গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৪১

⚡ এই বিষয়ে কুইক টেস্ট

পাতা ৪১/৫৩ · প্রশ্ন ৮০১–৮২০সব উত্তর দেখান

৮০১. What is the rate of simple interest for the first 4 years if the sum of TK. 360 becomes TK. 540 in 9 years and the rate of interest for the last 5 years is 6%? (সমন্বিত ৬ ব্যাংক ও ২ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০১৯)
1. ক4%
2. খ5%
3. গ3%
4. ঘ6%
সঠিক উত্তর: খ. 5%
সরল মুনাফায় প্রতিটি বছরের মুনাফা আসল টাকার উপরেই হিসাব হয়। তাই ৯ বছরের মোট মুনাফাকে দুই অংশে ভাগ করা যায়: প্রথম ৪ বছরের আর শেষ ৫ বছরের।
৩৬০ টাকা ৯ বছরে ৫৪০ টাকা হয়েছে, তাই মোট মুনাফা ১৮০ টাকা। শেষ ৫ বছর ৬ শতাংশ হারে মুনাফা হলো ৩৬০ গুণ ৬ গুণ ৫ ভাগ ১০০, মানে ১০৮ টাকা।
বাকি ১৮০ বিয়োগ ১০৮ সমান ৭২ টাকা এসেছে প্রথম ৪ বছরে। হার সমান ৭২ গুণ ১০০ ভাগ ৩৬০ গুণ ৪, যা ৫ শতাংশ।
অনেকে পুরো ১৮০ টাকাকে ৯ বছরে ভাগ করে গড় হার বের করেন; সেটা প্রথম ৪ বছরের হার নয়। আর ৬ শতাংশ তো শেষ ৫ বছরের হার, প্রশ্নেই দেওয়া আছে।
মনে রাখুন: প্রথম ৪ বছরে হার r হলে: ৩৬০ × (৪r + ৫ × ৬) ÷ ১০০ = ১৮০ → ৪r + ৩০ = ৫০ → r = ৫।
পুরো পাতা ›
৮০২. What is the amount of equal installment, if a sum of Tk.1,428 due 2 years hence has to be completely repaid in 2 equal annual installments starting next year? (সমন্বিত ৬ ব্যাংক ও ২ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০১৯)
1. কTk. 700
2. খTk. 800
3. গTk. 650
4. ঘCannot be determined
সঠিক উত্তর: ঘ. Cannot be determined
কিস্তির প্রশ্নে মূল ভাবনা হলো: আগে দেওয়া কিস্তি বাকি সময় সুদ কামায়। তাই প্রথম বছরের শেষে দেওয়া কিস্তি এক বছরের সুদসহ বাড়ে, আর দ্বিতীয় কিস্তি ঠিক ঋণ শোধের দিনেই দেওয়া হয়।
কিস্তি x হলে সমীকরণ হয়: x গুণ এক যোগ সুদের হার, যোগ x, সমান ১৪২৮ টাকা। এই সমীকরণ মেলাতে সুদের হার অবশ্যই জানতে হবে।
প্রশ্নে কোনো সুদের হার দেওয়া নেই। হার না জানলে x এর একক মান বের করা যায় না; তাই সঠিক উত্তর হলো নির্ণয় করা যায় না।
লক্ষ করুন, হার ৪ শতাংশ সরল সুদ হলে ২ দশমিক শূন্য চার গুণ x সমান ১৪২৮, আর x হয় ৭০০ টাকা। এই কারণেই ৭০০ টাকা অপশনটা লোভনীয় ফাঁদ; কিন্তু হার না দিলে সেটা ধরে নেওয়ার উপায় নেই।
মনে রাখুন: সুদ বা বাট্টার প্রশ্নে আগে দেখুন হার দেওয়া আছে কি না; না থাকলে 'নির্ণয় করা যায় না' অপশনই নিরাপদ।
পুরো পাতা ›
৮০৩. In a class, the number of girls is 20% more than that of boys. The strength of the class is 66. If 4 more girls are admitted to the class, the ratio of the number of boys to that of the girls is - (সমন্বিত ৬ ব্যাংক ও ২ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০১৯)
