গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৪০
৭৮১. The average of the three numbers x, y and z is 45, x is greater than the average of y and z by 9. The average of y and z is greater than y by 2 .Then the difference of x and z is: (সমন্বিত ৫ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, ২০১৮)
- ক3
- খ5
- গ7
- ঘ11
সঠিক উত্তর: গ. 7
তিনটি শর্ত থেকে তিনটি অজানা বের করতে হবে। সুবিধার জন্য y আর z এর গড়কে একটা নাম দিই, m।
x, y, z এর গড় ৪৫, তাই যোগফল ১৩৫। y যোগ z হলো ২m, আর x হলো m যোগ ৯। তাহলে m যোগ ৯ যোগ ২m সমান ১৩৫, অর্থাৎ ৩m সমান ১২৬, m সমান ৪২। ফলে x সমান ৫১।
y আর z এর গড় y এর চেয়ে ২ বেশি, তাই y সমান ৪০। y যোগ z সমান ৮৪, তাই z সমান ৪৪।
x বিয়োগ z তাই ৫১ বিয়োগ ৪৪, মানে ৭। শুধু ৯ বা ২ দেখে তাড়াহুড়ো করে যোগ বিয়োগ করলে ১১ বা ৫ এর মতো ফাঁদের অপশনে পড়তে হয়।
মনে রাখুন: উত্তর বের হলে যাচাই করুন: ৫১ + ৪০ + ৪৪ = ১৩৫, গড় ৪৫ ঠিক আছে।
৭৮২. A can finish a work in 5 days and B takes 4 days to do the same work . If the work is increased by 8 times, how many days will it take for both of them to finish the work if they work together? (সমন্বিত ৫ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, ২০১৮)
- ক20 days
- খ15 days
- গ10 days
- ঘ25 days
সঠিক উত্তর: ক. 20 days
এটা কাজ ও সময়ের অঙ্ক। আগে দেখি দুজন মিলে একদিনে কতটুকু কাজ করে। A একদিনে করে ১ ভাগ ৫ অংশ, B করে ১ ভাগ ৪ অংশ; মিলে ৯ ভাগ ২০ অংশ। তাই মূল কাজটা দুজনে শেষ করে ২০ ভাগ ৯ দিনে।
এবার কথাটা খেয়াল করুন: কাজ ৮ গুণ বাড়ানো হয়েছে। মূল কাজের সঙ্গে আরও ৮ গুণ যোগ হলে নতুন কাজ হয় মূল কাজের ৯ গুণ।
তাহলে সময় লাগবে ৯ গুণ ২০ ভাগ ৯, মানে ঠিক ২০ দিন।
যদি কাজকে শুধু ৮ গুণ ধরেন, সময় আসে প্রায় ১৭ দশমিক ৭৮ দিন, যা কোনো অপশনে নেই। ইংরেজি increased by মানে বৃদ্ধির পরিমাণ, তাই মূল অংশ যোগ করতে হয়।
মনে রাখুন: একসাথে সময় = ৫ × ৪ ÷ (৫ + ৪) = ২০/৯ দিন; কাজ ৯ গুণ হলে ৯ এর সঙ্গে ৯ কেটে যায়, থাকে ২০।
৭৮৩. In a business A and C invested amounts in the ratio 2 : 1 whereas A and B invested amounts in the ratio 3 : 2 . If their annual profit be Tk. 157300, then B's share in the profit is (সমন্বিত ৩ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০১৮)
- কTk. 24200
- খTk. 24200
- গTk. 48000
- ঘTk. 48400
সঠিক উত্তর: ঘ. Tk. 48400
তিনজনের বিনিয়োগের অনুপাত দুই ভাগে দেওয়া আছে: A আর C এর অনুপাত ২ অনুপাত ১, আর A আর B এর অনুপাত ৩ অনুপাত ২। দুটো অনুপাতেই A আছে, তাই A এর মান সমান করে তিনজনকে এক অনুপাতে আনতে হবে।
