গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৩৫
৬৮১. A tank is 25 m long, 12 m wide and 6 m deep. The cost of plastering its walls and bottom at 75 paisa per m2 is: (রূপালী ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০১৯)
- কtk. 456
- খtk. 458
- গtk. 558
- ঘtk. 568
সঠিক উত্তর: গ. tk. 558
প্রশ্নটা খোলা ট্যাংকের ভেতরের তল প্লাস্টার করার খরচ জানতে চেয়েছে। ট্যাংকের ঢাকনা নেই, তাই প্লাস্টার হবে শুধু চারটি দেয়াল আর তলায়; উপরের দিক বাদ।
চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল বের করার নিয়ম হলো ২ গুণ দৈর্ঘ্য যোগ প্রস্থ, তারপর গুণ উচ্চতা। এখানে ২ গুণ ৩৭ গুণ ৬, মানে ৪৪৪ বর্গমিটার। তলার ক্ষেত্রফল ২৫ গুণ ১২, মানে ৩০০ বর্গমিটার।
মোট ক্ষেত্রফল ৭৪৪ বর্গমিটার। প্রতি বর্গমিটারে ৭৫ পয়সা, অর্থাৎ শূন্য দশমিক ৭৫ টাকা। ৭৪৪ গুণ শূন্য দশমিক ৭৫ হলো ৫৫৮ টাকা।
সাধারণ ভুল হলো তলা বাদ দেওয়া, তাহলে আসে ৩৩৩ টাকা, অথবা ছয়টি তলই ধরে নেওয়া। প্রশ্নে স্পষ্ট বলা আছে দেয়াল আর তলা, তাই পাঁচটি তল হিসাবে আসবে।
মনে রাখুন: খোলা ট্যাংক: ক্ষেত্রফল = ২h(l + b) + lb। তারপর হার দিয়ে গুণ।
৬৮২. The difference of two numbers is 20% of the larger number, If the smaller number is 20, then the larger number is - (রূপালী ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০১৯)
- ক25
- খ20
- গ10
- ঘ30
সঠিক উত্তর: ক. 25
প্রশ্নে বলা আছে দুই সংখ্যার পার্থক্য বড় সংখ্যার ২০ শতাংশ। মানে ছোট সংখ্যাটি বড় সংখ্যার বাকি ৮০ শতাংশ।
ছোট সংখ্যা ২০, যা বড় সংখ্যার ৮০ শতাংশ। তাহলে বড় সংখ্যা হলো ২০ কে ৮০ দিয়ে ভাগ করে ১০০ দিয়ে গুণ, অর্থাৎ ২৫।
যাচাই করি: ২৫ আর ২০-এর পার্থক্য ৫, আর ৫ হলো ২৫-এর ঠিক ২০ শতাংশ। মিলে গেছে।
ফাঁদ হলো ২০-এর সঙ্গে ২০ শতাংশ যোগ করে ২৪ বা কাছাকাছি কিছু খোঁজা। শতাংশটা বড় সংখ্যার উপর, ছোটটার উপর নয়।
মনে রাখুন: ছোট সংখ্যা ÷ (১ − শতাংশ) = ২০ ÷ ০.৮ = ২৫।
৬৮৩. 12 bucket of water fill a tank when the capacity of each tank is 13.5 liters. How many buckets will be needed to fill the same tank,the capacity of each buckets is 9 liters? (রূপালী ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০১৯)
- ক8
- খ18
- গ16
- ঘ4
সঠিক উত্তর: খ. 18
প্রশ্নে ছাপায় “each tank” লেখা থাকলেও আসলে বোঝানো হয়েছে প্রতিটি বালতির ধারণক্ষমতা ১৩.৫ লিটার। ট্যাংক একটাই, তার মোট পানি স্থির থাকে।