1. ক1:2
2. খ1: 4
3. গ3 :5
4. ঘ3 : 4
সঠিক উত্তর: ঘ. 3 : 4
প্রথমে ছেলে আর মেয়ের বর্তমান সংখ্যা বের করতে হবে। মেয়েরা ছেলেদের চেয়ে ২০ শতাংশ বেশি মানে, ছেলে ১০০ জন হলে মেয়ে ১২০ জন; অনুপাত ১০০ অনুপাত ১২০, বা ৫ অনুপাত ৬।
৫ যোগ ৬ সমান ১১ ভাগে মোট ৬৬ জন, তাই এক ভাগে ৬ জন। ছেলে ৫ গুণ ৬ সমান ৩০ জন, মেয়ে ৬ গুণ ৬ সমান ৩৬ জন।
আরও ৪ জন মেয়ে ভর্তি হলে মেয়ে হয় ৪০ জন, ছেলে থাকে ৩০ জনই। ৩০ অনুপাত ৪০ সরল করলে ৩ অনুপাত ৪।
ভুলটা হয় নতুন ৪ জনকে দুই দিকেই যোগ করলে, বা অনুপাত উল্টো লিখলে। প্রশ্ন ছেলে অনুপাত মেয়ে চেয়েছে, আর শুধু মেয়ের সংখ্যা বেড়েছে।
মনে রাখুন: ৬৬ কে ২.২ দিয়ে ভাগ করলেই ছেলে ৩০; মেয়ে ৩৬ + ৪ = ৪০ → ৩ : ৪।
পুরো পাতা ›
৮০৪. If x: y =5:2, then (8x+9y) : ( 8x +2y) is (সমন্বিত ৬ ব্যাংক ও ২ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০১৯)
1. ক29:22
2. খ22 : 29
3. গ26 : 61
4. ঘ61 : 26
সঠিক উত্তর: ক. 29:22
অনুপাত দেওয়া থাকলে সবচেয়ে সহজ পথ হলো x আর y এর জায়গায় অনুপাতের সংখ্যাগুলোই বসিয়ে দেওয়া। কারণ দুটো রাশিতেই x আর y একই ঘাতে আছে, তাই সাধারণ গুণনীয়ক কেটে যায়।
x সমান ৫ আর y সমান ২ ধরি। প্রথম রাশি ৮x যোগ ৯y হয় ৪০ যোগ ১৮, মানে ৫৮। দ্বিতীয় রাশি ৮x যোগ ২y হয় ৪০ যোগ ৪, মানে ৪৪।
৫৮ অনুপাত ৪৪ কে ২ দিয়ে সরল করলে হয় ২৯ অনুপাত ২২।
ফাঁদ হলো ২২ অনুপাত ২৯, যেটা একই সংখ্যা উল্টো ক্রমে। প্রশ্নে প্রথম রাশি ৯y যুক্ত, যা বড়, তাই প্রথম পদ বড় হবে।
মনে রাখুন: অনুপাতের সংখ্যা সরাসরি বসান; দুই পাশে একই ঘাত থাকলে k কেটে যায়।
পুরো পাতা ›
৮০৫. Two numbers are in the ratio 3 : 5. If 9 is subtracted from each, the new numbers are in the ratio 12 : 23. The smaller number is (সমন্বিত ৬ ব্যাংক ও ২ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০১৯)
1. ক27
2. খ33
3. গ49
4. ঘ55
সঠিক উত্তর: খ. 33
অনুপাতের প্রশ্নে সংখ্যা দুটোকে ৩k আর ৫k ধরে নিতে হয়। দুটো থেকেই ৯ বিয়োগ করলে নতুন অনুপাত ১২ অনুপাত ২৩ হয়, এই শর্তে k বের হবে।
৩k বিয়োগ ৯ ভাগ ৫k বিয়োগ ৯ সমান ১২ ভাগ ২৩। আড়গুণ করলে ২৩ গুণ ৩k বিয়োগ ৯ সমান ১২ গুণ ৫k বিয়োগ ৯, অর্থাৎ ৬৯k বিয়োগ ২০৭ সমান ৬০k বিয়োগ ১০৮।
তাহলে ৯k সমান ৯৯, আর k সমান ১১। সংখ্যা দুটো ৩৩ আর ৫৫; ছোট সংখ্যাটি ৩৩।
যাচাই: ৩৩ থেকে ৯ বাদ দিলে ২৪, ৫৫ থেকে ৯ বাদ দিলে ৪৬; ২৪ অনুপাত ৪৬ সমান ১২ অনুপাত ২৩। ফাঁদ হলো ৫৫, যেটা বড় সংখ্যা; প্রশ্ন ছোটটা চেয়েছে।