২ আর ৩ এর লসাগু ৬। প্রথম অনুপাতকে ৩ দিয়ে গুণ করলে A অনুপাত C হয় ৬ অনুপাত ৩। দ্বিতীয়টিকে ২ দিয়ে গুণ করলে A অনুপাত B হয় ৬ অনুপাত ৪। তাই A অনুপাত B অনুপাত C হলো ৬ অনুপাত ৪ অনুপাত ৩, মোট ১৩ ভাগ।
সময় সমান হলে লাভ ভাগ হয় বিনিয়োগের অনুপাতে। B পাবে ১৩ ভাগের ৪ ভাগ। ১ লাখ ৫৭ হাজার ৩০০ কে ১৩ দিয়ে ভাগ করলে এক ভাগ ১২ হাজার ১০০ টাকা, আর ৪ ভাগ ৪৮ হাজার ৪০০ টাকা।
ফাঁদ হলো ২৪ হাজার ২০০, যা মাত্র ২ ভাগের সমান। A আর B এর অনুপাতের ২ সংখ্যাটি সরাসরি নিলে এই ভুল হয়; A এর মান সমান না করলে উত্তর ভুল আসে।
মনে রাখুন: সাধারণ পদটির (A) মান দুই অনুপাতে সমান করুন, তারপর মোট ভাগ দিয়ে লাভ ভাগ করুন।
৭৮৪. The average age of a group of 15 employees is 24 years. If 5 more employees join the group, the average age increases by 2 years. Find the average age of the new employees. (সমন্বিত ৩ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০১৮)
- ক35
- খ30
- গ24
- ঘ32
সঠিক উত্তর: ঘ. 32
গড়ের প্রশ্নে প্রথম কাজ হলো গড়কে মোট যোগফলে বদলে নেওয়া, কারণ যোগফল সরাসরি যোগ বিয়োগ করা যায়। গড় গুণ সংখ্যা সমান মোট।
শুরুতে ১৫ জনের গড় বয়স ২৪, তাই মোট বয়স ৩৬০ বছর। ৫ জন যোগ হয়ে মোট ২০ জন, আর গড় ২ বেড়ে হলো ২৬। তাই এখন মোট বয়স ২০ গুণ ২৬, মানে ৫২০ বছর।
নতুন ৫ জনের মোট বয়স তাহলে ৫২০ থেকে ৩৬০ বাদ, মানে ১৬০ বছর। তাদের গড় ১৬০ ভাগ ৫, মানে ৩২ বছর।
ফাঁদ হলো ২৪ ধরা। নতুনরা পুরোনো গড়ের সমান বয়সী হলে গড় একটুও বাড়ত না। আবার ৩০ ধরলে ২০ জনের গড় হয় ২৫ দশমিক ৫, ২৬ নয়; গড় ২ বাড়াতে হলে নতুনদের পুরো ২০ জনের প্রত্যেকের জন্য ২ করে বাড়তি বয়স আনতে হয়।
মনে রাখুন: নতুনদের গড় = পুরোনো গড় + (মোট লোক × বৃদ্ধি) ÷ নতুন লোক = ২৪ + (২০ × ২) ÷ ৫ = ২৪ + ৮ = ৩২।
৭৮৫. A person travels a certain distance at 3 km / hr and reaches 15 min late. If he travels at 4 km / hr, he reaches 15 min earlier . The distance he has to travel is __ (সমন্বিত ৩ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০১৮)
- ক4.5km
- খ6 km
- গ7.2 km
- ঘ12 km
সঠিক উত্তর: খ. 6 km
দূরত্ব একই, শুধু গতি আর সময় বদলাচ্ছে। ঘণ্টায় ৩ কিলোমিটারে গেলে ১৫ মিনিট দেরি, আর ৪ কিলোমিটারে গেলে ১৫ মিনিট আগে পৌঁছায়। তাই দুই যাত্রার সময়ের পার্থক্য ৩০ মিনিট, মানে আধা ঘণ্টা।
দূরত্ব d ধরলে ধীর গতিতে সময় d ভাগ ৩, দ্রুত গতিতে d ভাগ ৪। এদের পার্থক্য আধা ঘণ্টা। d ভাগ ৩ থেকে d ভাগ ৪ বাদ দিলে হয় d ভাগ ১২। তাই d ভাগ ১২ সমান আধা, মানে d সমান ৬ কিলোমিটার।
যাচাই: ৬ কিলোমিটার ৩ গতিতে লাগে ২ ঘণ্টা, ৪ গতিতে লাগে দেড় ঘণ্টা। পার্থক্য আধা ঘণ্টা, মিলে গেছে।
ফাঁদ হলো ১৫ মিনিটকে পার্থক্য ধরা। একবার দেরি, একবার আগে, তাই দুটো যোগ করে ৩০ মিনিট নিতে হয়। ১৫ মিনিট ধরলে উত্তর আসত ৩ কিলোমিটার।
