
প্রশ্নটি সরল সুদে ধার নিয়ে বেশি হারে ধার দেওয়ার লাভ। মূলধন একই থাকায় লাভ আসে শুধু দুই সুদের হারের পার্থক্য থেকে।
সে ধার নিয়েছে বার্ষিক ৪ শতাংশে, আর ধার দিয়েছে বার্ষিক ২৫ ভাগ ৪, মানে ৬ দশমিক ২৫ শতাংশে। হারের পার্থক্য ২ দশমিক ২৫ শতাংশ।
৫০০০ টাকার ২ দশমিক ২৫ শতাংশ হলো ১১২ দশমিক ৫০ টাকা। প্রশ্ন বছরে লাভ জানতে চেয়েছে, তাই উত্তর ১১২ টাকা ৫০ পয়সা।
ফাঁদ হলো ২ বছরের মোট লাভ ২২৫ টাকা বলে ফেলা। প্রশ্নে per year লেখা আছে, তাই ২ বছরের হিসাবকে ২ দিয়ে ভাগ করতে হবে।
মনে রাখুন: লাভ = মূলধন × হারের পার্থক্য: ৫০০০ × ২.২৫% = ১১২.৫০ টাকা প্রতি বছর।
৭৬৭. Two trains running in opposite directions cross a man standing on the platform in 27 seconds and 17 seconds respectively and they cross each other in 23 seconds. The ratio of their speeds is: (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক1 : 3
- খ3 : 2
- গ3 : 4
- ঘNone of these
সঠিক উত্তর: খ. 3 : 2
প্রশ্নটি দুটি ট্রেনের বেগের অনুপাত বের করার একটি পরিচিত ধাঁচ। কোনো মানুষকে পার হতে ট্রেন নিজের দৈর্ঘ্য পাড়ি দেয়, তাই দৈর্ঘ্য সমান বেগ গুণ সেই সময়।
বেগ দুটি x ও y ধরলে প্রথম ট্রেনের দৈর্ঘ্য ২৭x, দ্বিতীয়টির ১৭y। বিপরীত দিকে চললে আপেক্ষিক বেগ x যোগ y, আর একে অপরকে পার হতে মোট দৈর্ঘ্য পাড়ি দিতে হয়।
তাই ২৭x যোগ ১৭y সমান ২৩ গুণ x যোগ y। সাজালে ৪x সমান ৬y, অর্থাৎ x ভাগ y সমান ৬ ভাগ ৪, মানে ৩ : ২।
ফাঁদ হলো সময়ের অনুপাতকে সরাসরি বেগের অনুপাত ধরা। দুই ট্রেনের দৈর্ঘ্য আলাদা, তাই ২৭ আর ১৭ থেকে সোজা অনুপাত টানা যায় না।
মনে রাখুন: অনুপাত = (মিলিত সময় − দ্বিতীয়ের সময়) : (প্রথমের সময় − মিলিত সময়) = (২৩ − ১৭) : (২৭ − ২৩) = ৬ : ৪ = ৩ : ২।
৭৬৮. A tank has two leakages. The first leakage alone can empty the tank in 9 min and the second alone would have done it in 6 min. If water leaks out at a constant rate, how long does it take both the leakage together to empty the tank? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক3.1 min
- খ3.5 min
- গ4.0 min
- ঘ3.6 min
সঠিক উত্তর: ঘ. 3.6 min
প্রশ্নটি দুটি ছিদ্র একসাথে ট্যাংক খালি করার। কাজের সমস্যার মতোই, প্রত্যেক ছিদ্রের প্রতি মিনিটের কাজ যোগ করলে মিলিত হার পাওয়া যায়।
প্রথম ছিদ্র মিনিটে ট্যাংকের ৯ ভাগের ১ ভাগ খালি করে, দ্বিতীয়টি ৬ ভাগের ১ ভাগ। দুটো মিলে মিনিটে ১৮ ভাগের ২ যোগ ৩, মানে ১৮ ভাগের ৫ ভাগ।
তাই পুরো ট্যাংক খালি হতে লাগে ১৮ ভাগ ৫ মিনিট, মানে ৩ দশমিক ৬ মিনিট।