১২ বালতি গুণ ১৩.৫ লিটার, মানে ট্যাংকে ধরে ১৬২ লিটার। এখন বালতি ছোট, প্রতিটি ৯ লিটার। ১৬২ কে ৯ দিয়ে ভাগ করলে ১৮টি বালতি লাগবে।
এটা ব্যস্ত অনুপাতের প্রশ্ন: বালতি যত ছোট, সংখ্যায় তত বেশি লাগে। ১৩.৫ থেকে ৯ মানে বালতি দেড় গুণ ছোট, তাই সংখ্যা দেড় গুণ বেশি: ১২ গুণ দেড় সমান ১৮।
যে ৮ পাবে সে সরল অনুপাতে গুণ করেছে, ১২ গুণ ৯ ভাগ ১৩.৫। বালতি ছোট হলে সংখ্যা কমে না, বাড়ে।
মনে রাখুন: বালতি সংখ্যা × ধারণক্ষমতা স্থির: ১২ × ১৩.৫ = n × ৯, তাই n = ১৮।
৬৮৪. The sum of three numbers is 98 . If the ratio of the first to second is 2 :3 and that of the second to the third is 5 :8, then the second number is - (রূপালী ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০১৯)
- ক10
- খ20
- গ40
- ঘ30
সঠিক উত্তর: ঘ. 30
দুটো আলাদা অনুপাতে দ্বিতীয় সংখ্যাটা সাধারণ। প্রথম অনুপাতে দ্বিতীয়টি ৩, দ্বিতীয় অনুপাতে ৫। দুটো মেলাতে দ্বিতীয় সংখ্যাকে ৩ ও ৫-এর লসাগু ১৫ বানাতে হবে।
প্রথম অনুপাত ২ অনুপাত ৩ কে ৫ দিয়ে গুণ করলে হয় ১০ অনুপাত ১৫। দ্বিতীয় অনুপাত ৫ অনুপাত ৮ কে ৩ দিয়ে গুণ করলে হয় ১৫ অনুপাত ২৪। তাই তিন সংখ্যার অনুপাত ১০ অনুপাত ১৫ অনুপাত ২৪।
অনুপাতের যোগফল ৪৯, আর আসল যোগফল ৯৮, মানে প্রতি ভাগে ২। দ্বিতীয় সংখ্যা ১৫ গুণ ২, অর্থাৎ ৩০।
যাচাই: ২০, ৩০, ৪৮ যোগ করলে ৯৮। অনেকে ভুল করে প্রথম সংখ্যা ২০ বেছে নেন; প্রশ্ন চেয়েছে দ্বিতীয়টি।
মনে রাখুন: মাঝের পদ মেলাতে আড়াআড়ি গুণ: (২ × ৫) : (৩ × ৫) : (৩ × ৮) = ১০ : ১৫ : ২৪।
৬৮৫. If K : l = 4 : 3 and l : m = 5 : 3, then find K : l : m? (রূপালী ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০১৯)
- ক20 : 15 : 9
- খ18 : 14 : 11
- গ9 : 15 : 1
- ঘ21 : 7 : 3
সঠিক উত্তর: ক. 20 : 15 : 9
প্রশ্নে ছাপায় K : 1 দেখালেও আসলে এটি ছোট হাতের l, যেটা দ্বিতীয় অনুপাতেও আছে। তিন রাশির অনুপাত বের করতে মাঝের রাশি l কে দুই অনুপাতে সমান করতে হয়।
প্রথম অনুপাতে l হলো ৩, দ্বিতীয় অনুপাতে ৫। লসাগু ১৫। তাই K : l কে ৫ দিয়ে গুণ করে ২০ অনুপাত ১৫, আর l : m কে ৩ দিয়ে গুণ করে ১৫ অনুপাত ৯।
তাহলে K : l : m সমান ২০ অনুপাত ১৫ অনুপাত ৯। যাচাই: ২০ অনুপাত ১৫ মানে ৪ অনুপাত ৩, আর ১৫ অনুপাত ৯ মানে ৫ অনুপাত ৩।
অন্য বিকল্পগুলোতে মাঝের রাশি মেলানো হয়নি; যেকোনো বিকল্পকে ছোট করে দুই অনুপাতের সঙ্গে মিলিয়ে দেখলেই ভুল ধরা পড়ে।