মনে রাখুন: দূরত্ব = গতির গুণফল × সময়ের পার্থক্য ÷ গতির পার্থক্য = ৩ × ৪ × ½ ÷ ১ = ৬ কিমি।
৭৮৬. The difference between the radii of a bigger circle and smaller circle is 14 cm and the difference between their areas is 1056 cm². Radius of the smaller circle is (সমন্বিত ৩ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০১৮)
- ক7 cm
- খ5 cm
- গ9 cm
- ঘ3 cm
সঠিক উত্তর: খ. 5 cm
দুই বৃত্তের ক্ষেত্রফলের পার্থক্য হলো পাই গুণ বড় ব্যাসার্ধের বর্গ বিয়োগ ছোট ব্যাসার্ধের বর্গ। বর্গের বিয়োগফলকে ভাঙা যায় যোগফল গুণ বিয়োগফল হিসেবে, আর এটাই এই অঙ্কের চাবি।
ব্যাসার্ধের বিয়োগফল ১৪ দেওয়া আছে। তাই পাই গুণ ১৪ গুণ ব্যাসার্ধের যোগফল সমান ১০৫৬। পাই ২২ ভাগ ৭ ধরলে পাই গুণ ১৪ হয় ৪৪। তাহলে ব্যাসার্ধের যোগফল ১০৫৬ ভাগ ৪৪, মানে ২৪।
এখন যোগফল ২৪ আর বিয়োগফল ১৪। ছোট ব্যাসার্ধ হলো যোগফল থেকে বিয়োগফল বাদ দিয়ে অর্ধেক: ২৪ বিয়োগ ১৪ সমান ১০, তার অর্ধেক ৫ সেন্টিমিটার। বড়টি ১৯ সেন্টিমিটার।
যাচাই করলে ১৯ এর বর্গ ৩৬১ আর ৫ এর বর্গ ২৫, পার্থক্য ৩৩৬; একে ২২ ভাগ ৭ দিয়ে গুণ করলে ঠিক ১০৫৬।
মনে রাখুন: অপশন বসান: r = ৫ হলে R = ১৯; ২২/৭ × (৩৬১ − ২৫) = ২২/৭ × ৩৩৬ = ১০৫৬।
৭৮৭. A sum fetches a simple interest of Tk. 6000 at the rate of 5% p.a. in 6 years. What would be the compound interest earned at the same rate of interest and the same principal in 2 years? (সমন্বিত ৩ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০১৮)
- কTk. 2050
- খTk. 2500
- গTk. 2125
- ঘTk. 2245
সঠিক উত্তর: ক. Tk. 2050
প্রথমে সরল মুনাফা থেকে আসল বের করতে হবে। সরল মুনাফা সমান আসল গুণ হার গুণ সময়। ৫ শতাংশ হারে ৬ বছরে মোট হার ৩০ শতাংশ, আর তাতে মুনাফা ৬০০০ টাকা। তাই আসল ৬০০০ ভাগ শূন্য দশমিক ৩, মানে ২০ হাজার টাকা।
এখন একই আসলে ৫ শতাংশ হারে ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মুনাফা। প্রথম বছরে মুনাফা ২০ হাজারের ৫ শতাংশ, মানে ১০০০ টাকা। দ্বিতীয় বছরে মুনাফা হয় ২১ হাজারের উপর, মানে ১০৫০ টাকা। মোট চক্রবৃদ্ধি মুনাফা ২০৫০ টাকা।
চক্রবৃদ্ধিতে দ্বিতীয় বছরে মুনাফার উপরও মুনাফা হয়, এখানে সেটা ৫০ টাকা। তাই সরল মুনাফার ২০০০ টাকার চেয়ে ৫০ টাকা বেশি।
ফাঁদ হলো ২৫০০ টাকা, যা সরল আর চক্রবৃদ্ধি গুলিয়ে ফেললে বা হার ভুল ধরলে আসে।
মনে রাখুন: ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = আসল × (২r + r² ÷ ১০০)% = ২০০০০ × ১০.২৫% = ২০৫০।
৭৮৮. Alam sold an item for Tk. 6,384 and incurred a loss of 30% . At what price should he have sold the item to have gained a profit of 30%? (সমন্বিত ৩ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০১৮)
- কTk. 14,656
- খTk. 11,856
- গTk. 13,544
- ঘNone of these