দ্রুত যাচাই: একসাথে কাজ করলে সময় অবশ্যই দ্রুততর ছিদ্রের ৬ মিনিটের চেয়ে কম হবে। ফাঁদ হলো ৯ আর ৬ এর গড় বা কাছাকাছি গোল সংখ্যা ৪ মিনিট বেছে নেওয়া।
মনে রাখুন: দুটির একসাথে সময় = গুণফল ÷ যোগফল = ৯ × ৬ ÷ (৯ + ৬) = ৫৪ ÷ ১৫ = ৩.৬ মিনিট।
৭৬৯. The time taken by a man to travel 36 miles downstream is 90 min less than to go the same distance upstream. The speed of the man in still water is 10 mph. Find the speed of the stream? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক2 mph
- খ2.5 mph
- গ3.5 mph
- ঘ5 mph
সঠিক উত্তর: ক. 2 mph
প্রশ্নটি স্রোতের অনুকূলে ও প্রতিকূলে নৌকা বা সাঁতারের সময় তুলনা। স্থির পানিতে বেগ ১০ মাইল প্রতি ঘণ্টা হলে, স্রোতের বেগ s ধরলে অনুকূলে বেগ ১০ যোগ s, প্রতিকূলে ১০ বিয়োগ s।
৩৬ মাইল প্রতিকূলে যেতে যে সময় লাগে, অনুকূলে তার চেয়ে ৯০ মিনিট, মানে দেড় ঘণ্টা কম লাগে। তাই ৩৬ ভাগ ১০ বিয়োগ s, বিয়োগ ৩৬ ভাগ ১০ যোগ s, সমান দেড়।
সমীকরণটি দ্বিঘাত হয়ে যায়, তাই অপশন বসিয়ে দেখা সহজ। s সমান ২ হলে প্রতিকূলে বেগ ৮, সময় ৪ দশমিক ৫ ঘণ্টা; অনুকূলে বেগ ১২, সময় ৩ ঘণ্টা। পার্থক্য ঠিক দেড় ঘণ্টা।
সমীকরণ সমাধান করলেও s বর্গ যোগ ৪৮s বিয়োগ ১০০ সমান শূন্য থেকে s সমান ২ পাওয়া যায়; অন্য মূলটি ঋণাত্মক, তাই বাদ। ৯০ মিনিটকে ঘণ্টায় না বদলালে পুরো হিসাব ভুল হয়।
মনে রাখুন: অপশন বসান: s = ২ হলে ৩৬ ÷ ৮ = ৪.৫ আর ৩৬ ÷ ১২ = ৩; পার্থক্য ১.৫ ঘণ্টা। মিলে গেল।
৭৭০. A boat runs at 22 km per hour along the stream and 10 km per hour against the stream. Find the ratio of the speed of the boat in still water to that of the speed of the stream. (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক2 : 3
- খ5 : 3
- গ7 : 3
- ঘ8 : 3
সঠিক উত্তর: ঘ. 8 : 3
প্রশ্নটি স্রোতের অনুকূল ও প্রতিকূল বেগ থেকে স্থির পানির বেগ আর স্রোতের বেগ বের করার। অনুকূলে বেগ হলো নৌকা যোগ স্রোত, প্রতিকূলে নৌকা বিয়োগ স্রোত।
তাই নৌকার বেগ হলো দুটির যোগফলের অর্ধেক: ২২ যোগ ১০ সমান ৩২, অর্ধেক ১৬ কিলোমিটার প্রতি ঘণ্টা।
স্রোতের বেগ দুটির বিয়োগফলের অর্ধেক: ২২ বিয়োগ ১০ সমান ১২, অর্ধেক ৬ কিলোমিটার প্রতি ঘণ্টা।
অনুপাত ১৬ : ৬, সরল করলে ৮ : ৩। ফাঁদ হলো প্রশ্নের ২২ বা ১০ কে সরাসরি নৌকার বেগ ধরা; এ দুটি স্রোত মেশানো বেগ, নৌকার নিজস্ব বেগ নয়।
মনে রাখুন: অনুপাত = (অনুকূল + প্রতিকূল) : (অনুকূল − প্রতিকূল) = ৩২ : ১২ = ৮ : ৩।