মনে রাখুন: a : b ও b : c দেওয়া থাকলে a : b : c = (a × b′) : (b × b′) : (b × c′), অর্থাৎ ৪ × ৫ : ৩ × ৫ : ৩ × ৩।
৬৮৬. The value of √(10 + √(25 + √(108 + √(154 + √225)))) is (রূপালী ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০১৯)
- ক6
- খ2
- গ4
- ঘ8
সঠিক উত্তর: গ. 4
প্রশ্নে বর্গমূলের চিহ্নগুলো ছাপায় হারিয়ে গেছে; আসল প্রশ্নটা হলো একটার ভেতরে আরেকটা বর্গমূল। এ ধরনের প্রশ্ন সমাধান হয় সবচেয়ে ভেতরের মূল থেকে বাইরের দিকে।
সবচেয়ে ভেতরে ২২৫-এর বর্গমূল ১৫। ১৫৪ যোগ ১৫ হয় ১৬৯, যার বর্গমূল ১৩। ১০৮ যোগ ১৩ হয় ১২১, যার বর্গমূল ১১।
এরপর ২৫ যোগ ১১ হয় ৩৬, বর্গমূল ৬। শেষে ১০ যোগ ৬ হয় ১৬, যার বর্গমূল ৪। তাই উত্তর ৪।
প্রশ্নকর্তা সংখ্যাগুলো এমনভাবে সাজান যাতে প্রতি ধাপে পূর্ণবর্গ আসে। কোনো ধাপে পূর্ণবর্গ না এলে বুঝবেন হিসাবে ভুল হয়েছে। ভুল করে বাইরে থেকে শুরু করলে ১০-এর বর্গমূলে আটকে যাবেন।
মনে রাখুন: ভেতর থেকে বাইরে: ১৫ → ১৩ → ১১ → ৬ → ৪; প্রতি ধাপে পূর্ণবর্গ আসবেই।
৬৮৭. A 270 m long train running at the speed of 120 km /hr crosses another train running in opposite direction at the speed of 80 km/hr in 9 seconds. What is the length of the other train? (রূপালী ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০১৯)
- ক230 m
- খ240 m
- গ260 m
- ঘ320 m
সঠিক উত্তর: ক. 230 m
দুটো ট্রেন বিপরীত দিকে চললে একে অপরকে অতিক্রম করার সময় তাদের আপেক্ষিক গতি হয় দুই গতির যোগফল। আর অতিক্রম করতে মোট দূরত্ব হয় দুই ট্রেনের দৈর্ঘ্যের যোগফল।
আপেক্ষিক গতি ১২০ যোগ ৮০, মানে ঘণ্টায় ২০০ কিলোমিটার। মিটার প্রতি সেকেন্ডে নিতে ৫ ভাগ ১৮ দিয়ে গুণ করি: ২০০ গুণ ৫ ভাগ ১৮ সমান ৫০০ ভাগ ৯ মিটার প্রতি সেকেন্ড।
৯ সেকেন্ডে যায় ৫০০ ভাগ ৯ গুণ ৯, মানে ৫০০ মিটার। এটাই দুই ট্রেনের মোট দৈর্ঘ্য। প্রথম ট্রেন ২৭০ মিটার, তাই অন্য ট্রেন ৫০০ বিয়োগ ২৭০, অর্থাৎ ২৩০ মিটার।
ফাঁদ হলো গতি বিয়োগ করা। একই দিকে চললে বিয়োগ, বিপরীত দিকে চললে যোগ।
মনে রাখুন: (গতির যোগফল × ৫/১৮ × সময়) − জানা দৈর্ঘ্য = ২০০ × ৫/১৮ × ৯ − ২৭০ = ২৩০।
৬৮৮. Three partners shared the profit in a business in the ratio 5 : 7 : 8. They had partnered for 14 months, 8 months and 7 months respectively. What was the ratio of their investments? (রূপালী ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০১৯)