মনে রাখুন: অপশনের সংখ্যা ৩-এর গুণিতক হতে হবে: ২৭ বা ৩৩। ২৭ হলে বড়টি ৪৫, ৯ বাদে ১৮ : ৩৬ = ১ : ২; তাই ৩৩।
পুরো পাতা ›
৮০৬. A monkey climbs a 60 m high pole. In the first minute he climbs 6 m and slips down 3 m in the next minute. How much time is required by it to reach the top? (সমন্বিত ৬ ব্যাংক ও ২ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০১৯)
1. ক35 minutes
2. খ33 minutes
3. গ37 minutes
4. ঘ40 minutes
সঠিক উত্তর: গ. 37 minutes
এখানে বানর প্রথম মিনিটে ৬ মিটার ওঠে, পরের মিনিটে ৩ মিটার নামে। তাই প্রতি ২ মিনিটে নিট ওঠা মাত্র ৩ মিটার। তবে শেষ ধাপে চূড়ায় পৌঁছে গেলে সে আর পিছলায় না, এটাই আসল কৌশল।
শেষ মিনিটে বানর পুরো ৬ মিটার উঠবে। তাই প্রথমে দেখি কত উচ্চতায় পৌঁছালে এক লাফে চূড়া ছোঁয়া যায়: ৬০ বিয়োগ ৬ সমান ৫৪ মিটার।
৫৪ মিটার নিট ওঠতে লাগে ৫৪ ভাগ ৩ সমান ১৮টি চক্র, প্রতিটি চক্র ২ মিনিটের; মোট ৩৬ মিনিট। এরপর ৩৭তম মিনিটে ৬ মিটার উঠে সে ৬০ মিটারে পৌঁছায়।
সাধারণ ভুল হলো ৬০ কে সরাসরি ৩ দিয়ে ভাগ করে ২০টি চক্র, মানে ৪০ মিনিট ধরে নেওয়া। শেষ ওঠার পর পিছলানো নেই, এটা ভুলে গেলেই ৪০ মিনিট আসে।
মনে রাখুন: সময় = ((উচ্চতা − এক বারের ওঠা) ÷ নিট ওঠা) × ২ + ১ = (৫৪ ÷ ৩) × ২ + ১ = ৩৭ মিনিট।
পুরো পাতা ›
৮০৭. Two trains 105 meters and 90 meters long, run at the speeds of 45 km/h and 72 km/h respectively, in opposite directions on parallel tracks. The time which they take to cross each other, is : (সমন্বিত ৬ ব্যাংক ও ২ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০১৯)
1. ক8 seconds
2. খ7 seconds
3. গ5 seconds
4. ঘ6 seconds
সঠিক উত্তর: ঘ. 6 seconds
দুটি ট্রেন বিপরীত দিকে চললে একে অপরকে পার হতে আপেক্ষিক বেগ হয় দুই বেগের যোগফল। আর পুরোপুরি পার হতে যে দূরত্ব যেতে হয়, তা দুই ট্রেনের দৈর্ঘ্যের যোগফল।
মোট দূরত্ব ১০৫ যোগ ৯০ সমান ১৯৫ মিটার। আপেক্ষিক বেগ ৪৫ যোগ ৭২ সমান ১১৭ কিলোমিটার প্রতি ঘণ্টা।
কিলোমিটার প্রতি ঘণ্টাকে মিটার প্রতি সেকেন্ডে নিতে ৫ ভাগ ১৮ দিয়ে গুণ করতে হয়: ১১৭ গুণ ৫ ভাগ ১৮ সমান ৩২ দশমিক ৫ মিটার প্রতি সেকেন্ড।
সময় সমান ১৯৫ ভাগ ৩২ দশমিক ৫, মানে ৬ সেকেন্ড। ভুল হয় বেগ বিয়োগ করলে, যেটা একই দিকে চলার নিয়ম; বা একক রূপান্তর ভুলে গেলে।
মনে রাখুন: বিপরীত দিকে: বেগ যোগ, একই দিকে: বেগ বিয়োগ; দূরত্ব সবসময় দুই দৈর্ঘ্যের যোগফল।
পুরো পাতা ›
৮০৮. The speed of a boat in still water is 15 km/hr and the rate of current is 3 km/hr. The distance traveled downstream in 12 minutes is (সমন্বিত ৬ ব্যাংক ও ২ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০১৯)