৭৭১. In a certain store, the profit is 320% of the cost. If the cost increases by 25% but the selling price remains constant, approximately what percentage of the selling price is the profit? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক30%
- খ70%
- গ100%
- ঘ250%
সঠিক উত্তর: খ. 70%
প্রশ্নটি খরচ বাড়লে আর বিক্রয়মূল্য স্থির থাকলে লাভ কত দাঁড়ায়, তা বিক্রয়মূল্যের শতাংশে চাইছে। এ ধরনের প্রশ্নে খরচ ১০০ ধরে নিলে সব সহজ হয়।
খরচ ১০০ হলে লাভ খরচের ৩২০ শতাংশ, মানে ৩২০। তাহলে বিক্রয়মূল্য ১০০ যোগ ৩২০, অর্থাৎ ৪২০।
খরচ ২৫ শতাংশ বাড়লে নতুন খরচ ১২৫, বিক্রয়মূল্য আগের মতোই ৪২০। নতুন লাভ ৪২০ বিয়োগ ১২৫, মানে ২৯৫।
প্রশ্ন লাভকে বিক্রয়মূল্যের শতাংশে চেয়েছে, খরচের নয়। ২৯৫ ভাগ ৪২০ গুণ ১০০ প্রায় ৭০ শতাংশ। ফাঁদ হলো খরচের উপর হিসাব করে ২৩৬ শতাংশের কাছাকাছি কিছু, বা ২৫০ শতাংশ বেছে নেওয়া।
মনে রাখুন: খরচ ১০০ ধরুন: (৪২০ − ১২৫) ÷ ৪২০ ≈ ০.৭০, মানে প্রায় ৭০%।
৭৭২. (52.022 - 34.012)÷17.99 × √? = 1,720 (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: এক্সিকিউটিভ অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
- ক25
- খ20
- গ400
- ঘ625
সঠিক উত্তর: গ. 400
প্রশ্নটি আসন্ন মান বা approximation এর। দশমিক সংখ্যাগুলোকে কাছের পূর্ণসংখ্যায় গোল করে দ্রুত হিসাব করাই এখানে কৌশল। ৫২ দশমিক ০২২ কে ৫২, ৩৪ দশমিক ০১২ কে ৩৪, আর ১৭ দশমিক ৯৯ কে ১৮ ধরা যায়।
তাহলে ৫২ বিয়োগ ৩৪ সমান ১৮, আর ১৮ ভাগ ১৮ সমান ১। অর্থাৎ বাম পাশ প্রায় ১ গুণ প্রশ্নবোধকের বর্গমূল, মানে শুধু বর্গমূলটাই।
প্রশ্নে ডান পাশে যেভাবে ১৭২০ ছাপা আছে, তাতে কোনো অপশনই মেলে না; তখন উত্তর হতো প্রায় ২৯ লাখ ৫০ হাজার। ছাপায় বা প্রতিলিপিতে ডান পাশের মানটি গোলমাল হয়েছে; প্রচলিত উত্তর অনুযায়ী ডান পাশ ২০ হওয়ার কথা।
ডান পাশ ২০ হলে বর্গমূল ২০, তাই প্রশ্নবোধকের মান ২০ এর বর্গ, মানে ৪০০। ফাঁদ হলো বর্গমূলের মান ২০ পেয়ে সেটাকেই উত্তর বলা; অপশনে ২০ রাখা হয়েছে ঠিক এই ভুলের জন্য।
মনে রাখুন: approximation প্রশ্নে দশমিক গোল করুন; বর্গমূল পেলে শেষে বর্গ করতে ভুলবেন না।
৭৭৩. নিচের কোন পূর্ণ সংখ্যাটি ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ২, ৩ ও ৪ অবশিষ্ট থাকে? (৪০তম বিসিএস, ২০১৯)
- ক৪৮
- খ৫৪
- গ৫৮
- ঘ৬০
সঠিক উত্তর: গ. ৫৮
প্রশ্নটা ভাগশেষের একটি ধরন চিনতে পারছেন কি না তা যাচাই করছে। এখানে প্রতিটি ভাজক থেকে তার ভাগশেষ বাদ দিলে একই সংখ্যা থাকে: ৩ থেকে ১, ৪ থেকে ২, ৫ থেকে ৩, ৬ থেকে ৪ বাদ দিলে প্রতিবার ২।