- ক10 : 14 : 16
- খ25 : 28 : 32
- গ18 : 28 : 21
- ঘ20 : 49 : 64
সঠিক উত্তর: ঘ. 20 : 49 : 64
অংশীদারি ব্যবসায় লাভ ভাগ হয় মূলধন আর সময়ের গুণফলের অনুপাতে। তাই মূলধন বের করতে প্রত্যেকের লাভের অংশকে তার সময় দিয়ে ভাগ করতে হয়।
তিনজনের মূলধনের অনুপাত হবে ৫ ভাগ ১৪, ৭ ভাগ ৮ আর ৮ ভাগ ৭। ভগ্নাংশ দূর করতে ১৪, ৮ ও ৭-এর লসাগু ৫৬ দিয়ে গুণ করি।
৫৬ গুণ ৫ ভাগ ১৪ সমান ২০, ৫৬ গুণ ৭ ভাগ ৮ সমান ৪৯, আর ৫৬ গুণ ৮ ভাগ ৭ সমান ৬৪। তাই মূলধনের অনুপাত ২০ অনুপাত ৪৯ অনুপাত ৬৪।
ফাঁদ হলো লাভকে সময় দিয়ে গুণ করা। গুণ করলে আসে ৭০ অনুপাত ৫৬ অনুপাত ৫৬; লাভ জানা থাকলে মূলধন পেতে ভাগ করতে হয়।
মনে রাখুন: মূলধনের অনুপাত = লাভ/সময়; যাচাই: ২০ × ১৪ : ৪৯ × ৮ : ৬৪ × ৭ = ২৮০ : ৩৯২ : ৪৪৮ = ৫ : ৭ : ৮।
৬৮৯. In a class, there are 15 boys and 10 girls. Three students are selected at random. The probability that 1 girl and 2 boys are selected, is (রূপালী ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০১৯)
- ক1/3
- খ21/46
- গ3/25
- ঘ1/50
সঠিক উত্তর: খ. 21/46
২৫ জনের মধ্যে থেকে ৩ জন বাছাইয়ের মোট উপায় হলো ২৫-এর মধ্যে ৩-এর সমাবেশ, যা ২৩০০। ক্রম এখানে গুরুত্বপূর্ণ নয়, তাই সমাবেশ ব্যবহার হবে।
অনুকূল ঘটনা: ১৫ জন ছেলের মধ্যে ২ জন, আর ১০ জন মেয়ের মধ্যে ১ জন। ১৫-এর মধ্যে ২-এর সমাবেশ ১০৫, আর মেয়ে বাছাইয়ের উপায় ১০; গুণ করলে ১০৫০।
সম্ভাবনা হলো ১০৫০ ভাগ ২৩০০। দুটোকেই ৫০ দিয়ে ভাগ করলে আসে ২১ ভাগ ৪৬।
ভুল হয় যখন কেউ ছেলে-মেয়ের অনুপাত দেখে সরাসরি ভগ্নাংশ বানান, যেমন ৩ ভাগ ২৫। সমাবেশ দিয়ে উপায় গুনতে হবে।
মনে রাখুন: P = (ⁿC₂ ছেলে × ᵐC₁ মেয়ে) ÷ ⁿ⁺ᵐC₃; এখানে ১০৫ × ১০ ÷ ২৩০০।
৬৯০. An airplane flies along the four sides of a square at the speeds of 200, 400, 600 and 800 km/hr. Find the average speed of the plane around the field. (রূপালী ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০১৯)
- ক432 km/hr
- খ375 km/hr
- গ384 km/hr
- ঘ221 km/hr
সঠিক উত্তর: গ. 384 km/hr
বর্গক্ষেত্রের চারটি বাহু সমান, তাই বিমান সমান সমান দূরত্ব ভিন্ন ভিন্ন গতিতে গেছে। সমান দূরত্বে গড় গতি হয় হারমোনিক গড়, সাধারণ গড় নয়।
ধরা যাক প্রতিটি বাহু ২৪০০ কিলোমিটার, কারণ এটি চার গতিরই গুণিতক। সময় লাগে যথাক্রমে ১২, ৬, ৪ আর ৩ ঘণ্টা; মোট ২৫ ঘণ্টা।