1. ক1.2 km
2. খ3.6 km
3. গ1.8 km
4. ঘ2.4 km
সঠিক উত্তর: খ. 3.6 km
স্রোতের অনুকূলে চললে নৌকার বেগ আর স্রোতের বেগ যোগ হয়; প্রতিকূলে চললে বিয়োগ হয়। এখানে downstream মানে স্রোতের অনুকূলে।
অনুকূলে বেগ ১৫ যোগ ৩ সমান ১৮ কিলোমিটার প্রতি ঘণ্টা। সময় ১২ মিনিট, যা ঘণ্টায় ১২ ভাগ ৬০, মানে ১ ভাগ ৫ ঘণ্টা।
দূরত্ব সমান বেগ গুণ সময়: ১৮ গুণ ১ ভাগ ৫ সমান ৩ দশমিক ৬ কিলোমিটার।
ফাঁদ হলো ২ দশমিক ৪, যা আসে স্রোতের প্রতিকূলে বেগ ১২ ধরলে; আর ১ দশমিক ২ আসে ভুল করে শুধু ৬ কিমি বেগ ধরলে। downstream শব্দটা দেখলেই যোগ।
মনে রাখুন: ১২ মিনিট মানে ঘণ্টার ৫ ভাগের ১ ভাগ; তাই ঘণ্টাপ্রতি বেগকে ৫ দিয়ে ভাগ করলেই দূরত্ব: ১৮ ÷ ৫ = ৩.৬।
পুরো পাতা ›
৮০৯. A bag contains 2 red, 3 green, and 2 blue balls. Two balls are drawn at random. What is the probability that none of the balls drawn is blue? (সমন্বিত ৬ ব্যাংক ও ২ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০১৯)
1. ক5/7
2. খ2/7
3. গ10/21
4. ঘ11/21
সঠিক উত্তর: গ. 10/21
সম্ভাবনার মূল সূত্র: অনুকূল ঘটনার সংখ্যা ভাগ মোট সম্ভাব্য ঘটনার সংখ্যা। একসাথে দুটি বল তোলা মানে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়, তাই সমাবেশ বা combination ব্যবহার হবে।
ব্যাগে মোট ২ যোগ ৩ যোগ ২ সমান ৭টি বল। ৭টি থেকে ২টি তোলার উপায় ৭C২, যা ২১।
কোনো বলই নীল হবে না মানে দুটো বলই আসবে লাল বা সবুজ থেকে, যা মোট ৫টি। ৫টি থেকে ২টি তোলার উপায় ৫C২, যা ১০।
তাই সম্ভাবনা ১০ ভাগ ২১। ফাঁদ হলো ৫ ভাগ ৭, যেটা শুধু একটি বল তুললে নীল না হওয়ার সম্ভাবনা; দুটি বলের ক্ষেত্রে আরও কমে।
মনে রাখুন: ধাপে ধাপে: প্রথম বল নীল নয় ৫/৭, দ্বিতীয়টিও নয় ৪/৬; গুণ করলে ২০/৪২ = ১০/২১।
পুরো পাতা ›
৮১০. The length of a rectangular plot is 20 meters more than its breadth . If the cost of fencing the plot at TK. 26.50 per meter is TK. 5300, what is the length of the plot in meters? (সমন্বিত ৬ ব্যাংক ও ২ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০১৯)
1. ক6
2. খ60
3. গ75
4. ঘ50
সঠিক উত্তর: খ. 60
বেড়া দেওয়া হয় জমির চারপাশে, তাই বেড়ার মোট খরচ থেকে পরিসীমা বের হয়। পরিসীমা সমান মোট খরচ ভাগ প্রতি মিটারের খরচ।
৫৩০০ ভাগ ২৬ দশমিক ৫ সমান ২০০ মিটার। আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ২ গুণ দৈর্ঘ্য যোগ প্রস্থ, তাই দৈর্ঘ্য যোগ প্রস্থ সমান ১০০ মিটার।
দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে ২০ মিটার বেশি। প্রস্থ x হলে দৈর্ঘ্য x যোগ ২০; দুটো মিলে ২x যোগ ২০ সমান ১০০, তাই x সমান ৪০। দৈর্ঘ্য হলো ৬০ মিটার।