সঠিক উত্তর: খ. Tk. 11,856
লাভ-ক্ষতির শতকরা হার সবসময় কেনা দামের উপর। ৩০ শতাংশ ক্ষতিতে বেচা মানে বেচা দাম কেনা দামের ৭০ শতাংশ। তাই কেনা দাম ৬৩৮৪ ভাগ শূন্য দশমিক ৭, মানে ৯১২০ টাকা।
৩০ শতাংশ লাভে বেচতে হলে বেচা দাম হবে কেনা দামের ১৩০ শতাংশ। ৯১২০ গুণ ১ দশমিক ৩ সমান ১১ হাজার ৮৫৬ টাকা।
দ্রুত পদ্ধতি: ৭০ শতাংশ যদি ৬৩৮৪ হয়, তবে ১৩০ শতাংশ হবে ৬৩৮৪ গুণ ১৩০ ভাগ ৭০। কেনা দাম আলাদা করে বের না করেও উত্তর পাওয়া যায়।
ফাঁদ হলো ৬৩৮৪ এর উপর সরাসরি ৬০ শতাংশ যোগ করা, যাতে আসে প্রায় ১০ হাজার ২১৪। ক্ষতি আর লাভ দুটোই কেনা দামের উপর, বেচা দামের উপর নয়।
মনে রাখুন: নতুন দাম = ৬৩৮৪ × ১৩০ ÷ ৭০ = ১১৮৫৬।
৭৮৯. Kiran purchased a scooter for Tk. 52000. He sold it at loss of 10% .With that money he purchased another scooter and sold it at profit of 20% What is his overall loss/ profit? (সমন্বিত ৩ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০১৮)
- কTk. 2060 profit
- খTk. 2560 loss
- গTk. 1340 loss
- ঘTk. 4160 profit
সঠিক উত্তর: ঘ. Tk. 4160 profit
এখানে দুটি লেনদেন পরপর ঘটেছে, আর দ্বিতীয়টির পুঁজি হলো প্রথমটির বেচা দাম। তাই শতকরা হার সরাসরি যোগ বিয়োগ না করে ধাপে ধাপে টাকার হিসাব করতে হবে।
প্রথম স্কুটার ৫২ হাজার টাকায় কিনে ১০ শতাংশ ক্ষতিতে বেচে পেলেন ৪৬ হাজার ৮০০ টাকা। সেই টাকায় আরেকটি স্কুটার কিনে ২০ শতাংশ লাভে বেচে পেলেন ৫৬ হাজার ১৬০ টাকা।
শুরুতে হাতে ছিল ৫২ হাজার, শেষে হলো ৫৬ হাজার ১৬০। তাই মোট লাভ ৪১৬০ টাকা।
ফাঁদ হলো ২০ বিয়োগ ১০ সমান ১০ শতাংশ লাভ ধরা, তাতে আসে ৫২০০। কিন্তু ২০ শতাংশ লাভ হয়েছে ছোট অঙ্কের উপর, তাই আসল লাভ ৮ শতাংশ।
মনে রাখুন: নিট হার = −১০ + ২০ + (−১০ × ২০) ÷ ১০০ = ৮%; ৫২০০০ এর ৮% = ৪১৬০।
৭৯০. A square is inscribed in a circle of diameter 2a and another square is circumscribing circle. The difference between the areas of outer and inner squares is__ (সমন্বিত ৩ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০১৮)
- কa²
- খ2a²
- গ3a²
- ঘ4a²
সঠিক উত্তর: খ. 2a²
বৃত্তের ব্যাস ২a। ভেতরের বর্গটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত, তাই তার কর্ণ বৃত্তের ব্যাসের সমান, মানে ২a। বাইরের বর্গটি বৃত্তকে ঘিরে আছে, তাই তার বাহু বৃত্তের ব্যাসের সমান, মানে ২a।
বাইরের বর্গের ক্ষেত্রফল বাহুর বর্গ, মানে ২a এর বর্গ সমান ৪a বর্গ। ভেতরের বর্গের ক্ষেত্রফল কর্ণের বর্গের অর্ধেক, মানে ৪a বর্গের অর্ধেক সমান ২a বর্গ।
পার্থক্য ৪a বর্গ বিয়োগ ২a বর্গ সমান ২a বর্গ। মনে রাখার মতো তথ্য: একই বৃত্তের বাইরের বর্গ সবসময় ভেতরের বর্গের ঠিক দ্বিগুণ।
ফাঁদ হলো ভেতরের বর্গের বাহুকেও ২a ধরা। অন্তর্লিখিত বর্গে ব্যাস হলো কর্ণ, বাহু নয়।