মোট দূরত্ব ৪ গুণ ২৪০০, মানে ৯৬০০ কিলোমিটার। গড় গতি ৯৬০০ ভাগ ২৫, অর্থাৎ ঘণ্টায় ৩৮৪ কিলোমিটার।
ফাঁদ হলো চার গতির সাধারণ গড় নেওয়া, যাতে আসে ৫০০। ধীর গতিতে বেশি সময় কাটে, তাই আসল গড় সাধারণ গড়ের চেয়ে কম হয়।
মনে রাখুন: সমান দূরত্বে গড় গতি = n ÷ (১/v₁ + ১/v₂ + ...) = ৪ ÷ (২৫/২৪০০) = ৩৮৪।
৬৯১. X can complete a certain work in the same time in which Y and Z together can do it . If X and Y together can finish it in 10 days and Z alone in 15 days, then Y alone can do it in? (রূপালী ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০১৯)
- ক22 days
- খ25 days
- গ18 days
- ঘ60 days
সঠিক উত্তর: ঘ. 60 days
কাজের প্রশ্নে প্রত্যেকের এক দিনের কাজ ভগ্নাংশে লিখি। প্রশ্নের মূল তথ্য হলো X একা যত সময়ে কাজ করে, Y ও Z মিলে তত সময়ে করে; মানে X-এর এক দিনের কাজ সমান Y ও Z-এর এক দিনের কাজের যোগফল।
X ও Y মিলে ১০ দিনে করে, তাই X যোগ Y সমান ১ ভাগ ১০। এখানে X-এর জায়গায় Y যোগ Z বসালে পাই ২ গুণ Y যোগ Z সমান ১ ভাগ ১০।
Z একা ১৫ দিনে করে, তাই Z সমান ১ ভাগ ১৫। তাহলে ২ গুণ Y সমান ১ ভাগ ১০ বিয়োগ ১ ভাগ ১৫, মানে ১ ভাগ ৩০। সুতরাং Y-এর এক দিনের কাজ ১ ভাগ ৬০, অর্থাৎ Y একা ৬০ দিনে কাজ শেষ করবে।
যাচাই: X সমান ১ ভাগ ৬০ যোগ ১ ভাগ ১৫, মানে ১ ভাগ ১২; X যোগ Y সমান ১ ভাগ ১২ যোগ ১ ভাগ ৬০, মানে ১ ভাগ ১০। মিলে গেছে। কোনো কোনো উত্তরমালায় ২২ দিন দেওয়া আছে, যা হিসাবে টেকে না।
মনে রাখুন: X = Y + Z হলে X + Y = ২Y + Z; তাই Y = (১/১০ − ১/১৫) ÷ ২ = ১/৬০।
৬৯২. 98.98 ÷ 11.03 + 7.014 × 15.99 = ? (রূপালী ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০১৯)
- ক132
- খ144
- গ12
- ঘ121
সঠিক উত্তর: ঘ. 121
এটি আসন্ন মান বা approximation-এর প্রশ্ন। বিকল্পগুলো পূর্ণসংখ্যা, তাই প্রতিটি দশমিক সংখ্যাকে কাছের সুবিধাজনক পূর্ণসংখ্যায় নিয়ে হিসাব করা যায়।
৯৮ দশমিক ৯৮ প্রায় ৯৯, আর ১১ দশমিক শূন্য তিন প্রায় ১১; ৯৯ ভাগ ১১ সমান ৯। ৭ দশমিক শূন্য এক চার প্রায় ৭, আর ১৫ দশমিক ৯৯ প্রায় ১৬; ৭ গুণ ১৬ সমান ১১২।
নিয়ম অনুযায়ী ভাগ আর গুণ আগে, তারপর যোগ: ৯ যোগ ১১২ সমান ১২১। পুরো দশমিক ধরে হিসাব করলেও আসে প্রায় ১২১ দশমিক ১৩।
ফাঁদ হলো বাঁ থেকে ডানে ধারাবাহিকভাবে হিসাব করা, যেমন আগে ভাগ, তারপর যোগ, তারপর গুণ। এতে ২৫৬-এর মতো ভুল মান আসে। আগে ভাগ ও গুণ, পরে যোগ।
মনে রাখুন: আসন্ন মানে এমন পূর্ণসংখ্যা নিন যাতে ভাগ মিলে যায় (৯৯ ÷ ১১), তারপর BODMAS।