ফাঁদ হলো ৫০, যা আসে ১০০ কে সমান দুই ভাগ করলে; আর ৬ শুধু ৬০ এর একটি শূন্য বাদ পড়া রূপ। যাচাই করুন: ৬০ আর ৪০ মিলে পরিসীমা ২০০, খরচ ২০০ গুণ ২৬ দশমিক ৫ সমান ৫৩০০।
মনে রাখুন: দৈর্ঘ্য = (অর্ধ-পরিসীমা + পার্থক্য) ÷ ২ = (১০০ + ২০) ÷ ২ = ৬০।
পুরো পাতা ›
৮১১. Three houses are available in a locality. Three persons apply for the houses. Each applies for one house without consulting others. The probability that all the three apply for the same house is - (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
1. ক1/9
2. খ5/9
3. গ8/9
4. ঘ4/9
সঠিক উত্তর: ক. 1/9
প্রতিটি লোক ৩টি বাড়ির যেকোনো একটিতে আবেদন করতে পারে, আর কেউ কারও সাথে পরামর্শ করে না। তাই প্রত্যেকের পছন্দ স্বাধীন।
মোট সম্ভাব্য ঘটনা: ৩ গুণ ৩ গুণ ৩, মানে ২৭টি। তিনজনই একই বাড়িতে আবেদন করতে পারে মাত্র ৩ভাবে: সবাই প্রথম বাড়িতে, সবাই দ্বিতীয়তে, অথবা সবাই তৃতীয়তে।
তাই সম্ভাবনা ৩ ভাগ ২৭, অর্থাৎ ১ ভাগ ৯।
অন্যভাবে ভাবা যায়: প্রথম জন যেকোনো বাড়ি নিক; বাকি দুজনকে সেই বাড়িই নিতে হবে, প্রত্যেকের সম্ভাবনা ১ ভাগ ৩। তাই ১ ভাগ ৩ গুণ ১ ভাগ ৩, মানে ১ ভাগ ৯। অনেকে শুধু ১ ভাগ ২৭ ধরেন, কিন্তু কোন বাড়ি সেটা ৩ভাবে বাছা যায়।
মনে রাখুন: n জন লোক, n টি বাড়ি: সবাই একই বাড়িতে যাওয়ার সম্ভাবনা ১/nⁿ⁻¹; এখানে ১/৩² = ১/৯।
পুরো পাতা ›
৮১২. If the perimeter of a certain rectangle is 76 m and its area is 360 m², then what is the length of its shortest side? (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
1. ক13
2. খ15
3. গ18
4. ঘ10
সঠিক উত্তর: গ. 18
আয়তের পরিসীমা ৭৬ মিটার, তাই দৈর্ঘ্য আর প্রস্থের যোগফল তার অর্ধেক, মানে ৩৮ মিটার। ক্ষেত্রফল ৩৬০ বর্গমিটার, মানে দৈর্ঘ্য গুণ প্রস্থ ৩৬০।
এখন এমন দুটি সংখ্যা চাই যাদের যোগফল ৩৮ আর গুণফল ৩৬০। সংখ্যা দুটি ২০ আর ১৮, কারণ ২০ যোগ ১৮ সমান ৩৮, আর ২০ গুণ ১৮ সমান ৩৬০।
ছোট বাহু তাই ১৮ মিটার।
অপশন দিয়ে যাচাইও দ্রুত: ১৮ নিলে অন্য বাহু ৩৮ বিয়োগ ১৮, মানে ২০; গুণফল ৩৬০ মেলে। অন্য অপশনে গুণফল মেলে না। ১০ নিলে ছোট বাহু হয়, কিন্তু ১০ গুণ ২৮ হয় ২৮০।
মনে রাখুন: অপশনের সংখ্যা a নিন, অন্য বাহু ৩৮ − a; গুণফল ৩৬০ হলে সেটিই উত্তর।
পুরো পাতা ›
৮১৩. The simple interest received on a sum of money at the end of 10 years is two times of the principal. At the same rate of interest, what would be the ratio of principal and compound interest received at the end of two years? (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