এর মানে সংখ্যাটির সঙ্গে ২ যোগ করলে সেটা ৩, ৪, ৫, ৬ সবগুলো দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হয়। তাই সংখ্যাটি হলো এদের লসাগু থেকে ২ কম।
৩, ৪, ৫, ৬ এর লসাগু ৬০, তাই সংখ্যাটি ৫৮। মিলিয়ে দেখি: ৫৮ কে ৩ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ ১, ৪ দিয়ে ২, ৫ দিয়ে ৩, ৬ দিয়ে ৪। সব মেলে।
ফাঁদ হলো লসাগু ৬০ নিজেকেই উত্তর ধরে নেওয়া; ৬০ সবগুলো দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য, কোনো ভাগশেষ থাকে না।
মনে রাখুন: ভাজক − ভাগশেষ সব সমান (k) হলে, সংখ্যা = ল.সা.গু. − k। অথবা বিকল্পগুলো ৩ দিয়ে ভাগ করে দেখুন: শুধু ৫৮ তে ভাগশেষ ১।
৭৭৪. পনির ও তপনের আয়ের অনুপাত ৪: ৩। তপন ও রবিনের আয়ের অনুপাত ৫ : ৪। পনিরের আয় ১২০ টাকা হলে, রবিনের আয় কত? (৪০তম বিসিএস, ২০১৯)
- ক৩৬ টাকা
- খ১২ টাকা
- গ৭২ টাকা
- ঘ৮৪ টাকা
সঠিক উত্তর: গ. ৭২ টাকা
এটা ধারাবাহিক অনুপাতের প্রশ্ন। দুটি অনুপাতে তপন সাধারণ, তাই দুই অনুপাতে তপনের অংশ সমান করে নিলে পনির, তপন আর রবিনকে একটি অনুপাতে লেখা যায়।
প্রথম অনুপাতে তপন ৩, দ্বিতীয়টিতে ৫। দুটোকেই ১৫ বানাই: পনির ও তপন ২০ অনুপাত ১৫, আর তপন ও রবিন ১৫ অনুপাত ১২। তাই তিনজনের অনুপাত ২০, ১৫ আর ১২।
পনিরের ২০ ভাগ সমান ১২০ টাকা, তাই এক ভাগ ৬ টাকা। রবিনের ১২ ভাগ মানে ১২ গুণ ৬, অর্থাৎ ৭২ টাকা। তপনের আয় দাঁড়ায় ৯০ টাকা।
শিকলের মতো গুণ করেও মেলানো যায়: ১২০ এর চার ভাগের তিন হলো তপনের ৯০, আর ৯০ এর পাঁচ ভাগের চার হলো রবিনের ৭২। মাঝের ব্যক্তিকে সমান না করে দুই প্রান্ত সরাসরি মেলানো যায় না।
মনে রাখুন: রবিন = ১২০ × ৩/৪ × ৪/৫ = ৭২। দুটো অনুপাত শিকলের মতো গুণ করুন।
৭৭৫. ৪৫০ টাকা বার্ষিক ৬% সুদে কত বছরে সুদে- আসলে ৫৫৮ টাকা হবে? (৪০তম বিসিএস, ২০১৯)
- ক৩ বছরে
- খ৪ বছরে
- গ৫ বছরে
- ঘ৬ বছরে
সঠিক উত্তর: খ. ৪ বছরে
সরল সুদে প্রতি বছর একই পরিমাণ সুদ হয়, কারণ সুদ শুধু আসলের উপর হিসাব হয়। তাই মোট সুদকে এক বছরের সুদ দিয়ে ভাগ করলেই বছর পাওয়া যায়।
সুদে-আসলে ৫৫৮ টাকা আর আসল ৪৫০ টাকা, তাই মোট সুদ ১০৮ টাকা। ৪৫০ টাকার ৬ শতাংশ হলো ২৭ টাকা, এটাই এক বছরের সুদ।
১০৮ কে ২৭ দিয়ে ভাগ করলে ৪। অর্থাৎ ৪ বছরে সুদে-আসলে ৫৫৮ টাকা হবে। মিলিয়ে দেখি: ২৭ গুণ ৪ সমান ১০৮।
সূত্রে বললে, সময় সমান সুদ গুণ ১০০, তাকে আসল আর হারের গুণফল দিয়ে ভাগ। মনে রাখুন, সূত্রে বসানোর আগে সুদে-আসল থেকে আসল বাদ দিয়ে শুধু সুদটুকু নিতে হবে।
মনে রাখুন: সময় = (সুদ × ১০০) ÷ (আসল × হার) = (১০৮ × ১০০) ÷ (৪৫০ × ৬) = ৪।