৬৯৩. A and B start a business with initial investment in the ratio 12 : 11 and their annual profits were in the ratio 4 : 1. If A invested the money for 11 months B invested the money for – (রূপালী ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০১৯)
- ক3 months
- খ4 months
- গ5 months
- ঘ6 months
সঠিক উত্তর: ক. 3 months
অংশীদারি ব্যবসায় লাভের অনুপাত সমান মূলধন গুণ সময়ের অনুপাত। এখানে মূলধন, লাভ আর A-এর সময় জানা, B-এর সময় বের করতে হবে।
A-এর মূলধন গুণ সময় হলো ১২ গুণ ১১, মানে ১৩২। B-এর হলো ১১ গুণ t, যেখানে t অজানা মাস। এই দুইয়ের অনুপাত লাভের অনুপাত ৪ অনুপাত ১-এর সমান।
১৩২ ভাগ ১১t সমান ৪, অর্থাৎ ১২ ভাগ t সমান ৪, তাই t সমান ৩। B টাকা খাটিয়েছে ৩ মাস।
যাচাই: ১৩২ অনুপাত ৩৩ সমান ৪ অনুপাত ১। ভুল হয় যখন কেউ সময়কে লাভের সঙ্গে সরাসরি অনুপাতে ধরেন, মূলধনের পার্থক্য হিসাবে না নিয়ে।
মনে রাখুন: t = (A-এর মূলধন × A-এর সময় × B-এর লাভ) ÷ (B-এর মূলধন × A-এর লাভ) = ১২ × ১১ × ১ ÷ (১১ × ৪) = ৩।
৬৯৪. If m = 7 - 4√3 then (√m + 1/√m) = ? (রূপালী ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০১৯)
- ক3
- খ8
- গ4
- ঘ6
সঠিক উত্তর: গ. 4
এ ধরনের প্রশ্নে মূল কৌশল হলো ৭ বিয়োগ ৪ রুট ৩-কে একটা পূর্ণবর্গ হিসেবে লেখা। (a বিয়োগ b) এর বর্গ সমান a বর্গ যোগ b বর্গ বিয়োগ ২ab সূত্রটা কাজে লাগে।
২ বিয়োগ রুট ৩-এর বর্গ হলো ৪ যোগ ৩ বিয়োগ ৪ রুট ৩, মানে ৭ বিয়োগ ৪ রুট ৩। তাই m-এর বর্গমূল হলো ২ বিয়োগ রুট ৩।
এর বিপরীত, অর্থাৎ ১ ভাগ রুট m, হলো ২ যোগ রুট ৩, কারণ (২ বিয়োগ রুট ৩) গুণ (২ যোগ রুট ৩) সমান ৪ বিয়োগ ৩, মানে ১। দুটো যোগ করলে রুট ৩ কেটে যায়, থাকে ৪।
ফাঁদ হলো m যোগ ১ ভাগ m বের করা, যেটা ১৪। প্রশ্ন চেয়েছে বর্গমূলের যোগফল; চাইলে যাচাই করা যায়: ৪-এর বর্গ ১৬, যা m যোগ ১ ভাগ m যোগ ২, মানে ১৪ যোগ ২।
মনে রাখুন: (√m + ১/√m)² = m + ১/m + ২ = ১৪ + ২ = ১৬, তাই উত্তর ৪।
৬৯৫. A container contains 40 litres of milk. From this container 4 litres of milk was taken out and replaced by water. This process was repeated further two times. How much milk is now contained in the container? (রূপালী ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০১৯)
- ক29.16 litres
- খ27.36 litres
- গ28 litres
- ঘ26.34 litres
সঠিক উত্তর: ক. 29.16 litres