মনে রাখুন: বাইরের বর্গ = ভেতরের বর্গের দ্বিগুণ; তাই পার্থক্য = ভেতরের বর্গ = ব্যাসের বর্গের অর্ধেক = ২a²।
৭৯১. The average of nine numbers is 50. The average of the first five numbers is 54 and that of the last three numbers is 52. Then the sixth number is __ (সমন্বিত ৩ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০১৮)
- ক30
- খ34
- গ44
- ঘ24
সঠিক উত্তর: ঘ. 24
নয়টি সংখ্যার মধ্যে প্রথম পাঁচটি আর শেষ তিনটি মিলিয়ে আটটি সংখ্যা। বাকি থাকে শুধু ষষ্ঠ সংখ্যাটি। তাই মোট যোগফল থেকে এই দুই দলের যোগফল বাদ দিলেই ষষ্ঠ সংখ্যা পাওয়া যায়।
নয়টির গড় ৫০, তাই মোট ৪৫০। প্রথম পাঁচটির গড় ৫৪, তাই তাদের যোগফল ২৭০। শেষ তিনটির গড় ৫২, যোগফল ১৫৬।
ষষ্ঠ সংখ্যা সমান ৪৫০ বিয়োগ ২৭০ বিয়োগ ১৫৬, মানে ২৪।
খেয়াল করুন, এখানে প্রথম পাঁচ আর শেষ তিন একে অপরকে ছোঁয় না, মাঝখানে একটি সংখ্যা ফাঁকা থাকে। যদি দলগুলো একটি সংখ্যা ভাগাভাগি করত, তখন হিসাব হতো উল্টো, যোগফল থেকে মোট বাদ দিয়ে।
মনে রাখুন: গড় থেকে বিচ্যুতি: প্রথম ৫টি +৪ করে = +২০, শেষ ৩টি +২ করে = +৬; ষষ্ঠটি ৫০ − ২৬ = ২৪।
৭৯২. A batsman has a certain average of runs for 12 innings. In the 13th inning, he scores 96 runs thereby increasing his average by 5 runs. What is his average after the 13 innings? (সমন্বিত ৩ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০১৮)
- ক36
- খ48
- গ24
- ঘ31
সঠিক উত্তর: ক. 36
১২ ইনিংসের গড় x ধরি, তাহলে মোট রান ১২x। ১৩তম ইনিংসে ৯৬ রান করে গড় ৫ বেড়ে x যোগ ৫ হলো, তাই নতুন মোট ১৩ গুণ x যোগ ৫।
সমীকরণ: ১২x যোগ ৯৬ সমান ১৩x যোগ ৬৫। সমাধান করলে x সমান ৩১। প্রশ্ন চেয়েছে ১৩ ইনিংসের পরের গড়, তাই উত্তর ৩১ যোগ ৫ সমান ৩৬।
যুক্তিটা এভাবেও ভাবা যায়: ৯৬ রান থেকে প্রথমে নতুন গড়ের সমান রান রাখতে হবে, আর বাকি দিয়ে আগের ১২ ইনিংসের প্রত্যেকটিতে ৫ করে যোগ করতে হবে, মানে ৬০ রান। তাই নতুন গড় ৯৬ বিয়োগ ৬০ সমান ৩৬।
ফাঁদ হলো ৩১। এটা আগের গড়, কিন্তু প্রশ্ন চেয়েছে ১৩ ইনিংসের পরের গড়।
মনে রাখুন: নতুন গড় = নতুন ইনিংসের রান − আগের ইনিংস সংখ্যা × বৃদ্ধি = ৯৬ − ১২ × ৫ = ৩৬।
৭৯৩. A man takes 3 hours 45 minutes to row a boat 22.5 km downstream of a river and 2 hours 30 minutes to cover a distance of 10 km up stream . Find the speed of the river current in km /hr. (সমন্বিত ৩ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০১৮)
- ক1 km/hr
- খ2 km/ hr
- গ3 km /hr
- ঘ4km/ hr
সঠিক উত্তর: ক. 1 km/hr
স্রোতের অনুকূলে নৌকার গতি হয় নৌকার নিজের গতি যোগ স্রোতের গতি। প্রতিকূলে হয় নৌকার গতি বিয়োগ স্রোতের গতি। তাই দুই গতির পার্থক্যের অর্ধেক হলো স্রোতের গতি।