৭৭৬. একটি মোটর সাইকেল ১২% ক্ষতিতে বিক্রি করা হল। যদি বিক্রয় মূল্য ১২০০ টাকা বেশি হতো, তাহলে ৮% লাভ হত। মোটর সাইকেলের ক্রয় মূল্য – (৪০তম বিসিএস, ২০১৯)
- ক৬০০০ টাকা
- খ৫০০০ টাকা
- গ৪০০০ টাকা
- ঘ৮০০০ টাকা
সঠিক উত্তর: ক. ৬০০০ টাকা
লাভ আর ক্ষতির হার দুটোই ক্রয়মূল্যের উপর হিসাব হয়। তাই ১২ শতাংশ ক্ষতি থেকে ৮ শতাংশ লাভে যেতে বিক্রয়মূল্য বাড়াতে হয় ক্রয়মূল্যের মোট ২০ শতাংশ।
ক্রয়মূল্য ১০০ ধরলে ১২ শতাংশ ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য ৮৮, আর ৮ শতাংশ লাভে ১০৮। দুটির পার্থক্য ২০, অর্থাৎ ক্রয়মূল্যের ২০ শতাংশ।
প্রশ্নে এই পার্থক্য ১২০০ টাকা। ২০ শতাংশ যদি ১২০০ টাকা হয়, তবে ১০০ শতাংশ হবে তার পাঁচ গুণ, মানে ৬০০০ টাকা।
মিলিয়ে দেখি: ৬০০০ টাকার মোটর সাইকেল ৫২৮০ টাকায় বেচলে ১২ শতাংশ ক্ষতি; ১২০০ টাকা বেশি, মানে ৬৪৮০ টাকায় বেচলে ৮ শতাংশ লাভ। মনে রাখুন, ক্ষতি থেকে লাভে যেতে দুই হার যোগ হয়, বিয়োগ নয়।
মনে রাখুন: ক্রয়মূল্য = টাকার পার্থক্য × ১০০ ÷ (ক্ষতির হার + লাভের হার) = ১২০০ × ১০০ ÷ ২০ = ৬০০০।
৭৭৭. ((0.9)³ + (0.4)³)/(0.9 + 0.4) এর মান কত? (৪০তম বিসিএস, ২০১৯)
- ক0.36
- খ0.51
- গ0.81
- ঘ0.61
সঠিক উত্তর: ঘ. 0.61
প্রশ্নটা ঘনের যোগফলের সূত্র চেনা যাচাই করছে। a এর ঘন যোগ b এর ঘন সমান a যোগ b, গুণ a এর বর্গ বিয়োগ ab যোগ b এর বর্গ। তাই ঘন দুটির যোগফলকে a যোগ b দিয়ে ভাগ করলে থাকে a এর বর্গ বিয়োগ ab যোগ b এর বর্গ।
এখানে a সমান ০ দশমিক নয়, b সমান ০ দশমিক চার। a এর বর্গ ০ দশমিক আট এক, ab সমান ০ দশমিক তিন ছয়, আর b এর বর্গ ০ দশমিক এক ছয়।
তাহলে মান হলো ০ দশমিক আট এক থেকে ০ দশমিক তিন ছয় বাদ দিয়ে ০ দশমিক এক ছয় যোগ, অর্থাৎ ০ দশমিক ছয় এক। সরাসরি ঘন করেও মেলানো যায়: ঘন দুটির যোগফল ০ দশমিক সাত নয় তিন, তাকে ১ দশমিক তিন দিয়ে ভাগ করলে ০ দশমিক ছয় এক।
ফাঁদ হলো সূত্রের একটা অংশ নিয়েই থেমে যাওয়া: শুধু a এর বর্গ নিলে আসে ০ দশমিক আট এক, আর শুধু ab নিলে ০ দশমিক তিন ছয়; দুটোই বিকল্পে রাখা আছে।
মনে রাখুন: (a³ + b³)/(a + b) = a² − ab + b²; ঘন না করে সরাসরি সূত্রে বসান।
৭৭৮. 3x – 2 > 2x – 1 এর সমাধান সেট কোনটি ? (৪০তম বিসিএস, ২০১৯)
- ক[1,∞)
- খ(1,∞)
- গ[1/2,∞)
- ঘ(-1,∞)
সঠিক উত্তর: খ. (1,∞)
এটা রৈখিক অসমতার প্রশ্ন, সঙ্গে ব্যবধির বন্ধনীর অর্থ। অসমতা সমীকরণের মতোই সমাধান হয়; শুধু ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে চিহ্ন উল্টে যায়।
৩x বিয়োগ ২ বড় ২x বিয়োগ ১। দুই পাশ থেকে ২x বাদ দিলে x বিয়োগ ২ বড় ঋণাত্মক ১, তারপর দুই পাশে ২ যোগ করলে x বড় ১।