প্রতিবার কিছু মিশ্রণ তুলে পানি ঢাললে দুধের পরিমাণ একই অনুপাতে কমে। ৪০ লিটার থেকে ৪ লিটার তোলা মানে প্রতিবার ১০ ভাগের ১ ভাগ চলে যায়, থাকে ১০ ভাগের ৯ ভাগ দুধ।
এই কাজ মোট ৩ বার হয়েছে: একবার, তারপর আরও দুবার। তাই অবশিষ্ট দুধ হবে ৪০ গুণ শূন্য দশমিক ৯-এর ঘন।
শূন্য দশমিক ৯-এর ঘন শূন্য দশমিক ৭২৯। ৪০ গুণ শূন্য দশমিক ৭২৯ সমান ২৯ দশমিক ১৬ লিটার।
ফাঁদ হলো প্রতিবার সরাসরি ৪ লিটার দুধ বাদ দেওয়া, যাতে আসে ২৮ লিটার। দ্বিতীয়বার থেকে যা তোলা হয় তা খাঁটি দুধ নয়, মিশ্রণ; তাই দুধ কমে ৪ লিটারের চেয়ে কম।
মনে রাখুন: অবশিষ্ট = মোট × (১ − তোলা/মোট)ⁿ = ৪০ × (০.৯)³ = ২৯.১৬।
৬৯৬. If both x and y are prime numbers, which of the following cannot be the product of x and y? (রূপালী ব্যাংক: অফিসার, ২০১৯)
- ক6
- খ10
- গ35
- ঘ27
সঠিক উত্তর: ঘ. 27
প্রশ্নটা মৌলিক সংখ্যার গুণফল নিয়ে। দুটি মৌলিক সংখ্যা x আর y গুণ করলে যে সংখ্যা হয়, তাকে ঠিক দুটি মৌলিক উৎপাদকে ভাঙা যায়। তাই যে সংখ্যার মৌলিক উৎপাদক দুটির বেশি, সেটি x গুণ y হতে পারে না।
বিকল্পগুলো ভাঙি। ৬ হলো ২ গুণ ৩, ১০ হলো ২ গুণ ৫, ৩৫ হলো ৫ গুণ ৭। তিনটিই দুটি মৌলিক সংখ্যার গুণফল।
কিন্তু ২৭ হলো ৩ গুণ ৩ গুণ ৩, মানে তিনটি মৌলিক উৎপাদক। দুটি মৌলিক সংখ্যা দিয়ে ২৭ বানাতে চাইলে একটি হবে ৩, অন্যটি ৯; কিন্তু ৯ মৌলিক নয়।
ফাঁদ হলো ৩৫: বিজোড় দেখে অনেকে ভাবেন এটা হবে না। কিন্তু ৫ আর ৭ দুটোই মৌলিক, তাই ৩৫ সম্ভব।
মনে রাখুন: দুটি মৌলিকের গুণফলের ঠিক দুটি মৌলিক উৎপাদক থাকে; কোনো মৌলিকের ঘন (২৭, ৮, ১২৫) হতে পারে না।
৬৯৭. How many integers from 1 to 1000 are divisible by 30 but not by 16? (রূপালী ব্যাংক: অফিসার, ২০১৯)
- ক29
- খ31
- গ32
- ঘ38
সঠিক উত্তর: ক. 29
প্রশ্নটা বিভাজ্যতা গোনা নিয়ে। প্রথমে গুনি ১ থেকে ১০০০ পর্যন্ত কতগুলো সংখ্যা ৩০ দিয়ে বিভাজ্য, তারপর তাদের মধ্যে যেগুলো ১৬ দিয়েও বিভাজ্য সেগুলো বাদ দিই।
১০০০ কে ৩০ দিয়ে ভাগ করলে পূর্ণ ভাগফল ৩৩। মানে ৩০ এর ৩৩টি গুণিতক আছে।
যেসব সংখ্যা ৩০ ও ১৬ দুটো দিয়েই বিভাজ্য, সেগুলো এদের লসাগু ২৪০ দিয়ে বিভাজ্য। ১০০০ এর মধ্যে ২৪০ এর গুণিতক ৪টি: ২৪০, ৪৮০, ৭২০, ৯৬০। তাই উত্তর ৩৩ বিয়োগ ৪, মানে ২৯।
ফাঁদ হলো ৩০ গুণ ১৬, মানে ৪৮০ কে দুটোর সাধারণ গুণিতক ধরা। ৩০ আর ১৬ এর গসাগু ২, তাই লসাগু ২৪০, ৪৮০ নয়। ৪৮০ ধরলে বাদ যায় মাত্র ২টি, উত্তর আসে ৩১, যা ভুল।