অনুকূলে ২২ দশমিক ৫ কিলোমিটার যেতে লাগে ৩ ঘণ্টা ৪৫ মিনিট, মানে ৩ দশমিক ৭৫ ঘণ্টা। গতি ২২ দশমিক ৫ ভাগ ৩ দশমিক ৭৫, মানে ঘণ্টায় ৬ কিলোমিটার।
প্রতিকূলে ১০ কিলোমিটার যেতে লাগে আড়াই ঘণ্টা, গতি ঘণ্টায় ৪ কিলোমিটার। স্রোতের গতি ৬ বিয়োগ ৪ এর অর্ধেক, মানে ঘণ্টায় ১ কিলোমিটার। নৌকার নিজের গতি ৫।
ফাঁদ হলো পার্থক্য ২ কে সরাসরি স্রোতের গতি ধরা। পার্থক্যে স্রোতের গতি দুবার থাকে, তাই অর্ধেক নিতে হয়।
মনে রাখুন: স্রোতের গতি = (অনুকূল − প্রতিকূল) ÷ ২; নৌকার গতি = (অনুকূল + প্রতিকূল) ÷ ২।
৭৯৪. A man can row 6 km/hr in still water. If the speed of the current is 2 km / hr. It takes 3 hrs more in upstream than in the downstream for the same distance. The distance is (সমন্বিত ৩ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০১৮)
- ক30 km
- খ24 km
- গ20 km
- ঘ32 km
সঠিক উত্তর: খ. 24 km
স্থির পানিতে নৌকার গতি ঘণ্টায় ৬ কিলোমিটার, স্রোত ২। তাই অনুকূলে গতি ৮, প্রতিকূলে গতি ৪ কিলোমিটার।
দূরত্ব d ধরলে প্রতিকূলে সময় d ভাগ ৪, অনুকূলে d ভাগ ৮। প্রতিকূলে ৩ ঘণ্টা বেশি লাগে, তাই d ভাগ ৪ বিয়োগ d ভাগ ৮ সমান ৩। বাঁ দিক হয় d ভাগ ৮, তাই d সমান ২৪ কিলোমিটার।
যাচাই: ২৪ কিলোমিটার প্রতিকূলে লাগে ৬ ঘণ্টা, অনুকূলে ৩ ঘণ্টা; পার্থক্য ঠিক ৩ ঘণ্টা।
ফাঁদ হলো স্থির পানির গতি ৬ দিয়েই হিসাব করা। স্রোত যোগ বা বিয়োগ না করলে কোনো সময়ের পার্থক্যই আসে না।
মনে রাখুন: অপশন বসান: ২৪ ÷ ৪ = ৬ ঘণ্টা, ২৪ ÷ ৮ = ৩ ঘণ্টা; পার্থক্য ৩।
৭৯৫. A train 150 m long passes a pole in 15 seconds and crosses another train of the same length travelling in opposite directions in 8 seconds . The speed of the second train in (km/h) is __ (সমন্বিত ৩ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০১৮)
- ক60 km /hr
- খ66km /hr
- গ72 km / hr
- ঘ99 km / hr
সঠিক উত্তর: ঘ. 99 km / hr
প্রথম ট্রেন ১৫০ মিটার লম্বা, একটি খুঁটি পার হয় ১৫ সেকেন্ডে। খুঁটি পার হতে ট্রেনকে নিজের দৈর্ঘ্যই যেতে হয়, তাই গতি ১৫০ ভাগ ১৫, মানে সেকেন্ডে ১০ মিটার।
দুটি ট্রেন বিপরীত দিকে চললে আপেক্ষিক গতি হয় দুই গতির যোগফল। একে অপরকে পার হতে মোট দূরত্ব দুই ট্রেনের দৈর্ঘ্যের যোগফল, মানে ৩০০ মিটার। তা ৮ সেকেন্ডে পার হয়, তাই আপেক্ষিক গতি ৩০০ ভাগ ৮, মানে সেকেন্ডে ৩৭ দশমিক ৫ মিটার।
দ্বিতীয় ট্রেনের গতি ৩৭ দশমিক ৫ বিয়োগ ১০, মানে সেকেন্ডে ২৭ দশমিক ৫ মিটার। কিলোমিটার প্রতি ঘণ্টায় নিতে ১৮ ভাগ ৫ দিয়ে গুণ করলে হয় ঘণ্টায় ৯৯ কিলোমিটার।
সাধারণ ভুল হলো মুখোমুখি পার হওয়ার দূরত্বে শুধু একটি ট্রেনের দৈর্ঘ্য নেওয়া, অথবা আপেক্ষিক গতি থেকে প্রথম ট্রেনের গতি বাদ দিতে ভুলে যাওয়া। শেষে মিটার প্রতি সেকেন্ডকে কিলোমিটার প্রতি ঘণ্টায় নিতে ১৮ ভাগ ৫ দিয়ে গুণ করতেও ভুলবেন না।