1. ক25 :11
2. খ20 :11
3. গ20 : 9
4. ঘNone of these
সঠিক উত্তর: ক. 25 :11
প্রথমে সুদের হার বের করি। ১০ বছরে সরল মুনাফা আসলের ২ গুণ, মানে প্রতি বছর আসলের ২ ভাগ ১০, অর্থাৎ ২০ শতাংশ।
এখন একই হারে ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মুনাফা। আসল ১০০ টাকা ধরি। প্রথম বছরে মুনাফা ২০, আসল-মুনাফা ১২০। দ্বিতীয় বছরে ১২০-এর ২০ শতাংশ, মানে ২৪। মোট চক্রবৃদ্ধি মুনাফা ৪৪ টাকা।
আসল আর চক্রবৃদ্ধি মুনাফার অনুপাত ১০০ আর ৪৪, অর্থাৎ ২৫ আর ১১।
ফাঁদ হলো সরল মুনাফার মতো দুই বছরে ৪০ ধরা; তাতে অনুপাত হতো ৫ আর ২। চক্রবৃদ্ধিতে দ্বিতীয় বছরে মুনাফার উপরও মুনাফা হয়, তাই ৪০ নয়, ৪৪।
মনে রাখুন: দুই বছরের চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = আসল × (২r + r²); r = ০.২ হলে ০.৪৪, তাই অনুপাত ১ : ০.৪৪ = ২৫ : ১১।
পুরো পাতা ›
৮১৪. A student is to answer 10 out of 13 questions in an examination such that he must choose at least 4 from the first five questions. The number of choices available to him is (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
1. ক140
2. খ196
3. গ280
4. ঘ346
সঠিক উত্তর: খ. 196
প্রথম ৫টি থেকে কমপক্ষে ৪টি নিতে হবে, মানে হয় ঠিক ৪টি, নয়তো ৫টিই। বাকি প্রশ্নগুলো আসবে শেষের ৮টি থেকে, আর মোট উত্তর দিতে হবে ১০টি।
প্রথম ক্ষেত্র: প্রথম ৫টি থেকে ৪টি, আর শেষ ৮টি থেকে ৬টি। প্রথম ৫টি থেকে ৪টি বাছার উপায় ৫, শেষ ৮টি থেকে ৬টি বাছার উপায় ২৮। মোট ৫ গুণ ২৮, মানে ১৪০।
দ্বিতীয় ক্ষেত্র: প্রথম ৫টির সবকটি, আর শেষ ৮টি থেকে ৫টি। উপায় ১ গুণ ৫৬, মানে ৫৬।
দুই ক্ষেত্র যোগ করলে ১৪০ যোগ ৫৬, মানে ১৯৬। শুধু প্রথম ক্ষেত্র হিসাব করে ১৪০ দিলে ভুল হয়; কমপক্ষে মানে ৫টিও নেওয়া যায়।
মনে রাখুন: কমপক্ষে থাকলে প্রতিটি সম্ভাব্য সংখ্যার ক্ষেত্র আলাদা হিসাব করে যোগ করুন।
পুরো পাতা ›
৮১৫. For what value of x is 8^(2x−4) = 16^x? (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
1. ক2
2. খ3
3. গ4
4. ঘ6
সঠিক উত্তর: ঘ. 6
ছাপার সময় সূচকগুলো হারিয়ে গেছে; আসল প্রশ্নটি হলো ৮ এর ঘাত ২x বিয়োগ ৪ সমান ১৬ এর ঘাত x। এ ধরনের সমীকরণে দুদিককে একই ভিত্তিতে আনতে হয়।
৮ হলো ২ এর ঘাত ৩, আর ১৬ হলো ২ এর ঘাত ৪। তাই বাম পাশ ২ এর ঘাত ৩ গুণ ২x বিয়োগ ৪, মানে ৬x বিয়োগ ১২। ডান পাশ ২ এর ঘাত ৪x।
ভিত্তি সমান হলে ঘাতও সমান: ৬x বিয়োগ ১২ সমান ৪x। তাহলে ২x সমান ১২, অর্থাৎ x সমান ৬।
যাচাই: x সমান ৬ হলে বাম পাশ ৮ এর ঘাত ৮, মানে ২ এর ঘাত ২৪; ডান পাশ ১৬ এর ঘাত ৬, মানে ২ এর ঘাত ২৪। দুটো মেলে।
মনে রাখুন: সূচকের সমীকরণে সব সংখ্যাকে একই মৌলিক ভিত্তিতে (এখানে ২) লিখে ঘাত সমান করুন।