মনে রাখুন: “a দিয়ে বিভাজ্য কিন্তু b দিয়ে নয়” = ⌊N÷a⌋ − ⌊N÷লসাগু(a,b)⌋।
৬৯৮. If w is 10% less than x, and y is 30% less than z, then wy is what percent less than xz? (রূপালী ব্যাংক: অফিসার, ২০১৯)
- ক10%
- খ20%
- গ37%
- ঘ40%
সঠিক উত্তর: গ. 37%
প্রশ্নটা ধারাবাহিক শতাংশ পরিবর্তন নিয়ে। w হলো x এর চেয়ে ১০ শতাংশ কম, মানে w সমান x এর ০ দশমিক ৯ গুণ। y হলো z এর চেয়ে ৩০ শতাংশ কম, মানে y সমান z এর ০ দশমিক ৭ গুণ।
তাহলে w গুণ y সমান ০ দশমিক ৯ গুণ ০ দশমিক ৭ গুণ xz, মানে ০ দশমিক ৬৩ গুণ xz। অর্থাৎ wy হলো xz এর ৬৩ শতাংশ।
৬৩ শতাংশ হলে কম হলো ১০০ বিয়োগ ৬৩, মানে ৩৭ শতাংশ।
ফাঁদ হলো ১০ আর ৩০ যোগ করে ৪০ শতাংশ বলা। গুণফলে শতাংশ যোগ হয় না, গুণ হয়; তাই কম হয় ৪০ এর চেয়ে কিছুটা কম, ৩৭ শতাংশ।
মনে রাখুন: a% কম আর b% কম গুণ করলে মোট কম = a + b − ab÷১০০ = ১০ + ৩০ − ৩ = ৩৭%।
৬৯৯. Every 3 minutes, 4 liters of water is poured into a 2,000 liters tank. After 2 hours, what percent of the tank is full? (রূপালী ব্যাংক: অফিসার, ২০১৯)
- ক0.4%
- খ4%
- গ8%
- ঘ12%
সঠিক উত্তর: গ. 8%
প্রশ্নটা হার ও শতাংশ নিয়ে। প্রতি ৩ মিনিটে ৪ লিটার পানি ঢালা হয়। ২ ঘণ্টা মানে ১২০ মিনিট, তাই ৩ মিনিটের পালা আসে ১২০ ভাগ ৩, মানে ৪০ বার।
৪০ বারে পানি জমে ৪০ গুণ ৪, মানে ১৬০ লিটার।
ট্যাংকের ধারণক্ষমতা ২০০০ লিটার। ১৬০ লিটার হলো ২০০০ এর ১৬০ ভাগ ২০০০ গুণ ১০০, মানে ৮ শতাংশ।
ফাঁদ হলো সময়ের হিসাব: মাত্র এক ঘণ্টার পালা ধরলে ৮০ লিটার হয়ে ৪ শতাংশ আসে, আবার পালা না গুনে ভুল করলে ০ দশমিক ৪ শতাংশের মতো ছোট সংখ্যা আসে।
মনে রাখুন: প্রতি মিনিটে ৪÷৩ লিটার; ১২০ মিনিটে ১৬০ লিটার; ২০০০ এর ১% = ২০, তাই ১৬০ = ৮%।
৭০০. The next number in the sequence 3, 6, 11, 18, 27, is (রূপালী ব্যাংক: অফিসার, ২০১৯)
- ক34
- খ36
- গ38
- ঘ40
সঠিক উত্তর: গ. 38
প্রশ্নটা ধারার পরের পদ নিয়ে। পরপর দুই পদের পার্থক্য দেখি: ৬ বিয়োগ ৩ সমান ৩, ১১ বিয়োগ ৬ সমান ৫, ১৮ বিয়োগ ১১ সমান ৭, ২৭ বিয়োগ ১৮ সমান ৯।
পার্থক্যগুলো ৩, ৫, ৭, ৯: পরপর বিজোড় সংখ্যা। তাই পরের পার্থক্য ১১, আর পরের পদ ২৭ যোগ ১১, মানে ৩৮।
আরেকভাবে দেখা যায়: প্রতিটি পদ n এর বর্গ যোগ ২। ১ এর বর্গ যোগ ২ সমান ৩, ২ এর বর্গ যোগ ২ সমান ৬, এভাবে ৬ এর বর্গ ৩৬ যোগ ২ সমান ৩৮।
ফাঁদ হলো ৩৬: অনেকে বর্গ সংখ্যা দেখে ৩৬ বেছে নেন, কিন্তু ২ যোগ করতে ভুলে যান।
মনে রাখুন: পদ = n² + ২; ৬ নম্বর পদ = ৩৬ + ২ = ৩৮।