মনে রাখুন: মিটার প্রতি সেকেন্ড থেকে কিমি প্রতি ঘণ্টা: ১৮/৫ দিয়ে গুণ; উল্টো দিকে ৫/১৮।
৭৯৬. The ratio of the speeds of a train and a man 6 : 1 . The length of the train is 650 m and crosses a pole in 1 minute 5 seconds. In how much time will the man cross the 240 m long platform? (সমন্বিত ৩ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০১৮)
- ক1 min 24 sec
- খ2 min 30 sec
- গ2 min
- ঘ2 min 24 sec
সঠিক উত্তর: ঘ. 2 min 24 sec
প্রথমে ট্রেনের গতি বের করি। ৬৫০ মিটার লম্বা ট্রেন খুঁটি পার হয় ১ মিনিট ৫ সেকেন্ডে, মানে ৬৫ সেকেন্ডে। তাই ট্রেনের গতি ৬৫০ ভাগ ৬৫, মানে সেকেন্ডে ১০ মিটার।
ট্রেন আর মানুষের গতির অনুপাত ৬ অনুপাত ১। তাই মানুষের গতি ট্রেনের ৬ ভাগের ১ ভাগ, মানে সেকেন্ডে ১০ ভাগ ৬ মিটার।
মানুষ নিজে একটি বিন্দুর মতো, তাই প্ল্যাটফর্ম পার হতে তাকে শুধু ২৪০ মিটার যেতে হবে। সময় ২৪০ ভাগ ১০ ভাগ ৬, মানে ২৪০ গুণ ৬ ভাগ ১০ সমান ১৪৪ সেকেন্ড, মানে ২ মিনিট ২৪ সেকেন্ড।
ফাঁদ হলো ট্রেনের দৈর্ঘ্য ৬৫০ মিটার মানুষের দূরত্বে যোগ করা। ট্রেন নয়, মানুষ প্ল্যাটফর্ম পার হচ্ছে।
মনে রাখুন: মানুষ ৬ গুণ ধীর: ট্রেন ২৪০ মিটার যেত ২৪ সেকেন্ডে, মানুষ যাবে ২৪ × ৬ = ১৪৪ সেকেন্ডে।
৭৯৭. If the numerator of a fraction is increased by 150% and the denominator of a fraction increased by 200% fraction becomes 10/19. Find the fraction. (সমন্বিত ৩ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০১৮)
- ক12/17
- খ10/16
- গ12/19
- ঘ9/11
সঠিক উত্তর: গ. 12/19
কোনো সংখ্যা ১৫০ শতাংশ বাড়লে নতুন মান হয় আগের আড়াই গুণ, কারণ ১০০ যোগ ১৫০ সমান ২৫০ শতাংশ। আর ২০০ শতাংশ বাড়লে নতুন মান হয় আগের ৩ গুণ। এটাই এই প্রশ্নের মূল ফাঁদ।
ভগ্নাংশটি x ভাগ y ধরলে নতুন ভগ্নাংশ আড়াই x ভাগ ৩y, যা ১০ ভাগ ১৯ এর সমান। তাহলে x ভাগ y সমান ১০ ভাগ ১৯ গুণ ৩ ভাগ আড়াই, মানে ৩০ ভাগ ৪৭ দশমিক ৫, যা সরল করলে ১২ ভাগ ১৯।
যাচাই: ১২ এর আড়াই গুণ ৩০, ১৯ এর ৩ গুণ ৫৭। ৩০ ভাগ ৫৭ সরল করলে ১০ ভাগ ১৯, মিলে গেছে।
অনেকে ১৫০ শতাংশ বৃদ্ধিকে দেড় গুণ আর ২০০ শতাংশ বৃদ্ধিকে দ্বিগুণ ধরে ফেলেন। কিন্তু বৃদ্ধি মানে আগের মানের সঙ্গে যোগ, তাই আড়াই গুণ আর তিন গুণ।
মনে রাখুন: অপশন যাচাই: ১২ × ২.৫ = ৩০, ১৯ × ৩ = ৫৭; ৩০/৫৭ = ১০/১৯।
৭৯৮. A number when divided by 627 leaves a remainder 43. By dividing the same number by 19, the remainder will be__ (সমন্বিত ৩ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০১৮)
- ক32
- খ43
- গ13
- ঘ5
সঠিক উত্তর: ঘ. 5
সংখ্যাটিকে ৬২৭ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ ৪৩। মানে সংখ্যাটি হলো ৬২৭ এর কোনো গুণিতক যোগ ৪৩। চাবিটা হলো, ৬২৭ সংখ্যাটি ১৯ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য, কারণ ১৯ গুণ ৩৩ সমান ৬২৭।