পুরো পাতা ›
৮১৬. Three dice are thrown together. Find the probability of getting a total of at least 6. (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
1. ক103/108
2. খ103/208
3. গ103/216
4. ঘ96/103
সঠিক উত্তর: ক. 103/108
তিনটি ছক্কা একসাথে নিক্ষেপ করলে মোট ফলাফল ৬ গুণ ৬ গুণ ৬, মানে ২১৬টি। কমপক্ষে ৬ সরাসরি গোনা কঠিন, তাই উল্টো ঘটনা, মানে যোগফল ৫ বা কম, গুনে বাদ দিই।
সবচেয়ে কম যোগফল ৩, যখন তিনটিতেই ১ ওঠে: ১টি উপায়। যোগফল ৪ হয় ৩ভাবে, কারণ একটিতে ২ আর বাকি দুটিতে ১। যোগফল ৫ হয় ৬ভাবে: একটিতে ৩ আর বাকি দুটিতে ১, এমন ৩টি; অথবা দুটিতে ২ আর একটিতে ১, এমন ৩টি।
তাহলে যোগফল ৫ বা কম হয় ১ যোগ ৩ যোগ ৬, মানে ১০ভাবে। কমপক্ষে ৬ হয় ২১৬ বিয়োগ ১০, মানে ২০৬ভাবে।
সম্ভাবনা ২০৬ ভাগ ২১৬, সরল করলে ১০৩ ভাগ ১০৮। ফাঁদ হলো ১০৩ ভাগ ২১৬, যেখানে লবকে সরল করা হয়েছে কিন্তু হরকে নয়।
মনে রাখুন: কমপক্ষে থাকলে উল্টো ঘটনা গুনে ১ থেকে বাদ দিন: ১ − ১০/২১৬ = ১০৩/১০৮।
পুরো পাতা ›
৮১৭. In a college Rahim scored 80 marks out of 150 in History and 95 marks out of 120 in English . If he wants to score 70% marks in 3 subjects, find the minimum marks he should score in Geography out of 100. (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
1. ক70
2. খ55
3. গ76
4. ঘNone of these
সঠিক উত্তর: ঘ. None of these
তিন বিষয়ের মোট নম্বর ১৫০ যোগ ১২০ যোগ ১০০, মানে ৩৭০। এর ৭০ শতাংশ পেতে হলে মোট পেতে হবে ২৫৯ নম্বর।
রহিম ইতিহাসে পেয়েছে ৮০ আর ইংরেজিতে ৯৫, মোট ১৭৫। বাকি ২৫৯ বিয়োগ ১৭৫, মানে ৮৪ নম্বর ভূগোলে পেতে হবে।
৮৪ কোনো বিকল্পে নেই, তাই উত্তর None of these।
ফাঁদ হলো প্রতিটি বিষয়ের শতকরা হার গড় করা বা ভূগোলে সরাসরি ৭০ ধরা। নম্বর ভিন্ন ভিন্ন পূর্ণমানের, তাই মোট নম্বর দিয়ে হিসাব করতে হবে।
মনে রাখুন: ভিন্ন পূর্ণমানের বিষয়ে মোট শতকরা চাইলে মোট পূর্ণমানের শতাংশ বের করে প্রাপ্ত নম্বর বাদ দিন।
পুরো পাতা ›
৮১৮. If x = 1 + √2 and y = 1 − √2, find the value of (x² + y²). (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
1. ক12
2. খ6
3. গ8
4. ঘ10
সঠিক উত্তর: খ. 6
এখানে x সমান ১ যোগ বর্গমূল ২, আর y সমান ১ বিয়োগ বর্গমূল ২। দুটোকে আলাদা বর্গ না করে সূত্র ব্যবহার করলে দ্রুত হয়।
x যোগ y সমান ২, কারণ বর্গমূল ২ কাটাকাটি যায়। আর x গুণ y সমান ১ বিয়োগ ২, মানে বিয়োগ ১।
সূত্র: x বর্গ যোগ y বর্গ সমান x যোগ y এর বর্গ বিয়োগ ২xy। তাহলে ২ এর বর্গ ৪, বিয়োগ ২ গুণ বিয়োগ ১, মানে ৪ যোগ ২, সমান ৬।