x এখানে ১ এর চেয়ে বড়, ১ এর সমান নয়। এমন সেটে ১ এর পাশে গোল বন্ধনী বসে, যার অর্থ ১ বাদ। তাই সমাধান সেট হলো ১ থেকে অসীম পর্যন্ত খোলা ব্যবধি।
বড় ফাঁদ হলো তৃতীয় বন্ধনী, যা ১ কে সেটে ঢুকিয়ে দেয়। কিন্তু x সমান ১ বসালে দুই পাশই ১ হয়, আর ১ নিজের চেয়ে বড় নয়।
মনে রাখুন: > বা < হলে গোল বন্ধনী ( ), ≥ বা ≤ হলে তৃতীয় বন্ধনী [ ]।
৭৭৯. 6x² – 7x – 4 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ে প্রকৃতি কোনটি? (৪০তম বিসিএস, ২০১৯)
- কবাস্তব ও সমান
- খবাস্তব ও অসমান
- গঅবাস্তব
- ঘপূর্ণ বর্গ সংখ্যা
সঠিক উত্তর: খ. বাস্তব ও অসমান
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি ঠিক করে নিশ্চায়ক, যা b এর বর্গ বিয়োগ চার গুণ a গুণ c। নিশ্চায়ক ধনাত্মক হলে মূল বাস্তব ও অসমান, শূন্য হলে বাস্তব ও সমান, ঋণাত্মক হলে অবাস্তব।
এখানে a সমান ৬, b সমান ঋণাত্মক ৭, c সমান ঋণাত্মক ৪। b এর বর্গ ৪৯। চার গুণ a গুণ c হলো ঋণাত্মক ৯৬, তাই নিশ্চায়ক ৪৯ যোগ ৯৬, মানে ১৪৫।
১৪৫ শূন্যের চেয়ে বড়, তাই মূল দুটি বাস্তব ও অসমান। আরও সূক্ষ্মভাবে, ১৪৫ পূর্ণবর্গ নয়, কারণ ১২ এর বর্গ ১৪৪ আর ১৩ এর বর্গ ১৬৯; তাই মূল দুটি অমূলদ।
ফাঁদ হলো c এর ঋণাত্মক চিহ্ন হারিয়ে ফেলা। তখন নিশ্চায়ক হয় ৪৯ বিয়োগ ৯৬, যা ঋণাত্মক, আর ভুল করে অবাস্তব উত্তর আসে।
মনে রাখুন: a আর c এর চিহ্ন বিপরীত হলে (ac < ০) নিশ্চায়ক সবসময় ধনাত্মক; হিসাব না করেই মূল বাস্তব ও অসমান।
৭৮০. যদি x⁴ – x² + 1 = 0 হয়, তবে, x³ + 1/x³ = কত? (৪০তম বিসিএস, ২০১৯)
- ক৩
- খ২
- গ১
- ঘ০
সঠিক উত্তর: ঘ. ০
প্রশ্নটা x এর মান বের না করেই বীজগণিতের সূত্র দিয়ে রাশির মান বের করা যাচাই করছে। কৌশল হলো সমীকরণকে x এর বর্গ দিয়ে ভাগ করা।
সুবিধার জন্য ১ কে x দিয়ে ভাগ করা রাশিটিকে y বলি, তাহলে x গুণ y সমান ১। সমীকরণটিকে x এর বর্গ দিয়ে ভাগ করলে পাই x এর বর্গ বিয়োগ ১ যোগ y এর বর্গ সমান শূন্য, অর্থাৎ x এর বর্গ যোগ y এর বর্গ সমান ১।
এখন x এর ঘন যোগ y এর ঘন সমান x যোগ y, গুণ x এর বর্গ বিয়োগ xy যোগ y এর বর্গ। দ্বিতীয় বন্ধনীতে x এর বর্গ যোগ y এর বর্গ হলো ১, আর xy হলো ১; তাই বন্ধনীর মান শূন্য। ফলে পুরো রাশির মান শূন্য।
আরেক পথ: সমীকরণটিকে x এর বর্গ যোগ ১ দিয়ে গুণ করলে x এর ষষ্ঠ ঘাত যোগ ১ সমান শূন্য হয়, সেখান থেকেও একই উত্তর আসে। ফাঁদ হলো x এর বর্গ যোগ y এর বর্গ সমান ১ পেয়ে সেটাকেই উত্তর ধরা; প্রশ্ন চেয়েছে ঘনের যোগফল।
মনে রাখুন: x⁴ − x² + ১ = ০ কে (x² + ১) দিয়ে গুণ করলে x⁶ = −১; তখন x³ + ১/x³ = (x⁶ + ১)/x³ = ০।