তাই সংখ্যাটিকে ১৯ দিয়ে ভাগ করলে ৬২৭ এর গুণিতক অংশ পুরোপুরি ভাগ হয়ে যায়, ভাগশেষ আসে শুধু ৪৩ থেকে।
৪৩ কে ১৯ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল ২, ভাগশেষ ৫। তাই উত্তর ৫।
ফাঁদ হলো ৪৩ কেই উত্তর ধরা। ভাগশেষ কখনো ভাজকের সমান বা বড় হতে পারে না, আর ৪৩ সংখ্যাটি ১৯ এর চেয়ে বড়।
মনে রাখুন: প্রথম ভাজক দ্বিতীয় ভাজকের গুণিতক হলে, শুধু প্রথম ভাগশেষকে দ্বিতীয় ভাজক দিয়ে ভাগ করুন।
৭৯৯. A can finish a work in 5 days and B takes 4 days to do the same work. If the work is increased by 8 times, how many days will it take for both of them to finish the work if they work together? (A একটি কাজ ৫ দিনে শেষ করতে পারে এবং B একই কাজ করতে ৪ দিন সময় নেয়। যদি কাজের পরিমাণ ৮ গুণ বৃদ্ধি করা হয়, তবে তারা একসাথে কাজ করলে কাজটি শেষ করতে কত দিন সময় লাগবে?) (সমন্বিত ৩ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০১৮)
- ক10 days
- খ15 days
- গ20 days
- ঘ25 days
সঠিক উত্তর: গ. 20 days
A একা কাজটি ৫ দিনে করে, তাই দিনে করে কাজের ৫ ভাগের ১ ভাগ। B করে দিনে ৪ ভাগের ১ ভাগ। দুজনে মিলে দিনে করে ৫ ভাগের ১ যোগ ৪ ভাগের ১, মানে ২০ ভাগের ৯ ভাগ। তাই মূল কাজ একসঙ্গে শেষ হয় ২০ ভাগ ৯ দিনে।
এবার কাজ ৮ গুণ বৃদ্ধি। ৮ গুণ বৃদ্ধি মানে আগের কাজের সঙ্গে আরও ৮ গুণ যোগ হয়েছে, তাই মোট কাজ এখন ৯ গুণ। যেমন ১০০ শতাংশ বৃদ্ধি মানে দ্বিগুণ হওয়া, তেমনি ৮ গুণ বৃদ্ধি মানে ৯ গুণ হওয়া।
তাহলে সময়ও ৯ গুণ লাগবে: ২০ ভাগ ৯ গুণ ৯ সমান ২০ দিন।
সতর্কতা: কাজকে শুধু ৮ গুণ ধরলে সময় আসে ১৬০ ভাগ ৯, মানে প্রায় ১৭ দশমিক ৭৮ দিন, যা কোনো অপশনে নেই। তাই প্রশ্নকর্তার অভিপ্রায় ৯ গুণ কাজ, আর উত্তর ২০ দিন।
মনে রাখুন: একসাথে দিনে ৯/২০ কাজ; ৯ গুণ কাজ মানে ঠিক ২০ দিন, হিসাব সুন্দরভাবে কেটে যায়।
৮০০. A computer can perform 30 identical tasks in 6 hour. At that rate, what is the minimum number of computers that should be assigned to complete 80 of the tasks within 3 hours? (সমন্বিত ৩ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০১৮)
- ক12
- খ7
- গ6
- ঘ16
সঠিক উত্তর: গ. 6
একটি কম্পিউটার ৬ ঘণ্টায় ৩০টি কাজ করে, তাই ঘণ্টায় করে ৫টি কাজ। ৩ ঘণ্টায় একটি কম্পিউটার করতে পারে ১৫টি কাজ।
৩ ঘণ্টার মধ্যে ৮০টি কাজ শেষ করতে লাগবে ৮০ ভাগ ১৫, মানে ৫ দশমিক ৩৩ টি কম্পিউটার। কম্পিউটার ভগ্নাংশে হয় না।
৫টি কম্পিউটার ৩ ঘণ্টায় করবে মাত্র ৭৫টি কাজ, যা ৮০ এর কম। তাই অন্তত ৬টি লাগবে; ৬টি করবে ৯০টি কাজ।
ফাঁদ হলো ভগ্নাংশ দেখে নিচের পূর্ণসংখ্যায় নামিয়ে ফেলা। ন্যূনতম সংখ্যা চাইলে সবসময় উপরের পূর্ণসংখ্যা নিতে হয়।
মনে রাখুন: ৫টিতে হয় ৭৫ কাজ, যথেষ্ট নয়; তাই ৬টি।