ফাঁদ হলো xy-কে ধনাত্মক ১ ধরা; তাহলে উত্তর আসে ২। আরেকটি পথ: x বর্গ হয় ৩ যোগ ২ বর্গমূল ২, y বর্গ হয় ৩ বিয়োগ ২ বর্গমূল ২; যোগ করলে মূলের অংশ কেটে যায়, থাকে ৬।
মনে রাখুন: (a + √b)² + (a − √b)² = ২(a² + b); এখানে ২(১ + ২) = ৬।
পুরো পাতা ›
৮১৯. x can do a piece of work in 20 days and Y can do the 1/7th of the same work in 5 days. In how many days together they can complete the 11/14th of the total work? (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
1. ক15 days
2. খ20 days
3. গ10 days
4. ঘ12 days
সঠিক উত্তর: গ. 10 days
X পুরো কাজ করে ২০ দিনে, তাই দিনে করে কাজের ১ ভাগ ২০। Y কাজের ১ ভাগ ৭ করে ৫ দিনে, তাই পুরো কাজ করতে লাগে ৫ গুণ ৭, মানে ৩৫ দিন।
দুজনে একসাথে দিনে করে ১ ভাগ ২০ যোগ ১ ভাগ ৩৫। ল সা গু ১৪০ নিলে এটি ৭ ভাগ ১৪০ যোগ ৪ ভাগ ১৪০, মানে ১১ ভাগ ১৪০।
পুরো কাজ নয়, করতে হবে ১১ ভাগ ১৪ অংশ। সময় হবে ১১ ভাগ ১৪ কে ১১ ভাগ ১৪০ দিয়ে ভাগ, মানে ১০ দিন।
ফাঁদ হলো Y-এর সময় ৫ দিন ধরে নেওয়া, বা পুরো কাজের সময় বের করা। পুরো কাজে লাগত ১৪০ ভাগ ১১, প্রায় ১২ দশমিক ৭ দিন; কিন্তু প্রশ্ন চায় ১১ ভাগ ১৪ অংশ।
মনে রাখুন: মোট কাজ ১৪০ একক ধরুন: X দিনে ৭, Y দিনে ৪, একসাথে ১১। ১১/১৪ অংশ মানে ১১০ একক, সময় ১১০ ÷ ১১ = ১০ দিন।
পুরো পাতা ›
৮২০. The circumference of the circle and the perimeter of the square is equal and the ratio between the diameter of the circle and the side of the square is 7 :11 . What is the area of the circle? (সমন্বিত ৪ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০১৯)
1. ক154 cm²
2. খ160 cm²
3. গ132 cm²
4. ঘCan't be determined
সঠিক উত্তর: ঘ. Can't be determined
প্রশ্নে বৃত্তের পরিধি আর বর্গের পরিসীমা সমান বলা হয়েছে, আর ব্যাস ও বাহুর অনুপাত দেওয়া আছে। কিন্তু কোনো দৈর্ঘ্যের প্রকৃত মান, যেমন পরিধি কত সেন্টিমিটার, দেওয়া নেই।
অনুপাত শুধু আকারের সম্পর্ক বলে, আকারের মাপ নয়। ছোট বৃত্ত আর বড় বৃত্ত দুটোর ক্ষেত্রেই একই অনুপাত খাটে, তাই ক্ষেত্রফল নির্দিষ্ট করে বলা যায় না।
আরও লক্ষ করুন, পরিধি আর পরিসীমা সমান হলে পাই গুণ ব্যাস সমান ৪ গুণ বাহু, ফলে ব্যাস আর বাহুর অনুপাত দাঁড়ায় ১৪ আর ১১, প্রশ্নের ৭ আর ১১ নয়। মানে প্রদত্ত তথ্য নিজেরাই পরস্পরবিরোধী।
ফাঁদ হলো ১৫৪, কারণ ব্যাস ১৪ বা ব্যাসার্ধ ৭ ধরে নিলে ক্ষেত্রফল ১৫৪ আসে। কিন্তু ব্যাসার্ধ ৭ কোথাও দেওয়া নেই, এটি নিজের অনুমান।
মনে রাখুন: জ্যামিতিতে শুধু অনুপাত থাকলে, কোনো একটি প্রকৃত মাপ ছাড়া ক্ষেত্রফল বা দৈর্ঘ্য বের করা যায় না।
পুরো পাতা ›

পরের পাতা: প্রশ্ন ৮২১–৮৪০ ›